Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 8: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức về Tích phân suy rộng, phương trình vi phân bao gồm: Tích phân xác định, tích phân suy rộng loại 1, tiêu chuẩn so sánh, phương trình vi phân tách biến,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1TÍCH PHÂN
Tích phân suy rộng
Phương trình vi phân
Lecture 8 Nguyen Van Thuy
Review-Tích phân xác định
Tính chất
Công thức Newton-Leibniz
'
' ( )
( )
x
a
v x
u x
f t dt f x
f t dt f v x v x f u x u x
12/16/2010
b
b a a
f x dxF b F a F x
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-2
Review
{( , ) | , ( ) ( )}
( )]
b
a
S x y a x b g x y f x
A S f x g x dx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-3
Review
12/16/2010
b
y a
V xf x dx
2
[ ( )]
b
x a
V f x dx
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-4
Tích phân suy rộng loại 1
Định nghĩa
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
= lim
𝑡→+∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
𝑎
Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn
thì tích phân suy rộng ở vế trái được gọi
được gọi là phân kỳ
a t
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ (452) Tính
01
dx I
x
Trang 2Tích phân suy rộng loại 1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
−∞
= lim
𝑡→−∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
−∞
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-7
Tích phân suy rộng loại 1
453 Tính
12/16/2010
0
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-8
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ
Vậy, tích phân hội tụ
Vậy, tích phân phân kỳ
12/16/2010
1
t t
I
1
t
t
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-9
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ
(466) Tính
(464) Tính
12/16/2010
2 ln
e
dx I
2 2 0
8arctan 1
xdx I
x
2
a I b I c I d I
a I b I c I d I e
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-10
Tích phân suy rộng loại 1
451 Tính
𝐼 = 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
𝑎) 𝐼 = −1 𝑏) 𝐼 = 1 𝑐) 𝐼 = −2 𝑑) 𝐼 = 2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-11
Tích phân suy rộng loại 1
Chú ý
𝐼 = 𝑑𝑥
𝑥𝛼 +∞
𝑎
12/16/2010
Hội tụ ⇔ 𝛼 > 1
Phân kỳ ⇔ 𝛼 ≤ 1
𝑎 > 0
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-12
Trang 3Tiêu chuẩn so sánh
Giả sử
Nếu phân kỳ thì phân kỳ
Nếu hội tụ thì hội tụ
Ví dụ (478) Tích phân hội tụ khi
a) >1 b) <1 c) tùy ý d) ko có
12/16/2010
( )
a
f x dx
a
g x dx
( )
a
g x dx
a
f x dx
0 f x( )g x( ), x a
2 0
sin 1
x dx x
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-13
Tiêu chuẩn so sánh
Giả sử và
(L0 và hữu hạn)
Khi đó, 2 tích phân và có
cùng tính chất
Ví dụ (474) Tích phân hội tụ khi
a) <-1 b) <1/2 c) >1 d) ko có
12/16/2010
( ) lim ( )
x
f x L
g x
( )
a
f x dx
a
g x dx
3 ( 1)( 2)
x
dx
0 f x( )g x( ), x a
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-14
Tích phân suy rộng loại 2
Xét tích phân
𝐼 = 𝑑𝑥
𝑥
1
0
lim
𝑥→0 +
1
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-15
Tích phân suy rộng loại 2
𝐼 = 𝑑𝑥 𝑥
1
0
= lim
𝜀→0 +
𝑑𝑥 𝑥
1
𝜀
= lim
𝜀→0 +2 𝑥 1
𝜀
= lim
𝜀→0 +(2 − 2 𝜀) = 2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-16
Tích phân suy rộng loại 2
𝑓 không xác định tại 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝜀→0 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎+𝜀
𝑓 không xác định tại 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
= lim
𝜀→0 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏−𝜀
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ
(467) Tính
(472) Tính
2 3
dx I x
1
0 ln
I xdx
a I b I c I d I
a I b I c I d I
Trang 4Tích phân suy rộng
Maple
Loại 1
int(f(x),x=a infinity)
int(f(x),x=-infinity a)
int(f(x),x=-infinity infinity)
Loại 2
int(f(x),x=a b)
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-19
Phương trình vi phân tách biến
Dạng
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦
Cách giải
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶
Maple
12/16/2010
>with(DEtools)
>dsolve(D(y)(x)=f(x)/g(y))
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-20
Phương trình vi phân tách biến
𝑑𝑥
1 + 𝑥2+ 𝑑𝑦
1 − 𝑦2= 0
𝑎) arcsin 𝑥 + arctan 𝑦 = 𝐶
𝑏) arcsin 𝑥 − arctan 𝑦 = 𝐶
𝑐) arctan 𝑥 + arcsin 𝑦 = 𝐶
𝑑)arctan 𝑥 + ln |𝑦 + 1 − 𝑦2| = 𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-21
Phương trình vp tuyến tính cấp 1
Dạng
𝑦′+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)
𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
12/16/2010
>with(DEtools)
>dsolve(D(y)(x)+p(x)*y(x)=q(x))
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-22
Phương trình vp tuyến tính cấp 1
𝑥𝑦′+ 2𝑦 = 3𝑥
𝑎) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶
𝑥2 𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶𝑥2
𝑐) 𝑦 = 𝑥3+ 𝐶𝑥2 𝑑) 𝑦 = 𝑥3+𝐶
𝑥2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-23
Pt vi phân tuyến tính cấp 2
Dạng
𝑎𝑦′′+ 𝑏𝑦′+ 𝑐𝑦 = 0 (1)
Cách giải
𝑎𝑘2+ 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0 (2)
Nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt 𝑘1, 𝑘2∈ ℝ
𝑦 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑥+ 𝐶2𝑒𝑘2𝑥
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-24
Trang 5Pt vi phân tuyến tính cấp 2
Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì nghiệm
tổng quát của (1) là
𝑦 = 𝑒𝑘0𝑥 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Nếu (2) có hai nghiệm phức 𝑘 = 𝛼 ± 𝑖
thì (1) có nghiệm tổng quát
𝑦 = 𝑒𝛼𝑥 𝐶1cos 𝛽𝑥 + 𝐶2sin 𝛽𝑥
Maple
Dsolve(a*(D@@2)(y)(x)+b*D(y)(x)+c*y(x)=0)
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-25
Pt vi phân tuyến tính cấp 2
Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát của ptvp
617 𝑦′′− 3𝑦′+ 2𝑦 = 0
614 𝑦′′−22𝑦′+ 121𝑦 = 0
611 𝑦′′− 8𝑦′+ 41𝑦 = 0
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-26
Bài tập
449 507
548 618
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-27