Bài tập toán cao cấp - chương 6. Dạng toàn phân và ứng dụng potx

Trong cơ sở trực chuẩn vừa thu được ế¡, &, ế¿ dạng toàn phương đã cho được đưa về dạng chính... Dạng toàn phương 0à ứng dựng BÀI TẬP 'Trong các bài toán sau đây hãy viết ma trận của dạn

6.1 Dạng toàn phương 251

tức là họ các vectơ riêng phụ thuộc hai tham số œ và đ

Ta lấy ra hai vecbơ trực giao nào đó của họ = 2(œ-+ đ)ei + œes+- Bez Chang han dat a = 0, Ø = 1 thì thu được vectơ riêng

Hạng của ma trận của hệ bằng 2 nên hệ co bản chỉ gồm một nghiệm

Chẳng hạn giải hai phương trình cudi ta c6 & = &3 va & = -ễ và

do d6 & = = = 4

Đặt & = a ta cé ho vecto riéng phu thudc mét tham sd

us(a,—2a,—2a), aeR

252 Chương 6 Dạng toàn phương va ting dung

0 0 -2 tức là

6.1 Dang toàn phương 253 Giải 11 Ma trận của dạng toàn phương là

Vì hạng của ma trận của hệ bằng 2 nên hệ có nghiệm khác 0 Ta giải

hệ hai phương trình đầu

5& — 2& — 4&3 = 0,

& —4& + & =0

254 Chương 6 Dạng toàn phương va ting dung

và thu được nghiệm tổng quát là

u(2a,a,2a), aeER

Đó là họ vectơ riêng (phụ thuộc một tham số) ứng với giá trị riêng

Ài =—09 Sau khi chuẩn hóa ta thu được

(Lưu ý rang & 1 &, € 1 & vi €y va &9, £; là các vecbơ riêng tương

ứng với hai giá trị riêng khác nhau nên chúng trực giao với nhau)

3† Xác định phép biến đổi trực giao Trong cơ sở trực chuẩn vừa thu được ế¡, &, ế¿ dạng toàn phương đã cho được đưa về dạng chính

256 Chương 6 Dạng toàn phương 0à ứng dựng

BÀI TẬP

'Trong các bài toán sau đây hãy viết ma trận của dạng toàn phương

có biểu thức tọa độ sau trong không gian IR (1-4) va trong R‘ (5-6)

6.1 Dang toàn phương 257

9 Cho các dạng toàn phương sau đây được viết dưới dạng ma trận

Hãy viết các dạng toàn phương đó dưới dạng thông thường

10 Viết các dạng toàn phương sau đây dưới dạng ma trận

3 ~5| [ai

Loy +2

2) z† + da — 20122 + 58a

258 Chương 6 Dựng toàn phương 0à ứng dung

11 ¿(#1,#2) = 3# — z3 + 4#l#2; v1 = 2y1 — yo, 2 = 41 + yp

(DS gi(y1, y2) = 19yt — 2y3 — LOyrye)

12 (21, x2, 03) = 2x} + 323 — 23 + 2129;

21 =~ + yo; L2 = 3y1 + yo + ys; 3 = —2y — Yr

(DS gr (yi, Ye, Ya) = 2yz + 12y3 + 8y3 + L1yrye + 17yrys + Syoys)

13 (1(#1, #2, Ø3) = 2z3 + 4v — 2012 + #2;

#1 = UI † 19 — 1ã; #2 = 11 — Y2+ ys, 3 — ys + Yyo-

(DS @i(0i, 1a, 9a) = Tus + 995 — Byrye + Syys))

6.1 Dạng toàn phương 259

260 Chương 6 Dựng toàn phương va tng dung

6.1 Dang toàn phương 261 (ĐS ¿(-) = yf — 3y3 + 443 nhờ phép biến đổi

262 Chương 6 Dang toàn phương 0à ứng dung

x 2 =2 = 3M + 2 3% 348 L,

34, 20? + 23 + 303 — ki

1 (Ч z¡ =1, z2 = cm, + jose đạ = at + 33

6.2 Đưa phương trình tổng quát của dường bậc hai và mặt bậc hai về

62 Đưa phương trình tổng quát của

đường bậc hai và mặt bậc hai về dạng

chính tắc

1° Xét phương trình tổng quát của đường bậc hai

ait#? -} 20s -+ aas2 + 2aisø + 2aas -† dạa = Ö (6.20)

'Tổng của ba số hạng đầu tiên

(%, U) = a2” + 2aiaU + aasJ” (6.21)

là dạng toàn phương của các biến z và + và được gọi là đựng toàn phương ứng uới phương trình (6.20) Ma trận của dạng toàn phương này có dạng

3? Nếu det.A = 0 thì (6.20) là phương trình đường dạng parabolic

“Trong trường hợp khi detA # 0 thì (6.20) xác định đường có tâm điểm Nếu det.4 = 0 thì (6.20) là phương trình đường không có tâm

điểm Hướng của các vectơ riêng trực giao của ma trận dạng toàn

phương tương ứng với phương trình (6.20) gọi là hướng chánh của đường xác định bởi phương trình (6.20)

Người ta chứng minh rằng tồn tại hệ tọa độ Đêcác vuông góc mà trong đó phương trình tổng quát (6.20) của đường bậc hai có dạng

chính tắc

Để tìm hệ tọa độ đó ta tiến hành như sau

264 Chương 6 Dạng tồn phương 0à ứng dựng

1† Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương tương ứng với phương trình đã cho về dạng chính tắc

2† Dựa theo phép biến đổi này ta tìm các hướng chính của đường, tức là tìm các vectơ riêng trực chuẩn €; va 2 cla ma trận dạng tồn phương (6.21)

3* Tim phương trình của đường đã cho trong hệ tọa độ O€:£¿ 4T Trong phương trình thu được ta bổ sung để thu được bình phương đủ rồi tìm các tọa độ của điểm Œ' là gốc của hệ tọa độ cần tìm Trong hệ tọa độ tìm dược '#¡£¿ phương trình của đường đã cho cĩ dạng chính tắc

2° Xét phương trình tổng quát của mặt bậc hai

ay12? + aggy” + ag3z” + Zarory + 2aigez + 2aogyz + br + by tez+ f = 0,

(6.22)

trong dé ft nhat mét hé s6 a;; # 0, ¿ = 1,3, j = 1, ä

'Tổng của sáu số hạng đầu của phương trình

(@(#,1, 2) = 6i1z2 + aizU + aạs22 + 2a1à + 201à2 + 2das2

(6.23)

là dạng tồn phương ba biến a, y, z và được gọi là dạng toờn phương tương ứng uới phương trành (6.22) Ma trận của dạng là

địi A412 địa

A= lar a22 as;

M3 423 33

Trong mục trước đã chứng tỏ tồn tại phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương (6.23) về dạng chính tắc Do vậy việc khảo sát và dựng mặt bậc hai xác định bởi phương trình (6.22) được tiến hành

tương tự như trong 1°.

6.2 Đưa phương trình tổng quát oề dạng chính tắc 265

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Đưa phương trình

17+? + 12g + 8u” + 20V/5z + 90 = 0

về dạng chính tắc và dựng đường xác định bởi phương trình đó

Giải 1Ÿ Dạng toàn phương

@(#, 0) = 17+? + 12w + 8u?

tương ứng với phương trình đã cho có ma trận

Bà 17 6 /

6 8

Nó có các số dic trung 14 \1 = 20, A2 = 5 Ta tim toa dé cdc vecto

riêng của A bằng cách giải hệ phương trình

(17— À;)&i + 6& = 0, 6&¡ + (8— À;)&s =0

266 Chương 6 Dựng toàn phương uà ứng dụng

2* Cac vecto co sé € và E thu được tir cdc vecto co sé €1, €2

bằng phép biến đổi trực giao được cho bởi công thức

Ey

"""

6.2 Đưa phương trình tổng quát oề dạng chính tắc 267

3† Thay (6.24) vào phương trình đã cho ta thu được phương trình của đường trong hệ tọa dé O&;€2:

20z/ + 5/2 + 40z' — 207’ + 20 = 0

và từ đó

+92, =2” 7 1 =1 (6.26) .2

4T Thực hiện phép dời hé toa dd O€; 2 theo vectơ 00' = —E&,+2E2

ta thu được hệ tọa dd O'E,& va trong hé đó phương trình (6.26) có

dạng

2 ql!

Như vậy phương trình đã cho xác định elip (hình 6.1)

Hình 6.1

Từ lời giải và hình vẽ trình bày suy ra cách dựng elip (6.27) trong

hé O'E,£2 Dau tién dung hé toa d6 O& (thay cho 1 va E2 có thể

dung cde vecto OM = 2e1 + e2, OMS = —e1 + 2e2); tiếp đến thực

hiện phép tịnh tiến song song hệ đó một veclơ Ớ' = —e¡ + 2c; đến

Ớ' Sau cùng là dựng elip (6.27)

268 Chương 6 Dựng toàn phương va tng dung

lần lượt với À¡ = 2 và Àa = 0

6.2 Đưa phương trình tổng quát oề dạng chính tắc 269

và sau khi chuẩn hóa ta có

Dé tim dạng của phương trình đường đã cho trong hệ tọa độ O€¡€¿

ta thay (6.28) vào phương trình tổng quát đã cho và thu được

Qa? — 5" - oa +25=0 (6.29)

270 Chương 6 Dựng toàn phương uà ứng dung

hay là

(Jy =r")

Sau phép tịnh tiến song song các trục tọa độ đến gốc mới @' =

K TT, phương trình (6.29) trong hệ tọa độ XY có dạng chính tắc X? = 4v2Y Sự sắp xếp của parabon được chỉ ra trên hình 6.2

6.2 Đưa phương trình tổng quát oề dạng chính tắc 271

272 Chương 6 Dạng toàn phương 0à ứng dựng riêng được tìm từ hệ phương trình

Ti đó thu được vectơ riêng ứng với Ài = 9 là

6.2 Đưa phương trình tổng quát oề dạng chính tắc 273

9z/2 + 402 — 36a” — 8ự' + 4 = 0

274 Chương 6 Dựng toàn phương va tng dung

ia Sy = /3,6,b = 0,9

Phương trình này (và do đó phương trình đã cho) xác định mặt trụ

eliptic với đường sinh || ếa

Dung mặt trụ eliptic: cùng với hệ tọa độ Oeze2e3 ta dung hé toa d6 O'&,&2s, trong đó thay cho việc dựng các vecbơ (6.31) ta có thể dựng các vectơ

OM, = 61,

OM, =€2—€3, OM; = €2 + €3

Sự sắp xếp của mặt đã cho được chỉ rõ trên hình 6.3

Hành 6.3

6.2 Đưa phương trình tổng quát oề dạng chính tắc 275

DS Đường hypecbôn, phương trình chính tắc ————————— = 1

5 5a? + day + 5y? -9 = 0

- ‘Ons ecbon, lương trìi chính tắc — =i]

DS Dường hypecbôn, phương trình chính tắc —= :

(ĐS Đường hypecbôn, phương trình chính tắc s — = =1)

Dua phương trình tổng quát của các mặt bậc hai về dạng chính tắc và nhận dạng chúng

276 Chương 6 Dạng toàn phương va tng dung