Tính các cạnh BD , AD ; các góc B , D , A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngọai tiếp và diện tích của tam giác này Giải.. Ta cũng có..[r]
(1)Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ơng Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace Lop10.com (2) Chương Tích vô hướng và ứng dụng §1.Tích vô hướng hai vectơ A Tóm tắt giáo khoa : Góc hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo hai tia có chung gốc Số đo a ( tính độ ) góc hình học thỏa : 0o ≤ a ≤ 180o • Nếu 0o ≤ a ≤ 90o và a không phải là góc đặc biệt (0o ;30o ; 45o ;60o ;90o ) càc giá trị lượng giác a tính máy tính bỏ túi y G • Nếu 90o < a ≤ 180o , ta dùng góc bù để tính giá a trị lượng giác a : G sin a = sin(180o − a ) b cos a = − cos(180o − a ) tan a = − tan(180o − a ) O x G G G b) Góc hai vectơ : Cho vectơ a ; b ( ≠ ) ; JJJG G JJJG G G G Vẽ các vectơ OA = a ; OB = b Góc AOB gọi là góc vectơ a ; b G JJG Ký hiệu : (a, b) Tích vô hướng hai vectơ : GG G G a ) Định nghĩa : Tích vô hướng hai vectơ a , b ký hiệu là a.b là số xác định : JGG G G G G a.b = a b cos(a, b) cot a = − cot(180o − a ) b) Tính chất : GG GG a.b = b.a G G G JGG G G a.(b + c) = a.b + ac G G G G G JJG (k a )b = k (a.b) = a.(kb) D C Ta có các kết qủa sau : G2 G GG G G a = a ; a.b = ⇔ a ⊥ b A F E B Chú ý : Sử dụng các tính chất ta có các hệ thức : JJG G G2 G G G2 (a + b) = a + 2a.b + b G G G G G2 G2 (a + b)(a − b) = a − b JJJG JJJG c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ , AB ; CD Gọi E , F là hình chiếu vuông góc C , D xuống đường thẳng AB Ta có công thức : JJJG JJJG JJJG JJJG AB.CD = AB.EF d) Công thức tọa độ : G G Cho các vectơ : a = ( a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 ) Ta có các công thức : www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (3) Chương Tích vô hướng và ứng dụng G 2 a = a1 + a2 GG a.b = a1b1 + a2b2 G G a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = G G a1b1 + a2b2 cos(a, b) = 2 2 a1 + a2 b1 + b2 Áp dụng : JJJG JJJG Bài toán : Tìm tập hợp điểm M thỏa : MA.MB = k (1) ( A , B cố định ; k là số ) Gọi I là trung điểm AB , ta có : JJJG JJG JJJG JJG (1) ⇔ ( MI + IA)( MI + IB ) = k ⇔ MI − IA2 = k ⇔ IM = k + IA2 • k + IA2 > 0: Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I , k + IA2 ) • k + IA2 = 0: Tập hợp các điểm M là : { I } • k + IA2 < : Tập hợp các điểm M là tập rỗng Bài toán : Phương tích điểm đường tròn Cho đường tròn tâm I JJJ , bán kính R và điểm M Một đường thẳng qua M cắt đường G JJJG tròn taị A và B Biểu thức MA.MB gọi là phương tích điểm M đường tròn (I) Ta có : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG JJJG JJJG Ρ M /( I ) = MA.MB = MB.MB ' = ( MI + IB).( MI + IB ') JJJG JJG T = MI − IB (do IB ' = − IB) A = MI − R Chú ý : Do biểu thức trên , ta có : Ρ M /( I ) = MT ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ) M B I B' B Giải toán : Dạng toán : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác góc Ví dụ : Tính các giá trị sau a) sin 65o 43'36"; b) tan(62o 25'16"); c) cot(42o12 ') Giải : Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình lên dòng chữ Deg Rad Gra Ấn phím để chọn đơn vị đo góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin o’” o’” o’” = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan o’” o’” o’” = 1,9145 c) Ấn liên tiếp các phím : ÷ tan o’” o’” = 1,1028 Vậy sin 65o 43'36" = 0,9115; tan(62o 25'16") = 1,9145;cot(42o12 ') = 1,1028 Ví dụ : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = c) cotx = 2,619 Giải : www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (4) Chương Tích vô hướng và ứng dụng a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin = o’” màn hình lên 20o 29 '58" Vậy : x = 20o 29 '58" b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan = o’” màn hình lên Vậy : x = 63o 26 '5" 63o 26 '5" c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( ÷ ) = o’” màn hình lên Vậy : x = 20o 53'53" 20o 53'53" Dạng toán : Tính giá trị lượng giác góc vectơ Ví dụ :JJJ Cho hình JG JJJ G vuông JJJG ABCD JJJJJG ; tính giá trị lượng giác góc các cặp vectơ sau : ( AC ; BC ) (CA ; DC ) Giải : Ta cóJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG : BC = AD ⇒ ( AC , BC ) = ( AC , AD ) = DAC = 45o JJJG JJJG Do đó : sin( AC , BC ) = sin 45o = JJJG JJJG cos( AC , BC ) = cos 45o = JJJG JJJG JJJG JJJG o tan( AC , BC ) = tan 45 = = cot( AC , BC ) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Tương tự , vẽ CE = DC ; α = (CA, DC ) = (CA, CE ) = 135o và ta có : − ;cos α = cos135o = − cos 45o = ; 2 tan α = tan135o = − tan 45o = −1; cot α = −1 sin α = sin135o = sin 45o = B A D E C (vì 135o ; 45o bù ) Ví dụ : Cho JJJG hình JJJG chữ nhật JJJG ABCD JJJG có AB = 4cm ; AD =3cm Tính các góc : a = ( AC , AD ) ; b = (CA, BC ) Giải : Ta có : a = góc CAD Suy : CD = = 1,333 ⇒ a = 53o ' tan a = AD 3G JJJG JJJG JJJG JJJ JJJG JJJG b = (CA, BC ) = (CA, CE ) ; (CE = BC ) Suy b = gócACE Mà gócACE và góc CAD bù Nên b = 180o − 53o ' = 126o53 ' C D Dạng toán : Tinh tích vô hướng Ví dụ : Cho tam giác ABC cạnh 3a M , N là hai điểm thuộc cạnh AC cho AM = MN = NC Tính JJJ tích vôG hướng G JJJ JJJG Jsau JJG : JJJJG JJJG AB AC ; AC.CB ; BM BN Giải : Ta có JJJG JJJG 9a o AB AC = AB AC cos 60 = 3a.3a = 2 B A E A M N B C www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com E (5) Chương Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJJGJJJJG JJJJGJJJG Vẽ CE = AC ; ( AC , CB ) = (CE ,CB ) = BCE = 120o JJJG JJJG −1 −9a o AC.CB = AC.CB cos120 = 3a.3a.( ) = 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG BM BN = ( AM − AB )( AN − AB ) JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG = AM AN − AB AM − AB AN + AB = AM AN cos 0o − AB AM cos 60o − AB AN cos 60o + AB 1 = a.2a.1 − 3a.a ( ) − 3a.2a ( ) + 3a.3a 2 13 = a Ví dụ : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; JJJG M là m ểmJG trJJJ ênGđường thẳng (d) qua G và JJJộGt điJJJ vuông góc với cạnh BC Chứng minh ( MA + MB + MC ).BC = Giải : JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG Ta có : MA + MB + MC = 3MG ⇒ ( MA + MB + MC ).BC = 3MG.BC = vì MG ⊥ BC Ví dụ : Cho hình vuông ABCD cJJJ ạnh ; GJJJG M , N là trung điểm BC và CD G JJJJ G aJJJJ Tính các tích vô hướng sau : AB AM ; AM AN Giải : Ta có : JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG AB AM = AB( AB + BM ) = AB + AB.BM JJJG JJJJG JJJG JJJJG = a + = a ( AB ⊥ BM ⇒ AB.BM = 0) JJJJGJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG AM AN = ( AB + BM )( AD + DN ) JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG = AB AD + AB.DN + BM AD + BM DN = + AB.DN cos 0o + BM AD cos 0o + B A M D C a a N = a .1 + a.1 = a ( AB ⊥ AD; BM ⊥ DN ) 2 Dạng toán : Sử dụng định lý chiếu JJJG JJJG JJJG JJJG Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông A và AB.CB = ; AC.BC = Tính ba cạnh tam giác Giải : Ta có JJJ:G C JJJGhình JJJG chiếu2 xuống đường thẳng AB là A , B Do đó : JJJ,G B có = AB.CB = AB AB = AB ⇒ AB = Tương tự : C JJJG JJJG JJJG JJJG = AC.BC = AC AC = AC ⇒ AC = BC = AB + AC = + = 13 Ví dụ : Cho ABC JJJG tam JJJgiác JG JJJ G Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: BC.(2 AM − BC ) = (1) Giải : JJJJG JJJG JJJG (1) ⇔ AM BC = BC JJJJG JJJG BC ⇔ AM BC = B Gọi A’ , M’ là hình chiếu A , M xuống đường AA A' M M' B C www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (6) Chương Tích vô hướng và ứng dụng JJJJG JJJG JJJJJJG JJJG JJJJJJG JJJG BC thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có : AM BC = A ' M '.BC Do đó : A ' M '.BC = >0 JJJJJJG JJJG Suy vectơ A ' M ' , BC cùng hướng JJJJJJG JJJG BC BC BC ⇔ A ' M '.BC = ⇔ A'M '= Do đó ; A ' M '.BC = 2 Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi ) Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC M’ Ví dụ : Cho tam giác ABC có ba đường caoJJJJJ là :GAA’ GọiG JJJ MG, N , P là JJJG , BB’ JJJJJG,CC’ JJJG JJJJ trung điểm BC , CA , AB Chứng minh : A ' M BC + B ' N CA + C ' P AB = Giải : Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm tam giác , ta có : A’ , B’ , C’ là hìmh chiếu H xuống BC , CA , AB M , N , PJJJJJ lần lưGợt làJJJhìmh G JJJ G JJJGchiếu O xuông BC , CA , AB Do đó : A ' M BC = HO.BC (theo định lý hình chiếu ) N Tương tự JJJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG B' B ' N CA = HO.CA : C ' P AB = HO AB JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JG Do đó : A ' M BC + B ' N CA + C ' P AB = HO.( BC + CA + AB ) = HO.O = Dạng toán : Chứng minh hệ thức các độ dài A JJJG Ta thường sử dụng các tính chất tích vô hướng và tính chất AB = AB C A' M O C' P B Ví dụ : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120o ; AB =3 ; AC = Tính cạnh BC Giải : Ta có JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG JJJG BC = BC = ( AC − AB) = AC − AC AB + AB = 36 − 2.6.3cos120o + = 36 + 18 + = 63 ⇒ BC = 63 = Ví dụ : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c JJJG JJJG AB + AC − BC a) Chứng minh AB AC = b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c Giải : JJJG JJJG AB + AC − BC JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG Ta có : BC = BC = ( AC − AB ) = AC + AB − AC AB ⇔ AB AC = Gọi M là trung điểm BC , ta có : JJJG JJJJG JJJG JJJG AG = AM = ( AB + AC ) 3 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1 AG = AG = ( AB + AC ) = ( AB + AC + AB AC ) 9 1 = (b + c + b + c − a ) = (2b + 2c − a ) 9 Vậy : AG = 2b + 2c − a www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (7) Chương Tích vô hướng và ứng dụng Ví dụ : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh a Chứng minh với điểm M ta có : MA2 + MB + MC + MD = MO + 2a Giải : Ta có : JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG MA2 = MA = ( MO + OA) = MO + OA2 + 2MO.OA JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG MB = MB = ( MO + OB) = MO + OB + MO.OB JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG MC = MC = ( MO + OC ) = MO + OC + MO.OC JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG MD = MD = ( MO + OD)2 = MO + OD + 2MO.OD JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG MA2 + MB + MC + MD = 4MO + 4OA2 + 2MO(OA + OB + OC + OD) = MO + 4( a 2 ) +0 = 4MO + 2a JJJG JJJG JJJG JJJG JG a (OA + OB + OC + OD = O ; OA = OB = OC = OD = ) Dạng toán : Chứng minh vectơ vuông góc (hay đường thẳng vuông góc) G G JGJJG G G G JJJG Ví dụ : Cho a = ; b = ; cos(a,b) = Chứng minh hai vectơ ( a + b) ; (a − 2b) vuông góc Giải : Ta có G G G G G2 G G G G G2 GG (a + b).(a − 2b) = a − 2ab + b.a − 2b = 36 − a.b − 2.16 G G 1 = 36 − a b − 32 = 36 − 6.4 − 32 = 6 G G G G ⇒ (a + b) ⊥ (a − 2b) Ví dụ : Cho hình thang vuông ABCD có đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB = 2a Chứng minh hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với Giải : Ta có JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AC.BD = ( AB + BC )( BA + AD) = AB.BA + AB AD + BC.BA + BC AD = AB.BA cos180o + + + BC AD cos 0o = 2a 2.2a 2(−1) + 4a.2a.1 = −8a + 8a = JJJG JJJG ⇒ AC ⊥ BD Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với A D C B Dạng toán : Sử dụng công thức tọa độ Ví dụ : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , ) ; B( , ) ; C( , -5 ) Chứng minh tam giác ABC vuông B Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = (3 − 10, − 5) = (−7, −3) ; BC = (6 − 3, −5 − 2) = (−3, −7) www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (8) Chương Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJG JJJG Suy : AB.BC = ( −7).(3) + (−3).( −7) = ⇒ AB ⊥ BC Vậy tam giác ABC vuông B Ví dụ : Cho tam giác ABC có A( , ) ; B( -1 , -1 ) ; C( , ) a) Tính góc A tam giác ABC *b) Tính tọa độ giao điểm đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = ( −4, −2) ; AC = (3, −1) JJJG JJJG −4.3 + (−2).(−1) −10 −1 = cos A = cos( AB, AC ) = = 16 + + 10 2 o Vậy góc A 135 *b) Gọi MJJJ làGgiao điểm đường AB kính OC , ta có : M JJJG tròn đường kínhJJJ JJJđường JG và đường tròn JG ( x , y ) ; MA = (3 − x,1 − y ); MB = (−1 − x, −1 − y ); MC = (6 − x, − y ); MO = (− x, − y ) và JJJG JJJG ⎧⎪ MA ⊥ MB ⎧⎪ MA.MB = ⎧(3 − x)(−1 − x) + (1 − y )(−1 − y ) = ⇔ ⎨ JJJJG JJJJG ⇔⎨ ⎨ (6 − x)(− x) + (− y )(− y ) = ⎩ ⎪⎩ MC ⊥ MO ⎩⎪ MC.MO = ⎧ x + y − x − = (1) ⎧4 x − = [ (1) − (2)] ⇔⎨ ⇔⎨ 2 (2) ⎩ x + y − 6x = ⎩x + y − 6x = x =1 ⎧ ⎪⎧ x = ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩1 + y − = ⎩⎪ y = ± Vậy có hai giao điểm M : M (1, − 5) ; M (1, 5) Ví dụ : Cho tam giác ABC có A( , ) ; B( , - ) ; C( -1 , ) a) Tính tọa độ trực tâm H tam giác b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A Giải : tâm JJJJa) JJJtọa G Gọi H( x , y ) là G độ trực JJJ G , ta có : JJJG AH = ( x − 5, y − 3); BC = (−3, 6); BH = ( x − 2, y + 1); AC = (−6, 2) JJJJG JJJG ⎧( x − 5)(−3) + ( y − 3)(6) = ⎪⎧ AH ⊥ BC ⎪⎧ AH BC = ⇔ ⎨ JJJG JJJG ⇔⎨ ⎨ ⎩( x − 2)(−6) + ( y + 1)(2) = ⎪⎩ BH ⊥ AC ⎩⎪ BH AC = ⎧ x − y = −1 ⎧ x = ⇔⎨ ⇔⎨ x y − = ⎩y = ⎩ Vậy tọa độ trực tâm H là : H( , ) b) Gọi A’( ) là JJJxJG, y JJJ G tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có : AA ' ⊥ BC ⇔ x − y = −1 (1) ( tương tự câu a ) JJJG JJJG JJJG BA ' = ( x − 2, y + 1) ; BA ' cùng phương BC = ( −3, 6) Suy : 6( x – ) + 3( y + ) = (2) Giải (1) và (2) ta có : x = y = Vậy tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A là : A’( , ) Dạng toán : Tìm tập hợp điểm JJJG JJJG JJJJG JJJG a ) ( MA + MB ).( MC − MB ) = (1) Ví dụ :Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG b) MA2 + MA.MB = (2) www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (9) Chương Tích vô hướng và ứng dụng Giải : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG a) Ta có : MA + MB = MI ; MC − MB = BC ( I là trung điểm AB ) JJJG JJJG ( ) ⇔ 2MI BC = ⇔ MI ⊥ BC : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với BC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (2) ⇔ MA + MA.MB = ⇔ MA.( MA + MB ) = b) JJJG JJJG ⇔ 2MA.MI = ⇔ MA ⊥ MI Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI ( I là trung điểm AB ) *Ví dụ : Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJJG a2 a) MA.MC = − JJJG JJJJG JJJG JJJJG b) MA.MC + MB.MD = a JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG c)( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a Giải : Gọi O là tâm hình vuông ( là trung điểm AC ) Ta có : JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG a2 a2 MA.MC = − ⇔ ( MO + OA).( MO + OC ) = − 4 JJJG JJJG a ⇔ MO − OA2 = − (do OC = −OA) 2a a a a a 2 ⇔ OM = OA − = − = ⇔ OM = 4 4 a Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính TJJJ ươ ta Gcó JJJJGtự ,JJJ JJJ:JG G ng MA.MC + MB.MD = a ⇔ MO − OA2 + MO − OB = a ⇔ MO = a ⇔ OM = a (do OA = OB = a ) Vậy tậpJJJhợp cácG điểm tâm , bán JJJJG M làJJJđường G JJJ JG JJJGtrònJJJ JG OJJJ JG kính a Ta có MA + MB + MC = 3MG ; MA + MC = MO ( G là trọng tâm tam giác ABC ) Do đó : JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG a ( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a ⇔ MG.MO = 2 a a a a 2 26a ) = ⇔ MJ − JO = ⇔ JM = + ( GO) = +( 6 6 144 a 26 ⇔ JM = 12 1 a ( J là trung điểm OG ; JO = GO ; GO = BO = ) 3 a 26 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính 12 Dạng toán : Tính phương tích Tính đoạn tiếp tuyến Ví dụ : Cho điểm A( - , ) ; B( , ) ; M( , 2) ; N(- , - ) Tính phương tích điểm M , N đường tròn đường kính AB www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (10) 10 Chương Tích vô hướng và ứng dụng Giải : Ta có : tọa độ tâm I đường tròn ( là trung điểm AB ) : −2 + + I( , ) ⇒ I( , ) 2 Ta có : JJG IA = (−2 − 1,1 − 4) = (−3, −3) ⇒ R = IA2 = + = 18 JJJG IM = (0 − 1, − 4) = (−1, −2) ⇒ Ρ M /( I ) = IM − R = (1 + 4) − 18 = −13 JJG IN = (−3 − 1, −5 − 4) = (−4, −9) ⇒ Ρ N /( I ) = IN − R = (16 + 81) − 18 = 79 Ví dụ : Cho điểm A( - , - ) ; B( - , ) ; C( , ) ; M( ,- ) Chứng minh điểm M ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm ) Giải : Gọi I ( x , y ) là tâm đường tròn (ABC) ,ta có : JJG JJG JJG IA = ( x + 2, y + 1) ; IB = ( x + 1, y − 4) ; IC = ( x − 4, y − 3) 2 ⎧ ( x + 2) + ( y + 1) = ( x + 1) + ( y − 4) ⎪⎧ IA = IB ⇔ ⎨ ⎨ 2 2 ⎩( x + 2) + ( y + 1) = ( x − 4) + ( y − 3) ` ⎩⎪ IA = IC ⎧ x + 5y = ⎧x =1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3x + y = ⎩ y = Suy : I( , ) ; MI = (5 − 1) + (−2 − 1) = 16 + = 25 ; R = IA2 = + = 13 Do đó : Ρ M /( ABC ) = MI − R = 25 − 13 = 12 ⇒ MI > R Vậy điểm M ngoài đường tròn (ABC) Ta có : MT = Ρ M /( ABC ) = 12 ⇔ MT = 12 = C Bài tập rèn luyện : Cho tam a Tinh các tích vô huớng JJJG JJJ JJJG JJJ JJJG JJJcạnh G giác JG ABC G JJJ G sau : AB.GB ; AB.CM ; AB ( AB − AC ) ( G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm BC ) Cho vuông A : AB = ; AC = TJJJ ínGhJJJ cá óc Gcg JJJ JGJJJG JJJGtam JJJGgiác ABC JJJG JJJ G ( AB, BC ) ; ( AC , BC ) và các tích vô hướng sau : AB.BC ; AC BC Cho tam giác ABC vuông A ; AB = G3 ,JAC = Trên tia AB lấy điểm D cho JJJJG JJJ JJG JJG BD = Tính các tích vô hướng sau : BC BD ; AC.BI ( I là trung điểm CD ) Cho tam giác ABC đềuJJJ , cGạJnh ng làGtrọn JJG bằ JJJ G JaJJG, GJJJJ JJJG g tâm tam giác ; M là điểm Chứng minh T = ( MA.GB + MB.GC + MC.GA ) có giá trị không đổi Tính giá trị này Cho hình vuông ABCD , cạnh a Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng sJJJ au : G JJJJG JJJG JJJG JJJG G JJJ JJJG JJJG JJJG JJJG AB.BD ; ( AB + AD ).( BD − BC ) ; (OA + OB + OC ) AB ( O là tâm hình vuông ) * Cho tam giác ABC , cạnh a Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG JJJJG 3a (CA + BC ).CM = Cho tam giác ABC có trọng tâm là G Chứng minh : 10 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (11) 11 Chương Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB + GC ) 2 Cho hìnhJJJvuông ABCD cạnh a ; I là trung điểm CD Tính các tích vô G JJG JJJGJJJG hướng sau : BD.BI ; BI BG ( G là trọng tâm tam giác ABD ) JJJJG JJG J Cho hình chữ nhật ABCD có AB = ; AD = và điểm M thỏa AM = k AB Định k để đường thẳng AC và DM vuông góc 10 Cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối tia AB ,lấy điểm D cho AD = AC ; trên tia đối tia AC , lấy điểm E saocho AE = AB Chứng minh đường trung tuyến tam giác ADE thì vuông góc với BC G G G G G JJG 11 Cho : a = ; b = Định x để hai vectơ sau vuông góc với ( a + xb) ; (a − xb) 12 Cho tam giác ABC vuông A ; D thuộc tia AC và AD = 3AC Chứng minh AG = ( AB + 16 AC ) (G là trọng tâm tam giác BCD ) * 13 Cho tứ giác ABCD JJJGJJJG a) Chứng minh ; AB − BC + CD − DA2 = AC DB b)Suy điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vuông góc là AB + CD = BC + AD 2 14 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG JJJJG a ) ( AB + AC ) AM = JJJG JJJG JJJG JJJJG * b) MA.( MA + MB + MC ) = * JJJG 15JJJG Cho ABC , cạnh a Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJJtam G giác ( MA + MB ).MC = a 16 Cho hai điểm A( , ) ; B( , ) Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox biết tam giác ABC vuông C 17 Cho điểm A( - , ) ; B( , ) ; C( , ) ; D( , - 2) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông Tính diện tích hình thang này D Hướng dẫn giải hay đáp số JJJG JJJG a 3 a2 o AB.GB = AB.GB.cos 30 = a = 2 JJJG JJJJG a a AB.CM = AB.CM cos 60o = a = 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AB.( AB − AC ) = AB − AB AC = a − 2a.a.cos 60o = a − 2a = JJJG JJJG 2 ( AB, BC ) vá góc ABC bù ;cosABC = (3 : 5) = 0,6 Suy JJJG JJJG ABC = 53o ' 48" ⇒ ( AB, BC ) = 180o − 53o ' 48" = 126o52 '12" 11 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (12) 12 Chương Tích vô hướng và ứng dụng AC cosACB= = = 0,8 BC JJJG JJJG ( AC , BC ) = ACB = 90o − ABC = 36o52 '12 " JJJG JJJG −3 AB.BC = AB.BC.(− ) = 3.5.( ) = −9 5 JJJG JJJG 4 AC.BC = AC.BC = 4.5 = 16 5 JJJG JJJG 2.3 BC.BD = BC.BD.cos CBD C I A D B = 5.4.(− ) = −12 JJJJG JJG JJJG JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG AC.BI = AC ( AI − AB) = AC AI ( AC AB = 0) JJJG JJJG JJJG = AC ( AC + AD) = AC = 2 Ta JJJGcó J:JJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG MA = GA − GM ; MB = GB − GM ; MC = GC − GM JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG T = GA.GB + GB.GC + GC.GA − GM (GA + GB + GC ) = GA.GB.cos120o + GB.GC.cos120o + GC.GA.cos120o − a a2 a a = 3( ) (− ) = − (do GA = GB = GC = = 2 3 JJJG JJJG JJJG JJJG 2.5 AB.BD = AB.BA = − a JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ( AB + AD)( BD − BC ) = AC.CD = DC.CD = − a JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG a 2 a2 (OA + OB + OC ) AB = OB AB = OB.OB = OB = ( ) = 2 *2 6JJG Ta JJJ cóG : JJJG JJJG JJJG JJG JJG Vẽ AI = BC ; CA + BC = CA + AI = CI ( I cố định và tam giác ACI là nửa tam giác đều) JJJG JJJG JJJJG JJG JJJJG (CA + BC ).CM = CI CM JJG JJJJJG = CI CM ' JJG JJJJG 3a a Theo giả thiết : CI CM ' = ⇔ CM ' = = CI 2 Vậy tậphợp các điểm M là đường trung trực đoạn CI M A B I M' C Ta có : JJJGJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G GA + GB + GC = ⇔ GA2 + GB + GC + 2GA.GB + 2GB.GC + GC.GA = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB + GC ) 2 12 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (13) 13 Chương Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG BD.BI = BD ( BD + BC ) = BD + BC.( BC + CD) 2 1 1 3a = BD + BC + = (a 2) + a = 2 2 JJG JJJG JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G 1 BI BG = ( BC + BD) ( BA + BD + BB ) 2a = (0 + a + a + 2a ) = JJJG JJJJG 2.9 AC ⊥ DM ⇔ AC.DM = JJJJG JJJG JJJJG JJJG ⇔ ( AB + AD)( AM − AD) = JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ ( AB + AD)(k AB − AD) = ⇔ kAB − AD = ⇔ k 16 − = ⇔ k = 16 10 Gọi AI là trung tuyến tam giác ADE , ta có : JJG JJJG JJJG AI = ( AD + AE ) JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AI BC = ( AD + AE ).( AC − AB) = (0 + AD AB − AE AC − 0) 2 = ( AC AB − AB AC ) = ⇔ AI ⊥ BC 2 11 x = ± 2 12 Ta có : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJJG AG = ( AB + AC + AD) = ( AB + AC + AC ) 3 JJJG JJJG JJJG AG = AG = ( AB + 16 AC + AB AC ) = ( AB + 16 AC ) JJJG JJJG JJJG JJJG 2.13 a) AB − BC + CD − DA2 = AB − BC + CD − DA JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG = ( AB + BC )( AB − BC ) + (CD + DA)(CD − DA) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG = AC ( AB − BC − CD + DA) = AC ( DB − BD) JJJG JJJG = AC.DB JJJG JJJG b) AC ⊥ BD ⇔ AC.BD = ⇔ AB − BC + CD − DA2 = ⇔ AB + CD = BC + AD 2 14 a) Tập hợp các điểm M là đường thẳng d qua A và vuông góc với trung tuyến AI tam giác ABC JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG MA( MA + MB + MC ) = ⇔ MA.( MA + MB + MB + MC ) = b) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG ⇔ MA.(2 MJ + MI ) = ⇔ MA.MK = ⇔ MA ⊥ MK ( J , I , K lần lươt là trung điểm AB , BC , IJ) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn dường kính AK 13 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (14) 14 Chương Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG a2 2.15.( MA + MB).MC = a ⇔ 2MI MC = a ⇔ MJ − JC = 2 2 a a 8a + 3a 11a a 11 JM = + ( ) = = ⇔ JM = 16 16 ( I , J là trung điểm AB , CI ) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J , a 11 ) 16 , Có hai điểm C : C( , ) ; C( , ) 17 Hình thang ABCD vuông A và D Diện tích hình thang này 15 §2 Hệ thức lượng tam giác A Tóm tắt giáo khoa Định lý cosin : Trong tam giác ABC , bình phương cạnh tổng các bình phương hai cạnh còn lại trừ tích hai cạnh đó nhân với cosin góc xen chúng A a = b + c − 2bc cos A b = c + a − 2ca cos B b c c = a + b − 2ab cos C Suy : B cos A = C a b2 + c2 − a c2 + a − b2 a + b2 − c2 ;cos B = ;cos C = 2bc 2ca 2ab Định lý sin : Trong tam giác ABC , tỉ số cạnh và sin góc đối diện cạnh đó đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác a b c = = = 2R sin A sin B sin C Công thức tính độ dài đường trung tuyến 2(b + c ) − a 2(c + a ) − b 2 mb = 2(a + b ) − c 2 mc = A ma = ma mb B mc C (AB = c ; BC = a ; CA = b ; ma ; mb ; mc là các trung tuyến vẽ t A ,B ,C ) Công thức tính diện tích : Diện tích S tam giác ABC tính các công thức sau : 14 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (15) 15 Chương Tích vô hướng và ứng dụng 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc S= 4R S = pr A S= S= ( với p = p( p − a)( p − b)( p − c) c b B C a (a+b+c) ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp ) Giải tam giác : Giải tam giác là tìm số yếu tố tam giác biết số yếu tố tam giác đó B Giải toán Ví dụ : Cho tam giác ABC có BC = 40cm ; CA = 13cm ; AB = 37cm Tinh góc nhỏ tam giác ABC Giải : Ta biết : đối diện với cạnh nhỏ là góc nhỏ Ta lại có : CA < AB < BC nên B < C < A Vậy B là góc nhỏ Theo công thức ta có : c + a − b 37 + 402 − 132 2800 = = = 0,9459 cos B = 2ca 2.37.40 2960 ⇒ B = 18o55' Vậy góc nhỏ tam giác ABC là góc B và B = 18o 55 ' Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông A và AB = ; AC = Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD = CB Tính các cạnh BD , AD ; các góc B , D , A tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngọai tiếp và diện tích tam giác này Giải BC = AB + AC = + 16 = ; BD = BC = 10 AB AC = ; sin B = = cos B = BC BC Ta có AD = BA2 + BD − BA.BD cos B = + 100 − 2.3.10 = 73 AD = 73 D C Ta có A B 15 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (16) 16 Chương Tích vô hướng và ứng dụng cos B = = 0, ⇒ B = 53o ' AB AD AB sin B = ⇒ sin D = = = 0, 2808 sin D sin B AD 73 o D = 16 18' Suy : BAD = 180o − (53o '+ 16o18') = 110o 25' Bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD cho công thức : AD 73 73 R= = = = 5,34 2sin B Ta lại có tam giác ABC và ACD có diện tích (vì có chung đường cao vẽ từ A và cạnh đáy BC ,CD ) Do đó : S ABD = S ABC = AB AC = 3.4 = 12 Ví dụ : Cho tam giác ABC có AB = 5cm ; AC = 7cm ; cosA= Tính diện tích , bán kính đường tròn ngọai tiếp , nội tiếp tam giác và đường cao vẽ từ A Giải : Ta có : 16 1 21 = = 10, 5cm2 ; S = AB AC.sin A = 5.7 = 25 2 BC = AB + AC − AB AC.cos A = 25 + 49 − 2.5.7 = 18 ⇔ BC = 2cm 5 BC BC 2R = ⇔R= = = cm sin A 2sin A 21 S 21 r= = = cm p + + 12 + 2 2S 21 S = AH BC ⇔ AH = = = cm BC 2 sin A = − cos A = − Ví dụ : Cho hình vuông ABCD có cạnh 6cm ; E là trung điểm CD Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE và càc góc tam giác này Giải : Tacó B A D E C 16 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (17) 17 Chương Tích vô hướng và ứng dụng AC = AB = 2cm ; AE = AD + DE = 5cm; ACE = 45o AE 10 cm = = 2sin ACE 2 AD sin AED = = = 0,8944 => AED = 63o 25' AE o AEC = 180 − 63o 25' = 116o 35' => CAE = 180o − (116o35'+ 45o ) = 18o 25' R( ACE ) = Ví dụ : Trong tam giác ABC , chứng minh : a) = R sin B sin C b) S = R sin A sin B sin C ( là đường cao vẽ từ A ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp và S là diện tích tam giác ABC ) Giải : Ta có : S bc R sin B.2 R sin C aha ⇔ = = = = R sin B sin C a a R sin A ⎧a = R sin A a b c ⎪ = = = R ⇔ ⎨b = R sin B (do sin A sin B sin C ⎪ c = R sin C ⎩ Theo câu a) ta có : 1 S = aha = (2 R sin A).(2 R sin B sin C ) = R sin A sin B sin C 2 S= Ví dụ : Cho hình vuông ABCD có cạnh a Một đường tròn có bán kính a , qua đỉnh A , C và cắt cạnh BC E Tính đoạn AE và góc BAE Giải : Ta có :ACE = 45o và bán kính đường tròn ngọai tiếp a tam giác ACE Do đó , theo định lý sin D A AE a a 2a = ⇔ AE = = o sin 45 3 Tam giác vuông ABE cho : AB a cos BAE = = = => BAE = 30o AE 2a B E C o Ví dụ : Cho tam giác ABC có BAC = 120 AD là phân giác góc A (D thuộc cạnh BC ) Chứng minh tổng hai bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD và tam giác ADC bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Giải : Ta có 17 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (18) 18 Chương Tích vô hướng và ứng dụng BAD = DAC = 60o ⇒ sin BAD = sin DAC = sin BAC = Theo định lý sin , ta có : BD BD DC DC R( ABD ) = ; R( ADC ) = = = sin BAD sin DAC 3 2 BC BC BD + DC R( ABC ) = = = = R( ABD ) + R( ADC ) sin BAC 3 2 ⇔ R( ABC ) = R( ABD ) + R( ADC ) Ví dụ : Cho tam giác ABC vá điểm M thuộc cạnh BC Biết : bc sin(α + β ) BAM = α ; CAM = β Chứng minh AM = c sin α + b sin β Giải : Ta có : 1 S( ABC ) = AB AC.sin A = bc sin(α + β ) 2 1 S( ABM ) = AB AM sin BAM = AM c.sin α 2 1 S( ACM ) = AC AM sin CAM = AM b.sin β 2 Mà : 1 bc sin(α + β ) = AM (c sin α + b sin β ) 2 bc sin(α + β ) Suy AM = c sin α + b sin β S( ABC ) = S( ABM ) + S( ACM ) ⇔ Ví dụ : Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông A là 2 mb + mc = 5ma (ma , mb , mc là trung tuyến vẽ từ A,B,C ) Giải : Ta có : 2 2(c + a ) − b 2(a + b ) − c 2(b + c ) − a + =5 4 2 2 2 2 ⇔ 2c + 2a − b + 2a + 2b − c = 10b + 10c − 5a mb + mc = 5ma ⇔ ⇔ 9a = 9(b + c ) ⇔ a = b2 + c2 Vậy tam giác ABC vuông A Ví dụ 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC = 87 o Tính các cạnh và các góc còn lại Giải : Ta có : 18 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (19) 19 Chương Tích vô hướng và ứng dụng a = b + c − 2bc cos87 o = 322 + 452 − 2.32.45.cos87o = 2898 ⇒ a = 2898 = 53,8 cos B = c + a − b 452 + 2898 − 322 = = 0,8052 2ca 2.45.53,8 ⇒ ABC = 36o 22 ' ⇒ ACB = 180o − (87 o + 36o 22 ') = 56o38' C Bài tập rèn luyện 18 Cho tam giác ABC có ba cạnh 10cm ; 13cm ; 17cm Tính diện tích ,bán kính đường tròn ngọai tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 19 Cho tam giác ABC vuông A ; AB = ; AC = Trên tia BC lấy điểm D saocho CD = ; trên tia BA lấy điểm E cho AE = Tính các cạnh và các góc tam giác ADE c 20 Tam giác ABC có cạnh là BC = a ; CA = b ; AB = c và trung tuyến AM = 2 2 2 Chứng minh 2b = a − c ; sin A = 2sin B + sin C 21 Cho tam giác ABC nhọn có AB = 3cm ; AC = 4cm và diện tích S = 3cm Tính cạnh BC và đường cao AH tam giác này 22 Cho hình vuông ABCD cạnh a , O là tâm hình vuông và E là trung điểm AB Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp , diện tích và các góc tam giác OCE 23 Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c Chứng minh tan A c + a − b = tan B b + c − a 2 24 Cho tam giác ABC có : BAC = 60o ; BC = ; AC = Tính cạnh AB và các góc tam giác này 25 Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c và các cạnh này thỏa điều kiện b + c = 5a Chứng minh hai trung tuyến vẽ từ B và C thì vuông góc với 26 Cho tam giác ABC có : AB = 3cm ; AC = 2x(cm) ; BC = 5cm a) Định điều kiện x (để ABC là tam giác ) b) Định x để góc BAC = 60o * 27 a) Cho tam giác MPQ có trung tuyến là MR Chưng minh PQ MP + MQ = MR + b) Cho tam giác ABC vuông A và có BC = Trên đường thẳng BC lấy điểm D và E cho BD = BE = Chứng minh AD + AE + AC = 74 28 Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = 90o )và AB =4cm ;AD = 3cm ; BC = 11cm Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác BCD D Hướng dẫn giải hay đáp số 18 19 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (20) 20 Chương Tích vô hướng và ứng dụng (10 + 13 + 17) = 20cm S = p( p − a)( p − b)( p − c) = 20.10.7.3 = 10 42 = 64,80cm p= R= abc 10.13.17 221 = = = 8,52cm S 4.10 42 42 r= S 10 42 = = 3, 24cm p 20 2.19 BC = AB 25 + AC = + 16 = ⇒ BD = + = 12 BE = + = DE = BD + BE − BD.BE.cos B 464 = 144 + 64 − 2.12.8 = ⇒ DE = 9, 63 5 cos B = = 0, ⇒ B = 53o ' DE BE BE sin B sin B = = 0,8 ; = ⇒ sin D = sin B sin D DE 8.0,8 = 0, 6645 ⇒ D = 41o38' sin D = 9, 63 E = 180o − (41o38'+ 53o ') = 75o15' 20 Áp dụng công thức đường trung tuyến : 2(b + c ) − a c 2(b + c ) − a 2 AM = ma = ⇔ = 4 2 ⇔ a − c = 2b Theo định lý sin , ta có : a = 2RsinA ; b =2RsinB ; c = 2RsinC nên : R sin A − R sin C = 2( R sin B) ⇔ sin A − sin C = 2sin B ⇔ sin A = 2sin B + sin C 21 Ap dụng công thức : S= 1 AB AC.sin A ⇔ 3 = 3.4.sin A 2 ( vì góc A nhọn ) o ⇔ sin A = ⇒ A = 60 Ta lại có : BC = AB + AC − AB AC.cos 60o = + 16 − 2.3.4 = 13 => BC = 13 2S 2.3 39 AH = = = BC 13 13 22 Ta có : 20 www.saosangsong.com.vn/ Lop10.com (21)