Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 7 - Nguyễn Văn Thùy

Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 7: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức về Tích phân bất định, xác định và ứng dụng bao gồm: Tích phân bất định, công thức tích phân cơ bản, bài toán diện tích, định nghĩa tích phân xác định,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Tích phân bất định Lecture Nguyen Van Thuy 𝑓(𝑥): đạo hàm của 𝐹(𝑥)  (𝐹(𝑥))’ = 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑥): nguyên hàm của 𝑓(𝑥) TÍCH PHÂN  Tích phân bất định, xác định và ứng dụng  𝑥3 +1 của 𝑥2 𝑥3 −5 ′ ′ 12/16/2010 Tích phân bất định  số nguyên hàm hàm 𝑥 ?  dạng tổng quát?  tích phân bất định của hàm  𝑥2 𝑥3 +𝐶 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-3  dx  x  a  ln | x  a |  C ax  b e C a  sin( ax  b ) dx   a cos( ax  b )  C  cos( ax  b ) dx  a sin( ax  b )  C dx  12/16/2010 +𝐶 ′ = ⋯ = 𝑥2 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-2 Vậy     𝐶𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑓 𝑥 𝑑𝑥  𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-4 Tích phân bất định du u  a rc ta n  C u2  a2 a a du ua  ln C u  a2 2a ua du  ln | u  u  k |  C u2  k du u  a rc s in  C a a2  u2 Toan C1-Nguyen Van Thuy Tính chất 12/16/2010 Công thức tích phân ax  b 𝑥3 + là một nguyên hàm ( F ( x)) '  f ( x)   f ( x)dx F ( x)  C 𝑥 𝑑𝑥 = e = 𝑥3 Tích phân bất định  12/16/2010 = 𝑥2 ⟹ 7-5  Phương pháp đổi biến số  Phương pháp tích phân từng phần  Tích phân hàm hữu tỷ  Tích phân hàm vô tỷ  Tích phân hàm lượng giác  Maple: int(f(x),x)  GG: Tichphan[f(x)] 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-6 Tích phân bất định  Tích phân bất định Câu 313 Tính tích phân 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑥(𝑥+1)  𝑎) 𝐼 = arctan 𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2arctan 𝑥 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = arcsin 𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = ln 𝑥 + 𝐶  Câu 345 Tính tích phân 𝐼 = 𝑥4 4𝑥 𝑑𝑥 1−𝑥  𝑎) 𝐼 = − 𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = ln  𝑐) 𝐼 = ln 𝑥 + − 𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = arcsin 𝑥 + 𝐶 12/16/2010 − − 𝑥8 + 𝐶 Toan C1-Nguyen Van Thuy  Câu 387 Tính tích phân 𝐼 = 𝑥cos 2𝑥𝑑𝑥  𝑎) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶  Câu 393 Tính tích phân 𝐼 =  𝑎) 𝐼 = −  𝑐) 𝐼 = 7-7 12/16/2010 Bài toán diện tích  2𝑙𝑛𝑥−1 4𝑥 2𝑙𝑛𝑥+1 + 4𝑥 𝑑) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑥3 + 𝐶 𝑏)𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥+1 𝑥2 𝐶 2𝑙𝑛𝑥+1 + 4𝑥 𝑑) 𝐼 = − Toan C1-Nguyen Van Thuy +𝐶 𝐶 7-8 Bài toán diện tích Tính diện tích hình phẳng S S  {( x, y) | a  x  b,0  y  f ( x)} 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-9 12/16/2010 Bài toán diện tích Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-10 Bài toán diện tích  Ví dụ 𝑦 = 𝑥2 S=? * * * d t ( S )  l i m [ f ( x )  x  f ( x )  x   f ( x )  x ] n n   12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-11 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-12 Bài toán diện tích 𝑛 = 4, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.21875 12/16/2010 Bài toán diện tích 𝑛 = 4, 𝑝𝑕ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.46875 Toan C1-Nguyen Van Thuy 𝑛 = 10, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.285 7-13 12/16/2010 Bài toán diện tích 𝑛 = 10, 𝑝𝑕ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.385 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-14 Định nghĩa tích phân xác định  Chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành 𝑛 đoạn 𝑐𝑖 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝑎 𝑥0 𝑥1 𝑦 = 𝑥2  Lấy tùy ý 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]  Lập tổng tích phân 𝑏 𝑥𝑛 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑓(𝑐𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-15 Tích phân xác định  b 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim b a 𝑛→∞ a b b a 𝑖=1 a a '     f ( t ) dt   f ( x ) a  x 𝑏 '  v(x)    f ( t ) dt   f [ v ( x )].v '( x )  f [ u ( x )].u '( x )    u(x)  𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎 Toan C1-Nguyen Van Thuy b  [ f ( x )  g ( x )]dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx 𝑓 𝑐𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) Công thức Newton-Leibniz 12/16/2010 7-16  C f ( x ) dx  C  f ( x ) dx 𝑛 𝑎 Toan C1-Nguyen Van Thuy Tính chất Định nghĩa 𝑏  12/16/2010 7-17 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-18 Tính tích phân xác định  Tương tự tích phân bất định  Phương pháp đổi biến số  Phương pháp tích phân từng phần 𝑏 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 𝑎 𝑏 − 𝑎 (406) I  x ln xdx e  b) I   e2 c) I  d )I  e  (409) I   arccos xdx a) I    7-19 12/16/2010 b) I    c) I  d )I  Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-20 Diện tích giữa đường cong trục hoành Ví dụ x  sin tdt L  lim x 0 b) L  a) L  x2  (e x (398) L  lim c) I  t 10 d ) I    1) ln(cos t )dt S  {( x, y ) | a  x  b,  y  f ( x)} 10 x 0 a) L   𝑎 Toan C1-Nguyen Van Thuy (395) GG: Tichphan[f(x),a,b] Tích phân hàm lượng giác   a) I   e  Tính Maple: int(f(x),x=a b) 𝑣𝑑𝑢 Tích phân hàm hữu tỷ, hàm vô tỷ   𝑏  12/16/2010  Tính tích phân xác định b) L   12/16/2010 10 x c) I   b 20 d )I  Toan C1-Nguyen Van Thuy A( S )   f ( x)dx 20 a 7-21 12/16/2010 Diện tích giữa đường cong Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-22 Diện tích giữa đường cong  Ví dụ Tính diện tích phần hình phẳng được tô đậm sau S  {( x, y ) | a  x  b, g ( x)  y  f ( x)} b A( S )   [ f ( x)  g ( x)]dx a 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-23 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-24 Diện tích giữa đường cong Diện tích giữa đường cong  Ví dụ Tính diện tích phần hình phẳng được tơ đậm sau S S  {( x, y ) | c  y  d , g ( y )  x  f ( y )} d A( S )   [ f ( y )  g ( y )]dy c 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-25 Diện tích giữa đường cong  12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-26 Thể tích Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường y  x  1, y  x  b V   A( x)dx a 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-27 Thể tích  12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-28 Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ Tính thể tích hình cầu bán kính r y  r  x2 A( x)   y   (r  x ) r V  r r A( x)dx    (r  x )dx r r  x    r x     r 3 r  12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy b b Vx    [ f ( x)]2 dx a 7-29 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy Vy  2  xf ( x)dx a 7-30 Bài tập  308  448  508  547 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-31 ... 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7- 11 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7- 12 Bài toán diện tích