Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vectơ cung cấp cho người học các kiến thức: Subspaces of Rn, spanning sets, independence, bases of vector spaces, column space and row space of a matrix, dimensions. Mời các bạn cung tham khảo nội dung chi tiết.
10/11/2019 NỘI DUNG o Subspaces of Rn o Spanning sets o Independence o Bases of vector spaces o Dimensions o Column space and row space of a matrix KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 10/10/2019 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ 10/10/2019 TÍNH CHẤT x 10/10/2019 KHƠNG GIAN R3 V1 y x 1, x 2, x x , x , x | x 1, x , x 10/10/2019 R y1, y2, y3 x1 y1, x y2 , x y3 Phép nhân vec tơ với số: x VECTOR N CHIỀU Phép cộng hai vec tơ: x x x 1, x 2, x x y x1 x2 x3 // vector in R2 (x1, x2, x3) // vector in R3 (x1, x2, x3, x4) // vector in R4 (x1, x2, …, xn) // vector in Rn x 1, x 2, x Sự hai vec tơ: (x1, x2) A vector (x1, x2, …, xn) in Rn is also called a point in Rn y1 y2 y3 (0, 0, …, 0): the zero vector in Rn V1 không gian vec tơ Ký hiệu: R3 n Tương 10/10/2019tự ta có khơng gian R 10/10/2019 10/11/2019 PHÉP CỘNG VÀ NHÂN VÔ HƯỚNG TRONG RN EXAMPLES u = u1, u2, …, un) Given two vectors u = (2, -1, 1, 2), v = (3, 1, 2, -1) Find u + v u + v = (5, 0, 3, 1) Find ½u ½u = (1, - ½, ½,1) Find -3v -3v = (-9, -3, -6, 3) And find 3u - 2v 3u + 2v = (0, -5, -1, 8) v = (v1, v2, …, vn) Vector addition: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn) Scalar multiplication: cv = (cv1, cv2, …, cvn) 10/10/2019 KHÔNG GIAN P2[X] V2 ax2 10/10/2019 KHÔNG GIAN M2[R] bx c | a, b, c R V3 a c b : a, b, c, d d R Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận Phép nhân vec tơ với số: phép nhân đa thức với số Phép nhân vec tơ với số: phép nhân ma trận với số Sự hai vec tơ: hai vec tơ hai đa thức (các hệ số tương ứng nhau) Sự hai vec tơ: hai vec tơ hai ma trận V2 không gian vec tơ Ký hiệu: P2[x] V3 không gian vec tơ Ký hiệu: M2[R] Tương tự ta có khơng gian Pn[x] 10/10/2019 Tương tự ta có khơng gian Mn[R] 10/10/2019 KGVT CON KHƠNG GIAN VECTO CON CỦA RN Khơng gian vecto A nonempty subset V is called a subspace of Rn if: Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính) = 0, 0, … , 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 for all 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢, 𝑣 v 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 for any 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, and any number k Độc lập tuyến tính Example V = {(a, a, 0) | a R} Phụ thuộc tuyến tính (0, 0, 0) is in V If (a, a, 0) and (b, b, 0) are in V then (a + b, a + b, 0) is in V If v=(a, a, 0) is in V then cv = (ca, ca, 0) is in V Không gian sinh họ vecto 10 V is a subspace of R3 10/10/2019 11 10/10/2019 12 10/11/2019 SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF R N: SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF R N: = 0, 0, … , 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉 𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (1,0,0) U= V= W= = 0, 0, … , 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉 𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = 1,0,0 // in V 𝑢+ 𝑣 = (1, 1, 1) // not in V V = {(a, b, c) | a = or b = 0} V = {(a, b, c) | a = b or a = -b} 𝑢 = 1,1,0 , 𝑣 = (1, −1,0) but u + v is not in V 13 10/10/2019 // in V 14 10/10/2019 Key = a VÍ DỤ_BIỂU THỊ TUYẾN TÍNH SUBSPACE OR NOT? Cho vecto u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 3), w = (1, -3, 1) Hãy viết vecto w dạng tổ hợp tuyến tính hai vecto u v (nếu được) Điều có nghĩa tìm hệ số a, b cho: w = 2u - v w = au + bv (1, -3, 1) = a(1, -1, 2) + b(2, 1, 3) w u v = (a + b, -a + b, 2a + 3b) 10/10/2019 15 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH (LINEAR COMBINATION) a + b =1 -a + b = -3 2a + 3b = a = 2, b = -1 16 10/10/2019 LINEAR COMBINATION Given u = (1, -1, 2), v = (-2, 0, 3) and w = (-3, 2, 1) Write x = (1, 0, 2) as a linear combination of u, v, and w We find numbers a, b, c such that: x = au + bv + cw (1, 0, 2) = a(1, -1, 2) + b(-2, 0, 3) + c(3, 2, 1) (1, 0, 2) = (a -2b + 3c, -a + 2c, 2a + 3b + c) 1a -2b + 3c = -1a + 0b + 2c = 2a + 3b + 1c = 10/10/2019 17 10/10/2019 a = 2, b = -1, c = x = 2u –v + w 18 10/11/2019 VÍ DỤ SPANNING SETS V = span{𝑢, 𝑣} = {a𝑢 + 𝑏𝑣| a, b in R} 1 (1,3, 2); (0,1, 1); (2,0, 3) (2,1, 1) u v V V = span{𝑢, 𝑣, 𝑤} = {a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤| a, b, c in R} We also say {u, v, w} spans V a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤 is called a linear combination of 𝑢, 𝑣, and 𝑤 19 10/10/2019 SPANNING SETS - EXAMPLES 20 10/10/2019 KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ Cho tập hợp vec tơ: Given V = span{(-1, 2, 1), (3, -5, -1)} a (-1, 1, 1) V? M v1, v2 , , b Find m such that (-2, 1, m)V Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính vec tơ M tạo thành không gian vec tơ Solution a (-1, 1, 1) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) (-1, 1, 1) = (-a + 3b, 2a – 5b, a –b) b (-2, 1, m) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) -a + 3b = -1 2a – 5b = a– b=1 span M -a + 3b = -2 2a – 5b = a– b=m Find m such that (-1, -2, m) lies in the subspace spanned by the vectors 22 Find the values of t for which (2, -1, t) lies in the subspace spanned by the vectors (-1, 1, 0) and (2, -3, 1) (1, 2, -3), (-1, -1, 5) and (2, 5, -4) Solution For what values of x does the vector (1, 1, x) is a linear combination of the vectors (1, 0, -3) and (-2, 1, 5)? We want the system below has solution a, b, c: (-1, -2, m) = a(1, 2, -3) + b(-1, -1, 5) + c(2, 5, -4) Find the values of m such that (4, -2, -1, m) lies in the subspace spanned by the vectors (1, 0, -1, 1), (1, 0, 0, 1), and (2, -1, 1, 0) (-1, -2, m) = (a -2b + 2c, 2a –b +5c, -3a + 5b -4c) −1 −1 −3 −1 0 10/10/2019 10/10/2019 BÀI TẬP VÍ DỤ a – b + 2c = -1 2a – b + 5c = -2 -3a + 5b – 4c = m span v1, v2, , Span(M) không gian vecto con, sinh họ vec tơ 21 10/10/2019 v1, v2 , , −1 −2 −4 𝑚 −1 0 𝑚 −3 −1 2 −1 𝑚 −3 m=3 23 10/10/2019 24 10/11/2019 Key = d, e, b Key = e, c, a SPANNING SETS LINEAR COMBINATIONS SPANNING SETS LINEAR COMBINATIONS Let X = (-1, -3, 3) and U = span{Y = (1, 0, 3), Z = (1, 1, 1)} If X is in U, write X =aY + bZ, then find the sum a+b a) X is not in U b) a+b = -1 c) a+b = d) a+b = e) None of these 25 10/10/2019 SPANNING SETS LINEAR COMBINATIONS 26 10/10/2019 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH Một tập hợp vecto {v1, v2, …, vn} gọi độc lập tuyến tính (linearly independent) hệ phương trình: t1𝑣1+ t2𝑣2+ + tn𝑣𝑛= Chỉ có nghiệm tầm thường: t1 = t = … = tn = Suppose V = span{(1, -1, 0), (2, -1, 1), (-1, 0, 1)} Find all values of t such that (1, 2, t) V a) t is arbitrary b) t = 3/2 c) t = d) t = -1 27 10/10/2019 10/10/2019 28 DO YOURSELF Độc lập tuyến tính số phần tử sở = Số vecto 10/10/2019 29 10/10/2019 30 10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Các hệ vec tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Trong khơng gian R3 cho hệ vec tơ: M 1,1,1 ; 2,1,3 ; 1,2,0 a) 1 (1,2,3); (2,1,0); (0,1, 2) b) 1 (2,4); (1, 2) 1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính qua hệ M khơng? 10/10/2019 31 TỔNG HỢP 10/10/2019 32 10/10/2019 XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 33 XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 34 10/10/2019 XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN Trong Rn cho hệ vec tơ M 1 , , 1 (a11 , a12 , , a1n ) (a21 , a22 , , a2 n ) , m a11 a12 a a22 21 A m (am1 , am , , amn ) am1 am a1n a2 n amn • Hệ M độc lập tuyến tính rank A=m (số véc tơ hệ) • Hệ M phụ thuộc tuyến tính rank A