Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 01 GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ Định nghĩa 0 TỪ ĐẾN 180 a 00 £ a £ 1800 ) Với góc ( ta xác định điểm M nửa · = a giả sử điểm M có tọa đường tròn đơn vị cho xOM độ M ( x0; y0 ) Khi ta có định nghĩa: · sin góc a y0, kí hiệu sin a = y0 ; · cosin góc a x0, kí hiệu cosa = x0 ; · · tang góc a y0 ( x0 ¹ 0) , x0 cotang góc a kí hiệu x0 ( y0 ¹ 0) , y0 y tan a = M y0 ; x0 y0 x cot a = y0 kí hiệu x0 -1 a x O Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox · · = a xON = 1800 - a Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0 Do xOM y sin a = sin( 1800 - a ) cosa = - cos( 1800 - a ) tan a = - tan( 1800 - a ) y0 N cot a = - cot( 1800 - a ) M x a - x0 x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị 00 300 450 600 sina 2 cosa 2 2 a 900 1800 0 - lượng giác tana cota P 1 3 1 3 P 0 P Trong bảng kí hiệu "P" để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 = cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = - Góc hai vectơ a) Định nghĩa r r r Cho hai vectơ a b khác vecto Từ điểm O bất uur r uur r 0 · kì ta vẽ OA = a OB = b Góc AOB với số đo từ đến 180 r r gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai r a r b r r r r ( a,b) ( a,b) = 90 vectơ Nếu vng góc với nhau, kí hiệu r b r a r r a^ b ta nói r r b ^ a r b A r a r b B r a O r r rr ( a,b) = ( b, a) b) Chú ý Từ định nghĩa ta có CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 0 Câu Giá trị cos45 + sin45 bao nhiêu? A B C D 0 Câu Giá trị tan30 + cot30 bao nhiêu? A D B 1+ C Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? A sin150O = O tan150 = - B cos150O = O C D cot150 = o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 P= A B C P = D P = o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 A P = B P = C P = D P = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O O O A sin45 + cos45 = B sin30 + cos60 = O O O O C sin60 + cos150 = D sin120 + cos30 = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O O O A sin0 + cos0 = B sin90 + cos90 = P = O sin60O + cos60O = O 3 +1 C sin180 + cos180 = - D Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? O O O O A cos45 = sin45 B cos45 = sin135 O O O O C cos30 = sin120 D sin60 = cos120 Câu Tam giác ABC vng A có góc Bµ = 30 Khẳng định sau sai? cosB = ABC sinC = B A Câu 10 Tam giác sau đúng? A · sin BAH = cosC = C có đường cao · cosBAH = B C · sin ABC = sin B = D AH Khẳng định D · sin AHC = Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A sin( 180°- a ) = - cosa B sin( 180°- a ) = - sin a C sin( 180°- a ) = sin a D sin( 180°- a ) = cosa Câu 12 Cho a b hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin a = sin b B cosa = - cosb C tan a = - tan b D cot a = cot b Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin30°cos15°+ sin150°cos165° P =- P= A B P = C D P = Câu 14 Cho hai góc a b với a + b = 180° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = B P = C P = - D P = Câu 15 Cho tam giác A P = B P = ABC Tính C P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C ) P = - D P = P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C ) Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = P = P = P = A B C D b Câu 17 Cho hai góc nhọn a phụ Hệ thức sau sai? tan a = cot b A sin a =- cosb B cosa = sin b C D cot a = tan b 2 2 Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110° A S = B S = C S = D S = Câu 19 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa A P = B P = C P = - D P = Câu 20 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sina A P = B P = C P = - D P = Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho a góc tù Khẳng định sau đúng? A sin a < B cosa > C tan a < D cot a > Câu 22 Cho hai góc nhọn a b a < b Khẳng định sau sai? A cosa < cosb B sin a < sin b C cot a > cot b D tan a + tan b > Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos75°> cos50° B sin80°> sin50° C tan45°< tan60° D cos30°= sin60° Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin100° B cos95°> cos100° C tan85°< tan125° D cos145°> cos125° Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin150° B sin90°15¢< sin90°30¢ C cos90°30¢> cos100° D cos150°> cos120° Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos2 a + sin2 a = 1? a a cos2 + sin2 = 2 A C cos2 a a + sin2 = 4 A 105 25 B P= Câu 28 Cho biết ? A P= B 19 13 A B Câu 30 Cho biết ? P= 10 26 A B Câu 31 Cho biết A B Câu 32 Cho biết A B Câu 33 Cho biết A sin a cosa = a C sin a cosa = 19 13 ổ 2a aử ữ= 5ỗ cos + sin2 ữ ỗ ữ ỗ ố 5ứ P= 109 25 P =- P= 100 26 C P= D 50 26 sin a + cosa = a a2 - P =- P =- P= tan a = cot a = 25 13 101 26 D Giá trị tan a = sin a cosa = tana D Tính giá trị cot a = C D Tính giá trị sin a cosa B sin a cosa = 2a D P = 2cos2 a + 5sin a cosa +1 2cosa + 2sin a = , 00 < a < 900 cot a = 111 25 6sin a - 7cosa 6cosa + 7sin a D 3cosa - sin a = , 00 < a < 900 C P= cot a + 3tan a P= 2cot a + tan a 25 13 C Giá trị a a + 5cos2 3 D Giá trị P= cot a = P = 3sin2 Giá trị tan a = cot a cot a = C C cosa = - P= tan a = 107 25 tan a = - P= a a + sin2 = 3 Giá trị P= Câu 29 Cho biết ? P =- D a sin = Câu 27 Cho biết ? P= B cos2 a2 - 11 2 cosa + sin a = Câu 34 Cho biết ? P= A B P= sin a - cosa = Câu 35 Cho biết ? P= A 15 B C 17 P= C P = tan2 a + cot2 a Giá trị P= D 19 11 P = sin4 a + cos4 a Giá trị P= P= D 21 P= Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120O ? uuuu r uuur A Câu uuur uuur ( MN , NP ) uuuu r uur ( MO,ON ) B Cho 37 tam C giác ) P= ( ) ( ) P= 3 D uuu r uuu r uuur uur uur uuu r P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB ( uuuu r uuur ( MN ,OP ) P =- ( MN , MP ) ABC 3 AH Tính P =- A B C D Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao uuur uuu r ( AH , BA) 0 A 30 B 60 C Câu 39 Tam giác ABC vuông sau sai? uuu r uuu r ( AB, BC ) = 130 A uuu r uur AB, CB) = 50 ( C uuur uur cos AC,CB ( A C uuur uur cos AC,CB = ( ( µ = 500 B có góc uuu r uuur 1500 Hệ thức 0 ABC ) uuur uur cos AC,CB = D ( BC, AC ) = 40 B uuur uur AC, CB) = 40 ( D Câu 40 Tam giác 1200 A Tính ) B ) Câu 41 Cho tam giác o o A 180 B 360 vuông D ABC có A BC = 2AC Tính uuur uur cos AC,CB = - ( ) uuur uur cos AC,CB =- ( Tính tổng o C 270 uuu r uuur uuur uur uur uuu r AB, BC + BC,CA + CA, AB ) ( ) ( D ) ( 120o ) Câu ( 42 Cho uuu r uuu r uuu r uur AB, BC + BC,CA ) ( ) tam o ABC giác o o ( B ) ( uuur uuu r cos AC, BA = uuur uuu r cos AC, BA = ( ) ( ) C uuu r uuur uuur uur uuu r uuur AB, DC + AD,CB + CO, DC ) ( A ) ( 45 B ABCD ) 80o C uuur uuur cos AC, BA ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) D 160o ( O ) Tính tổng 3150 D 2250 Bài 02 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTÔ Định nghĩa r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng r b số, kí hiệu sau: rr ab , H uuur uuu r cos AC, BA = - D ABCD tâm 4050 tổng D 240 có trực tâm ( Tính B C Câu 45 Cho hình vng ( ) 180o Câu 44 Cho hình vng A 100o uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur HA, HB + HB, HC + HC, HA ) ( Tính o A 120 B 360 C 270 Câu 43 Tam giác ABC có góc A Tính tổng o A 360 µ = 60o A với r a xác định công thức rr r r r r ab = a b cos a,b ( ) r Trường hợp hai vectơ a rr ta quy ước ab= Chú ý r r r rr r r = Û a ^ b · Với a b khác vectơ ta có ab r r rr kí hiệu · Khi a = b tích vơ hướng aa gọi bình phương vơ hướng vectơ r2 r r r2 a = a a cos00 = a r a r b vectơ r r2 a số Ta có Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: r r r a, b, c Với ba vectơ số rr rr = ba (tính chất giao hốn); · ab k ta có: · · r r r rr rr a b+ c = ab + ac ( ) (tính chất phân phối); r r rr r r ka b = k ab = a kb ( ) ( ) r2 r2 r ( ); · a ³ 0, a = Û a = Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: r · · r r2 2 rr 2 · r2 ( a+ b) = a + 2ab + b ; r r r rr r ( a- b) = a - 2ab + b ; r r r r r r ( a+ b)( a- b) = a - b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng rr ( O;i; j ) , Trên mặt phẳng tọa độ rr là: Khi tích vơ hướng ab cho hai vectơ r ur a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) rr ab = ab 1 + a2b2 r r a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) Nhận xét Hai vectơ góc với khác vectơ r vuông ab 1 + a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo cơng thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r a = ( a1;a2 ) r b = ( b1;b2 ) khác r ta có rr r r a1b1 + a2b2 ab cos a;b = r r = a12 + a22 b12 + b22 a b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm công thức: A ( xA ; yA ) B ( xB ; yB ) AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM tính theo Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r Câu Cho a b hai vectơ hướng khác r vectơ Mệnh đề sau đúng? rr r r ab = a b rr rr - A B ab= C ab= r r r Câu Cho hai vectơ a b khác Xác rr r r r r ab =- a b hai vectơ a b A a = 1800 B a = 00 C a = 900 r b r a Câu Cho hai vectơ thỏa mãn r r Xác định góc a hai vectơ a b 0 A a = 30 B a = 45 C a = 60 Câu Cho hai vectơ r r 2r u = a- 3b r r r a r b thỏa mãn rr r r ab =- a b D định góc D a = 450 r r a = 3, b = D r r a = b =1 a rr a.b = - a = 1200 hai vectơ r v = a+ b vng góc với Xác định góc a r r hai vectơ a b 0 0 A a = 90 B a = 180 C a = 60 D a = 45 r r Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? A r r 1ær r r r ữ a.b = ỗ a +b - a - b ữ ữ ỗ ứ 2ố r r 1ỉr r r r ÷ a.b = ỗ ữ ỗa + b - a - b ø ÷ 2è C Câu Cho tam giác uuu r uuur hướng AB.AC A uuu r uuur AB.AC = 2a2 uuu r uuur a2 AB.AC = D Câu Cho tam giác uuu r uuur hướng AB.BC B r r 1ær r r r ữ a.b = ỗ a + b - a- b ữ ữ ỗ ứ 2ố r r ỉr r r r ÷ a.b = ỗ a +b - a- b ữ ç ÷ è ø D có cạnh a ABC B ABC uuu r uuur a2 AB.AC = giác C uuu r uuur a2 AB.AC = a Tính tích vơ C uuu r uuu r a2 AB.BC = có cạnh uuu r uuu r a2 uuu r uuu r AB BC = 2 A AB.BC = a B uuu r uuu r a2 AB.BC = D G Câu Gọi trọng tâm tam a Mệnh đề sau sai? Tính tích vơ ABC có cạnh A uuu r uuur AB.AC = a2 uuu r uuur AB.AG = a B uuur uur AC.CB = - a2 C D Câu Cho tam giác ABC có cạnh AH Mệnh đề sau sai? uuur uuu r AH BC = ( A B Câu 10 Cho tam giác uuur uuu r Tính AB.BC uuu r uuu r A AB.BC =- a uuu r uuu r a2 AB.BC = uuu r uuur a2 AB.AC = uuu r uuur AB, HA = 1500 ) ABC C vuông cân B uuu r uuu r a2 GA.GB = a chiều cao uuur uur a2 AC.CB = D A có AB = AC = a uuu r uuu r AB.BC = a2 C uuu r uuu r a2 AB.BC = D Câu 11 Cho tam giác ABC vng A có AB = c, AC = b uuu r uuu r Tính BA.BC uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 2 A BA.BC = b B BA.BC = c C BA.BC = b + c D BA.BC = b - c Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm Tính uur uur CA.CB uur uur uur uur A CA.CB = 13 B CA.CB = 15 Câu 13 Cho tam giác C ABC uuu r uuur uuu r P = AB + AC BC ( ) 2 P= c2 + b2 A P = b - c B Câu 14 Cho tam giác trung điểm cạnh BC Tính A C có ABC uuuu r uuu r AM BC uuuu r uuu r b2 - c2 AM BC = uuuu r uuu r c2 + b2 + a2 AM BC = C Câu 15 Cho ba điểm B D uur uur CA.CB = 17 có P= uur uur CA.CB = 19 BC = a, CA = b, AB = c c2 + b2 + a2 D P= BC = a, CA = b, AB = c Tính c2 + b2 - a2 Gọi M uuuu r uuu r c2 + b2 AM BC = uuuu r uuu r c2 + b2 - a2 AM BC = O, A, B không thẳng uur uur uuu r OA +OB AB = ( D ) hàng Điều kiện cần đủ để tích vơ hướng OAB A tam giác B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O Câu 16 Cho M , N , P, Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? Lời giải Từ giả thiết suy Suy r 1 u= + 25 = 101 Do r r u=v v r ổ u=ỗ ;ỗ ç è2 ưr 5÷ ÷ ÷, v = ( k;- 4) ø r v = k2 +16 k2 +16 = 101 37 37 101 Û k2 +16 = Û k2 = Û k=± 4 Chọn C Câu 47 Trong mặt phẳng tọa độ r r a = ( - 2;3) , b = ( 4;1) vng góc với vectơ A B 2k = 2m Lời giải Ta có Để với r r r c = ka + mb ( r r a+ b ) Biết vectơ k, mỴ ¡ C 3k = 2m 2k + 3m= D 3k + 2m= r r r ìï c = ka + mb = ( - 2k + 4m;3k + m) ïï ír r ïï a+ b = ( 2;4) ïỵ r r r r r r c ^ a+ b Û c a+ b = Û 2( - 2k + 4m) + 4( 3k + m) = Û 2k + 3m= ( ) ( r b= ( 4;1) ) A Lời Tìm vectơ u r ỉ 6ử d =ỗ ; ữ ữ ỗ ữ ỗ è7 7ø giải B Gọi ìï ï ìïï - 2x + 3y = ïïï x = - Û í í ïïỵ 4x + y =- ïï ïï y = ỵï u r d biết ru r ad =4 u r æ 6ử d =ỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ỗ è 7ø u r d = ( x; y) C Oxy, cho hai vectơ u r æ 6ử d =ỗ ;- ữ ữ ỗ ữ ỗ è7 7ø Từ trục hoành Chọn r a= ( - 2;3) ru r bd =- giả D thit, u r ổ 6ử d =ỗ - ;- ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 7ứ ta có hệ Chọn B Câu 49 Trong mặt phẳng tọa độ r r u = ( 4;1) , v = ( 1;4) r c Khẳng định sau đúng? C Câu 48 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba vectơ Oxy, r r r a = u + mv với mỴ ¡ Tìm cho ba vectơ Oxy, m để r a vng góc với A B m= Lời giải Ta có C m= - r a r i = ( 1;0) vuông góc với trục hồnh Chọn B Câu 50 Trong mặt phẳng tọa độ Tìm r v= ( 1;4) góc m= r r r a = u + mv = ( + m;1+ 4m) Trục hồnh có vectơ đơn vị Vectơ D m= - m để vectơ r r r a = mu +v rr Û = Û + m= Û m= - Oxy, cho hai vectơ tạo với vectơ r u = ( 4;1) r r r b= i + j 450 A B m= Lời giải Ta có m= - C m=- D m= r r r ìï a = mu + v = ( 4m+1;m+ 4) ïï ír r r ïï b = i + j = ( 1;1) ïỵ u cầu toán r r Û cos a, b = cos450 = 5( m+1) ( 4m+1) +( m+ 4) 2 = Û = 2 2 2 17m +16m+17 ( 4m+1) +( m+ 4) ( ) Û ïì m+1³ Û 5( m+1) = 17m2 +16m+17 Û ïí Û m= - ïïỵ 25m2 + 50m+ 25 = 17m2 +16m+17 Chọn C Vấn đề CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI Câu 51 Trong mặt phẳng tọa độ hai điểm A M ( 1;- 2) MN = B Lời giải Ta có Chọn D Oxy, tính khoảng cách N ( - 3;4) MN = uuuu r MN = ( - 4;6) C MN = D MN = 13 suy MN = ( - 4) + 62 = 42 = 13 Câu 52 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 1;4) , B ( 3;2) , C ( 5;4) A D Tính chu vi Vậy chu vi B P uuu r ìï AB = ( 2;- 2) ïï r ïï uuu í BC = ( 2;2) Þ ïï uur ïï CA = ( - 4;0) ïỵ tam giác B Câu 53 Trong hệ tọa độ vectơ r a B r v = ( - 8;6) C P = 8+ ( ìï ïï AB = 22 +( - 2) = 2 ïï 2 íï BC = + = 2 ïï ïï CA = - + 02 = ( ) ïï ỵ ABC r r O;i ; j ) , cho vectơ C r 3r r a =- i - j 5 Độ dài D ỉ 3ư ỉ r r ỉ 4ư r 3r r ữ ỗ a =- i j ắắ đ a =ỗ - ;- ữ ị a = +ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ è 5ø è 5ø è 5 cho hai vectơ Oxy, 4÷ = ÷ ÷ 5ø r u = ( 3;4) Khẳng định sau đúng? B r r u = v r u Chọn P = AB + BC +CA = + Chọn B Câu 54 Trong mặt phẳng tọa độ A C P = + Lời giải Ta có có P = 2+ 2 Lời giải Ta có A ABC tam giác cho P P = + 2 cho tam giác Oxy, vng góc với Lời giải Ta có r v D rr u.v = 3.( - 8) + 4.6 = r u r v r r u = - v suy Chọn C Câu 55 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 1;2) , B ( - 2;- 4) , C ( 0;1) phương r u vng góc với Oxy, cho điểm Mệnh đề sau ? ỉ 3÷ Dỗ ỗ- 1; ữ ữ ỗ ố 2ứ r v A C Lời uuu r AB phương với giải uuu r AB B D uuu r uuu r AB ^ CD Ta có uuu r uuu r AB = CD uuu r uuu r AB = CD uuu r AB = ( - 3;- 6) uuu r uuu r AB.CD = ( - 3) ( - 1) +( - 6) = Vậy uuu r CD vng góc với uuu r CD A D ( 0;- 2) Oxy, cho bốn điểm Khẳng định sau đúng? uuur uur AC ^ CB B Tam giác C Tứ giác D Tứ giác ABC hình vng ABCD ABCD Lời khơng nội tiếp đường tròn giải Ta uu r 2 ìï u ïï AB = ( 1;7) Þ AB = + = r ïï uuu ïï BC = ( - 7;1) ị BC = ắắ ® AB = BC = CD = DA = í uuu ïï CDr = ( - 1;- 7) Þ CD = ïï ïï uuur ïïỵ DA = ( 7;- 1) Þ DA = Lại có suy Chọn C Câu 56 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 7;- 3) , B ( 8;4) , C ( 1;5) uuu r ổ 1ử CD = ỗ - 1; ữ ữ ỗ ỗ ố 2ữ ứ uuu r uuu r AB.BC = 1( - 7) + 7.1= Từ suy nên AB ^ BC hình vng Chọn C ABCD Câu 57 Trong mặt phẳng tọa độ A ( - 1;1) , B ( 0;2) , C ( 3;1) đúng? A Tứ giác B Tứ giác C Tứ giác D Tứ giác có ABCD ABCD ABCD ABCD D ( 0;- 2) Oxy, cho bốn điểm Khẳng định sau là hình bình hành hình thoi hình thang cân khơng nội tiếp đường tròn Lời giải Ta có Suy DC P AB Mặt khác Từ ( 1) uuu r ìï AB = ( 1;1) uuur uuu r ùù ắắ đ DC = 3AB uuur ïï DC = ( 3;3) ïỵ DC = 3AB ( 1) ( 2) , suy tứ giác ABCD hình thang cân Chọn C Câu 58 Trong mặt phẳng tọa độ A ( - 1;1) , B( 1;3) C ( 1;- 1) A Tam giác B Tam giác C Tam giác D Tam giác Lời giải Ta có Suy ABC ABC ABC ABC Oxy, cân B vuông cân B Tam giác C Tam giác D Tam giác Lời giải Ta có ABC ABC ABC Oxy, ABC vuông cân cho tam giác ABC Khẳng định sau đúng? vng cân vng cân có góc A A B tù uuu r uuu r AB = ( - 7;- 3) , BC = ( 3;- 7) ABC uuur AC = ( 2;- 2) Vậy tam giác uuu r uuu r AB.BC = ( - 7) 3+( - 3) ( - 7) = Vậy tam giác A uuu r uuu r AB = ( 2;2) , BC = ( 0;- 4) ABC có có ba góc nhọn C ( 6;- 5) A Tam giác ABC ìï AB = AC = 2 ï í ïï AB2 + AC = BC ỵ A ( 10;5) , B ( 3;2) cho tam giác Khẳng định sau ? Chọn D Câu 59 Trong mặt phẳng tọa độ Suy ( 2) ìï AD = 12 + 32 = 10 ùù ắắ đ AD = BC í ïï BC = 32 +12 = 10 ïỵ vuông cân uuur AC = ( - 4;- 10) AB = BC B Chọn C A có Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ A ( - 2;- 1) , B ( 1;- 1) A Tam giác B Tam giác C Tam giác D Tam giác Lời giải Ta có Do C ( - 2;2) ABC ABC ABC ABC Oxy, cho tam giác ABC có Khẳng định sau đúng? vuông cân vuông B A vuông cân uuu r uuu r AB = ( 3;0) , BC = ( - 3;3) ïìï AB = AC = Þ AB2 + AC = BC í ïï BC = ỵ C uuur AC = ( 0;3) Vậy tam giác ABC vng cân A Chọn B Vấn đề TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ B ( 8;4) ABC Tìm tọa độ điểm vng A B Lời giải Ta có ABC cho hai điểm A ( - 2;4) C C ( 0;0) , C ( 6;0) C Ỵ Ox nên vng éc = ® C ( 6; 0) Û c2 - 6c = Û ê êc = ® C 0;0 ( ) ê ë thuộc trục hoành cho tam giác C C C ( 6;0) Tam giác Oxy, C ( c;0) C nên C ( 0;0) D C ( - 1;0) uur ìï CA = ( - 2- c;4) ïï í uur ïï CB = ( 8- c;4) ïỵ uur uur CA.CB = Û ( - 2- c) ( 8- c) + 4.4 = Chọn B Câu 62 Trong mặt phẳng tọa độ B ( - 3;1) Tìm tọa độ điểm vng ABC A cho hai điểm B Lời giải Ta có C C ( 5;0) C Ỵ Oy nên giác C ( 0;6) C ( 0;c) D C ( 3;1) uuu r ìï AB = ( - 4;- 1) ïï í uuur ïï AC = ( - 1;c- 2) ïỵ vng ABC A ( –4;0) , B ( –5;0) uuur uuur uuur r MA + MB + MC = C ( 3;0) B M ( –2;0) Tìm điểm M ( –4;0) nên M Ỵ Ox uuur ìï MA = ( - 4- x;0) ïï uuur uuur uuur ïï uuur ® MA + MB + MC = ( - 6- 3x;0) í MB = ( - 5- x;0) ¾¾ ïï uuur ïï MC = ( 3- x;0) ïỵ uuur uuur uuur r MA + MB + MC = nên N ( 1;1) điểm A Tìm tọa độ điểm M , N, P Oxy, cho ba điểm D P Oxy, M ( –5;0) Chọn A cho hai điểm Lời giải Ta có B C P ( 0;–4) P Î Ox nên P ( x;0) M ( –2;2) thuộc trục hoành cho ba thẳng hàng P ( 0;4) M ( x;0) - 6- 3x = x = - ắắ đ M ( - 2;0) Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ nên A thuộc trục hoành cho M C M ( 2;0) Lời giải Ta có Do C ( 0;- 6) Chọn A Câu 63 Trong mặt phẳng tọa độ A thuộc trục tung cho tam giác uuu r uuur AB.AC = Û ( - 4) ( - 1) +( - 1) ( c- 2) = Û c = Vậy A ( 1;2) A C ( 0;6) Tam C Oxy, P ( –4;0) D uuur ìï MP = ( x + 2;- 2) ïï í uuuu r ïï MN = ( 3;- 1) ïỵ P ( 4;0) Do M , N, P thẳng hàng nên x+2 - = x = ắắ đ P ( 4;0) - Câu 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm hồnh để khoảng cách từ đến điểm A B M ( 1;0) N ( - 1;4) thuộc trục M C M ( 1;0) , M ( - 3;0) Chọn D M ( 3;0) D M ( 1;0) , M ( 3;0) Lời giải Ta có M Ỵ Ox Theo giả thiết: nên M ( m;0) uuuu r MN = Û MN = Û uuuu r MN = ( - 1- m;4) ( - 1- m) + 42 = ộm= 1ắắ đ M ( 1;0) ( 1+ m) +16 = 20 Û m2 + 2m- = m = ắắ đ M 3;0 ( ) ê ë Câu 66 Trong mặt phẳng tọa độ B( 4;2) Tìm tọa độ điểm u hai im A A B ổ5 Cỗ ữ ç- ;0÷ ÷ ç è ø Lời giải Ta có Do C Oxy, Chọn B cho hai điểm thuộc trục hoành cho A ( 1;3) C cỏch B C ổ Cỗ ữ ỗ ;0ữ ữ ỗ ố3 ứ C ẻ Ox nờn v C ( x;0) D ổ3 Cỗ ữ ỗ- ;0ữ ữ ç è ø ỉ Cç ÷ ç ;0ữ ữ ỗ ố5 ứ uuur ỡù AC = ( x - 1;- 3) ïï í uuu r ïï BC = ( x - 4;- 2) ïỵ ỉ 5 ÷ CA = CB Û CA = CB Û ( x - 1) +( - 3) = ( x - 4) +( - 2) Û x = ắắ đC ỗ ;0ữ ỗ ữ ỗ ố3 ứ 2 2 Chọn B Câu 67 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 2;2) , B ( 5;- 2) Tìm điểm M Oxy, cho hai điểm thuộc trục hoàng cho · AMB = 900 ? A M ( 0;1) B M ( 6;0) C M ( 1;6) D M ( 0;6) Lời giải Ta có Vì suy · AMB = 900 nên M Ỵ Ox uuuu r uuur AM BM = ém= Û m - 7m+ = ắắ đ ờm= M ( m;0) nên ( m- 2) ( m- 5) +( - 2) = Chọn B éM ( 1;0) ê êM 6;0 ) ê ë ( Câu 68 Trong mặt phẳng tọa độ B ( 3;2) A Tìm M Oxy, thuộc trục tung cho B M ( 0;1) Lời giải Ta có Khi uuuu r ìï AM = ( m- 2;- 2) ïï í uuur ïï BM = ( m- 5;2) ùợ C M ( 0;- 1) M ẻ Oy nên M ( 0;m) cho hai điểm và nhỏ nht MA2 + MB2 D ổ 1ử Mỗ ữ ỗ0; ữ ữ ỗ ố 2ứ A ( 1;- 1) ổ 1ử Mỗ ữ ỗ0;- ữ ữ ỗ ố 2ứ uuur ìï MA = ( 1;- 1- m) ïï í uuur ïï MB = ( 3;2- m) ïỵ uuur uuur 2 MA2 + MB2 = MA + MB = 12 +( - 1- m) + 32 + ( 2- m) = 2m2 - 2m+15 ỉ 1ư 29 29 = 2ỗ m- ữ + ; " mẻ Ă ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ 2 Suy { MA Dấu '' = '' + MB2 } = 29 xảy v ch ổ 1ử m= ắắ đ Mỗ 0; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Câu 69 Trong mặt phẳng tọa độ ABCD A biết A ( - 2;0) , B ( 2;5) , D ( 2;- 3) Lời giải Gọi Vì B Ta có D ( x; y) cho hình bình hành Tìm tọa độ điểm C D ( 2;3) ABCD uuur uuu r ìï x + = AD = BC ắắ đ ùớ ùợù y = - Chọn A C ( 6;2) Oxy, Chọn C D ( - 2;- 3) uuur AD = ( x + 2; y) hình ìïï x = ắắ đ D ( 2;- 3) ùợù y = - bình D D D ( - 2;3) uuu r BC = ( 4;- 3) hành nên Câu 70 Trong mặt phẳng tọa độ B ổ 10ữ Gỗ 2; ữ ỗ ỗ ố 3ữ ứ C ổ 10ữ Gỗ ;ữ ỗ ỗ è3 ø 3÷ Lời giải Tọa độ trọng tâm A ( - 4;1) , B ( 2;4) , C ( 2;- 2) G ( xG ; yG ) æ1 Iỗ ;1ữ ữ ỗ ữ ỗ ố4 ứ Do I C ổ1 Iỗ - ;1ữ ữ ỗ ữ ç è ø I ( x; y) Ta có Oxy, Tìm tọa độ tâm tiếp tam giác cho A B G I ABC có tam giác D G ( 2;5) D Câu 71 Trong mặt phẳng tọa độ Lời giải Gọi cho tam giác Tìm tọa độ trọng tâm A ( 1;3) , B ( - 2;4) , C ( 5;3) cho A Oxy, ổ4 10ử Gỗ ; ữ ữ ỗ ữ ç è3 ø 1- 2+ ïìï = ïï xG = 3 ïí ïï 3+ + 10 y = = ïï G 3 ïỵ cho tam giác Chọn ABC có đường tròn ngoi D ổ 1ữ Iỗ 1; ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ ổ 1ử Iỗ 1;- ữ ữ ç ÷ ç è 4ø uur ìï AI = ( x + 4; y- 1) ïï ïï uur í BI = ( x - 2; y- 4) ïï uur ïï CI = ( x - 2; y + 2) ïỵ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ìï IA2 = IB2 IA = IB = IC Û ïí ïïỵ IB = IC ìï ( x + 4) +( y- 1) = ( x - 2) +( y- 4) ï Û ïí Û ïï ( x - 2) +( y- 4) = ( x - 2) +( y + 2) ïỵ ì ïìï ( x + 4) = ( x - 2) + ïïï x = Û í í ïï y = ïï î îï y = B Câu 72 Trong mặt phẳng tọa độ A ( - 3;0) , B ( 3;0) C ( 2;6) giác cho Tính A a + 6b = B Gọi H ( a;b) Oxy, Chọn cho tam giác ABC tọa độ trực tâm tam a + 6b a + 6b = có C a + 6b = D a + 6b = Lời giải Ta có Từ uuur uuu r ìï AH BC = ïí uuur uuur Û ïï BH AC = ïỵ uuur uuu r ìï AH = ( a+ 3;b) & BC = ( - 1;6) ïï í uuur uuur ïï BH = ( a- 3;b) & AC = ( 5;6) ïỵ giả thiết, ì ïíï ( a + 3) ( - 1) + b.6 = Û ïï ( a- 3) 5+ b.6 = ỵ đỉnh A A C ( - 3;- 8) xuống cạnh A '( 1;- 4) Lời giải Gọi B C Ta cú ùỡù x = ắắ đ A '( 1;4) í ïỵï y = A' kẻ từ A '( 4;1) uuur uuu r ìï AA '.BC = ( 1) ï uuu r í uuur ïï BA ' = kBC ( 2) ïỵ Oxy, cho tam giác Tìm tọa độ chân đường cao A' ABC ổ 1ử A 'ỗ ; ữ ữ ç ÷ ç è5 5ø Lời giải Gọi B ỉ 1ử A 'ỗ - ;- ữ ữ ỗ ữ ç è 5ø A '( x; y) Ta cú C ổ 1ử A 'ỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 5ứ uuur ỡù AA ' = ( x - 2; y- 4) ïï r ïï uuu í BC = ( 6;- 2) ïï uuur ïï BA ' = ( x + 3; y- 1) ïỵ D có vẽ từ đỉnh tam giác cho A có Chọn C Câu 74 Trong mặt phẳng tọa độ A ABC uuur ìï AA ' = ( x - 4; y- 3) ïï r ïï uuu í BC = ( - 5;- 15) ïï uuur ïï BA ' = ( x - 2; y- 7) ïỵ · ( 1) Û - 5( x - 4) - 15( y- 3) = Û x + 3y = 13 · x - y- = Û 3x - y = - ( 2) Û - - 15 A ( 2;4) , B ( - 3;1) , C ( 3;- 1) D A '( 1;4) ìïï AA ' ^ BC Û í ïïỵ B, A ', C thang hang ïìï x + 3y = 13 Û í ïỵï 3x - y = - cho tam giác BC Từ giả thiết, ta có Giải hệ Oxy, Tìm toạ độ chân đường cao A '( - 1;4) A '( x; y) có ìï a = ùù ắắ đ a+ 6b = í ïï b = ỵï Chọn C Câu 73 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 4;3) , B ( 2;7) ta ổ 1ử A 'ỗ ;- ữ ữ ỗ ữ ỗ ố5 5ứ Vỡ l chõn đường cao vẽ từ đỉnh A' ïìï AA ' ^ BC í ïïỵ B, C, A ' thang hang A tam giác ïì uuur uuu r ìï AA '.BC = ìïï ( x - 2) 6+( y- 4) ( - 2) = ïïï 6x - 2y = Û ïí uuur Û ïí Û uuu r Û ïí x + y- ïï BA ' = kBC ïï ïï - 2x - 6y = = ïỵ - ïïỵ ïïỵï D Câu 75 Trong mặt phẳng tọa độ A ( - 3;- 2) , B ( 3;6) hình vng A D ( 5;- 8) Tìm tọa độ điểm C ( 11;0) B C D ( 8;5) Lời giải Dễ dàng kiểm tra Gọi I Gọi I trung điểm D ( x; y) , ìï x + ùù =4 ù BD ắắ đ ùớ ùù y + =- ïï ïỵ , cho ba điểm để tứ giác D ABCD D ( - 8;5) AC ắắ đ I ( 4;- 1) trung điểm ïíìï x = Þ D ( 5;- 8) ïỵï y = - Tìm tọa độ điểm C Oxy, cho hai điểm cho tam giác ABC A ( 2;4) C ( 4;0) Lời giải Gọi Tam giác ABC B C ( x; y) C C ( - 2;2) Ta có C ( 4;0) , C ( - 2;2) uuu r ìï BA = ( 1;3) ïï í uuu r ïï BC = ( x - 1; y- 1) ïỵ vng cân B uuu r uuu r ìï BA.BC = ï Û í ïï BA = BC î vuông cân B A ABCD Chọn A Câu 76 Trong mặt phẳng tọa độ B ( 1;1) Chọn ïìï ïï x = ïí ïï ïï y = ïỵ D ( - 5;8) I D nên uuu r uuu r ã BA.BC = ắắ đ ABC = 900 tâm hình vng Suy Oxy ABC D C ( 2;0) ìï 1.( x - 1) + 3.( y - 1) = Û ïí Û ïï + 32 = ( x - 1) +( y- 1) ïỵ ïíïì x = 4- 3y Û ïỵï 10y2 - 20y = ïìï y = ïì y = hay ïí í ïỵï x = - ỵïï x = Câu 77 Trong mặt phẳng tọa độ có A ( 1;- 1) A B D ( 0;- 1) Lời giải Gọi Vì ABCD Với C D ( 2;- 3) C = ( x; y) Ta có ïìï y = 2( 3- x) Û í ï ïỵï 5( x - 3) = ta tính đỉnh C2 ( 2;2) D , biết A C ABCD ABCD D1 ( 2;- 3) D2 ( 0;1) D ( 0;- 2) góc hình thoi D O ïìï x = í ïïỵ y = : thỏa mãn Oxy, cho bốn điểm ABCD ABCD hình chữ nhật hình bình hành uuu r ìï AB = ( - 2;1) ïï uuu r uuur ìï AB = DC r ùù uuu ù đ uuu ắắ ® ABCD í BC = ( - 1;- 4) ¾¾ r uuu r ïï uuur ïï AB.BC = - ¹ ïỵ ïï DC = ( - 2;1) ïỵ Tìm tọa độ điểm tam giác Mệnh đề sau ? B B( 4;2) : khơng thỏa mãn hình hành Chọn D Câu 79 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 1;3) D ( - 2;- 3) uuu r uuu r ìï AB ^ BC ïí ïï AB = BC ỵ hình vng Lời giải Ta có D D ( 2;- 3) , D ( 0;1) Chọn B Câu 78 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 1;2) , B ( - 1;3) , C ( - 2;- 1) ABCD có tung độ âm D ïì y = 2( 3- x) ïì x = ïí Û ïí ïï ( x - 3) = ïỵï y = - îï ta tính đỉnh C1 ( 4;- 2) cho hình vng Oxy, uuur ìï AB = ( 2;1) ïï í uuu r ïï BC = ( x - 3; y) ïỵ hình vng nên ta có ïì 2( x - 3) +1.y = Û ïí Û ïï ( x - 3) + y2 = îï Với Tìm tọa độ điểm B ( 3;0) Chọn C OAB E Oxy, cho tam giác hình OAB với chân đường phân giác A B æ 5ữ E =ỗ ; ữ ỗ ữ ç è2 2ø C ( ỉ3 1ư E =ç ;- ữ ữ ỗ ữ ỗ ố2 2ứ D ) E = - 2+ 2;4 + ( ) E = - + 2;4- Lời giải Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có EA OA = = EB OB Vì E Gọi Từ nằm hai điểm E ( x; y) ( *) Ta có , suy A, B nên uuu r EA = - uuu r ìï EA = ( 1- x;3- y) ïï í uuu r ïï EB = ( 4- x;2- y) ïỵ ìï ïï 1- x = - ( 4- x) ìï x = - 2+ ïï Û íï í ïï ïï y = 4- 2 ïï 3- y = ( 2- y) ỵ ïỵ Câu 80 Trong mặt phẳng tọa độ A ( 2;0) , B( 0;2) cân C ( 0;7) ( *) r uuu EB Chọn D Oxy, Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D cho ba điểm hình thang ABCD A D ( 7;0) B D ( 7;0) , D ( 2;9) Lời giải Để tứ giác ABCD C D ( 0;7) , D ( 9;2) D D ( 9;2) hình thang cân, ta cần có cặp cạnh đối song song khơng cặp cạnh lại có độ dài Gọi D ( x; y) • Trường hợp 1: uuu r uuu r ìïï AB P CD CD = kAB ùùợ AB CD ïì x = - 2k Û ( x - 0; y- 7) = ( - 2k;2k) Û ïí ïïỵ y = 2k + Ta ( 2) có (với k¹ - ) ( 1) ìï uuur ïï AD = ( x - 2; y) Þ AD = ( x - 2) + y2 ắắ đ AD = BC Û ( x - 2) + y2 = 25 í uuu ïï r ỵï BC = ( 0;5) Þ BC = Từ ( 1) ( 2) , ta có • Trường hợp 2: Vậy D ( 7;0) ék = ê ( - 2k - 2) +( 2k + 7) = 25 Û ê êk = ê ë ìïï AD P BC í ïïỵ AD ¹ BC D ( 2;9) 1( loaïi) Làm tương tự ta Chọn B ¾¾ ® D ( 7;0) D = ( 2;9) ... 10 0 26 Giá trị C P= 50 26 P = 2cos2 a + 5sin a cosa +1 D P= 10 1 26 ỉ cos2 a cosa ÷ P = 2cos2 a + 5sin a cosa +1= sin2 a ç 2 +5 + ÷ ç ç ÷ sin a sin a ÷ è sin a ø 3cot2 a + 5cot a +1 1 01 2 2cot... sin20° 2 2 Do đó, S = sin 15 °+ cos 20 °+ sin 75°+ cos 11 0° P = cosa cosb - sin a sin b = - cos2 a - sin2 a = - sin2 a + cos2 a = - = sin2 15 °+ cos2 20 + cos2 15 °+( - sin20°) = ( sin2 15 °+ cos2 15 °)... r a = a 12 + a 22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r a = ( a1;a2 ) r b = ( b1;b2 ) khác r ta có rr r r a1b1 + a2b2 ab cos a;b = r r = a 12 + a 22 b 12 + b 22 a b (
Ngày đăng: 05/01/2018, 21:30
Xem thêm:
