Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 5 - Nguyễn Văn Thùy

Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 5: Đạo hàm, vi phân cung cấp cho người học các kiến thức về Ứng dụng của đạo hàm bao gồm: Đạo hàm, vi phân của hàm số, quy tắc L’Hospital, ứng dụng khảo sát hàm số, đa thức Maclaurin,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Review-Đạo hàm Lecture Nguyen Van Thuy  Định nghĩa Đạo hàm của hàm số 𝑓 tại 𝑎 ĐẠO HÀM, VI PHÂN f '(a)  lim h 0 Ứng dụng của đạo hàm  Phương trình 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎)) f ( a  h)  f ( a ) h tiếp tuyến tại điểm 𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 11/21/2010 Review-Vi phân hàm số  Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-2 Review-Quy tắc L’Hospital Tại x=a 𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦 ′ 𝑎 𝑑𝑥  Định lý Nếu 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ∞ có dạng , ∞ 𝑥𝑎 và 𝑓′(𝑥) tồn tại lim 𝑔′(𝑥) = 𝐴 thì 𝑥→𝑎  Tại x 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = lim =𝐴 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥) lim  11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3 Chú ý: 𝐴 hữu hạn vô hạn 11/21/2010 Ứng dụng khảo sát hàm số Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-4 Ứng dụng khảo sát hàm số  Tìm tiệm cận  Tìm khoảng tăng, giảm  Tìm cực trị a) Có tiệm cận đứng 𝑥 =  Tính lồi lõm, điểm uốn b) Có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥 c) Có tiệm cận ngang 𝑦 = −1 d) Khơng có tiệm cận   thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy Câu 206 Cho hàm số 𝑦 = 5-5 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy ln 𝑥+1 +𝑥 𝑥−𝑥 Đồ 5-6 Ứng dụng khảo sát hàm số  Ứng dụng khảo sát hàm số Câu 178 Cho hàm số 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 Khẳng định sau a) 𝑦 tăng ℝ b) 𝑦 giảm ℝ c) 𝑦 tăng (1, +∞), giảm 0,1 d) 𝑦 tăng (0, +∞) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy  5-7  𝑓’(0) = 𝑃’(0) 𝑓’’(0) = 𝑃’’(0) …  𝑛 (0) = 𝑃 𝑛 (0) Đa thức Maclaurin cấp n hàm 𝑓 𝑓′(0) 𝑓′′(0) 𝑓 𝑛 (0) 𝑛 𝑃 𝑥 =𝑓 + 𝑥+ 𝑥 +⋯+ 𝑥 1! 2! 𝑛! 11/21/2010 y đạt cực đại tại 𝑥 = b) y đạt cực tiểu tại 𝑥 = c) y đạt cực đại tại 𝑥 = d) y đạt cực tiểu tại 𝑥 = 16 1 16 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-8 Đa thức Maclaurin Bài toán Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 cho 𝑓 a) 11/21/2010 Đa thức Maclaurin  Câu 183 Cho hàm số 𝑦 = 2ln(1 + 4𝑥 ) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2𝑥 Khẳng định sau Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-9 Đa thức Maclaurin Ví dụ Tìm đa thức Maclaurin của hàm 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 đến 𝑥, 𝑥 , 𝑥  Kết quả  𝑔 𝑥 =1+𝑥  𝑕 𝑥 =1+𝑥+ 𝑥2 2!  𝑝 𝑥 =1+𝑥+ 𝑥2 2! 11/21/2010 − 𝑥3 3! Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-10 Đa thức Maclaurin Xung quanh tiếp điểm 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-11 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-12 Khai triển Maclaurin  Các khai triển Maclaurin bản Khai triển Maclaurin hàm 𝑓(𝑥)  𝑓′(0) 𝑓′′(0) 𝑓𝑛 𝑛 𝑃 𝑥 =𝑓 + 𝑥+ 𝑥 +⋯+ 𝑥 1! 2! 𝑛! 𝑛 + 𝑂(𝑥 )   𝑂 𝑥 𝑛 : vô bé cấp cao 𝑥 𝑛 Với 𝑥 gần 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 𝑥3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = − 𝑥2 2! 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 + 𝑥3  3!  + 𝑥4 4! +𝑂 𝑥3 + 𝑂 𝑥5 𝑥4  − 𝑥4 + 𝑥2 + 𝑂(𝑥 ) 1+𝑥 = − 𝑥 + 𝑥2 + 1−𝑥 = + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑂(𝑥 )  𝑂(𝑥 ) + 𝑂(𝑥 ) 11/21/2010 ln + 𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 + 𝑂 𝑥4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 − 5-13 + 𝑂(𝑥 ) Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-14 Khai triển Maclaurin Câu 238 Viết khai triển Maclaurin hàm 𝑦 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 đến số hạng 𝑥 a) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑂 𝑥3 b) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑂 𝑥3 c) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑂 𝑥3 d) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑂 𝑥3 11/21/2010 Maple taylor(exp(sin(x)),x=0,3) Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-15 11/21/2010 Khai triển Maclaurin  𝑥2 2!  Khai triển Maclaurin  + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 −  𝑓′(0) 𝑓′′(0) 𝑓 𝑛 𝑥+ 𝑥 + ⋯+ 𝑥 1! 2! 𝑛! 𝑥 1!  𝑛 𝑓 𝑥 ≈𝑓 + 𝑒𝑥 = + tương đương với 𝑥3 𝑏) 𝑥3 𝑐) − 𝑥2  𝑥3 𝑑)  Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-16 Bài toán Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 cho 𝑓’(𝑎) = 𝑃’(𝑎) 𝑓’’(𝑎) = 𝑃’’(𝑎) … 𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑃 𝑛 (𝑎) Đa thức Taylor cấp n 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎 𝑃 𝑥 =𝑓 𝑎 + 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đa thức Taylor Câu 249 Khi 𝑥 → 0, VCB 𝑒 𝑥 − − 𝑥 − 𝑥3 𝑎) − GeoGebra KhaitrienTaylor(exp(sin(x)),0,3) 5-17 11/21/2010 𝑓′ 𝑎 𝑓 𝑛 (𝑎) (𝑥 − 𝑎) + ⋯ + (𝑥 − 𝑎)𝑛 1! 𝑛! Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-18 Khai triển Taylor  Khai triển Taylor hàm 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑓 𝑥 =  Áp dụng khai triển bản 𝑓 𝑘 𝑘! 𝑎 Ví dụ Viết khai triển Maclaurin của hàm số sau đến cấp (𝑥 − 𝑎)𝑘 +𝑅𝑛 (𝑥) 𝑓 𝑥 = Phần dư   𝐷ạ𝑛𝑔 𝑃𝑒𝑎𝑛𝑜: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑂 𝑥 − 𝑎  𝐷ạ𝑛𝑔 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝑅𝑛 𝑥 = 11/21/2010  𝑛 𝑓 𝑛+1 𝑐 𝑛+1 ! Toan C1-Nguyen Van Thuy (𝑥 − 𝑎)𝑛+1 5-19  𝑠𝑖𝑛𝑥 1−𝑥 Ví dụ Viết đa thức sau dưới dạng đa thức theo 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 + Bài tập: 238  257 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-20 ... 11/21/2010 −