Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hoàng Mạng Dũng

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Ma trận và định thức cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận, khái niệm ma trận, phép toán ma trận, ma trận của một hệ véc tơ, định nghĩa định thức, một số ví dụ về định thức,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1 MA TRẬN Lý thuyết ma trận thực đời từ đầu kỷ 19, nhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt biết đến từ hàng trăm năm 3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN Một bảng số có m hàng n cột  a11 a A   21   a  m1 Các ma trận vuông xuất đầu kỷ 19 cơng trình dạng tồn phương phép tuyến tính Phép nhân hai ma trận vng cấp Gauss (Gau-xơ) đưa vào năm 1801 Tên gọi ma trận (Matrix) nhà toán học Anh Sylvester (Synvét) đưa năm 1850 Cayley (Kê-li) người mơ tả cách tổng qt phép tính với ma trận ma trận nghịch đảo (1858) Peano người đưa cách biểu diễn ánh xạ tuyến tính qua ma trận Còn Gauss người sử dụng ma trận để nghiên cứu dạng toàn phương 10/07/2017 aij phần tử hàng thứ i cột j Ma trận A gọi ma trận nguyên (thực, phức) phần tử aij số nguyên (số thực, số phức) Nếu không rõ cụ thể ta xem A ma trận thực 10/07/2017 ma trận cỡ 23 10/07/2017 Ví dụ 3.5 Tìm x, y, z w thỏa mãn 3.1.2.1 Phép cộng ma trận  aij   b   cij  , cij  aij  bij ; i  1, m ; j  1, n mn  ij  mn mn x  y  6 3 x y   x  3z 3w   z  w  2w       3.1.2.2 Phép nhân số với ma trận Ví dụ 3.4 10/07/2017   kaij  6  x  y x y   x 3     z w  1 2w  z  w Thực phép cộng ma trận nhân số với ma trận ta       5     9  1  7 6 6 mn CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN k  aij  Ví dụ 3.2 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.3 x  y  6 3 x y   x  3z 3w   z  w  2w       3 x  x  2 x  x  3 y  x  y  2 y  x  y        3 z  z  w  2 z  w  z  3w  2w   w   w  Mm  n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu M n 10/07/2017  m  m '   aij   bij   n  n ' mn m 'n '  aij  bij , i  1, m ; j  1, n mn Khi m  n ta nói A ma trận vng cấp n     am a1n  a2 n     amn  Hai ma trận cỡ có phần tử tương ứng Tập hợp tất ma trận cỡ m  n ký hiệu  1   CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ma trận A cỡ m  n viết tắt dạng Ví dụ 3.1 gọi ma trận cỡ m  n CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC A   aij  a12 a22 3 x  x  2 x  x  3 y  x  y  2 y  x  y        3 z  z  w  2 z  w  z  3w  2w   w   w  mn 1   1  0      10 3  5 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ta kiểm chứng tính chất sau với số thực k, h với ma trận cỡ m  n Tính chất 3.1 Các tính chất sau ma trận cỡ m  n 5) k ( A  B)  kA  kB 1) A  ( B  C )  ( A  B)  C 6) (k  h) A  kA  hA 2) Ma trận có phần tử gọi ma trận không ký hiệu thỏa mãn 7) A0  0 A  A  3) A  ( A)  ,  A   a ij 4) 8) k (hA)  (kh) A 1A  A Với tính chất tập mn A B  B  A Hệ ma trận 10/07/2017 ij  i  1, m ; j  1, n sở Mm  n CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.2.3 Phép nhân ma trận Ví dụ 3.6 Ma trận cỡ  biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính ma trận Eij 10  0 0a130   a11 a12 a13   a111 0 0  0 a12 a   a11     a12      a13     21 a22 a23   0 0 0  0 00 00  0 0 0  cij    aip       pn ma trận cỡ m  n ký hiệu định nghĩa AB  cij  mn k 1 Phần tử hàng thứ i cột thứ j ma trận tích AB tổng tích phần tử hàng thứ i ma trận A với phần tử tương ứng cột thứ j ma trận B 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC         ai1       B  bij    Tồn ma trận tích AB số cột ma trận A số hàng ma trận B j m p cij   aik bkj víi mäi i  1, m ; j  1, n  a11E11  a12 E12  a13 E13  a21E21  a22 E22  a23E23 10/07/2017 Tích hai ma trận A   aij    p  00 00 00  0 0 00  0 0 0   a21      a22    a23   a211 00 00  0 a022 10  0 0a230  10 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC b1 j b2 j bpj        Ví dụ 3.7 11  3  9 15   3     0     7 17  5   4  2  3 1 2    Vậy phần tử hàng thứ i cột thứ j AB tổng tích phần tử hàng thứ i A với phần tử tương ứng cột thứ j B 10/07/2017 E 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC    i     M m  n không gian véc tơ Ký hiệu Eij ma trận cỡ m  n có phần tử ngoại trừ phần tử hàng i cột j  3  1   x y      z w   10/07/2017  4   12 6    y  3w   x  3z  x y     x  z y  w 12 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chẳng hạn, xét Ta thấy tích hai ma trận A B định nghĩa số cột A số hàng B Vì định nghĩa AB khơng định nghĩa BA số cột B không số hàng A Khi A, B hai ma trận vng cấp ta có đồng thời AB BA Mặc dầu chưa có đẳng thức AB  BA Nói cách khác tích ma trận khơng có tính giao hốn 10/07/2017 13  1 2  A    0  0  0  0  0      0 0   1 2 11  AB   0     0 1 3  B  0   0  0 0  0  0  0      0 0   0 3  3  0      BA          0 0   0 0  0  0  0      0 0  10/07/2017 14 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tính chất 3.2 Giả sử A, B, C ma trận với số cột số hàng thích hợp để phép tốn sau xác định được, ta có đẳng thức: 5) Với số tự nhiên dương n ta xét ma trận In vuông cấp n có phần tử đường chéo phần tử vị trí khác 1) A(BC)  (AB)C tính kết hợp 2) A(B  C)  AB  AC tính phân phối bên trái phép nhân ma trận với phép cộng 3) (B  C)A  BA  CA tính phân phối bên phải phép nhân ma trận với phép cộng 4) Với k  , k(AB)  (kA)B  A(kB) 10/07/2017 Khi với ma trận A cỡ m  n ta có I m A  A  AI n Ma trận In gọi ma trận đơn vị cấp n 15 10/07/2017 16 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chẳng hạn Xét ma trận A cỡ  a a AI3   11 12  a21 a22 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Khác với phép nhân số: tích hai số khác số khác a  a a A   11 12 13   a21 a22 a23  Ta tìm hai ma trận khác có tích ma trận 1 0  a13   a  a a    11 12 13   A a23     a21 a22 a23  0  1 0  a11 a12 a13   a11 a12 a13  I2 A    A  0   a21 a22 a23   a21 a22 a23  10/07/2017 17 Chẳng hạn 1 2  A  0     0  0  0  0      0 0  A, B  10/07/2017  6  1  B0     0  0  0   0     0  AB  18 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.2.4 Đa thức ma trận 3.1.2.5 Ma trận chuyển vị Giả sử p(t)  a0  a1t    ak t k đa thức bậc k Với ma trận A vuông cấp n, ta định nghĩa đa thức ma trận A sau: p( A)  a0 I  a1 A    ak Ak Ví dụ 3.8 Cho ma trận A cỡ m  n, ta đổi hàng ma trận A thành cột (và cột thành hàng) ta ma trận cỡ n  m, gọi ma trận chuyển vị ma trận A, ký hiệu A t At   cij  , cij  a ji ; i  1, n j  1, m nm 1   đa thức p(t )   4t  2t  3 Cho ma trận A   Ví dụ 3.9  1  5 A     At       9   1  1  1   13 52  p( A)      3   3  104 117  0        10/07/2017 19 10/07/2017 20 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ Tính chất 3.3 1) ( A  B)  A  B t t 2) (kA) t  kA t 3) ( AB) t  B t A t t aij                    aij     A At Nếu A  At A gọi ma trận đối xứng (A ma trận vng có phần tử đối xứng qua đường chéo thứ nhất) A   At A gọi phản đối xứng (A ma trận vng có phần tử đối xứng trái dấu qua đường chéo thứ nhất, phần tử đường chéo thứ 0) 10/07/2017 21 3.1.3.1 Định nghĩa ma trận hệ véc tơ Giả sử V không gian n chiều với sở B  {e1, … , en} {v1, … , vm} hệ véc tơ V có tọa độ sở B: n v j   aij ei , j  1, , m i 1 gọi ma trận hệ véc tơ {v1, … , vm} sở B Ngược lại, với ma trận A cỡ n  m cho trước ta có hệ m véc tơ mà toạ độ sở B cột A 10/07/2017 3.1.3.2 Ma trận chuyển sở Giả sử B  {e1, … , en}, B  {e 1, … , e n} hai sở V  x1   u  B  ( x1, , xn ) u B     Xét hệ véc tơ 10/07/2017 B  sở B B sang sở B  Ma trận hệ véc tơ chuyển từ sở  xn  v1  (4,1,3, 2), v2  (1,2, 3,2), v3  ( x, y, z, t ) Có ma trận sở tắc 22 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Nói riêng, u  x1e1   xnen Ví dụ 3.10 nm có cột tọa độ véc tơ {v1, … , vm} sở B CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ta ký hiệu A   aij  Khi ma trận  x  y    3 z   2 t    Nghĩa e ' j  n  tij ei , j  1, , n i 1 gọi ma trận T  tij    ma trận chuyển từ sở B sang sở B  B B' n n n   n  n  n u  V : u   xi ei   x ' j e ' j   x ' j   tij ei      tij x ' j  ei     i 1 j 1 j 1  i 1  i 1  j 1  Ta có công thức đổi tọa độ B  xi n1  tij  nn  x ' j  n1 u B  tij  B ' u B ' 23 10/07/2017 24 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Nếu A, A  ma trận {v1, … , vn} sở B B  B e1  (1, 0), e2  (0, 1) Ví dụ 3.11 Hai hệ véc tơ  x  1   y  3x   y   1 3  x  y       B e1, e2, B ’  e’1, e’2 với e1  (1, 0) , e2  (0, 1) e1  (1,1) , e2  (4,3) hai sở không gian véc tơ 2 (Xem ví dụ 2.16 Chương 2) 10/07/2017 10/07/2017 26 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN Vì để tìm hạng ma trận ta thực biến đổi sơ cấp lên cột hàng để đưa ma trận dạng hình bậc thang, từ suy hạng ma trận Ví dụ tính theo cột: 3.1.4.1 Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ta gọi hạng hệ véc tơ cột A hạng ma trận A ký hiệu r(A) Hạng r(S) hệ véc tơ S không gian V số véc tơ hệ độc lập tuyến tính tối đại S chiều spanS (xem Định lý 2.16) Vì ta thực liên tiếp phép biến đổi sau, gọi phép biến đổi sơ cấp, spanS khơng đổi hạng hệ khơng thay đổi: 1) Đổi chỗ cho hai véc tơ hệ 2) Nhân vào véc tơ hệ số khác Ví dụ 3.12  3  3c1  c2  c2 A   1  4c1  c3  c3  1 2 2  2c1  c4  c4 c1  c1 c2  c2 c2  c3  c3 3) Cộng vào véc tơ hệ tổ hợp tuyến tính véc tơ khác hệ 10/07/2017 27 Vậy r(A)  28 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC  1  a 1 B 1 a 1  Ví dụ biến đổi sơ cấp theo hàng: Ví dụ 3.12 10/07/2017  0 0  0    1 5 0   0 0  7     1 5  10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC  3  2h1  h2  h2 A   1  h1  h3  h3  1 2 2   3    1  y  3x   3   x   x  y    1  y       25  u  B '  (4 y  3x, x  y) Ma trận chuyển từ sở B  sang sở B T '    u B  ( x, y);  u B '  (4 y  3x, x  y) 1 3  0 7    0 0  1   1   u  B '  (4 y  3x, x  y)   e1 B '  (3,1);  e2 B '  (4, 1) u  ( x, y)  xe1  ye2  (4 y  3x)e '1  ( x  y)e '2 h2  h3  h3 B’ e1  (1,1), e2  (4,3)} Ma trận chuyển từ sở B sang sở B  T   B A  tij  A ' B' 1 1  0 2  1 3  0 7    0 5  29  c1  c4 1 1 1  c1  c1 c5  c 1 1 cc2  1 1 a 1 c1c  cc2    c1    c23 c4 1  c4  c2  1 a  c21c cc4  c5  c3  c5    1   1 1  0 0 2 a1 3   1 a 1 2  1 1 2  0  1  Vậy r(A)  1 10/07/2017 1 c1  c1 1 c2  c3 c3  c2   ( a  3) c2  ( a  1) c3  2c4  c4  (3  a ) c2  3c3  2c5  c5     1 0    1  2a  2a  0 0  0  2a  0 0 Vậy 0 2 0 4 nÕu a  r ( B)   3 nÕu a  30 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2 ĐỊNH THỨC  Định thức ma trận vng cấp tích đường chéo thứ trừ tích đường chéo thứ hai a11 a21 a12  a11a22  a12 a21 a22  Định thức ma trận vuông cấp n tổng quát xét chương  Ma trận định thức ngày liền với người cho khái niệm định thức phải đời sau khái niệm ma trận, thực ngược lại  Định thức hình thành nhằm để giải hệ phương trình tuyến tính mà việc làm có lịch sử lâu đời trước  Khái niệm định thức lần Leibniz (Lépnít) đưa vào năm 1693 bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính 10/07/2017 31  Định thức tiếp tục phát triển nghiên cứu qua cơng trình Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Jacobi (ia-cô-bi) (Đức), Laplace (Pháp), Vandermonde (Vănđécmông) (Hà Lan)  Cauchy (Cô-si) (Pháp) người nghiên cứu khái niệm định thức cách hệ thống  Ngoài ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức sử dụng để nghiên cứu vấn đề ma trận như: ma trận nghịch đảo, hạng ma trận, tìm giá trị riêng  Khảo sát tính chất độc lập hệ véc tơ  Định thức Jacobi sử dụng phép đổi biến số tích phân nhiều lớp  Định thức Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc lập tuyến tính nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 32 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC ax  by  c Khi giải hệ phương trình tuyến tính    a ' x  b' y  c ' ta tính định thức D a b a ' b'  ab'ba ' Dx  c b c ' b'  cb'bc ' Dy  Như định thức ma trận vuông cấp 2: A a11 a12 a 21 a 22 a c  ac'ca' a' c'  a11 A a 21 a12   a 22   a11a 22  a12 a 21 10/07/2017 Đó định thức ma trận vng cấp n 33 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 34 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.14 x y  y.6  5.4.z  x.3.1  x y.z  5.3.6  2.4.1 z  12 y  20 z  3x  xyz  90   3x  12 y  20 z  xyz  98 10/07/2017 35 10/07/2017 36 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tương tự Ví dụ 3.15 Tính định thức a11 a12 a13 a 22 a 23 a n a 33 a 3n Dn  a1n  a11 a21 a22 D 'n  a31 a32   an1 an  Ví dụ 3.16 a nn Dn  a11 ann 10/07/2017 37  a11 ann a33   an3 a b c 7 d e 0 1 f 0 ann   (7)  (1)   42 10/07/2017 38 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Định thức ma trận A  [ aij ]nn hệ véc tơ {v1, … , vn} a11 a12 a1n 1 sở a1n DB v1, ,   det A  (1) n ( n 1) an1 ak ,n k a1n Ví dụ 3.19 an1 Ví dụ 3.18 Hệ véc tơ v1  (2,4,1), v2  (3,6, 2), v3  (1,5,2) có ma trận sở tắc B cùa 3 2 x y  (1) z 0 32  1 A  4    1 2  xyz   xyz 10/07/2017 39 DB v1, v2 , v3  det A  49 40 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2) Định thức có tính chất tuyến tính hàng 3.2.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC có hàng thứ k tổ hợp tuyến tính Ma trận C  cij    nn 1) Nếu đổi chỗ hai hàng ma trận định thức đổi dấu aij nÕu i  k , m  A   aij  , A '   a 'ij  , a 'ij  akj nÕu i  m nn nn  amj nÕu i  k Vậy 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC B khơng gian véc tơ V gọi định thức hệ véc tơ {v1, … , vn} ký hiệu DB{v1, … , vn} Vậy a21 a22 a2 n 1   D "'n     Đổi chỗ hai hàng m k cho hàng thứ k A   aij  Nghĩa det A '   det A B  bij  nn   nn cij  aij  bij nÕu i  k  ckj   akj   bkj ; víi mäi j  1, , n det C   det A   det B Ví dụ 3.21 Ví dụ 3.20 a b c a' b' c'   a' a " b" c" 10/07/2017 a " b" c" a b' c' b c a b c a' b' c'  a1   a2  b1   b2 41 10/07/2017  c1   c2 a b c   a' b' c'   a' a b b' c' a2 b2 c2 a1 b1 c c1 42 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 5) Định thức ma trận chuyển vị định thức ma trận 3) Từ 1) 2) suy ma trận có hai hàng tỷ lệ định thức Ví dụ 3.22 a b c a a' b' c '  k a ' b ' c '  k a ' b ' c ' ka kb kc b a b c a c b a det At  det A c b Ví dụ 3.23 c a b c a b c a' b' c'  a' b' c'  a' b' c'   a' b' c' a "  a   a ' b "  b   b ' c "  c   c ' a " b" c" b a b c a c b c b' c '  b b ' b" a " b" c" 4) Nếu ta cộng vào hàng tổ hợp tuyến tính hàng khác định thức khơng thay đổi a a a' b a' b' 10/07/2017 c c' 43 a a ' a" c c ' c" 6) Từ 5) suy tính chất định thức với hàng với cột ngược lại Vì ta cần chứng minh định lý định thức với hàng Chẳng hạn, từ 4) suy ta cộng vào cột tổ hợp tuyến tính cột khác định thức khơng thay đổi 10/07/2017 44 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 7) Định thức hệ n véc tơ phụ thuộc tuyến tính khơng gian véc tơ n chiều Nếu hệ véc tơ v1, ,  phụ thuộc tuyến tính có véc tơ tổ hợp tuyến tính véc tơ lại Chẳng hạn  1v1  2v2    n 1vn 1  det A  DB v1, , 1,   DB v1, , 1,1v1   2v2     n 1vn 1 Tách cột cuối thành tổng n  định thức ta det A  DB v1, , 1,1v1    DB v1, , 1, n 1vn 1      8) Định thức tích tích định thức det AB  det A det B 3.2.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC 3.2.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột Cho ma trận A  [ aij ]nn Ký hiệu Mij định thức ma trận cấp n  có cách xố hàng i cột j ma trận A a11 a12  a1 j  a1n   ai1 aij ain      anj ann an1 an  Hàng i Aij  (1)i  j M ij gọi phần bù đại số aij Cột j 10/07/2017 45 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Công thức khai triển định thức A theo cột thứ j Công thức khai triển định thức A theo hàng thứ i det A  a1 j A1 j   anj Anj a11 a12 a1 j a1n a11 a12   1 j a ain  a1 j ( 1) i1     aij ain     ai1 aij   an1 an a1 j         anj ann an1 an anj ann  a11 a12      aij ain   an1 an 10/07/2017 det A  ai1 Ai1   ain Ain Nhận xét 3.5 Công thức khai triển theo cột thứ j công thức khai triển theo hàng thứ i (trong việc chọn hàng thứ i cột thứ j tùy ý) cho phép tính định thức cấp n theo tổng số hạng dạng aijAij Nếu hàng thứ i cột j có số hạng aij  aijAij  Vì để tính định thức ta thức bước sau: a1n n j a  anj ( 1) i1 46 a1 j a1n    anj ann Chọn hàng i cột j có nhiều phần tử dễ triệt tiêu Thực phép biến đổi để triệt tiêu phần tử hàng (hoặc cột) chọn, cuối hàng cột có phần tử khác Khai triển theo hàng cột triệt tiêu 47 10/07/2017 48 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.26 D 1 1 1 5  c1  c3  c3 2 c1  c4  c4  2 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 0 D   1 3 5  2 3 9 3 5 3 9  (2)(3) 5 9 Ma trận vuông A gọi khả nghịch tồn ma trận vuông cấp B cho AB  BA  I 1 7 Khai triển theo hàng thứ ta 2         D  (1) 21   1 4     1     Tiếp tục triệt tiêu hàng thứ định thức ta có 3.2.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 0 1 4 6 Phép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B định nghĩa tồn nhất, ta gọi ma trận ma trận nghịch đảo A, ký hiệu A1 6 Điều kiện cần đủ để ma trận A tồn ma trận nghịch đảo 7 Ma trận nghịch đảo A1 ma trận A có dạng  6(9  5)  24 B   Aij  49 Hàng k Hàng i Hàng k Hàng i                     a1n Khai triển theo hàng thứ k akn   ak1 Ak1   akn Akn  det A ain ann a1n Khai triển theo hàng thứ k ain   ai1 Ak1   ain Akn  ain ann 51 50 det A nÕu i  k ai1 Ak1   ain Akn    ABt  (det A) I nÕu i  k 0    A Bt   I  A1  Bt det A  det A  a b  Ma trận A    vuông cấp với định thức A  ad - bc  có c d  ma trận nghịch đảo t A1  Ví dụ 3.31 A11  (1)11 A21  (1) 1 A31  (1) 31 A1  2 10/07/2017 52 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2 1 A  7      Ví dụ 3.33  5 2 2 1  40 16 9   40 16   40 13 5  16     13    13 5 3      1    9   2 1  5 10/07/2017  d c   d b   ad  bc  b a  ad  bc  c a  5   7  1 A  có ma trận nghịch đảo A  24  3  3    CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1 3   A  2 3 có det A  1   1 8 3 1  40 A12  (1)1  13 A13  (1) 8 3  16 A22  (1)  5 A23  (1) 3 8 1 3 3  A33  (1) 33  9 A32  (1) 3 t gọi ma trận phụ hợp A CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 10/07/2017 Ví dụ 3.32 Bt det A 10/07/2017 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC a12 ak  an a12  an nn A1  Aij phần bù đại số phần tử aij ma trận A  [aij]nn 10/07/2017 a11 ak1  ai1 an1 a11 ai1  ai1 an1 det A det A1  det AA1  det I   det A  det A  53 A21  (1) 21 A31  (1)31 A11  (1)11 có  7, A12  (1)1 2  14, A22  (1)  7, A32  (1)32 det A  56  13, A13  (1)13 23  2, A23  (1) 4 33  3, A33  (1) 3  5  18  29 t A1  10/07/2017  13 5   14   14 18     13     56 56  29    5 18 29  54 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tìm ma trận nghịch đảo theo phƣơng pháp Gauss-Jordan Ví dụ 3.34 Để tìm ma trận nghịch đảo A1 ta thực bước sau: 1) Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A: 31 0 A|I 2) Thực phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên hàng A | I để đưa ma trận A vế trái ma trận đơn vị A I   I A1 h3  h2  h2 h3  h3 55 5 3 2 1 Ngược lại, giả sử hệ {v1, , vn} độc lập tuyến tính, ta chứng minh DB{v1, , vn}  Vậy hệ {v1, , vn} không gian véc tơ n chiều độc lập tuyến tính DB{v1, , vn}  B' Ta chứng minh T  tij  ma trận chuyển từ B T 1 57 2 h2  h1  h1 h2  h2 h3  h3 0 40 16 13 0 5 3 2 1 Hệ 3.13 Giả sử A ma trận cỡ m  n r ( A )  r (At )  min(m , n) Ví dụ 3.35  2  A   2 4     4 1 2 2 4  2 4 3 0 4 1 Vậy r ( A)  10/07/2017 58 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.37 2 4  4 2 7   B  1   4 4    Tìm hạng ma trận A  (a  3)(a  1)  a1 11 113 111 1   1 a 11 3 1  1 1  A A  A     11 11 a11 111 3    1 1 a    1  11 11 3  Khi a  3, a  r ( A)  4; 4 2 1 1  Khi a 1  r(A) 1 3 1 1 1 1 0  Khi a  3, 3  1 3  1 4  16 1 3 1 3 1 4 Vậy r(B)  10/07/2017 Giả sử A  [ aij ] ma trận cỡ m  n Nếu có định thức cấp p khác định thức cấp p  bao quanh r(A)  p CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Định thức cấp | B |  0 56  20 2 10/07/2017 Bao định thức định thức cấp 3 1 3 2 0 2 1 10/07/2017 B' B T  tij   t 'ij   T 1 B B' 1 2 0 Định lý 3.12 Định thức hệ phụ thuộc tuyến tính Do định thức DB{v1, , vn}  hệ {v1, , vn} độc lập tuyến tính  4 2 3 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.36 h1  h1 13 0 3 2 0 2 1 h2  h2  h3  h3 14 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC B sang B ' ma trận chuyển từ sở B ' sang B 0 3 2 h2  h3  h3 0 1 5 h2  h2 3 h3  h1  h1 10/07/2017 1 h1h1 2 h1  h2 h2  h1  h3 h3 30 1 80 h1  h1 3) Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị vế phải ma trận A1 sở  3 A   3   1 8 Tìm A1 với  r ( A)  59 10/07/2017 BÀI TẬP 60 10 ... A  53 A21  (1) 21 A31  (1 )3 1 A11  (1)11 có  7, A12  (1)1 2  14, A22  (1)  7, A32  (1 )3 2 det A  56   13, A 13  (1)1 3 2 3  2, A 23  (1) 4 3 3  3, A 33  (1) 3  5... 24  3  3    CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1 3   A  2 3 có det A  1   1 8 3 1  40 A12  (1)1   13 A 13  (1) 8 3  16 A22  (1)  5 A 23  (1) 3 8 1 3 3  A 33 ...  3x  12 y  20 z  xyz  98 10/07/2017 35 10/07/2017 36 CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tương tự Ví dụ 3. 15 Tính định thức a11 a12 a 13 a 22 a 23 a n a 33 a 3n