Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - Hoàng Mạng Dũng

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm ánh xạ tuyến tính, nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính, toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu, chéo hoá ma trận,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ khơng gian véc tơ vào khơng gian véc tơ ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ phép nhân số với véc tơ Nhà toán học Peano (Italia) người đưa khái niệm ánh xạ tuyến tính (1888) 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.1 Định nghĩa ví dụ Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả mãn với u, v  V,   R:  f (fu(vu))  f (fu()u) f (v) Tương ứng ánh xạ tuyến tính ma trận đẳng cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân số với ma trận phép nhân hai ma trận Hạng ánh xạ tuyến tính hạng ma trận Chính lý nên tốn ma trận, hệ phương trình tuyến tính giải phương pháp ánh xạ tuyến tính ngược lại 10/07/2017 gọi ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt đồng cấu) từ V vào W Khi V  W f gọi tự đồng cấu 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 6) Cho ma trận A   aij  Ví dụ 5.1 :V  W u  0(u )  1) Ánh xạ không 2) Ánh xạ đồng 3) Phép vị tự tỉ số k IdV : V  V u  IdV (u )  u f :V  V u a f (u )  ku T : n  m ( x1 , , x n ) a T ( x1 , , x n )  ( y1 , , y m )  y1   x1       a     ánh xạ tuyến tính Xác định bới    ij     ym   xn  Ngược lại ta chứng minh ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm có dạng 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 7) Phép quay góc  f:   5.1.2 Tính chất f (v )  ( X , Y ) ( x, y)  f ( x, y)  ( X , Y ) Định lý 5.1 Nếu f : V  W ánh xạ tuyến tính  v  ( x, y) (i) f (0)  (ii) với v  V : f (v)   f (v)  n  n  i 1  xivi    xi f (vi ) , X  iY  ei ( x  iy)  (cos  i sin  )( x  iy) (iii) f  X  iY  ( x cos  y sin  )  i( x sin   y cos ) Định lý 5.2  i 1 x1, , xn  , v1, , V Ánh xạ f : V  W ánh xạ tuyến tính  f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) với u, v  V,   R: Vậy phép quay góc  ánh xạ tuyến tính 10/07/2017 Ta kiểm tra đẳng thức Do ánh xạ Ánh xạ 1), 2), 3) ánh xạ tuyến tính; 2), 3) tự đồng cấu; 10/07/2017 mn   x1   x '1    x1   x '1    A              A      A     x    x 'n    xn   x 'n    n f ( u   v)   f (u )   f (v) 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hồn toàn xác định ảnh sở V f , g : V  W hai ánh xạ tuyến tính Hệ 5.4 B  {e1, … , en} sở V Nghĩa với sở B  {e1, … , en} cho trước V Tồn ánh xạ tuyến tính f : V  W cho  Tồn tại: Ví dụ 5.2 Giả sử f : V  W đồng cấu tuyến tính f (ei )  u i , i  1, , n Với v V , giả sử ( x1, , xn ) tọa độ sở v  x1e1   xnen Đặt f (v)  x1u1   xnun W v B , nghĩa f ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (ei )  ui , với i  1, ,n  Duy nhất: Giả sử g : V  W ánh xạ tuyến tính cho g (e )  u , với i i i  1, ,n với v V , v  x1e1   xnen B   e1, , en  sở W Tồn u1, , un V cho f (ui )  ei g f 10/07/2017 Chứng minh f toàn cấu tồn đồng cấu g : W  V cho f  g(v)  v, v W Giả sử f toàn cấu, g (v)  g ( x1e1   xnen )  x1g (e1)   xn g (en )  x1u1   xnun  f (v) Vậy f  g  f (ei )  g (ei ); i  1, , n Khi với hệ véc tơ u1, … , un  W Xét ánh xạ tuyến tính g : W  V xác định g (ei )  ui Vì f  g (ei )  ei ; ei  B f  g  IdW 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.3 Các phép tốn ánh xạ tuyến tính Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính cơng thức ( f  g )(v)  f (v)  g (v) Ví dụ 5.3: Và phép nhân số với ánh xạ tuyến tính cơng thức Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3  R2 có cơng thức xác định ảnh (kf )(v)  kf (v) f ( x, y, z)  (3x  y  z,4 x  y  z) g ( x, y, z)  (2 x  y  z, x  5z)  f ( x, y, z)  (9 x  15 y  z,12 x  y  18z ) g ( x, y, z)  (4 x  12 y  14 z,2 x  10 z)  (3 f  g )( x, y, z)  (5x  27 y  20 z,10 x  y  8z) 10/07/2017 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ta ký hiệu Trong p( f )  a0 IdV    an f f n  f  f   CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH p(t )  a0    ant n Cho f đa thức bậc n Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính n f  IdV 10 Nhân f f  f Ker f  f 1 0  v V f (v)  0  V v V : v  Ker f  f (v)  n lÇn Ví dụ 5.4: Cho ánh xạ tuyến tính f : R2  R2 có công thức xác định ảnh Ảnh f f ( x, y)  (3x  y,4 x  y) u W : u  Im f  v V : u  f (v) f ( x, y)   3(3x  y)  5(4 x  y),4(3x  y)  (4 x  y)   (11x  20 y,16 x  19 y) Cho đa thức p(t )  50  9t  2t  Hạng f r ( f )  dim Im f Định lý 5.5   p( f )( x, y)  50IdV  f  f ( x, y)  ( x  y, 4 x  y) 10/07/2017 Im f  f (V )   f (v) v V   W Kerf không gian V, Im f kg W 11 10/07/2017 12 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.6 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Với ánh xạ tuyến tính f : V  W ta có S hệ sinh V f (S) hệ sinh Im f dimV  r ( f )  dimKer f Giả sử e1, , em  sở Ker f (khi Ker f  0 m = 0) Đặc biệt B  e1 , , en  sở V Ta bổ sung để e1, , em , em1, , em k  sở V hệ sinh Ta chứng minh  f (em1), , f (em k ) hệ sinh, độc lập tuyến tính Im f (do sở)  u  Im f , v V : u  f (v); v  x1e1   xmem  xm1em1   xm k em k u  f (v)  x1 f (e1)   xm f (em )  xm1 f (em1)   xm k f (em k )  u  xm1 f (em1)   xm k f (em k )  f (e1 ), , f (en ) Im f Do hệ độc lập tuyến tính tối đại  f (e1), , f (en ) sở Im f  y1 f (em1)  V  v V f (v)  v  Ker  f   IdV  ( x, y)  f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) f (v ) Định lý 5.14  1) v  giá trị riêng f V  {0} 2) Nếu  giá trị riêng f véc tơ v  V  Khi   , f  ánh xạ đồng Id : có giá trị riêng là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   Khi    , f  : có giá trị riêng 1  Khi   0, , f  khơng có giá trị riêng 10/07/2017 45 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.3 Đa thức đặc trƣng Nhận xét 5.4 Cho f  End(V), 46 B sở V Đăt A  [ f ]B  A ma trận vuông cấp n Định thức P ( )  det( A   I ) Khi v  V véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  f ( v )B véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  A đa thức bậc n  gọi đa thức đặc trưng A  Cho f  End(V), Nghĩa  x1  0  v  V ;  v  B  ( x1, , xn ), v  : f (v)  v   A  I              xn  0  B sở V Đăt A  [ f ]B Khi định thức P ( )  det  f   IdV   det( A   I ) không phụ thuộc vào sở V, gọi đa thức đặc trưng f 10/07/2017 47 10/07/2017 48 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.15 Ví dụ 5.18 0 giá trị riêng A (tương ứng f ) 0 nghiệm đa thức đặc trưng A (tương ứng f ) Tìm véc tơ riêng giá trị riêng tự đồng cấu khơng gian R2 (ví dụ 6.13) f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y) 0 giá trị riêng V0  0 Điều tương đương với điều sau: a) Ánh xạ f  0 IdV không đơn cấu  x1  0  b) Hệ phương trình tuyến tính  A  0 I         có nghiệm   khơng tầm thường  xn  0  Vậy 0 giá trị riêng r  f  0 IdV   n Nghĩa P (0 )  10/07/2017 Đa thức đặc trưng P ( )  det  f  0 IdV   det  A  0 I   49 3 1 2 4 3  1   x  0 hay        2    y  0 Vậy v  (x,x)  x (1,1) , x   Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 2  nghiệm hệ hay  2 1  x  0  2 1  y   0      Ví dụ 5.19  2 1 5  (2  )(5  ) 50 Phép quay góc  có cơng thức xác định ảnh Đa thức đặc trưng P ( )  det  f   IdV    sin  sin  cos     (cos    )  sin        cos      sin           1 Vậy v  (x,  2x)  x (1,  2) , x  51 cos   Do f có giá trị riêng Hệ phương trình tương đương với phương trình x  y   y  2 x 10/07/2017 1 2 4 f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) Hệ phương trình tương đương với phương trình x  y   y  x  x  0    y  0 2 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 1  nghiệm hệ  A  2 I    10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  x  0  A  1I        y  0  1 A   2  có ma trận tắc 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 52 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.16 Giả sử v1, … , vm véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc Tự đồng cấu f khơng gian véc tơ V chéo hố tồn sở V để ma trận f sở có dạng chéo Như f chéo hoá tồn sở V gồm véc tơ riêng f phân biệt 1, … , m tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) hệ véc tơ {v1, … , vm } độc lập tuyến tính Ta chứng minh quy nạp theo k hệ v1, , vk  độc lập tuyến tính với  k  m Giả sử hệ v1, , vk  với  k  m  độc lập tuyến tính x1v1   xk vk  xk 1vk 1  (*)  f ( x1v1   xk vk  xk 1vk 1 )   1x1v1   k xk vk  k !xk 1vk 1  Ma trận vuông A chéo hố tồn ma trận khơng suy biến T cho T 1AT ma trận chéo (**) Nhân  k1 vào (*) trừ cho (**) ta (k 1  1) x1v1   ( k 1   k ) xk vk  Vì v1, , vk  độc lập 1, ,  m khác đôi suy x1   xk   xk 1  10/07/2017 53 10/07/2017 54 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH () : Trong Vi ta chọn sở gồm mi véc tơ Hệ 5.17 Nếu đa thức đặc trưng tự đồng cấu f không gian n chiều V (hoặc ma trận A vuông cấp n) có n nghiệm thực phân biệt f (tương ứng ma trận A) chéo hố Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương ứng với n giá trị riêng hệ độc lập, sở V gồm véc tơ riêng f Vậy f chéo hoá Hệ 5.18 Giả sử ( )  (1) (  1 ) (  k ) m1  …  mk  n giá trị 1, … , k khác đôi n P mk m1 Khi f (tương ứng ma trận A) chéo hố dimVi  mi ;  i  1, , k Hệ n véc tơ gộp lại từ véc tơ sở vừa chọn hệ độc lập tuyến tính, hệ sở V gồm véc tơ riêng f Vậy f chéo hoá () : Giả sử f chéo hố được, tồn sở gồm véc tơ riêng để ma trận f có dạng chéo  1       n   Do giá trị riêng 1 , , n phải trùng với 1 , , k 1 , , n có mi giá trị i , với i  1, , k có mi véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng i Vì giá trị riêng Nói cách khác 10/07/2017 55 dimVi  mi 10/07/2017 56 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 2: Với giá trị riêng riêng Vi 5.5.5 Thuật toán chéo hoá Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng dạng  Nếu m1    mk  n (khi bậc Q()  ): khơng chéo hóa  Nếu m1    mk  n chéo hóa 1, ,  k giá trị riêng; tiếp tục bước  x1        A   I  i        x n 0   Nếu d i  mi với i đó,  i  k f khơng hố chéo 57 10/07/2017 58 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 3: Với giá trị riêng CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH i ; i  1, … , k ta chọn Đa thức đặc trưng A mi véc tơ riêng độc lập tuyến tính Gộp tất véc tơ ta hệ gồm m1  …  mk  n véc B’ cần tìm P ( )  2 1 4 8 3   Ma trận T có cột tọa độ hệ véc tơ B’  3  4 8 3   5   8  1  A     8 3 3   (3   ) Ví dụ 5.21 10/07/2017 dimVi  di  n  r  A  i I   Nếu d i  mi , i :1  i  k Tiếp tục bước 10/07/2017 Chéo hóa ma trận  x1 , , xn  nghiệm hệ phương trình k Q() đa thức khơng có nghiệm thực tơ riêng độc lập, sở i tìm sở không gian Các véc tơ riêng v  x1e1   xnen có P ( )  (1   )m (k   )m Q( )  P ( )  (1)n (  1 ) (  n ) 3  (3   ) 5 3   5 3  5   (3   ) (  25)  24  (  1)(  1)(3   ) Do A có giá trị riêng 59 10/07/2017 1  1, 2  1, 3  60 10 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng    có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ phương trình Ta có  1   x  0    y   0       8 2   z  0   1   1  3     0   0       8 2   8 2  4 Ta có 1  0   Vậy hệ phương x  y    y  3x v   x,3x,4 x   x(1,3,4) trình tương   đương với hệ 4 x  z  z  4 x chọn e'1  (1,3,4) 10/07/2017 Giá trị riêng phương trình 61   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ  1   x  0    y   0       8 4   z  0   1   1  1             8 4   2 1   2 Vậy hệ phương trình tương đương với hệ  1 1   x  0     y   0        8 6   z  0  10/07/2017 62 Cơ sở gồm véc tơ riêng e'1  (1,3,4) Ta có x   y 0  x y    4 x  z    z  x 4  x  v   x,  x, x   (3, 3, 4) chọn e '3  (3, 3, 4)   63 Ma trận chéo Xét tự đồng cấu f :3 3 3 Giá trị riêng phương trình  1 3 T   3     4 2 4   1 0  T 1AT       0  64   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ  2 2   x  0   2 2   y   0        0 4   z  0   2  A   2     0  Đa thức đặc trưng   2   2 P ( )  2        0 1 0    2     (5  )(  1) 0 1 Ma trận tắc 10/07/2017 e '3  (3, 3, 4) CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH xác định f ( x, y, z )  3x  y, 2 x 3 y, z B '  e '1, e '2, e'3  10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.22 e'  (1,1,2) Ma trận chuyển sở Vậy hệ phương trình tương đương với hệ 10/07/2017 0 0  1  CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ  1 1  1     0 0       8 6  4  x  y 0 x  y v   x, x,2 x   x(1,1,2)   x  z   z  2x chọn e'  (1,1,2) CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng phương trình 1 Vậy hệ phương trình tương đương với hệ 0 x  y  z0  v   y, y,0  y(1,1,0) 65 10/07/2017 x   y   z  chọn e'1  (1,1,0) 66 11 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng phương trình CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu f : P2  P2 có công thức xác định ảnh f (a0  a1t  a2t )  (a0  a1  a2 )  (a0  a1  a2 )t  (a0  a1  a2 )t  2   x  0  Vậy hệ phương trình  2   y   0  tương đương với x  y  0;       phương trình z tuỳ ý  0   z   0 v   x, x, z   x(1,1,0)  z (0,0,1) chọn e '2  (1,1,0) e '3  (0,0,1) Chọn sở B '  e '1, e '2 , e '3 f (e '1 )  5e '1 , f (e '2 )  e '2 , f (e '3 )  e '3 Ma trận f sở Ma trận tắc 5 0  0  0  67  a0  a2  a0  a2   a0  a1  a0  a1 p V1  p  a0  a0t  a0t  a0 (1  t  t ) chọn p '1   t  t  Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  ứng với giá trị riêng Xét sở B '   p '1, p '2 , p '3 f ( p '1 )  p '1 Ma trận f sở p '2  1  t , p '3  1  t 10/07/2017 69 P ( )  1   3 5   3 1    1  (1   ) 1   7   Đa thức đặc trưng có nghiệm 0 1   (kép) 2  Giá trị riêng    có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ phương trình 7     2 1    (1   ) 7 7 7   8  (1   ) B ’ có dạng 70 Đa thức đặc trưng có nghiệm Đa thức đặc trưng 3 f ( p '3 )  2 p '3 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 3  A   7     7  1  f ( p '2 )  2 p '2 p '3  1  t 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH p '2  1  t 1 0  A '   f B '  0 2    0 2  p V2  p  a1  a2  a1t  a2t  a1 (1  t )  a2 (1  t ) 3 1   2 1   2 1   1   2    3 0   1 0        1 2  0 0  0 0 p '1   t  t Thỏa mãn 1  1   68 Hệ phương trình tương đương với phương trình: a0  a1  a2  Xét ma trận 1  (1   )(  2)2 10/07/2017 2  2 1 1  a0 0  1 1  a   0     1   1 1  a2 0  Ví dụ 5.24 Gồm véc tơ riêng nghiệm khác không hệ phương trình chọn 1   CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Vậy hệ phương trình tương đương với  1 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1    Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  ứng với giá trị riêng nghiệm khác không hệ phương trình  2 1   a0 0   2   a   0     1    2  a2  0 B ’ có dạng A '   f B '  0 10/07/2017 Đa thức đặc trưng  1 1  A   1     1 1 1 7   1  (3   )(  1)2 4   1   (kép) 2   3   x  0   6   y   0        7   z   0  y  2z hệ có nghiệm  x  z Không gian riêng  3 4  3   2   6    0    0         4  7   2  v   z, z, z   z(1, 2,1) V1   z (1,2,1) z  , dimV1   Vì ma trận khơng chéo hố BÀI TẬP 10/07/2017 71 10/07/2017 72 12 ... riêng Nói cách khác 10/07/2017 55 dimVi  mi 10/07/2017 56 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 2: Với giá trị riêng riêng Vi 5. 5 .5 Thuật toán chéo hoá Bƣớc 1: Viết đa... (3   ) 5  3   5 3  5   (3   ) (  25)  24  (  1)(  1)(3   ) Do A có giá trị riêng 59 10/07/2017 1  1, 2  1, 3  60 10 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ... 0, , f  khơng có giá trị riêng 10/07/2017 45 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. 5.3 Đa thức đặc trƣng Nhận xét 5. 4 Cho f  End(V), 46 B sở V Đăt A  [ f ]B