Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 8 - Nguyễn Văn Thùy

Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 8: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức về Tích phân suy rộng, phương trình vi phân bao gồm: Tích phân xác định, tích phân suy rộng loại 1, tiêu chuẩn so sánh, phương trình vi phân tách biến,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Review-Tích phân xác định Lecture Nguyen Van Thuy  TÍCH PHÂN ' x    f (t )dt   f ( x) a  Tính chất '  v( x)    f (t )dt   f [v( x)].v '( x)  f [u ( x)].u '( x)    u ( x)  Tích phân suy rợng  Phương trình vi phân Cơng thức Newton-Leibniz b  f ( x)dx  F (b)  F (a) : F ( x) b a a 12/16/2010 Review Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-2 Review S  {( x, y ) | a  x  b, g ( x)  y  f ( x)} Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-3 12/16/2010 Tích phân suy rộng loại Định nghĩa t a +∞  𝑡→+∞ Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-4 Tích phân suy rộng loại   Ví dụ (452) Tính  dx 1 x2 I1   𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑎 a a a  Vy  2  xf ( x)dx Vx    [ f ( x)] dx A( S )   [ f ( x)  g ( x)]dx 12/16/2010 b b b 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì tích phân suy rộng ở vế trái được gọi là hội tụ Ngược lại, tích phân suy rộng được gọi là phân kỳ 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-5 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-6 Tích phân suy rộng loại  Tích phân suy rộng loại Tương tự  𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑡→−∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + −∞ 12/16/2010 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-7 12/16/2010 Tích phân suy rộng loại I t dx dx  1    lim   lim     lim    1  t  t  t  x x  x 1  t  t   Ví dụ  (466) Tính I     t dx dx t  lim  lim ln | x |  lim  ln | t |    t  x t  1 x t  a) I   Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-9 (464) TínhI  12/16/2010 Tích phân suy rộng loại   c) I   d ) I  2e 8arctan xdx  x2 b) I  3 c) I  3 24 d )I   8-10 Chú ý 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ 𝐼= 𝑎 𝑎) 𝐼 = −1 𝑏) 𝐼 = 𝑐) 𝐼 = −2 𝑑) 𝐼 = Toan C1-Nguyen Van Thuy  x Toan C1-Nguyen Van Thuy 12/16/2010  Tích phân suy rộng loại 451 Tính 𝐼= 8-8 dx  x ln b) I  2 a) I  Vậy, tích phân phân kỳ 12/16/2010  e Vậy, tích phân hội tụ J Toan C1-Nguyen Van Thuy Tích phân suy rộng loại Ví dụ    d x d x I , I 2 2    x  x     𝑎 −∞  453 Tính 𝑎>0 8-11 12/16/2010 Hội tụ ⇔ 𝛼 > 𝑑𝑥 𝑥𝛼 Phân kỳ ⇔ 𝛼 ≤ Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-12 Tiêu chuẩn so sánh  Tiêu chuẩn so sánh Giả sử  f ( x)  g ( x), x  a  Nếu  Nếu  g ( x)dx f ( x)dx phân kỳ a       g ( x)dx a phân kỳ lim x  a  hợi tụ   a sin  x dx hội tụ Ví dụ (478) Tích phân  x 1 a) >1 b) 1 Toan C1-Nguyen Van Thuy Tích phân suy rợng loại Xét tích phân b) dsolve(D(y)(x)+p(x)*y(x)=q(x)) Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-22 Pt vi phân tuyến tính cấp  Dạng 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = (1)  𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶𝑥  𝐶 𝑑) 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 Toan C1-Nguyen Van Thuy Công thức nghiệm tổng quát 12/16/2010 Phương trình vp tuyến tính cấp 𝑎) 𝑦 = 𝑥 + Dạng 𝑦 = 𝑒− 𝑑)arctan 𝑥 + ln |𝑦 + − 𝑦 | = 𝐶  8-20 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + =0 + 𝑥2 − 𝑦2 𝑎) arcsin 𝑥 + arctan 𝑦 = 𝐶 𝑏) arcsin 𝑥 − arctan 𝑦 = 𝐶 𝑐) arctan 𝑥 + arcsin 𝑦 = 𝐶 Toan C1-Nguyen Van Thuy Toan C1-Nguyen Van Thuy Phương trình vp tuyến tính cấp 554 Tìm nghiệm tổng quát ptvp 12/16/2010 Maple >with(DEtools) >dsolve(D(y)(x)=f(x)/g(y)) 12/16/2010 Phương trình vi phân tách biến 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶  8-23 Cách giải Lập phương trình đặc trưng 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 + 𝑐 = (2) Nếu (2) có nghiệm phân biệt 𝑘1 , 𝑘2 ∈ ℝ 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘2𝑥 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-24 Pt vi phân tuyến tính cấp    Pt vi phân tuyến tính cấp Nếu (2) có nghiệm kép k0 nghiệm tổng quát (1) 𝑦 = 𝑒 𝑘0𝑥 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 Nếu (2) có hai nghiệm phức 𝑘 = 𝛼 ± 𝑖 (1) có nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 sin 𝛽𝑥 Maple  Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát ptvp  617 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 =  614 𝑦 ′′ −22𝑦 ′ + 121𝑦 =  611 𝑦 ′′ − 8𝑦 ′ + 41𝑦 = Dsolve(a*(D@@2)(y)(x)+b*D(y)(x)+c*y(x)=0) 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-25 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-26 Bài tập  Tích phân suy rợng 449  507  Phương trình vi phân 548  618 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-27 ... −22