Bài giảng toán cao cấp không gian véc tơ ths nguyễn văn phong

KHÔNG GIAN VÉC TƠNguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006... Nội dung1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ... Tổ hợp tuyến tínhĐịnh nghĩa Cho V , +, · là không

KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006

Nội dung

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Không gian véc tơ

Định nghĩa

Cho V 6= ∅ trên đó ta định nghĩa hai phép toán

+ : V × V → V

(u, v ) 7→ u + v

· : R × V → V (k, u) 7→ ku Với u, v , w ∈ V và α, β ∈ R, ta có một số tính chất sau:

A1) u + v = v + u

A2) (u + v ) + w = u + (v + w )

A3) ∃!0 ∈ V : u + 0 = u

A4) ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0

M1) α (β) = (αβ) u

M2) α (u + v ) = αu + αv

M3) (α + β) u = αu + βu

M4) 1.u = u

Không gian véc tơ

Định nghĩa

Cho V 6= ∅, với hai phép toán (+, ·) Khi đó, V được gọi

là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4

Ví dụ



|a, b, c, d ∈ R

 với hai phép toán cộng và nhân môt số với một ma trận lập thành một không gian véc tơ

Không gian véc tơ

Định nghĩa

Cho V 6= ∅, với hai phép toán (+, ·) Khi đó, V được gọi

là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4

Ví dụ

2) Cho V = Rn = {(x1, x2, , xn) |xi ∈ R}, với hai

phép toán

i) (x1, x2, , xn) + (y1, y2, , yn)

= (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) ii) k (x1, x2, , xn) = (kx1, kx2, , kxn)

Cũng là một không gian véc tơ

Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa

Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ Khi đó,

i) Với u1, u2, , un ∈ V và k1, k2, , kn ∈ R, ta gọi

k1u1 + k2u2 + + knun

véc tơ u1, u2, , un nếu ∃ k1, k2, , kn ∈ R, sao cho

v = k1u1 + k2u2 + + knun

Không gian con

Định nghĩa

Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ và W ⊂ V , W 6= ∅ Khi đó,

Nếu ∀u, v ∈ W và k ∈ R mà u + v , ku ∈ W thì ta nói W là không gian con của V , ký hiệu W 6 V

Không gian con

Hệ quả

Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất theo n ẩn

Ví dụ Cho hệ phương trình











Giải hệ trên ta nhận được tập nghiệm

W = {(8m − 7n, −6m + 5n, m, n) /m, n ∈ R}

= h(8, −6, 1, 0) , (−7, 5, 0, 1)i

Không gian con

Định lý

Nếu

W = {k1u1 + k2u2 + + knun/k1, k2, , kn ∈ R} thì

W 6 V

Khi đó ta nói S sinh ra W , ký hiệu W = hS i

Ví dụ Cho W = {(x1 + x2, x1 − x2, x2) |x1, x2 ∈ R}

Ta biểu diễn W dưới dạng

W = {x1(1, 1, 0) + x2(1, −1, 1) |x1, x2 ∈ R}

Tập sinh

Định nghĩa

Khi đó

v = k1u1 + k2u2 + + knun

a) S1 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} b) S2 = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)} c) S3 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)}

Độc lập tuyến tính

Định nghĩa

Khi đó, ta nói hệ S là độc lập tuyến tính

Nếu

∀k1, k2, , kn ∈ R, k1u1 + k2u2 + + knun = 0

thì

Ngược lại, nếu S không độc lập tuyến tính ta nói S là phụ thuộc tuyến tính

PTTT

Cơ sở của không gian véc tơ

Định nghĩa

Ta nói B là một cơ sở của V nếu

Khi đó, ta nói V là hữu hạn chiều và số véc tơ độc lập tuyến là số chiều của V , ký hiệu dim V = n

Ví dụ Chứng minh rằng

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}

Toạ độ của một véc tơ

Định nghĩa

Cho B = {e1, e2, , en} là một cơ sở của V Khi đó,

∀v ∈ V , ∃x1, x2, , xn ∈ R : v = x1e1 + x2e2 + + xnen

Ta gọi x1, x2, , xn là toạ độ v trong cơ sở B, ký hiệu

[v ]B =











x1

x2

xn











Toạ độ của một véc tơ

Ví dụ Tìm toạ độ của v = (1, 2, 3) trong

a) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} b) B0 = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}

Ma trận chuyển cơ sở

Định nghĩa

Cho B = {e1, e2, , en} và B0 = {f1, f2, , fn} là hai cơ

sở của V Ta định nghĩa ma trận

A = ([f1]B, [f2]B, , [fn]B)

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}

Ma trận chuyển cơ sở

Định lý

ta có

i) [v ]B = PB→B0[v ]B0

ii) [v ]B0 = PB0 →B[v ]B

iii) PB0 →B = (PB→B0)−1

Hạng của hệ véc tơ

Định nghĩa

Khi đó, số chiều của không gian con sinh bởi S được gọi

là hạng của hệ véc tơ S Ký hiệu dim W = r (S )

Lưu ý: Để tìm hạng của một hệ véc tơ, ta lập ma trận

A =









[u1]TB [u2]TB

[un]TB









trong đó, B là cơ sở chính tắc Khi đó, r (S ) = r (A)

Hạng của hệ véc tơ

Ví dụ Cho hệ S = {u1, u2, u3, u4} ⊂ R3 Tìm r (S ), với

u1 = (1, 3, 0), u2 = (0, 2, 4), u3 = (2, 8, 4), u4 = (3, 13, 8) Lập

A =









3 13 8









→









1 3 0

0 2 4

0 2 4

0 4 8









→









1 3 0

0 2 4

0 0 0

0 0 0









Vậy r (S ) = 2, nghĩa là ta tìm được một không gian con