Bài giảng toán cao cấp không gian véc tơ ths nguyễn văn phong

KHƠNG GIAN VÉC TƠ Nguyễn Văn Phong Tốn cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Nội dung KHÁI NIỆM CƠ BẢN CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V = ∅ ta định nghĩa hai phép tốn +:V ×V →V (u, v ) → u + v ·:R×V →V (k, u) → ku Với u, v , w ∈ V α, β ∈ R, ta có số tính chất sau: A1) u + v = v + u M1) α (β) = (αβ) u A2) (u + v ) + w = u + (v + w ) M2) α (u + v ) = αu + αv A3) ∃!0 ∈ V : u + = u M3) (α + β) u = αu + βu A4) ∃ − u ∈ V : u + (−u) = M4) 1.u = u Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V = ∅, với hai phép tốn (+, ·) Khi đó, V gọi không gian vec tơ R phép tốn V thoả mãn tính chất A1 → A4 M1 → M4 Ví dụ a b |a, b, c, d ∈ R với c d hai phép tốn cộng nhân mơt số với ma trận lập thành không gian véc tơ 1) Cho V = M2 (R) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V = ∅, với hai phép toán (+, ·) Khi đó, V gọi khơng gian vec tơ R phép toán V thoả mãn tính chất A1 → A4 M1 → M4 Ví dụ 2) Cho V = Rn = {(x1 , x2 , , xn ) |xi ∈ R}, với hai phép toán i) (x1 , x2 , , xn ) + (y1 , y2 , , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) ii) k (x1 , x2 , , xn ) = (kx1 , kx2 , , kxn ) Cũng không gian véc tơ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Cho (V , +, ·) không gian véc tơ Khi đó, i) Với u1 , u2 , , un ∈ V k1 , k2 , , kn ∈ R, ta gọi k1 u1 + k2 u2 + + kn un Là tổ hợp tuyến tính véc tơ u1 , u2 , , un ii) Với v ∈ V , ta nói v tổ hợp tuyến tính véc tơ u1 , u2 , , un ∃ k1 , k2 , , kn ∈ R, cho v = k1 u1 + k2 u2 + + kn un Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Khơng gian Định nghĩa Cho (V , +, ·) không gian véc tơ W ⊂ V , W = ∅ Khi đó, Nếu ∀u, v ∈ W k ∈ R mà u + v , ku ∈ W ta nói W khơng gian V , ký hiệu W V Ví dụ Cho V = R2 = {(x1 , x2 ) |x1 , x2 ∈ R} a) W1 = {(x1 , 0) |x1 ∈ R} b) W2 = {(x1 , 1) |x1 ∈ R} Thì W1 V W2 khơng khơng gian V Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Không gian Hệ Tập hợp tất nghiệm hệ theo n ẩn số khơng gian Rn Ví dụ Cho hệ  x    3x1 4x1    3x1 phương trình + + + + 2x2 5x2 5x2 8x2 + + − + 4x3 6x3 2x3 24x3 − − + − 3x4 4x4 3x4 19x4 = = = = 0 0 Giải hệ ta nhận tập nghiệm W = {(8m − 7n, −6m + 5n, m, n) /m, n ∈ R} = (8, −6, 1, 0) , (−7, 5, 0, 1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Không gian Định lý Cho V không gian véc tơ S = {u1 , u2 , , un } ⊂ V Nếu W = {k1 u1 + k2 u2 + + kn un /k1 , k2 , , kn ∈ R} W V Khi ta nói S sinh W , ký hiệu W = S Ví dụ Cho W = {(x1 + x2 , x1 − x2 , x2 ) |x1 , x2 ∈ R} Ta biểu diễn W dạng W = {x1 (1, 1, 0) + x2 (1, −1, 1) |x1 , x2 ∈ R} Khi áp dụng kết trên, ta có W R3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Tập sinh Định nghĩa Cho V không gian véc tơ S = {u1 , u2 , , un } ⊂ V Khi S = V ⇔ ∀v ∈ V , ∃k1 , k2 , , kn ∈ R cho v = k1 u1 + k2 u2 + + kn un Ví dụ Cho V = R3 , a) S1 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} b) S2 = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)} c) S3 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} Các tập S1 , S2 , S3 có sinh V khơng ? Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Độc lập tuyến tính Định nghĩa Cho V không gian véc tơ S = {u1 , u2 , , un } ⊂ V Khi đó, ta nói hệ S độc lập tuyến tính Nếu ∀k1 , k2 , , kn ∈ R, k1 u1 + k2 u2 + + kn un = k1 = k2 = = kn = Ngược lại, S không độc lập tuyến tính ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Xét lại ví dụ trên, S1 , S2 , S3 ĐLTT hay PTTT Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 10 / 17 Cơ sở không gian véc tơ Định nghĩa Cho V không gian véc tơ B = {e1 , e2 , , en } ⊂ V Ta nói B sở V i) B = V , ii) B độc lập tuyến tính Khi đó, ta nói V hữu hạn chiều số véc tơ độc lập tuyến số chiều V , ký hiệu dim V = n Ví dụ Chứng minh B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} sở R3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 11 / 17 Toạ độ véc tơ Định nghĩa Cho B = {e1 , e2 , , en } sở V Khi đó, ∀v ∈ V , ∃x1 , x2 , , xn ∈ R : v = x1 e1 + x2 e2 + + xn en Ta gọi x1 , x2 , , xn toạ độ v sở B, ký hiệu   x1  x2    [v ]B =     xn Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 12 / 17 Toạ độ véc tơ Ví dụ Tìm toạ độ v = (1, 2, 3) a) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} b) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 13 / 17 Ma trận chuyển sở Định nghĩa Cho B = {e1 , e2 , , en } B = {f1 , f2 , , fn } hai sở V Ta định nghĩa ma trận A = ([f1 ]B , [f2 ]B , , [fn ]B ) ma trận chuyển sở từ B sang B , ký hiệu PB→B Ví dụ Tìm ma trận chuyển sở từ từ B sang B , với B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} B = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (1, 1, 0), f3 = (1, 1, 1)} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 14 / 17 Ma trận chuyển sở Định lý Cho B B hai sở V Khi với v ∈ V , ta có i) [v ]B = PB→B [v ]B ii) [v ]B = PB →B [v ]B iii) PB →B = (PB→B )−1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 15 / 17 Hạng hệ véc tơ Định nghĩa Cho V không gian véc tơ S = {u1 , u2 , , un } Khi đó, số chiều khơng gian sinh S gọi hạng hệ véc tơ S Ký hiệu dim W = r (S) Lưu ý: Để tìm hạng hệ véc tơ, ta lập ma trận   [u1 ]TB  [u2 ]T  B  A=   [un ]TB đó, B sở tắc Khi đó, r (S) = r (A) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 16 / 17 Hạng hệ véc tơ Ví dụ Cho hệ S = {u1 , u2 , u3 , u4 } ⊂ R3 Tìm r (S), với u1 = (1, 3, 0), u2 = (0, 2, 4), u3 = (2, 8, 4), u4 = (3, 13, 8) Lập       3 0 4      →0 4 →0 4 A= 2 4 0 4 0 0 13 8 0 Vậy r (S) = 2, nghĩa ta tìm không gian W = (1, 3, 0), (0, 2, 4) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH R3 Tốn cao cấp - MS: MAT1006 17 / 17 ... NIỆM CƠ BẢN CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V = ∅ ta định... hai phép toán cộng nhân môt số với ma trận lập thành không gian véc tơ 1) Cho V = M2 (R) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa... kx2 , , kxn ) Cũng không gian véc tơ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 17 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Cho (V , +, ·) không gian véc tơ Khi đó, i) Với u1