Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 Ngô Quang Minh

Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 của Ngô Quang Minh. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về phương trình vi phân (phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp 2). Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. Phương trình vi phân cấp §2. Phương trình vi phân cấp …………………………… Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1. Khái niệm phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng tổng quát F (x , y, y )  (*). Nếu từ (*) ta giải theo y  (*) trở thành y   f (x , y ). • Nghiệm (*) có dạng y  y(x ) chứa số C gọi nghiệm tổng quát. Khi điều kiện y  y(x ) cho trước (thường gọi điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta giá trị C cụ thể nghiệm lúc gọi nghiệm riêng (*). VD 1. Cho phương trình vi phân y   x  (*). x2  C , ta có: Xét hàm số y  y   x  thỏa phương trình (*). x2 Suy y   C nghiệm tổng quát (*). x2 Thế x  2, y  vào y   C , ta được: x2  nghiệm riêng (*) ứng với điều kiện đầu y(2)  . C  1  y  Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1.2.1. Phương trình vi phân cấp với biến phân ly Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: f (x )dx  g(y )dy  (1). Ø Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế (1) ta nghiệm tổng quát:  f (x )dx   g(y )dy  C . VD 2. Giải phương trình vi phân Giải. Ta có: xdx ydy  0  x  y2 xdx  x2 xdx  ydy  y2  0. ydy   x    y2  C  VD 4. Giải ptvp x (y  1)dx  (x  1)(y  1)dy  . x2 y 1 Giải. pt  dx  dy  y 1 x 1  d(x  1)      1  dy  C  y    x 1  ln x   y  ln y   C x3 1  ln  3C  3y  x   C (y  1)6 e3y . (y  1)6 d(1  x )  d(1  y )  2C 1x  y2  ln(1  x )  ln(1  y )  2C  ln (1  x )(1  y )  ln C .   Vậy (1  x )(1  y )  C . VD 3. Giải phương trình vi phân y   xy(y  2). dy Giải. y   xy(y  2)   xy(y  2) dx 1 dy    xdx     dy   2xdx  y y   y(y  2) Ø Chương 8. Phương trình vi phân y y  ln  x2 C   C .e x . y2 y2  Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 5. Giải ptvp xy   y  y thỏa điều kiện y(1)  dy  y  y2 dx  dy dx 1       dy   x  y  y  y y Giải. xy   y  y  x  . dx x y 1 y 1  ln x  C  ln  ln Cx y y  y   Cxy (*).  ln Thay x  1, y  vào (*) ta y   xy . 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp b) Phương trình vi phân đẳng cấp a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến f (x , y ) gọi đẳng cấp bậc n • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp có dạng: y   f (x , y ) (2). với k  f (kx , ky )  k n f (x , y ). Trong đó, f (x, y ) hàm số đẳng cấp bậc 0. Phương pháp giải Chẳng hạn, hàm số: y  Bước 1. Biến đổi (2)  y     .  x  y Bước 2. Đặt u   y   u  xu  . x du dx Bước 3. (2)  u  xu   (u )   (u )  u x (u )  u   x  (đây ptvp có biến phân ly). x y f (x , y )  đẳng cấp bậc 0, 2x  3y 4x  3xy đẳng cấp bậc 1, 5x  y f (x , y )  3x  2xy đẳng cấp bậc 2. f (x , y )  Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân x  xy  y . xy y y      2 x  x  x  xy  y  y  . Giải. y   xy y x y Đặt u   y   u  xu  . x  u  u2 du  u pt  u  xu   x  u dx u   udu dx  dx      1  C  du   u 1 x u   x  VD 6. Giải phương trình vi phân y   Ø Chương 8. Phương trình vi phân  arctgu  ln(1  u )  ln x  C  ln x x  y2 x2  arctg y  C (*). x Thay x  1, y  vào (*) ta C  . Vậy x x  y2 x2 e arctg y x. y y    u  ln x (u  1)  C  x   1  C .e x .  x  Vậy y  x  C .e  y x . VD 7. Giải phương trình vi phân y   với điều kiện đầu y(1)  . x y x y x y 1u y  u  xu   , u x y 1u x   du  u u dx x     du  2   dx 1u x 1  u 1u  Giải. y   Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) đạo hàm riêng chúng liên tục miền mở D , thỏa điều kiện Qx/  Py/ , (x , y )  D . Nếu tồn hàm u(x , y ) cho du(x , y )  P (x , y )dx  Q(x , y )dy phương trình vi phân có dạng: P(x , y )dx  Q(x , y )dy  (3) gọi phương trình vi phân toàn phần. • Nghiệm tổng quát (3) u(x , y )  C . Nhận xét ux/ (x, y )  P(x, y ), uy/ (x , y )  Q(x , y ). 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có ux/  P (3a) uy/  Q (3b). Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: u(x, y )   P(x, y )dx  (x , y )  C (y ) (3c). Trong đó, C (y ) hàm theo biến y . Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: uy/  y/  C (y ) (3d). Bước 4. So sánh (3b) (3d) ta tìm C (y ). Thay C (y ) vào (3c) ta u(x, y ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân (a )  u   (3y  2xy  2x )dx Giải   P  3y  2xy  2x P /  6y  2x y 1)    đpcm.  /   Q  x  6xy  Qx  2x  6y        u /  3y  2xy  2x (a ) x 2) Ta có:   /   x  6xy  (b) u    y Ø Chương 8. Phương trình vi phân (a )  u   3xy  x 2y  x  C (y )  uy/  6xy  x  C (y ) Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 8. Cho phương trình vi phân: (3y  2xy  2x )dx  (x  6xy  3)dy  (*). 1) Chứng tỏ (*) phương trình vi phân toàn phần. 2) Giải phương trình (*).  uy/  x  C (y ) (c). So sánh (b) (c), ta được: C (y )   C (y )  3y . Vậy (*) có nghiệm 3xy  x 2y  x  3y  C . VD 9. Giải ptvp (x  y  1)dx  (e y  x )dy  . x2  xy  x  C (y ) (c).  (x  y  1)dx  So sánh (b) (c), ta được: C (y )  ey  C (y )  ey . Vậy phương trình có nghiệm x2  xy  x  e y  C .  / u  x  y  (a ) Giải. Ta có:  x/ u  e y  x (b )   y Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp • Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng: y   p(x )y  q(x ) (4). • Khi q(x )  (4) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất. Phương pháp giải (phương pháp biến thiên số Lagrange)  p(x )dx Bước 1. Tìm biểu thức A(x )  e  . Bước 2. Tìm biểu thức B(x )   q(x ).e  p(x )dxdx . Bước 3. Nghiệm tổng quát y  A(x ) B(x )  C  .   Ø Chương 8. Phương trình vi phân p(x )dx q(x ) Nhận xét. B(x )   q(x ).e  dx   dx . A(x ) Chú ý • Khi tính tích phân trên, ta chọn số 0. • Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm  p(x )dx . tổng quát (4) dạng: y  C (x )e VD 10. Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm y nghiệm tổng quát y    4x ln x dạng: x C (x ) C (x ) A. y  ; B. y  ; x x3 C (x ) C (x ) C. y  ; D. y   . x x 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân  p(x )dx Giải. y  C (x )e   C (x )e 2  dx x  Ø Chương 8. Phương trình vi phân C (x ) x  A. VD 11. Giải phương trình vi phân y   x 2y   e . thỏa điều kiện y x 3 Giải. Ta có: p(x )  x , q(x )  . A(x )  e B(x )  y x3  Ce  p(x )dx   e x 2dx x3 e p(x )dx q(x ).e  dx  x3 Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng y  e . VD 12. Giải phương trình y   y cos x  e  sin x . Giải. Ta có: p(x )  cos x , q(x )  e  sin x .  cos xdx A(x )  e   e  sin x . cos xdx B(x )   e sin x .e  dx  x . . Vậy y  e  sin x (x  C ). nghiệm tổng quát phương trình. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: y   p(x )y  q(x )y  (5). Bước 2. Đặt z  y 1  z   (1   )y y  , ta được: (5)  z   (1   )p(x )z  (1   )q(x ) (đây phương trình tuyến tính cấp 1). • Khi     (5) tuyến tính cấp 1. • Khi p(x )  q(x )  (5) pt có biến phân ly. VD 13. Giải phương trình vi phân y   Phương pháp giải (với α khác 1) Bước 1. Với y  , ta chia hai vế cho y  : y y (5)   p(x )  q(x ) y y  y y   p(x )y1  q(x ). với điều kiện đầu x  1, y  . y Giải. Ta có: y    xy  y y 2  .y 1  x . x x Đặt z  y 1  z   y y 2 , ta được: 1 pt  z   .z  x  z   .z  x . x x Ø Chương 8. Phương trình vi phân A(x )  e  dx x  x , B(x )   x .e  z  x (x  C )   dx x dx y  xy x Ø Chương 8. Phương trình vi phân  x  x  Cx . y  6xdx A(x )  e   e 3x , B(x )   3x .e   Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm x 2y  2xy   . VD 14. Giải phương trình vi phân y   2xy  x 3y . Giải. y   2xy  x 3y  y y 4  2xy 3  x . Đặt z  y 3  z   3y y 4 . pt   z   2xz  x  z   6xz  3x . Vậy dx   3x 3e 3x dx 1 3x 2e 3x d(3x )   e 3x (3x  1) .  6   e 3x y 6xdx  3x  e (3x  1)  C  .   10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2.1.1. Phương trình khuyết y y’ • Phương trình vi phân khuyết y y  có dạng: y   f (x ) (1). Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: y   f (x )  y    f (x )dx  (x )  C y   (x )dx  C1x  (x )  C1x  C . VD 1. Giải phương trình vi phân y   x . Ø Chương 2. Phương trình vi phân Thay x  0, y(0)   vào (b) ta C  2 . Vậy phương trình có nghiệm riêng y  e 2x  x  . 2.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: y   f (x , y ) (2). Phương pháp giải • Đặt z  y  đưa (2) phương trình tuyến tính cấp 1. VD 3. Giải phương trình vi phân y   x  y . x Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z  y  ta có: pt  z   z  x (x  1). x 1 A(x )  e B(x )   dx x 1  x  1,  x(x  1)e  dx x 1dx 1   y   (x  1)  x  C .   y (2)  1  y    x Ø Chương 8. Phương trình vi phân x3  C1 x    C dx  y  x  C x  C .  1  12   Giải. y   x  y   y    x dx  VD 2. Giải ptvp y   e 2x với y(0)   , y (0)  . Giải. y   e 2x  y   e 2x  C (a). Thay x  0, y (0)  vào (a) ta C  2x   y  e   y  e 2x  x  C (b). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z  y  ta có: y y   x   z   z  x . x x dx dx  1  A(x )  e x  , B(x )   xe x dx  x . x   C1 Suy z   x  C   y   x  . x  3 x  Vậy y  x  C ln x  C . y VD 4. Giải pt vi phân y    x (x  1)  x 1 với điều kiện y(2)  1, y (2)  1. Ø Chương 8. Phương trình vi phân y  x x 3x    3x  C . y(2)   y  x x 3x    3x  . x  x  3x  2 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dz 2zdz dy  z2    dy y z2  d(z  1) dy    ln(z  1)  ln Cy y z2  pt  2yz 2.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: y   f (y, y ) (3). Phương pháp giải • Đặt z  y  ta có:  z   Cy (*). dz dz dy dz y   z    . z . dx dy dx dy Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. Đạo hàm hai vế (*) theo x : 2zz   Cy   y   C  y   C 1x  C . Vậy y  C 1x  C 2x  C . VD 5. Giải phương trình vi phân 2yy   y   . Giải. Đặt z  y   y   z VD 6. Giải phương trình vi phân y   2y (1  2y )  với điều kiện y(0)  0, y (0)  . dz . dy Ø Chương 8. Phương trình vi phân dz Giải. Đặt z  y   y   z . dy dz pt  z  2z (1  2y )  dy  dz  2(2y  1)dy  z  2y  2y  C (a). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thay x  0, y  vào (b)  C  . Vậy phương trình có nghiệm (x  1)(2y  1)   . 1 vào (a)  C  2 2dy  y   2y  2y    (2y  1)2 dx 2dy   dx    x  C (b). 2y  (2y  1) Thay x  0, y  0, y   Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Trường hợp Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1  e kx , y2  xekx 2.2. Phương trình vi phân cấp tuyến tính với hệ số 2.2.1. Phương trình • Phương trình có dạng: y   a1y   a2y  0, a1, a2  ¡  (4). kx kx nghiệm tổng quát y  C 1e  C 2xe . Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng (4): k  a1k  a2  (5). Ø Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2 . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1  e nghiệm tổng quát y  C 1e k1x k1x  C 2e , y2  e k2 x . k 2x Ø Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k    i . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: y1  e x cos x , y2  e x sin x nghiệm tổng quát là: y  e x C cos x  C sin x  . 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân y   2y   3y  . Giải. Phương trình đặc trưng: k  2k    k1  1, k2  3 . Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1  e x , y  e 3x nghiệm tổng quát y  C 1e x  C 2e3x . VD 8. Giải phương trình vi phân y   6y   9y  . Giải. Phương trình đặc trưng: k  6k    k  (nghiệm kép). Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân y   2y   7y  . Giải. Phương trình đặc trưng k  2k   có:   6  6i  k1,2  1  i    1,   . Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1  e x cos x , y2  ex sin x nghiệm tổng quát:   y  e x C cos x  C sin x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2.2.2. Phương trình không • Phương trình không có dạng: y   a1y   a2y  f (x ), a1, a2  ¡  (6). a) Phương pháp giải tổng quát • Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) (6) có nghiệm tổng quát y  C 1(x )y1(x )  C (x )y2 (x ). • Để tìm C 1(x ) C (x ), ta giải hệ Wronsky:   C 1(x )y1(x )  C 2(x )y2 (x )     C (x )y1(x )  C 2(x )y2 (x )  f (x ).   Ø Chương 8. Phương trình vi phân Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1  e 3x , y2  xe 3x nghiệm tổng quát y  C 1e 3x  C 2xe 3x . VD 9. Giải phương trình vi phân y   16y  . Giải. Phương trình đặc trưng: k  16   k  16i  k1,2  4i    0,   . Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1  cos 4x , y2  sin 4x nghiệm tổng quát y  C cos 4x  C sin 4x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 11. Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y   y   y  . Giải. Phương trình đặc trưng k  k   có: 1i   3  3i  k1,2   ,  . 2 Vậy phương trình cho có nghiệm tổng quát: x  3   y  e C cos x  C sin x . 2   Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân y   y  (a). cos x Giải. Xét phương trình y   y  (b) ta có: k    k  i    0,    y1  cos x , y2  sin x nghiệm riêng (b). Nghiệm tổng quát (a) có dạng: y  C 1(x ).cos x  C (x ).sin x . Ta có hệ Wronsky:  cos x .C (x )  sin x .C  (x )       sin x .C (x )  cos x .C  (x )  1  cos x  10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân  sin x cos x .C (x )  sin2 x .C  (x )     sin x cos x .C (x )  cos2 x .C  (x )  1   C (x )  ln cos x  C C (x )   sin x  1   cos x   C  (x )  C (x )  x  C .   Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: y  ln cos x  C cos x  x  C  sin x .   Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Ø Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát phương trình không (6) tổng nghiệm tổng quát phương trình (4) với nghiệm riêng (6). VD 13. Cho phương trình vi phân: y   2y   2y  (2  x )e x (*). 1) Chứng tỏ (*) có nghiệm riêng y  x 2e x . 2) Tìm nghiệm tổng quát (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải 1) VT (*)  (x  4x  2)e x  2(2x  x )e x  2x 2e x VD 14. Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y   y   sin 2x  cos 2x , biết nghiệm riêng y   cos 2x . 2) Xét phương trình y   2y   2y  (**): Giải. Phương trình y   y   có: k  k   k1  0, k2  1  (2  x )e x  VP(*)  đpcm. k  2k    k1,2   i . Suy (**) có nghiệm tổng quát: y  e x (C cos x  C sin x ). Vậy (*) có nghiệm tổng quát là: y  x 2e x  e x (C cos x  C sin x ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình vi phân: y   a1y   a2y  f1(x )  f2 (x ) (7). Nếu y1(x ) y2 (x ) nghiệm riêng y   a1y   a2y  f1(x ), y   a1y   a2y  f2 (x ) nghiệm riêng (7) là: y  y1(x )  y2 (x ).  y   y   có nghiệm tổng quát y  C  C 2e x . Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: y  C  C 2ex  cos 2x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 15. Tìm nghiệm tổng quát y   y   cos2 x (*). Cho biết y   y   y   y   cos 2x có nghiệm riêng y1  x , y2   cos 2x  sin 2x . 10 10 Giải. Ta có: y   y   cos2 x  y   y    cos 2x . Suy (*) có nghiệm riêng là: y  x  cos 2x  sin 2x . 10 10 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Mặt khác, phương trình y   y   có nghiệm tổng quát y  C  C 2e x . Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: y  C  C 2e x  x  cos 2x  sin 2x . 10 10 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Xét phương trình y   a1y   a2y  f (x ) (6) y   a1y   a2y  (4). • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) (Pn (x ) đa thức bậc n ). Bước 1. Nghiệm riêng (6) có dạng: y  x me xQn (x ) (Qn (x ) đa thức đầy đủ bậc n ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Xác định m : 1) Nếu  không nghiệm phương trình đặc trưng (4) m  . 2) Nếu  nghiệm đơn phương trình đặc trưng (4) m  1. 3) Nếu  nghiệm kép phương trình đặc trưng (4) m  . Bước 3. Thế y  x m .e xQn (x ) vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng cần tìm. Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 16. Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân: y   2y   3y  e 3x (x  1). Giải. Ta có f (x )  e 3x (x  1),   3, P2 (x )  x  1. Suy nghiệm riêng có dạng: y  x me 3x (Ax  Bx  C ) . Do   nghiệm đơn phương trình đặc trưng k  2k   nên m  1. Suy nghiệm riêng có dạng y  xe 3x (Ax  Bx  C ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thế y  xe (Ax  Bx  C ) vào phương trình cho, đồng thức ta được: 1 A , B  ,C  . 12 16 32 VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y   2y   y  xe x  2e x . 3x 1 9 Vậy nghiệm riêng y  xe 3x  x  x  . 12 16 32  Giải. Xét phương trình y   2y   y  xe x (1). Ta có f (x )  xe x ,   1, P1(x )  x . Dạng nghiệm riêng (1) y1  x me x (Ax  B ). Do   không nghiệm phương trình đặc trưng k  2k   nên m   y1  e x (Ax  B ). 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Xét phương trình y   2y   y  2e x (2). Ta có f (x )  2e x ,   1, P0 (x )  . Nghiệm riêng (2) có dạng y  Cx me x . Do   1 nghiệm kép phương trình đặc trưng k  2k   nên m   y2  Cx 2e x . Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy nghiệm riêng phương trình cho có dạng: y  y1  y2  e x (Ax  B )  Cx 2e x . 10 . 32 11 (2)133 22 yyxxx   ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân 432 2 3 3 86 2 xxx yxC . 432 31 (2)13 86 23 xxx yyx  . 10/13/2012 6 ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi. 2 21 21 (21) dy dxxC y y    (b). ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân Thay 0,0 xy  vào (b) 1 C  . Vậy phương trình có nghiệm (1)(21)10 xy  . ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi. /2 /2 322() 63() x y uyxyxa uxxyb            VD 8. Cho phương trình vi phân: 22 (322)(63)0 yxyxdxxxydy  (*). 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2 ) Giải p hương trình (*). ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi