5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
5.1.1 Các khái niệm chung
Định nghĩa 5.1.1. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hoặc vi phân của nó.
Định nghĩa 5.1.2. Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm một biến số.
Ví dụ 5.1.1.
y0 =y2+x2 y00−2y0 = 2x3sinx x(y−3)dx+y(x−3)dy = 0
Định nghĩa 5.1.3. Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm nhiều biến số.
Ví dụ 5.1.2. x∂u ∂x +y ∂u ∂y =u ∂2u ∂x2 +∂ 2u ∂y2 = 0
Định nghĩa 5.1.4. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình đó.
• x(y−3)dx+y(x−3)dy= 0 là PTVP cấp 1
Định nghĩa 5.1.5. Nghiệm của PTVP thường là hàm số thỏa mãn phương trình đó.
5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp 1
Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát sau đây F(x, y, y0) = 0 (1.1) Các dạng thường gặp dy dx =f(x, y) M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp 1
• Hàm số y = Φ(x, C), C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi là nghiệm tổng quát.
• Nghiệm tổng quát được tìm dưới dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = 0 thì được gọi là tích phân tổng quát của PTVP.
• Nghiệm riêng là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể.
• Tích phân riêng của PTVP thu được khi cho tích phân tổng quát giá trị C cụ thể
Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm của phương trình vi phân
F(x, y, y0) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu
5.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤTPhương trình tuyến tính thuần nhất Phương trình tuyến tính thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng dy
dx +p(x)y=q(x) (2.1) Phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
dy
dx +p(x)y= 0 (2.2) Nghiệm tổng quát của PT (2.2) là
y =Ce−Rp(x)dxVí dụ 5.2.1. Giải phương trình Ví dụ 5.2.1. Giải phương trình dy dx − 2y x = 0 Lời giải:
Nghiệm tổng quát của pt trên là y=Ce
R 2dx
x =Ce2 ln|x| =Cx2
Định lí 5.2.1. Nếu y0(x) là một nghiệm của pt (2.1), y(x) là một nghiệm của phương trình thuần nhất liên kết (2.2) thì y0(x) +y(x) là nghiệm của pt (2.1).
Ví dụ 5.2.2. Giải phương trình:
dy
dx +y= 2e x
Phương pháp biến thiên hằng số
B1: Giải PTVP (2.2) tìm được nghiệm tổng quát có dạngy=Ce−Rp(x)dx (∗), C là hằng số bất kỳ.
B2: Tìm nghiệm của PTVP (2.1) có dạng (*) nhưng với C =C(x).
B3: Thay C(x) tìm được vào (*) ta được nghiệm tổng quát của PTVP (2.1). Ví dụ 5.2.3. Giải phương trình sau