Bài giảng toán cao cấp chương 4 ths nguyễn phương

Chương 4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng năm 2014 1 Tích phân bất định Định nghĩa Công thức tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần Tích phân xác định Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại Ứng dụng kinh tế Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên Tìm đại lượng kinh tế tích phân xác định Tích phân bất định Định nghĩa Định nghĩa Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm y = f(x) khoảng (a, b) F (x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) Định lý Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) Hàm Φ(x) nguyên hàm f(x) Φ(x) = F(x) + C, C số Định nghĩa Cho hàm số F(x) nguyên hàm f(x) (a, b) Khi biểu thức F(x) + C với C số gọi tích phân bất định hàm f(x) khoảng (a, b) ký hiệu f(x)dx Tích phân bất định Định nghĩa Tính chất f (x)dx = f(x) + C d 2) f(x)dx = f(x) dx 3) af(x)dx = a f(x)dx 1) 4) [f(x) ± g(x)]dx = 5) Nếu f(x)dx ± f(x)dx = F(x) + C g(x)dx f(u)du = F(u) + C, ∀u = u(x) Tích phân bất định 1) xα dx = Công thức tích phân bất định xα+1 +C α+1 8) dx = − cot x + C sin2 x dx x = arctan + C 2 x +a a a a+x dx +C ln = a2 − x2 2a a−x dx x = arc sin + C √ 2 a a −x √ dx = ln x + x2 + a + C √ x2 + a 4) dx = ln |x| + C x ax +C ax dx = ln a ex dx = ex + C 5) sin xdx = − cos x + C 6) cos xdx = sin x + C 12) dx = tan x + C cos2 x √ √ x√ a x2 + adx = x + a + ln x + x2 + a + C 2 √ √ x a2 x a2 − x2 dx = a2 − x2 + arcsin + C 2 a 2) 3) 7) 13) 14) 9) 10) 11) Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến Nếu f(x)dx = F(x) + C f(φ(t))φ (t)dt = F(φ(t)) + C với φ(t) hàm khả vi liên tục Ví dụ Tính tích phân sau √ dx x − ln2 x Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Giải Đặt u = ln x =⇒ du = dx, ta có x dx du u ln x = = arc sin √ + C = arc sin √ + C √ √ 3 − u2 x − ln2 x Ví dụ Tính tích phân sau dx cos x Giải Ta có dx = cos x cos xdx = cos2 x cos xdx − sin2 x Đặt u = sin x =⇒ du = cos xdx dx = cos x du 1+u 1 + sin x + C = ln +C = ln 1−u 1−u − sin x x π = ln tan + +C 2 Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Ví dụ Tính tích phân sau ex √ e2x + Giải Đặt u = ex =⇒ du = ex dx, ta có √ ex e2x + dx = du = ln |u + √ u2 + u2 + 5| + C = ln |ex + e2x + 5| + C Ví dụ Tính tích phân sau dx x(x3 + 3) Giải Đặt u = x3 + =⇒ du = 3x2 dx ⇐⇒ du = 3x3 du dx dx ⇐⇒ = =? x 3u(u − 3) x(x3 + 3) Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Ta có, dx = x(x3 + 3) Một vài ví dụ phép biến đổi du = 3(u − 3)u du u(u − 3) √ 1) Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng a2 − x2 , a > ta sử dụng π π biến đổi x = a sin t với t ∈ − , 2 √ 2) Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng x2 − a2 , a > ta sử dụng a π biến đổi x = với t ∈ 0, cos t √ 3) Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng a2 + x2 , a > ta sử dụng π π biến đổi x = a tan t với t ∈ − , 2 4) Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng R(ex , e2x , , enx ) ta sử dụng biến đổi t = ex với R hàm hữu tỉ Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân phần Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục có nguyên hàm (a, b) Khi hàm u (x)v(x) có nguyên hàm (a, b) u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x) thường viết gọn udv = uv − vdu Các dạng tính tích phân thường gặp Dạng Nếu tích phân có dạng    eax        sin(ax)  Pn (x)   dx    cos(ax)      eax        sin(ax) với Pn (x) đa thức cấp n ta đặt u = Pn (x) dv =    dx     cos(ax)  Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân sau +∞ dx √ (3x + 1) x + Giải Ta có +∞ dx = √ (3x + 1) x + 1 dx + √ (3x + 1) x + +∞ dx √ (3x + 1) x + dx tích phân xác định nên hội tụ √ (3x + 1) x + 1 f(x) = ≈ 3/2 , x → +∞ √ (3x + 1) x + 3x Chọn g(x) = 3/2 Khi đó, 3x f(x) lim = , hữu hạn, khác x→+∞ g(x) Do Vì tích phân +∞ g(x)dx hội tụ nên +∞ f(x)dx hội tụ Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Ví dụ Chứng minh tích phân sau hội tụ tính +∞ √ dx √ x + x2 Giải a) Ta có f(x) = 1 ≈ , x → +∞ √ x x 1+x hội tụ nên tích phân hội tụ x2 √ x b) Đặt t = + x2 =⇒ dt = √ dx, t2 − = x2 Ta có, + x2 Do +∞ √ +∞ √ √ +∞ dx x 1+ x2 = √ xdx = √ x + x2 +∞ dx dt t2 − +∞ = ln t−1 t+1 = ln − ln = ln 3 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Ví dụ Chứng minh tích phân sau phân kỳ +∞ ex dx x tính x lim x→+∞ et dt t ex Giải a) Ta có Vớix > 1, ex ≥ x =⇒ f(x) = Do +∞ ex > = g(x) x x g(x)dx phân kỳ nên tích phân phân kỳ ∞ b) Dùng quy tắc L’Hospital cho dạng vô định , ta có ∞ t x e dt t ex lim = lim =0 x→+∞ x→+∞ xex (ex ) Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Định lý Tích phân +∞ a f(x)dx gọi hội tụ tuyệt đối tích phân hội tụ gọi hội tụ điều kiện tích phân phân +∞ a +∞ a +∞ a |f(x)|dx f(x)dx hội tụ mà tích |f(x)|dx phân kỳ Lưu ý: Nếu f(x) có dấu tùy ý để khảo sát hội tụ sát hội tụ hàm không âm chuẩn so sánh +∞ a Khảo sát hội tụ tích phân sau f(x)dx khảo |f(x)|dx để sử dụng tiêu Ví dụ +∞ +∞ a sin xdx x2 + ln 2x Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại sin x hàm số có dấu tùy ý [1, +∞) nên x2 + ln 2x không áp dụng Tiêu chuẩn hội tụ 1, trường hợp 1 sin x Xét |f(x)| = = g(x) x → +∞ ≤ ≈ x + ln 2x x + ln 2x x2 Lấy tích phân vế, ta Giải Ta thấy f(x) = +∞ +∞ |f(x)|dx ≤ Do +∞ 1 dx hội tụ nên x2 +∞ 1 dx x2 |f(x)|dx hội tụ tuyệt đối Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân sau +∞ sin x dx x Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Giải Áp dụng công thức tích phân phần, ta có +∞ +∞ +∞ cos x sin x dx = − x x − 1 cos x dx = − cos − I x2 cos x +∞ cos x Tích phân I = dx hội tụ ≤ hội tụ x2 x2 x +∞ sin x Khi đó, dx hội tụ x Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân sau +∞ sin x dx x Giải Xét tích phân hàm số không âm sau +∞ sin x dx x 46 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Ta có, sin2 x sin x ≥ x x Lấy tích phân vế +∞ sin x dx ≥ x +∞ sin2 x dx = x +∞ +∞ dx − 2x cos 2x dx = I − J 2x = 1 +∞ 1 − cos 2x dx 2x Nhận xét I phân kỳ J hội tụ Tích phân cho hội tụ, không hội tụ tuyệt đối 47 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Định nghĩa Điểm x0 gọi điểm kỳ dị y = f(x) lim = ∞ x→x0 Giả sử đoạn [a.b] hàm y = f(x) có điểm kỳ dị x0 = b Hình : 48 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại b a t f(x)dx = lim− t→b f(x)dx a Khi đó, ta gọi tích phân Tích phân suy rộng loại f(x) [a, b] Giả sử đoạn [a.b] hàm y = f(x) có điểm kỳ dị x0 = a b a b f(x)dx = lim+ t→a Hình : 49 f(x)dx t Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Khi đó, ta gọi tích phân Tích phân suy rộng loại f(x) [a, b] b a b f(x)dx = lim+ t→a f(x)dx t Giả sử đoạn [a.b] hàm y = f(x) có điểm kỳ dị x0 = c ∈ [a, b] b c f(x)dx = a b f(x)dx + a f(x)dx c c = lim− t→c a b f(x)dx + lim+ t→c f(x)dx t Khi đó, ta gọi tích phân Tích phân suy rộng loại f(x) [a, b] 50 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Tích phân vế trái hội tụ hai tích phân vế phải hội tụ Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 1) Nếu x0 = b điểm kỳ dị nhất, f(x), g(x) hàm không âm khả tích [a, b) f(x) ≤ g(x), ∀x ≥ a Khi 1) Nếu 2) Nếu b a b a g(x)dx hội tụ b a f(x)dx phân kỳ f(x)dx hội tụ b a g(x)dx phân kỳ Tương tự cho x0 = a điểm kỳ dị Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2) Nếu x0 = b điểm kỳ dị nhất, f(x), g(x) hàm không âm khả tích f(x) [a, b) lim− = K Khi x→b g(x) 1) K = 2) K b a g(x)dx hội tụ 0, hữu hạn 3) K = +∞ b a b a f(x)dx, b a b a f(x)dx hội tụ f(x)dx hội tụ g(x)dx hội tụ phân kỳ b a g(x)dx hội tụ Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Tương tự cho x0 = a điểm kỳ dị (Dùng để khảo sát hội tụ tích phân suy rộng) b a dx = (x − a)α phân kỳ hội tụ α>1 α≤1 (Dùng để khảo sát hội tụ tích phân suy rộng) b a dx = (b − x)α phân kỳ hội tụ Lưu ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một! 52 α>1 α≤1 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân sau √ dx x2 − Giải Ta có f(x) = √ = x2 − dx , x → 1+ ≈ √ 2(x − 1)1/2 (x − 1)(x + 1) Chọn g(x) = √ 2(x − 1)1/2 f(x) Khi đó, lim+ = √ Vì lim+ g(x)dx hội tụ nên lim+ f(x)dx hội tụ x→1 g(x) x→1 x→1 53 Ứng dụng kinh tế Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên Nếu MF(x) hàm cận biên hàm F(x)thì F(x) = MF(x)dx Ví dụ Nếu doanh thu biên theo sản lượng loại sản phẩm dR MR = dQ = 10000 − Q2 Tìm hàm cầu loại sản phẩm Giải Ví dụ Cho lợi nhuận biên theo sản lượng Mπ = −5Q + 500 bán 50 sản phẩm bị lỗ 13.500 đơn vị tiền Tìm hàm lợi nhuận π(Q) 54 Ứng dụng kinh tế Tìm đại lượng kinh tế tích phân xác định Phân tích lợi nhuận Lợi nhuận biên sản phẩm dπ dx = −0, 0005x + 12, a) Tìm thay đổi lợi nhuận sản lượng tăng từ 100 lên 101 đơn vị? b) Tìm thay đổi lợi nhuận sản lượng tăng từ 100 lên 110 đơn vị? Chi phí trung bình Trong kỳ kinh doanh năm, chi phí sản xuất đơn vị sản phầm cho bởi: C(t) = 0, 005t2 + 0, 01t + 13, 15; ≤ t ≤ 24 Tìm chi phí trung bình để sản xuất đơn vị sản phẩm kỳ kinh doanh 55 [...]... định Các phương pháp tính tích phân Để tìm A1 , A2 , , M1 , N1 , có 2 phương pháp 1 2 Phương pháp 1 (hệ số bất định) Quy đồng mẫu số (1), sau đó cân bằng lũy thừa theo biến x, dẫn đến hệ phương trình tìm A1 , A2 , , M1 , N1 , Phương pháp 2 Có thể tìm A1 , A2 , , M1 , N1 , khi thay thế x trong (1), bằng một cách chọn phù hợp Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp... với 1 hệ số nào đó Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tính tích phân các phân thức tối giản Adx x−a dx x−a = dx (x−a)m ; ln |x − a| + C 1 (x−a)1 m−1 + C = − m−1 x−a dx 1 x2 −a2 = 2a ln x+a + C x−x2 dx 1 (x−x1 )(x−x2 ) = x2 −x1 ln x−x1 dx x2 +a2 Adx (x − a)m = 1 a +C arctan xa + C 12 ; Mx + N x2 + px + q Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Tích phân phân thức... ta có x2 lim x→0+ 0 sin x3 x2 √ tdt = lim+ 0 sin √ tdt (x3 ) 2 sin x 2 = lim+ = x→0 3x 3 x→0 24 √ 2x sin x2 = lim+ x→0 (3x2 Tích phân xác định Phương pháp tính tích phân đổi biến Nếu b b f(x)dx = F(x) + C a a thì b α f(ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t)) + C β a với ϕ(t) là một hàm khả vi và liên tục và ϕ(a) = α, ϕ(b) = β Phương pháp tính tích phân từng phần Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm... −R(cos x, sin x), đặt t = cos x 3 Nếu R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = tan x 4 Nếu sinq x cosp xdx, đặt t = sin x hoặc t = cos x Tích phân xác định Ví dụ Tìm diện tích miền phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f(x) = x2 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 1 Hình : 16 Tích phân xác định Chia S thành 4 miền Hình : Tích phân xác định Hình : Hình : 18 Tích phân xác định Cho hàm số f xác định...Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân     ln(ax)       arcsin(ax) Dạng 2 Nếu tích phân có dạng Pn (x)   dx      arc cot(ax)     ln(ax)        arcsin(ax) với Pn (x) là đa thức cấp n thì ta đặt u =     và dv = Pn (x)dx   arctan(ax)   Dạng 3 Gồm những tích phân mà dưới dấu tích... lim  ∆xi →0 n i=1    f(x∗i )∆xi  b = f(x)dx a : dấu tích phân , a : cận dưới, b : cận trên, f(x) : biểu thức dưới dấu tích phân Tích phân xác định Tính chất Với f, g là hàm số liên tục 1) 2) 3) 4) b a b a b a b a cdx = c(b − a) với c là hằng số [f(x) + g(x)]dx = cf(x)dx = c b a 5) ∀c ∈ [a; b], a b f(x)dx + a g(x)dx f(x)dx với c là hằng số [f(x) − g(x)]dx = b b a b a f(x)dx = b f(x)dx − c a a... arctan xa + C 12 ; Mx + N x2 + px + q Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Tích phân phân thức hữu tỉ Định nghĩa Phân thức hữu tỉ Pn (x) với n < m được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự Qm (x) Phương pháp tính tích phân các phân thức hữu tỉ Giả sử Qm (x) có thể khai triển thành tích các thừa số bậc 1 và bậc 2 Qm (x) = a0 (x − a)k (x2 + px + q)r Ta công nhận điều sau : Phân thức hữu tỉ ... bất định Các phương pháp tính tích phân Để tìm A1 , A2 , , M1 , N1 , có phương pháp Phương pháp (hệ số bất định) Quy đồng mẫu số (1), sau cân lũy thừa theo biến x, dẫn đến hệ phương trình... √ √ x a2 x a2 − x2 dx = a2 − x2 + arcsin + C 2 a 2) 3) 7) 13) 14) 9) 10) 11) Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến Nếu f(x)dx = F(x) + C f(φ(t))φ (t)dt = F(φ(t))... t với t ∈ − , 2 4) Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng R(ex , e2x , , enx ) ta sử dụng biến đổi t = ex với R hàm hữu tỉ Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tích