Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 của Ngô Quang Minh trình bày về phép tính vi phân hàm hai biến với những nội dung cơ bản như khái niệm cơ bản, đạo hàm riêng vi phân, cực trị của hàm hai biến số. Mời các bạn tham khảo.
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến §1. Khái niệm §2. Đạo hàm riêng – Vi phân §3. Cực trị hàm hai biến số ………………………. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Miền phẳng D kể biên D gọi miền đóng, miền phẳng D không kể biên D miền mở. • Miền phẳng D gọi miền liên thông có đường cong nằm D nối điểm thuộc D . §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn đường cong kín gọi miền phẳng. Miền liên thông có biên đường cong kín gọi miền đơn liên (hình a); có biên nhiều đường cong kín rời miền đa liên (hình b). Tập hợp đường cong kín giới hạn D gọi biên D , ký hiệu D hay . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy xem miền phẳng với biên vô cùng. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Lân cận điểm • Khoảng cách điểm M1 (x1 , y1 ), M (x , y2 ) là: d M1 , M M1M x1 x • Hình tròn S (M , ) mở có tâm M (x , y ), bán kính gọi lân cận điểm M . Nghĩa là: y1 y2 . • M M (x , y0 ) S (M , ) (x x )2 (y y0 )2 . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Hàm số z x y có MXĐ hình tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R . • Hàm số z ln(4 x y ) có MXĐ hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R . Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói thêm ta hiểu MXĐ hàm số tập tất điểm M (x , y ) ¡ cho f (x , y ) có nghĩa. • Hàm có nhiều hai biến định nghĩa tương tự. 1.2. Giới hạn hàm số hai biến số (xem giáo trình) 1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình) Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ¡ . Tương ứng f : D ¡ cho tương ứng (x , y ) D với giá trị z f (x , y ) ¡ gọi hàm số hai biến số x, y . • Tập D ¡ gọi miền xác định (MXĐ) hàm số, ký hiệu Df . Miền giá trị hàm số là: G z f (x , y ) ¡ (x , y ) Df . VD • Hàm số f (x , y ) 3x 2y cos xy có D f ¡ . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp • Cho hàm số f (x , y ) xác định miền mở D ¡2 chứa điểm M (x , y0 ). Cố định y0 , hàm số f (x , y0 ) có đạo hàm x ta gọi đạo hàm đạo hàm riêng theo biến x hàm số f (x , y ) (x , y0 ). f (x , y ). x 0 f (x , y ) f (x 0, y0 ) / . Vậy fx (x 0, y ) lim x x x x0 Ký hiệu: fx (x , y0 ) hay fx/ (x , y ) hay 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y (x , y0 ) là: f (x , y ) f (x 0, y ) fy/ (x , y ) lim y y0 y y0 . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 1. Tính đạo hàm riêng hàm số: f (x, y ) x 3x 3y 2y 3xy (1; 2). Giải. fx/ (x , y ) 4x 9x 2y 3y fx/ (1; 2) 46 . fy/ (x , y ) 6x 3y 6y 3x fy/ (1; 2) 39 . Chú ý f df . x dx • Hàm số nhiều hai biến có định nghĩa tương tự. • Nếu f (x ) hàm số biến x fx/ Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến x VD 3. Tính đạo hàm riêng z cos (; 4). y Giải x / x x zx/ sin sin z x/ (; 4) , y y y y x VD 2. Tính đạo hàm riêng z ln x2 x y2 . Giải. Ta có z ln(x 1) ln(x y 1). Suy ra: 2x 2x 2y z x/ , zy/ . 2 2 x 1 x y 1 x y2 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 4. Tính đạo hàm riêng f (x , y, z ) e x y sin z . Giải. fx/ (x 2y )/x e x y sin z 2xye x y sin z fy/ (x 2y )y/ e x y sin z x 2e x y sin z fz/ e x y cos z . x / x x x zy/ sin sin zy/ (; 4) . y y y 32 y y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) • Hàm số nhiều biến đạo hàm riêng cấp cao có định nghĩa tương tự. gọi đạo hàm riêng cấp hai f (x , y ). f f Ký hiệu: f 2 fxx fx , x x x x x f f f 2 fyy fy , y y y y y f 2 f , fxy fxy fx y y x y x VD 5. Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số: f (x, y ) x 3e y x 2y y (1; 1). y / f 3x e 2xy Giải. Ta có x/ f x 3e y 3x 2y 4y y x x yf x fy . fyx fyx fy 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến // y fx 6xe 2y // fxy 3x 2e y 6xy fyx// f // x 3e y 6x 2y 12y y f // (1;1) 6e x2 // fxy (1;1) 3e (1;1) e 6. f // y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 6. Cho hàm số f (x , y ) x y x 4y . (1; 1) là: Giá trị đạo hàm riêng cấp năm f (5) C. x y f (5) (1; 1) x 3y liên tục miền mở D ¡ fxy fyx . 120 ; D. x y f (5) (1; 1) x 3y 120 . x f /// x3 (5) x 3y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến B. f (5) (1; 1) 480 ; Giải. fx/ 5x 4x 3y f // 20x 12x 2y f • Định lý Schwarz Nếu hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng fxy fyx x y A. f (5) (1; 1) 480 ; 60x 24xy f (4) 120xy 480xy f x y (5) x 3y (1; 1) 480 A. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 7. Đạo hàm riêng z (mm 2n n) x A. (1)n 2m n e 2x y ; m m 2x y C. (1) e Giải. Ta có z (mm 2nn) x y x2 y x2 (m 2) z e 2x y là: B. (1)m 2m n e 2x y ; D. (1)n 2m e 2x y . ; z (mm nn ) . x y z x/ 2e 2x y z //2 22 e 2x y . z (mm ) 2m e 2x y x Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921) Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2.2. VI PHÂN 2.2.1. Vi phân cấp a) Số gia hàm số • Cho hàm số f (x, y ) xác định lân cận S (M , ) điểm M (x , y ). Cho x số gia x y số gia y , hàm f (x, y ) có tương ứng số gia: f f (x x , y y ) f (x , y ). z (mm 1) x y (m n ) z m n x y x m 2x y 2 e z (mm 22) x y 2m e 2x y (1)n 2m e 2x y D . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Định nghĩa • Nếu lân cận S (M , ) với số gia x , y mà số gia f tương ứng viết dạng f A.x B.y O r , r (x )2 (y )2 A, B số phụ thuộc vào điểm M (x , y0 ) hàm f (x, y ), không phụ thuộc x , y đại lượng A.x B.y gọi vi phân hàm số f (x , y ) điểm M (x , y0 ). • Khi đó, f (x , y ) gọi khả vi điểm M (x , y0 ). Ký hiệu: df A.x B.y. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Nhận xét • Xét điểm M (x x , y y ) dịch chuyển đường qua M song song Ox . Khi y : f f (x x , y ) f (x , y ) A. x O ( x ) f lim A A fx/ (x , y ) . x 0 x f Tương tự, lim B B fy/ (x , y ) . y y c) Định lý • Nếu hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng lân cận (x , y0 ) đạo hàm riêng liên tục Suy df (x , y ) fx/ (x , y ). x fy/ (x , y ). y . • Xét f (x , y ) x df (x , y ) x dx x . Tương tự, dy y . Vậy df (x , y ) fx(x , y )dx fy(x , y )dy. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 9. Tính vi phân cấp hàm z e x y sin(xy ). Giải. z x/ 2x sin(xy ) y cos(xy ) e x y , z y/ sin(xy ) 2xy cos(xy ) e x y . Vậy dz 2x sin(xy ) y cos(xy ) e x y dx sin(xy ) 2xy cos(xy ) e x y dy . (x , y ) f (x , y ) khả vi (x , y0 ). VD 8. Cho hàm f (x, y ) x 2e x y y . Tính df (1; 1). x y / / f (2x x )e fx (1; 1) 3e Giải. x/ . f x 2e x y 5y f / (1; 1) e y y Vậy df (1; 1) 3e 2dx (e 5)dy . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2.2.2. Vi phân cấp • Giả sử f (x , y ) hàm khả vi với x , y biến độc lập. Các số gia dx x , dy y tùy ý độc lập với x, y nên xem số x, y . Vi phân df (x , y ) gọi vi phân cấp f (x , y ). Ký hiệu công thức: d f d df f 2dx fxydxdy f 2dy . x y Chú ý • Nếu x, y biến không độc lập (biến trung gian) x x (, ), y y(, ) công thức không nữa. Sau ta xét trường hợp x , y độc lập. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 10. Cho hàm số f (x, y ) x 2y xy 3x 3y . Tính vi phân cấp hai df (2; 1). f / 2xy y 9x 2y Giải. Ta có: x/ f 3x 2y 2xy 15x 3y y f // 2y 18xy f // (2; 1) 34 x2 x fxy// 6xy +2y 45x 2y fxy// (2; 1) 170 f // f // 6x 2y +2x 60x 3y (2; 1) 460. 2 y y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 11. Tính vi phân cấp hàm f (x , y ) ln(xy ). Giải. Ta có fx/ y2 f // x xy x / 2xy , f x y y xy , fxy// 0, f // y Vậy d f x 2dx 2y 2dy . y2 . Vậy d f (2; 1) 34dx 340dxdy 460dy . 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2.3. Đạo hàm hàm số ẩn (hai biến) • Hàm z(x , y ) xác định Dz ¡2 thỏa phương trình F (x , y, z(x , y )) 0, (x, y ) D Dz (*) gọi hàm số ẩn hai biến xác định (*). Giả sử hàm khả vi, đạo hàm vế (*) ta được: Fx Fz.z x 0, Fy Fz.zy . Vậy z x Fy Fx , z y F 0. Fz Fz z Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 12. Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình: xyz cos(x y z ). Tính z x/ , z y/ . Giải. Ta có F (x , y, z ) xyz cos(x y z ) F / y z sin ( x y z ) x Fy/ xz sin ( x y z ) F z/ xy sin ( x y z ). yz sin(x y z ) / Vậy z x , xy sin(x y z ) zy/ Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 13. Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình mặt cầu: x y z 2x 4y 6z . Tính zy/ . Giải. Ta có F x y z 2x 4y 6z / y 2 F 2y y/ zy/ . z 3 F z z xz sin(x y z ) . xy sin(x y z ) Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. Định nghĩa • Hàm số z f (x, y ) đạt cực trị thực M0 (x , y0 ) với điểm M (x, y ) gần khác M hiệu f f (x, y) f (x 0, y0 ) có dấu không đổi. • Nếu f f (x , y0 ) giá trị cực tiểu M0 điểm cực tiểu z f (x, y ). • Nếu f f (x0 , y0 ) giá trị cực đại M điểm cực đại z f (x, y ). Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến y 3y VD 1. Hàm số f (x , y ) x y xy x 2 f (x , y ) 0, (x , y ) ¡ nên đạt cực tiểu O (0; 0). Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3.2. ĐỊNH LÝ a) Điều kiện cần • Nếu hàm số z f (x , y ) đạt cực trị M (x , y0 ) hàm số có đạo hàm riêng thì: fx/ (x 0, y0 ) fy/ (x 0, y0 ) 0. • Điểm M (x , y0 ) thỏa fx/ (x , y0 ) fy/ (x , y0 ) gọi điểm dừng, M không điểm cực trị. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Điều kiện đủ Giả sử z f (x , y ) có điểm dừng M có đạo hàm riêng cấp hai lân cận điểm M . Đặt A f // (M ), B fxy// (M ), C f // (M ). 2 x y AC B f (x , y ) đạt cực tiểu M . • Nếu A0 AC B f (x , y ) đạt cực đại M . • Nếu A0 • Nếu AC B f (x , y ) không đạt cực trị M . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3.3. Phân loại cực trị • Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường cong (C ). • Chiếu S lên mpOxy ta miền D ¡2 đường cong phẳng () : (x, y ) . • Nếu AC B ta kết luận. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Khi đó, điểm P1 S điểm cao (hay thấp nhất) so với điểm lân cận hình chiếu M D gọi điểm cực trị tự hàm f (x , y ) xác định D (vì không phụ thuộc vào ()). 3.4. Cực trị tự Cho hàm số f (x, y ) xác định D . Để tìm cực trị (tự • Bước 1. Tìm điểm dừng M (x , y0 ) cách giải hệ: • Tương tự, điểm P2 (C ) điểm cao (hay thấp nhất) so với điểm lân cận hình chiếu M () điểm cực trị có điều kiện ràng buộc () : (x , y ) hàm f (x , y ). // • Bước 2. Tính A f // (x , y ), B fxy (x , y ), do) f (x , y ), ta thực bước sau: / fx (x , y ) / f (x , y ) 0. y 0 x C f // (x , y ) AC B . y • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 2. Tìm điểm dừng hàm số z xy(1 x y ). VD 3. Tìm cực trị hàm z x y 4x 2y . z / y 2xy y Giải. Ta có x/ z x 2xy x y (x y ) (x y ) (x y )(x y 1) . x 2xy x x 2xy x z / 2x Giải. x/ M (2; 1) điểm dừng. z 2y y // A z x (2; 1) // 0. B z xy (2; 1) // C z (2; 1) y Vậy hàm số có điểm dừng: 1 M 1(0; 0), M (0; 1), M (1; 0), M ; . 3 Vậy M (2; 1) điểm cực tiểu zCT . Hình 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 4. Tìm cực trị hàm số z x y 3xy . VD 5. Tìm cực trị z 3x 2y y 3x 3y . Giải. Ta có z x/ 3x 3y 0, zy/ 3y 3x z / 6xy 6x x y Giải. x/ 2 2 zy 3x 3y 6y 3x 3y 6y M 1(0; 0), M (1; 1) hai điểm dừng. Do z //2 x // 6x , z xy 3, z //2 6y nên: M 1(0;0), M (0;2), M (1;1), M (1;1) điểm dừng. y • Tại M1 : A C 0, B 3 // Do z //2 6y 6, z xy 6x , z //2 6y nên: x M không điểm cực trị. • Tại M : A C 0, B 3 Vậy M (1; 1) điểm cực tiểu zCT 3 . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 50 20 VD 6. Cho hàm số z xy (x 0, y 0). x y Khẳng định là: A. z đạt cực tiểu M (2; 5) giá trị cực tiểu z 39 . B. z đạt cực tiểu M (5; 2) giá trị cực tiểu z 30 . C. z đạt cực đại M (2; 5) giá trị cực đại z 39 . D. z đạt cực đại M (5; 2) giá trị cực đại z 30 . 50 x2 0, zy/ x • Điểm M1 điểm cực đại zC Đ . • Điểm M điểm cực tiểu zCT 2 . Hình Hình Giải. Ta có z x/ y y • Hai điểm M , M không điểm cực trị. 20 y2 0 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3.5. Cực trị có điều kiện • Cho hàm số f (x , y ) xác định lân cận điểm M (x , y0 ) thuộc đường cong () : (x, y ) . Nếu M hàm f (x , y ) đạt cực trị ta nói M điểm cực trị có điều kiện f (x , y ) với điều kiện (x , y ) . • Để tìm cực trị có điều kiện hàm số f (x , y ) ta dùng phương pháp khử nhân tử Lagrange. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến x x x y 50 y M (5; 2). y xy 20 xy 20 Vi phân cấp hai: z //2 x 100 x / , z xy 1, z //2 y AC B B . 40 y3 Hình Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến a) Phương pháp khử • Từ phương trình (x , y ) ta rút x y vào f (x , y ), sau tìm cực trị hàm biến. VD 7. Tìm điểm cực trị hàm z x 2y thỏa điều kiện: x y 0. Giải. x y y x z x 3x . Ta có z 3x 6x x 2, x . • x 2 y z đạt cực đại điểm M 1(2; 1). • x y z đạt cực tiểu điểm M (0; 3). Hình 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Phương pháp nhân tử Lagrange Tại điểm cực trị (x , y ) f , gọi fx/ /x fy/ y/ Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực bước: • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): L(x , y, ) f (x, y ) (x , y ). • Bước 2. Giải hệ: L/x 0, L/y 0, L/ điểm dừng M (x , y0 ) ứng với . • Bước 3. Tính vi phân cấp M (x , y0 ) ứng với : d 2L(M ) L//2dx 2L// dxdy L//2dy . xy x Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: / / d (x , y ) x (x , y0 )dx y (x , y )dy (1) (dx )2 (dy )2 (2). • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) (2), ta có: Ø Nếu d 2L(M ) f (x , y ) đạt cực tiểu M . Ø Nếu d 2L(M ) f (x , y ) đạt cực đại M . Ø Nếu d 2L(M ) M không điểm cực trị. y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 8. Tìm điểm cực trị hàm số f (x , y ) 2x y với điều kiện x y . Giải. Lập hàm Lagrange: x y (x, y ) x y L(x, y, ) 2x y (x y 5). Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến x M (2; 1), 1 . y M (2; 1), 5 4 Vi phân cấp hai d 2L(x , y ) 2(dx dy ). • d 2L(M ) (dx dy ) M điểm cực đại. • d 2L(M ) dx dy M điểm cực tiểu. Tìm điểm dừng: L/ x 2 2x L/ 1 2y y L/ x y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 9. Tìm điểm cực trị hàm z xy thỏa điều kiện x y2 1. x y2 Giải. Ta có L(x , y, ) xy 1. L/x y x x2 y2 0, L/y x y 0, 1 Hình 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến M (2; 1), 2 4 M (2; 1), 2 x y . M (2; 1), 2 x 4y M (2; 1), Vi phân cấp hai d 2L(x , y ) dx 2dxdy dy . 2 • Tại M : d L(M ) dx 2dxdy 2dy (*). x Mặt khác, d (x , y ) dx ydy d (M1 ) dx 2dy . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến (*) d 2L(M ) 8dy M điểm cực đại. • Tại điểm M , M , M ta làm tương tự. Cách khác (dùng trắc nghiệm) d 2L(M ) dx 2dxdy 2dy 2 dx 2dy M điểm cực đại. Hình ………………………………………………………