Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 Ngô Quang Minh

Mời các bạn cùng nắm bắt những kiến thức về phép tính tích phân hàm một biến số (tính tích phân bất định, tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định, tích phân suy rộng) thông qua bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 do GV. Ngô Quang Minh biên soạn sau đây.

10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng tích phân xác định §4. Tích phân suy rộng ………………………… §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa • Hàm số F (x ) gọi nguyên hàm f (x ) khoảng (a ; b) F (x )  f (x ), x  (a ; b ). Ký hiệu Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Tính chất 1)  k .f (x )dx  k  f (x )dx , k  ¡ 2)  f (x )dx  f (x )  C d f (x )dx  f (x ) dx  4)  [ f (x )  g(x )]dx   f (x )dx   g(x )dx . 3)  f (x )dx (đọc tích phân). Nhận xét • Nếu F (x ) nguyên hàm f (x ) F (x )  C nguyên hàm f (x ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 1)  2)  3)  MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ a.dx  ax  C , a  ¡ x dx  x 1  C ,   1  1 dx  ln x  C ; x  7)  cos xdx  sin x  C ; x 9) x e dx  e  C ; 5)  dx cos2 x  4)  8)  6)  tan x  C ; 10)  dx x  x C ax C ln a sin xdx   cos x  C x a dx  dx sin2 x   cot x  C Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 1. Tính I   dx 4x 2x A. I  ln C ; 2x C. I  x 2 ln C ; x 2 Giải. I   11)  12)  13)  14)  15)  16)  dx x2  a2 dx B. I  D. I  2x ln C ; 2x x 2 ln C . x 2  x arctan  C a a x  arcsin  C , a  a a2  x2 dx x a  ln C 2a x a x2  a2 dx x  ln tan  C sin x   dx x  ln tan     C  cos x  2 dx x2  a  ln x  x  a  C Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 2. Tính I  . x 2   ln  C  A. 2 x 2 x 2 dx Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số dx  x2  x  6. Giải. Biến đổi: 1 1 1      . x  x  (x  2)(x  3)  x  x   Vậy I   5   1    dx  x  x    1 x 3 ln x   ln x   C  ln C . 5 x 2 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 1.2. Phương pháp đổi biến a) Định lý Nếu  f (x )dx  F (x )  C với (t ) khả vi thì:  f ((t ))(t )dt  F ((t ))  C . VD 3. Tính I  dx x ln x  . Giải. Đặt t  ln x   dt  dx 2x ln x  . Vậy I  2 dt  2t  C  ln x   C . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Đặt t  x  dt  3x 2dx dt I    t(t  3)   1    dt  t t   t x3 ln  C  ln C . t 3 x 3 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 4. Tính I   VD 5. Tính I   dx . x  ln x dx Giải. Đặt t  ln x  dt  x dt t ln x I    arcsin  C  arcsin C . 3 t dx x (x  3) Giải. Biến đổi I  . x 2dx  x (x  3) . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 1.3. Phương pháp phần a) Công thức  u(x )v (x )dx  u(x )v(x )   u (x )v(x )dx hay  udv  uv   vdu. VD 6. Tính I   x ln xdx . u  ln x dx x2 Giải. Đặt   du  ,v dv  xdx x  1 1  I  x ln x   xdx  x ln x  x  C . 2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 7. Tính I   Giải. Biến đổi I  x 2x dx .  x .2 x dx . u  x 2x Đặt   du  dx , v   dv  2x dx ln  I  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Chú ý x .2x x .2x 2x  2x dx    C .  ln ln ln ln 2 Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trước lấy phần. VD 8. Tính I   cos3 x e sin xdx .  (1  sin x )e cos x dx . Đặt t  sin x  I   (1  t )e tdt . Giải. Biến đổi I  sin x u   t du  2tdt Đặt    t dv  e dt v  e t   10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số  I  et (1  t )   2te tdt b) Các dạng tích phân phần thường gặp • Đối với dạng tích phân  et (1  t )   2t(det )  e (t  1)  C  e sin x  P (x )e x dx , ta đặt: u  P (x ), dv  e x dx .  e t (1  t )  2tet   2etdt t Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số • Đối với dạng tích phân (sin x  1)  C .  P (x )ln  x dx , ta đặt: u  ln x , dv  P (x )dx . ………………………………………………………………… Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định [a ; b ]. Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ điểm chia x  a  x1  .  xn 1  xn  b . Lấy điểm k  [x k 1; x k ] tùy ý (k  1, n ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Tính chất b 1) a b 2) k 1 Giới hạn hữu hạn (nếu có) I  lim max(x k x k 1 ) k b  f (x )dx . b b a a 6) f (x )  g(x ), x  [a; b ]   f (x )dx   g(x )dx 7) a  b   f (x )dx a b 4) a  a f (x )dx  0; f (x )dx  b  c  a a  b  a   f (x ) dx a 8) m  f (x )  M , x  [a ; b ] b  m(b  a )   f (x )dx  M (b  a ) f (x )dx  a b  a g (x )dx f (x )dx    f (x )dx f (x )dx  5) f (x )  0,  x  [a ; b ]  a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số b  a b  gọi tích phân xác định f (x ) đoạn [a; b ]. Ký hiệu I  3) b  k  f (x )dx , k  ¡  [ f (x )  g (x )]dx a a n Lập tổng tích phân:    f (k )(x k  x k 1 ).  k .f (x )dx b b  f (x )dx , c  [a ; b ]  f (x )dx  c b a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz Nếu f (x ) liên tục [a; b ] F (x ) nguyên hàm tùy ý f (x ) thì: b b  f (x )dx  F (x ) a  F (b)  F (a ). a a 9) Nếu f (x ) liên tục đoạn [a ; b ] b c  [a; b ] :  f (x )dx  f (c )(b  a ). a 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số b Nhận xét 1) Có hai phương pháp tính tích phân §1. 2) Hàm số f (x ) liên tục lẻ [;  ] thì:    f (x )dx  .     dx x  2x  Giải. Biến đổi I    dx  (x  1)2 . a f (x )  0, x  (a ;b ). t   arctan  . 2 t S S   x cos x dx . dt  f (x )  f (x ) dx   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số  S a  f (x )dx   I  x sin x   sin x dx  cos x §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1. Tính diện tích S hình phẳng a) Biên hình phẳng cho phương trình tổng quát  a b  u  x Giải. Đặt   du  dx , v  sin x   dv  cos x dx   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số b  f (x ) dx  VD 2. Tính I  . Đặt t  x   dt  dx I  tách f (x ) thành hàm đoạn nhỏ. f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu f (x ) để f (x )dx   f (x )dx .  a b Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 1. Tính I   4) Để tính Đặc biệt 3) Hàm số f (x ) liên tục chẵn [;  ] thì: S Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số d  c g (y )  g (y ) dy   VD 3. Tính I   1   2 . x  1.sin x dx . Giải. Do hàm số f (x )  x  1.sin x liên tục lẻ đoạn [1; 1] nên I  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y  x y  x . A. S  ; B. S  15 15 C. S  ; D. S  . 15 15 Giải. Hoành độ giao điểm: x  x  x  1, x  S   (x 1  x )dx   (x  x )dx  C. 15 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Cách khác Hoành độ giao điểm x  x  x  1, x   S  1  (x 2 Giải. Biến đổi: x  y x  y   .  y  x  x  y    x  x dx   x  x dx  x )dx  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường x  y y  x  .  C. 15 Tung độ giao điểm: y  y   y  1, y  S  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y  e x  , y  e 2x  x  . ln  1  ln A. ln  ; B. ; C. ; D. ln  2 2 x 2x Giải. Hoành độ giao điểm: e   e   e 2x  e x    e x   x  ln . ln  (e S  2x 1   e x  2)dx   e 2x  e x  2x    ln 1  ln  ln   A . 2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số S 2  2 b sin t .(a sin t ) dt  ab  sin t dt 2  ab   cos 2t dt  ab .   (y  2)  y 1  27   dy   y  2y  y   .   1 2 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số b) Biên hình phẳng cho phương trình tham số Hình phẳng giới hạn đường cong có phương trình x  x (t ), y  y(t ) với t  [; ] thì: S    y(t ).x (t ) dt. VD 4. Tính diện tích hình elip S : x2  y2 a2 b2 Giải. Phương trình tham số elip là:   x  a cos t  , t  [0; 2].    b sin t y    1. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 3.2. Tính độ dài l đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát » Cho cung AB có phương trình y  f (x ), x  [a; b ] thì: l»  AB b  a  [ f (x )]2 dx . VD 5. Tính độ dài cung parabol y   O(0; 0) đến điểm M 1;   .  x2 từ gốc tọa độ 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Giải. Ta có: l   b) Đường cong có phương trình tham số   (y )2 dx   x dx   1 x  x  ln x   x         ln  . 2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình:  x  t       , t  0; 1 . y  ln t  t    Giải. Ta có: l    a  l »   [x (t )]2  [y (t )]2 dt. AB  y2 b Vậy V   x2 a2  y2 b2  quay quanh Ox.   y2  b a  a a a b2 a  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y  f (x ), y  , x  a , x  b quay quanh Ox là: b V   [ f (x )]2 dx . a  2  2   t        dt  .  t    t   VD 8. Tính V (E ) : » Cho cung AB có phương trình tham số   x  x (t )  , t  [; ] thì:    y(t ) y   [x (t )]2  [y (t )]2 dt Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Giải. Ta có: x2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số  a   x2 .  x dx  ab . VD 7. Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn y  ln x , y  , x  1, x  e quay xung quanh Ox. e e Giải. V   ln x dx   (x ln x  x )   . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn x  g(y ), x  , y  c y  d quay quanh Oy là: d V   [g(y )]2 dy. c VD 9. Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn y  2x  x , y  quay xung quanh Oy. 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Giải. Parabol y  2x  x viết lại: y  2x  x  (x  1)2   y x    y , x    . x    y , x    Vậy V      y    Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y  f (x ), y  , x  a x  b quay xung quanh Oy tính theo công thức: b V  2  xf (x )dx (*).   1   4   y dy   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Chú ý 2  y  dy    8 8 (1  y )3  . 3 a VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9.  2x x  8  . Giải. V  2  x (2x  x )dx  2        0 ……………………………………………………………………… Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Khái niệm mở đầu Cho hàm số f (x )  0, x  [a ; b ]. Khi đó, diện tích hình §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG phẳng giới hạn đồ thị y  f (x ) trục hoành là: S b  a f (x )dx . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tích phân suy rộng loại 4.1.1. Định nghĩa • Cho hàm số f (x ) xác định [a ; ), khả tích đoạn [a; b ] (a  b ). b Giới hạn (nếu có)  f (x )dx b   gọi a tích phân suy rộng loại f (x ) [a ; ).  Ký hiệu là:  a f (x )dx  lim b  b  f (x )dx . a Cho hàm số f (x )  0, x  [a ; ) (b  ). Khi đó, diện tích S tính không tính được. Trong trường hợp tính hữu hạn thì: S   a b  f (x )dx . b  f (x )dx  lim a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số • Định nghĩa tương tự: b      b  f (x )dx ; a  f (x )dx  lim f (x )dx  lim a b  f (x )dx . b  a  a • Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ. • Nghiên cứu tích phân suy rộng (nói chung) khảo sát hội tụ tính giá trị hội tụ (thường khó). 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số  dx VD 1. Khảo sát hội tụ tích phân I   .  Giải x • Trường hợp α = 1: b b  dx I  lim   lim ln x    (phân kỳ). 1  b  b  x Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Vậy § Với   : I  (hội tụ).  1 § Với   1: I   (phân kỳ). • Trường hợp α khác 1: b  lim x 1   b  1 1     ,  1  lim b1       b 1   ,   1.  I  lim b  b dx  x    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 2. Tính tích phân I   a  Giải. I  lim a dx   (1  x ) . 0  dx    lim    1. a   x  (1  x ) a   VD 3. Tính tích phân I  b   dx   x Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ • Nếu  f (x )  g(x ), x  [a; )  a g(x )dx hội tụ  a f (x )dx  F (x )  a   a f (x )dx hội tụ. . • Nếu tồn lim F (x )  F (), ta dùng công thức: x  b   • Tương tự:    f (x )dx  F (x ) f (x )dx  F (x ) b    . . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 4. Xét hội tụ tích phân I  a) Tiêu chuẩn  x   . b  Giải. I  lim   lim arctan x  a b  b     1x a  a a        lim arctan b  lim arctan a       . b  a    dx Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Chú ý • Nếu tồn lim F (x )  F (), ta dùng công thức: Giải. Với x  [1; )   10 e x dx . 10 x   x 10  x   e x  e x   • Các trường hợp khác tương tự. Mặt khác,    10 e x dx  e x dx   e x    e x dx .  (hội tụ). e Vậy tích phân cho hội tụ. 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số b) Tiêu chuẩn  • Nếu  a   f (x ) dx hội tụ a không đúng). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số f (x )dx hội tụ (ngược lại VD 5. Xét hội tụ tích phân I  Giải.  e x cos 3x dx      e x    x  2x , g(x )  ta có: Giải. Đặt f (x )  x3  x  2x  f (x ) x   g(x )  x  2x  dx x3 A.   ; B.   ; Giải. Đặt t  ln x I  •    dt  t 1 dt  t 1      . hội tụ  I hội tụ.  x . ln x  C.   ; dt  t 1    hội tụ là: D.   . dt  t 1 . g(x )dx hội tụ phân kỳ.   a g(x )dx hội tụ   a f (x )dx hội tụ. Nếu f (x ) : g(x ) (x  ) dx a Chú ý Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số   Ø Nếu k  a dx  a  f (x )dx Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số k     Ø Nếu   f (x )dx phân kỳ.   g(x )dx phaâ n kyø a  a  VD 6. Xét hội tụ tích phân I   cos 3x dx . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số • Các trường hợp khác tương tự. f (x )  k . Khi đó: g (x ) Ø Nếu  k   thì: e x dx (hội tụ)  I hội tụ. VD 8. Điều kiện  để I  lim x  • Các trường hợp khác tương tự.  c) Tiêu chuẩn • Cho f (x ), g(x ) liên tục, dương [a ; )   f (x )dx a g(x )dx có tính chất. VD 7. Xét hội tụ tích phân I  Giải. Ta có: 1 : (x  )  sin x  x x Vậy I phân kỳ.     dx .  sin x  x dx phân kỳ. x Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số • Do  t 1 :  t3 I hội tụ   nên:   dt  t 1 hội tụ       A. tích phân thông thường nên hội tụ. 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 9. Điều kiện  để I  • Với   :  (x  1)dx  2x  x  • Với   : I :   dx 2x 2 : (x  1)dx  2x  x  Giải      dx x hội tụ? Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 4.2. Tích phân suy rộng loại 4.2.1. Định nghĩa • Cho hàm số f (x ) xác định [a ; b ) không xác định b , khả tích đoạn [a; b  ] (  0).  I hội tụ. hội tụ  I hội tụ   ¡. b  a • Định nghĩa tương tự: b b a a   f (x )dx  lim   b  b  f (x )dx  lim   a  a f (x )dx (suy rộng a ); b  • Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ. 0 b   a f (x )dx . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 10. Khảo sát hội tụ I  b dx  x  , b  0. Giải I  lim   b   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số   b1  ,  1  1      ,   1. Vậy b1 § Với   1: I  (hội tụ). 1 § Với   : I   (phân kỳ). b  dx  lim ln x   ln b  lim ln    .    x 0  0 • Trường hợp α khác 1: b I  lim  0  f (x )dx  lim • Trường hợp α = 1: f (x )dx (suy rộng a , b ).  lim b1  1   0 f (x )dx   gọi tích phân suy rộng loại f (x ) [a; b ). Ký hiệu: a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số  Giới hạn (nếu có)  dx x b  lim  x dx  0  b  lim x 1     0   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 11. Tính tích phân I   3dx  9x .    A. I   ; B. I  ; C. I  ; D. I  . 3 Giải. I   d(3x )  (3x )  arcsin 3x    B. 10 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 12. Tính tích phân I  Giải. Đặt t  ln x I   dt t  e   t dx x . ln x  3dt Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Giải. Ta có: 3 t I   3.  dx  x2  x . VD 13. Tính tích phân I  . 1   x   x dx   dx  x (x  1) 1   x   x dx 0  lim 1  x  1   lim ln    .  x   1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ tích phân suy rộng loại 1. Chú ý Nếu f (x ) : g(x ) (x  b) b b a a VD 14. Tích phân suy rộng I   VD 15. Tích phân suy rộng I    (x  1)sin x   x (x  1)(2  x ) :  x 2x dx  x2  .  x2 hội tụ 1  1     C . 2 D.   ¡ . x  (x  1)sin x phân kỳ khi: 1 A.   1; B.    ; C.    ; 2 x dx x (x  1)(2  x )  I hội tụ  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Giải. I  x x dx hội tụ khi: 1 A.   1 ; B.    ; C.    ; 2  Giải. Khi x   f (x )dx  g(x )dx có tính chất (với b cận suy rộng). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số dx D.   ¡ . dx (x  1)sin x Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Do  dx (x  1)sin x I phân kỳ  Mặt khác, .   :  dx x x dx (x  1)sin x x dx (x  1)sin x Vậy I phân kỳ   dx x2 hội tụ nên phân kỳ. : x dx x  dx  x2 . 1  1     B. 2 11 10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Chú ý • Cho I  I  I với I , I 1, I tích phân suy rộng ta có: 1) I1 I hội tụ  I hội tụ. I   ( phaâ I n kyø ) 2)   I  I   I phân kỳ. I I   ( phaâ n kyø ) 3)   I  I   chưa thể kết luận I phân kỳ.   ( phaâ n kyø ) 0   ( phaâ n kyø ) 0 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số VD 16. I   x  x sin x dx phân kỳ khi: 1 A.   ; B.    ; C.    ; D.   ¡. 4 Giải. Ta có: I  x dx x sin x  dx x sin x  I1  I2 . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm biến số Mặt khác: 1) I   2) I   dx x sin x x dx x sin x :  dx x   dx x2   .  0. Vậy I  I  I phân kỳ với   ¡  D . ………………………………………………………………… 12 [...]... 2 2 D   ¡ Ø Chương 5 Phép tính tích phân hàm một biến số 1  x (x  1)(2  x ) hội tụ khi và chỉ khi: 1 1 A   1 ; B    ; C    ; 2 2 Giải I  x (x  1)(2  x ) a VD 14 Tích phân suy rộng I   x  f (x )dx và  g(x )dx có cùng tính chất (với b là cận suy rộng) 1 Giải Khi x  0 thì b a Ø Chương 5 Phép tính tích phân hàm một biến số 1 dx D   ¡ dx (x 2  1)sin x Ø Chương 5 Phép tính tích...10/13/2012 Ø Chương 5 Phép tính tích phân hàm một biến số VD 12 Tính tích phân I  Giải Đặt t  ln x I  1  0 dt 3 2 t  e  1 1  0 t 3 dx 2 x ln x  2 3dt Ø Chương 5 Phép tính tích phân hàm một biến số 2 Giải Ta có: 3 3 t 1 0 I   3 2  1 dx  x2  x VD 13 Tính tích phân I  1 1 ... Ø Chương 5 Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý • Cho I  I 1  I 2 với I , I 1, I 2 là các tích phân suy rộng ta có: 1) I1 và I 2 hội tụ  I hội tụ I   ( phaâ kyø I   n ) 2)  1 hoặc  1   I 2  0 I 2     thì I phân kỳ  I I   ( phaâ kyø  n ) 3)  1 hoặc  1   I 2  0 I 2     thì chưa thể kết luận I phân kỳ   ( phaâ kyø n ) 0   ( phaâ kyø n ) 0 Ø Chương 5. .. 1     x  1  x dx    0    lim 1 2  x  1   lim ln       x    0   1 Ø Chương 5 Phép tính tích phân hàm một biến số 4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1 Chú ý Nếu f (x ) : g(x ) (x  b) thì b 1  0  I hội tụ  x dx VD 15 Tích phân suy rộng I   0 x  1 2 (x  1)sin x phân kỳ khi và chỉ khi: 1 1 A   1; B    ; C  ... phân hàm một biến số VD 16 I  1  0 x  1 x 2 sin x dx phân kỳ khi và chỉ khi: 1 1 1 A   ; B    ; C    ; D   ¡ 4 4 2 Giải Ta có: 1 I  0 x dx 2 x sin x 1  0 dx 2 x sin x  I1  I2 Ø Chương 5 Phép tính tích phân hàm một biến số Mặt khác: 1 1) I 2   2) I 1   0 1 0 dx 2 x sin x x dx x 2 sin x : 1  0 dx x 3  1  0 dx 3 x2    0 Vậy I  I 1  I 2 phân kỳ với mọi   ¡  D …………………………………………………………………