Bài giảng toán cao cấp chương 4 ths nguyễn phương

Tích phân suy rộng loại 1Tích phân suy rộng loại 2 4 Ứng dụng trong kinh tế Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định... Phương pháp tích p

Chương 4:

TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 11 tháng 2 năm 2014

Tích phân suy rộng loại 1

Tích phân suy rộng loại 2

4 Ứng dụng trong kinh tế

Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên

Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định

Zf(x)dx

x2+ a2 =1

aarctan

x

a + C10) R dx

a2− x2 = 1

2aln

a + x

a − x

+ C

11) R √ dx

a2− x2 = arc sinx

a+ C12) R √dx

Phương pháp đổi biến

Nếu

Zf(x)dx = F(x) + C

thì

Zf(φ(t))φ0

(t)dt = F(φ(t)) + Cvớiφ(t) là một hàm khả vi và liên tục

Ví dụ

Tính tích phân sau

Z

dxx

√

3 − ln2x

Giải Đặt u = ln x =⇒ du = 1

xdx, ta cóZ

Ví dụ

Tính tích phân sau

Zdxcos xGiải Ta có

Zdxcos x =

Zcos xdxcos2x =

Zcos xdx

1 − sin2xĐặt u = sin x =⇒ du = cos xdx

Z

dx

cos x =

Zdu

2ln

1 + sin x

1 − sin x

+ C

= 1

2ln

tan

x

2 +

π4



+ C

u = x3+ 3 =⇒ du = 3x2dx ⇐⇒ du = 3x

3

x dx ⇐⇒

du3u(u − 3) =

dxx(x3+ 3) =?

Ta có,

Zdxx(x3+ 3) =

Zdu3(u − 3)u =

13

Zduu(u − 3)

Một vài ví dụ về phép biến đổi

1) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

√

a2− x2, a > 0 thì ta sử dụngbiến đổi x = a sin t với t ∈



− π

2,π2



2) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

√

x2− a2, a > 0 thì ta sử dụngbiến đổi x = a

cos t với t ∈



0,π2



3) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

√

a2+ x2, a > 0 thì ta sử dụngbiến đổi x = a tan t với t ∈



− π

2,π2



4) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng R(ex, e2x, , enx) thì ta có thể

sử dụng biến đổi t = ex với R là hàm hữu tỉ

Phương pháp tích phân từng phần

Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm trên (a, b) Khi ấyhàm u0(x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và

Zu(x)dv(x) = u(x)v(x) −

Zv(x)du(x)

thường viết gọn là

Zudv = uv −

Zvdu







dx

eaxcos bx, eaxsin bx, sin(ln x), cos(ln x), sau 2 lần lấy tích phân từng phần, ta lại có tích phân ban đầu với 1 hệ số nàođó.

Phương pháp tính tích phân các phân thức tối giản

ZAdx

x − a ;

ZAdx(x − a)m ;

R dx

x 2 +a 2 = 1aarctanxa+ C

Tích phân phân thức hữu tỉ

Định nghĩa

Phân thức hữu tỉ Pn(x)

Qm(x) với n< m được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự

Phương pháp tính tích phân các phân thức hữu tỉ

Giả sử Qm(x) có thể khai triển thành tích các thừa số bậc 1 và bậc 2

Qm(x) = a0(x − a)k (x2+ px + q)r

Ta công nhận điều sau : Phân thức hữu tỉ thực sự Pn(x)

Qm(x) khai triển đượcthành tổng của phân thức tối giản

(x − a)k + + M1x + N1

x2+ px + q+ M2x + N2

(x2+ px + q)2 + + Msx + Ns

(x2+ px + q)s+ (1)

Phương pháp tính tích phân hàm lượng giác

ZR(cosx, sinx)dx

Đặt t = tanx

2 =⇒ x = 2arc tan t; dx =

2dt

1 + t2 vàcos x = 1 − t

2

1 + t2; sin x = 2t

1 + t2

từ đây ta đưa tích phân trên về tích phân hàm hữu tỉ

Trong một số trường hợp riêng, ta có thể tìm ra nột phép thế thích hợp

1 Nếu R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = sin x

2 Nếu R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = cos x

3 Nếu R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = tan x

4 NếuR sinqx cospxdx, đặt t = sin x hoặc t = cos x

Ví dụ

Tìm diện tích miền phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f(x) = x2, trụchoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 1

Hình :

Chia S thành 4 miền

Hình :

17

Hình : Hình :

Cho hàm số f xác định trên [a, b] và phân hoạch của đoạn [a, b] với các điểm

x0= a< x1< x2< < xn−1< xn= bTrên mỗi miền con S1, S2, S3, , Snlấy tùy ý 1 điểm (tương ứng là

i, thì I được gọi làtích phân xác địnhcủa hàm y = f(x) trên đoạn[a; b].

f(x)dx

R

: dấu tích phân , a : cận dưới, b : cận trên, f(x) : biểu thức dưới dấu tíchphân

5) ∀c ∈ [a; b],Rb

a f(x)dx =Rc

a f(x)dx +Rb

c f(x)dx6) Nếu f(x) ≥ 0 với a ≤ x ≤ b thìRabf(x) ≥ 0

7) Nếu f(x) ≥ g(x) với a ≤ x ≤ b thìRb

a f(x) ≥Rb

a g(x)dx

f(x) ≤ M(b − a)

9) Nếu f(x) lẻ (tức f(-x) = -f(x)) thìRa

−af(x)dx = 010) Nếu f(x) chẳn (tức f(-x) = f(x)) thìRa

−af(x)dx = 2R0af(x)dx11) Nếu f(x) tuần hoàn chu kỳ T (tức f(x + T) = f(x)) thì

Z a+T a

f(x)dx =

Z T 0

f(x)dx

Định nghĩa (Công thức Newton - Leibnitz)

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì

Z b a

f(x)dx = F(x)|ba = F(b) − F(a)

với F(x) là nguyên hàm của f(x) hay F0(x) = f(x)

Định lý (Công thức đạo hàm theo cận trên)

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì với mọi nguyên hàm F(x)

Phương pháp tính tích phân đổi biến

Nếu

Z b a

f(x)dx = F(x)

b

a+ Cthì

Z b a

u(x)dv(x) = u(x)v(x)

b a

−

Z b a

v(x)du(x)

thường viết gọn làRabudv = uv

...

 x 1

Định lý

Tích phânR+∞

a...

x + 1) hội tụ.

41

Ví dụ

Chứng minh tích phân sau... vìR0+∞g(x)dxphân kỳ)

x + 1Giải Ta có

Z +∞

0