Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 của GV. Ngô Quang Minh trang bị cho các bạn những kiến thức về phép tính vi phân hàm một biến số. Bài giảng này bao gồm những nội dung về đạo hàm, vi phân, các định lý cơ bản về hàm khả vi – cực trị; công thức Taylor; quy tắc L’Hospital.

10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý hàm khả vi – Cực trị §4. Công thức Taylor §5. Quy tắc……………………………………………………… L’Hospital §1. ĐẠO HÀM 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y  f (x ) xác định lân cận (a; b) x  (a; b ). Giới hạn: f (x  x )  f (x ) y lim  lim x  x x 0 x (nếu có) gọi đạo hàm y  f (x ) x . Ký hiệu f (x ) hay y (x ). Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số c) Đạo hàm vô y • Nếu tỉ số   x  ta nói y  f (x ) có x đạo hàm vô x . • Tương tự, ta có khái niệm đạo hàm vô phía. Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số Đạo hàm số hàm số sơ cấp 1 ; 3) sin x   cos x ; 5) tan x   cos2 x   tan2 x ; 2)  x   1x ; x  x0 . b) Đạo hàm phía Cho hàm số y  f (x ) xác định lân cận phải f (x )  f (x ) (nếu có) (x ; b) x . Giới hạn lim x  x0 x x 0 gọi đạo hàm bên phải y  f (x ) x . Ký hiệu f (x 0 ). Tương tự, f (x 0 ). Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm x f (x )  f (x 0 )  f (x 0 ). Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích thương hai hàm số: (u  v )  u   v  ; (uv )  u v  uv  ;  k   u  u v  uv     kv  , k  ¡ ;    .  v   v  v2 v2 3) Đạo hàm hàm số ngược y  y(x ): x (y )  .  y (x ) Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số 7) e x    e ; x 8) a x    x1 ; 10) loga x 9) ln x 4) cos x    sin x ; 6) cot x    x x f (x )  f (x ) f (x )  y (u ).u (x ) hay y (x )  y (u ).u (x ). Nếu f (x ) liên tục có đạo hàm vô x tiếp tuyến x đồ thị y  f (x ) song song với trục Oy .    .x f (x )  lim 2) Đạo hàm hàm số hợp f (x )  y[u(x )]: VD 1. Cho f (x )  x  f (0)  , f (x )  x  f (0 )   . Chú ý 1) x  Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số Nhận xét. Do x  x  x nên: sin2 x 11) arcsin x  = ; 13) arctan x      a .ln a ;  1x 1x x   x.ln1 a ; 1 ; 12)arccos x  = ; 1 14) arc cot x   .  x2 1 x2 ; 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số VD 4. Cho hàm số f (x )  sin x . Tính đạo hàm f (6)(0). 1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử f (x ) có đạo hàm f (x ) f (x ) có đạo hàm  f (x )  f (x ) đạo hàm cấp hai f (x ). • Tương tự ta có:  Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số A. f (6)(0)  32 ; C. f §2. VI PHÂN 2.1. Vi phân cấp Hàm số y  f (x ) gọi khả vi x  Df f (x )  f (x  x )  f (x ) biểu diễn f (x )  A.x  0(x ) dạng: với A số 0(x ) VCB x  . Khi đó, đại lượng A.x gọi vi phân hàm số y  f (x ) x . Ký hiệu df (x ) hay dy(x ). Nhận xét • f (x )  A.x  0(x ) f (x ) x  A 0(x ) x Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số VD 2. Tính vi phân cấp y  arctan(x  1). Vậy dy   (x  1) 2x  f (5)(x )  16 sin 2x  f (6)(x )  32 cos 2x . Vậy f (6)(0)  32  A . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số D. f (6)(0)  . (0)  16 ;  f (x )  4 sin 2x  f (4)(x )  8 cos 2x  (x  1) B. f (6)(0)  32 ; Giải. Ta có f (x )  sin 2x  f (x )  cos 2x  f (n )(x )  f (n1)(x ) đạo hàm cấp n f (x ). Giải. Ta có y   (6)  (x  1)2  dx . 2x  (x  1) . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số f (x )  0  x    A  f (x )  A . x  df (x )  f (x ).x hay df (x )  f (x ).x . • Chọn f (x )  x  df (x )  x  dx  x .  Vậy df (x )  f (x )dx hay dy  y dx . VD 1. Tính vi phân cấp f (x )  x 2e 3x x  1 . Giải. Ta có f (x )  (2x  3x )e 3x  f (1)  e 3 Vậy df (1)  e 3dx . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số VD 3. Tính vi phân cấp hàm số y  2ln(arcsin x ) . Giải. Ta có y   ln(arcsin x )  2ln(arcsin x ) ln   dy   x arcsin x 2ln(arcsin x ) ln  x arcsin x 2ln(arcsin x ) ln dx . 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số 2.2. Vi phân cấp cao Giả sử y  f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì: d ny  d (d n 1y )  y (n )dx n gọi vi phân cấp n hàm y  f (x ). VD 4. Tính vi phân cấp hàm số y  ln(sin x ). Giải. Ta có y   cos x  y    . sin x sin x Vậy d 2y   dx sin x . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số VD 5. Tính vi phân cấp n hàm số y  e 2x . Giải. Ta có y   2e 2x  y   22 e 2x  .  y (n )  2n e 2x  d ny  2n e 2x dx n . VD 6. Tính vi phân cấp f (x )  tan x x  Giải. Ta có f (x )   tan2 x  .   f (x )  tan x (1  tan2 x )  f     .      Vậy d f    4dx .   Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chú ý Khi x hàm số độc lập với y công thức d ny  y (n )dx n không nữa. …………………………………………………………… 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số f (x ) xác định (a ;b ) có đạo hàm x  (a; b). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn (hoặc bé nhất) x (a ;b ) f (x )  . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số f (x ) liên tục [a;b ] khả vi (a ;b ). Nếu f (a )  f (b ) c  (a;b) cho f (c )  . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số 3.1.3. Định lý Cauchy Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục [a;b ], khả vi (a;b) g (x )  0, x  (a;b). Khi đó, c  (a ;b ) cho: f (b)  f (a ) f (c)  . g(b)  g(a ) g (c) 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số f (x ) liên tục [a ;b ], khả vi (a ;b ). Khi đó, c  (a ;b ) cho: f (b)  f (a )  f (c). b a Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số §4. CÔNG THỨC TAYLOR 4.1. Công thức khai triển Taylor a) Khai triển Taylor với phần dư Peano Cho hàm f (x ) liên tục [a ; b ] có đạo hàm đến cấp n  (a ; b ) với x , x  (a; b) ta có: n f (x )   k 0 f (k )(x ) k! (x  x )k  O((x  x )n ). 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số b) Khai triển Maclaurin • Khai triển Taylor với phần dư Peano x  gọi khai triển Maclaurin. f (k )(0) k x  O(x n ). Vậy f (x )   k! k 0 n Giải. Ta có: f (0)  , f (x )   tan2 x  f (0)  1, f (x )  tan x  tan x  f (0)  , f (x )  2(1  tan2 x )  tan2 x (1  tan2 x )  f (0)  . • Khai triển Maclaurin viết lại: f (0) f (0) f (x )  f (0)  x x  . 1! 2! (n ) f (0) n .  x  O(x n ). n! Vậy f (0) f (0) f (0) tan x  f (0)+ x+ x + x +0(x ) 1! 2! 3!  x  x  0(x ). Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số Chú ý Nếu u(x ) VCB x  ta thay x 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ 1)   x  x  .  x n  0(x n ). 1x x x2 xn  .   0(x n ). 2) e x    1! 2! n! x x2 x3 x4 3) ln(1  x )      .  0(x n ). x2 x4 x6 4) cos x      .  0(x n ). 2! ! 6! x x3 x5 x7 5) sin x      .  0(x n ). 1! 3! 5! ! công thức u(x ). VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số y  Giải. y  (2x )2 (2x )3   0(x )  2x  2x  x  0(x ). đến x .  (3x )   3x  9x  27x  0(x ). Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số VD 3. Khai triển Maclaurin y  ln(1  2x ) đến x . Giải. y  ln[1  (2x )]  3x   (3x )  (3x )2  (3x )3  0(x ) Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số  (2x )  VD 1. Khai triển Maclaurin f (x )  tan x đến x . VD 4. Khai triển Maclaurin hàm số y  2x đến x . Giải. Biến đổi: x y  2x  e ln  e x ln . Vậy 2x  e x ln  1 x ln (x ln 2)2 (x ln 2)3 (x ln 2)4     0(x ) 1! 2! 3! 4!   x ln  ln2 2 ln 3 ln 4 x  x  x  0(x ). 24 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số VD 5. Cho hàm số f (x )  x cos 2x . Tính f (7) (0). §5. QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý (quy tắc L’Hospital) Giải. Ta có: (2x ) (2x ) (2x )    0(x ) 2! 4! 6! Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi lân cận điểm x g (x )  lân cận x (có thể g (x )  ). 4x 16x 64x    0(x ) 2! 4! 6! Nếu lim cos 2x    f (x )  x   Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số f (7)(0) 64   f (7)(0)  448 . 7! 6! Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số x 0 e x  e x  x2  lim x 0 (e  e ) e e  lim  x  (2x ) x x x Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số A. L  ; B. L   ; Giải. Khi x  , ta có: x  sin2 x x .arctan2 x  1. x 0 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số L  lim x 0  lim x 0 4x  cos 2x 12x  lim sin 2x 24x  lim cos 2x   D. 24 x 0 x 0 . x 1 C. L  ; D. L  . x  x .arctan2  L  lim 2x  sin 2x x  sin2 x VD 2. Tìm giới hạn L  lim . e x  ex (e x  ex  2) Giải. L  lim  lim x 0 x 0 2x (x ) x f (x )  có dạng thì: g(x )  f (x ) f (x ) lim  lim . x x g (x ) x x g (x ) Chú ý § Ta áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. …………………………………………… VD 1. Tìm giới hạn L  lim x x x  sin x x4 : x  sin2 x x4 . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số   VD 3. Tìm giới hạn L  lim x ln x (dạng  ). x  0 Giải. Ta có: L  lim x  0 ln x x 3 x  lim x  0 3x 4 x  0. x  0  lim 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm biến số VD 4. Tìm giới hạn L  lim x x 1 (dạng 1 ). x 1 Giải. Ta có: L  lim e ln x x 1 x 1  lim e x 1 ln x x 1 e lim x 1 x e ln x lim x 1 x 1  e. ……………………………………………………………………