HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các điểm đặc biệt tam giác: A A A b c c G b H hb B a C M A R hc r C Trọng tâm G Trực tâm H tam giác giao tam giác ABC điểm ba đường trung giao điểm ba tuyến, AG AM đường cao I C B a B b c O Tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC giao điểm ba đường trung trực a B C Tâm I đường tròn nội tiếp ABC giao điểm ba đường phân giác Tam giác vuông ABC vuông A: Hệ thức lượng: A A B sin = tan = AC BC AC AB B C cos = cot = AB BC AB AC Đònh lí Pitago: BC2=AB2 + AC2 Diện tích: S = AB.AC H M C 1 2 AH AB AC Độ dài đường trung tuyến AM = BC Công thức khác: AB.AC = AH.BC BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB Các công thức đặc biệt: Diện tích tam giác đều: S=(cạnh)2 Chiều cao tam giác đều: h=cạnh Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Diện tích hình đặc biệt khác: Hình vuông: S = cạnh cạnh Hình thoi: S = (chép dài chéo ngắn) Hình chữ nhật: S = dài rộng Hình thang: S = (đáy lớn+đáy bé) chiều cao Hình tròn: S = R2 Hình bình hành: S = đáy chiều cao Hai tam giác đồng dạng đònh lí Talet: B A N A C M M P ABC ∽MNP chúng có hai góc tương ứng Nếu ABC ∽MNPthì N B C AM AN MN AB AC BC AB MN AC MP NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 Đònh nghóa: Nửa đường tròn đơn vò: Nửa đường tròn tâm O nằm phía trục hoành bán kính R = gọi nửa đường tròn đơn vò y x R=1 O -1 Với góc (00 1800) ta xác đònh điểm M nửa đường tròn đơn vò cho góc xOM và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi ta đònh nghóa: sin góc x0, kí hiệu sin = y0; y M y0 x0 -1 x R=1 O côsin góc x0, kí hiệu cos = x0; tang góc y0 x0 côtang góc (x0 ≠ 0), kí hiệu tan = x0 y0 y0 x0 (y0≠ 0), kí hiệu cot = ; x0 y0 Các số sin, cos, tan, cot gọi giá trò lượng giác góc * Chú ý: Nếu góc tù cos, tancot tan xác đònh ≠ 900, cot xác đònh ≠ 00 ≠ 1800 Tính chất: y sin(1800 - = sin cos(1800 - = -cos tan(1800 - = -tan cot(1800 - = -cot NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 N -x0 M y0 O x0 x SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Giá trò lượng giác góc đặc biệt: Giá trò lượng giác sin cos 00 300 450 600 900 2 2 2 1 1 3 tan cot Góc hai vectơ: Đònh nghóa: Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA a OB b Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b (a, b ) A b a B a b O Nếu (a, b ) = 900 ta nói a b vuông góc với nhau, kí hiệu a b b a * Chú ý: Từ đònh nghóa ta có (a, b ) = (b , a ) Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trò lượng giác góc: Tính giá trò lượng giác góc : Deg Rad Gra Ấn MODE hình xuất đo góc "độ" "Độ" ấn để chọn đơn vò "Radian" Để tính sin, cos, tan góc ấn sin, cos hay tan ấn góc Ví dụ: Tính sin góc = 63052'41'' ta thực hiện: Ấn sin ấn 63 ấn o''' ấn 52 ấn o''' ấn 41 ấn o''' ấn = ta kết 0.897859012 * Chú ý: = 60', 1' = 60'' Xác đònh độ lớn góc biết giá trò lượng giác góc đó: Để xác đònh xem giá trò a sin, cos, tan góc độ ta thực hiện: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Chọn đơn vò cho máy "Deg" ấn sin-1, cos-1 hay tan-1 ấn số a ấn = Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện: Ấn sin-1 ấn 0.3502 ấn = SHIFT ấn o''' ta kết 20029'58'' Công thức sin2 + cos2: y Với góc ta có: sin2 + cos2 * Chú ý: (sin)2 kí hiệu sin2 M K R O H x LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Định nghĩa Lấy M nửa đường tròn đơn vò tâm O Xét góc nhọn = sin = y (tung độ) y cos = x (hoành độ) tan = cot = y tung độ x hoành độ x hoành độ y tung độ (x 0) y -1 O xOM Giả sử M(x; y) M x1 x (y 0) Chú ý: – Nếu tù cos < 0, tan < 0, cot < – tan xác định 900, cot xác định 00 1800 Tính chất Góc phụ Góc bù sin(900 ) cos cos(900 ) sin tan(900 ) cot cot(900 ) tan sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(1800 ) tan cot(180 ) cot Các hệ thức sin (cos 0) cos cos cot (sin 0) sin tan cot (sin cos 0) tan Chú ý: sin2 cos2 1 tan2 (cos 0) cos2 1 cot (sin 0) sin2 sin 1; cos NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Đònh nghóa: Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vô hướng hiệu a.b , xác đònh công thức sau: a b số, kí a.b a b cos(a, b ) * Chú ý: Nếu a = b = ta quy ước a.b = Với a b khác vectơ ta có a.b a b Khi a b tích vô hướng a.a = a a cos 0 kí hiệu a số gọi bình phương vô hướng vectơ a Ta có: a a (bình phương vô hướng vectơ bình phương độ dài nó) Các tính chất tích vô hướng: Với ba vectơ a, b , c số k ta có: a.b b.a a.(b c ) a.b a.c (ka).b k (a.b ) a.(kb ) a 0, a a (tính chất giao hoán) (tính chất phân phối) Từ tính chất tích vô hướng, ta có: (a b )2 a 2a.b b (a b )2 a 2a.b b (a b )(a b ) a b Biểu thức tọa độ tích vô hướng: Trên mặt phẳng tọa độ (O, i , j ) , cho hai vectơ a (a1; a2 ) , b (b1; b2 ) Khi đó: a.b a1b1 a2 b2 * Nhận xét: Cho hai vectơ a (a1; a2 ) , b (b1; b2 ) khác vectơ Ta có: a b a.b Ứng dụng: a) Độ dài vectơ: Độ dài vectơ a (a1; a2 ) tính theo công thức: 2 a a1 a2 b) Góc hai vectơ: Cho hai vectơ a (a1; a2 ) , b (b1; b2 ) khác ta có: a1b1 a2 b2 a.b cos(a, b ) ab a12 a22 b12 b22 c) Khoảng cách hai điểm: Khoảng cách hai điểm A xA ; y A ; B xB ; yB tính: AB AB ( x B x A )2 ( y B y A )2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Góc hai vectơ Cho a , b Từ điểm O vẽ OA a, OB b Khi a, b AOB với 00 AOB 1800 Chú ý: + a, b = 900 a b + a, b = 00 a , b hướng + a, b = 1800 a , b ngược hướng + a, b b , a a a b A O b B Tích vơ hướng hai vectơ a.b a b cos a, b Định nghĩa: Đặc biệt: a.a a a Tính chất: Với a , b , c kR, ta có: a b c a.b a.c ; + a.b b.a ; ka b k a.b a kb ; a 0; a a + a b a2 2a.b b ; a b a b a b + a.b > a, b nhọn + a.b < a, b tù a.b = a, b vuông a b 2 a2 2a.b b ; Biểu thức toạ độ tích vơ hướng Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó: a a12 a22 ; cos(a , b ) Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) Khi đó: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 a.b a1b1 a2b2 a1b1 a2 b2 a12 a22 b12 b22 ; a b a1b1 a2b2 AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Đònh lí côsin: a) Đònh lí: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: 2 A a = b + c - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC b c a B C b) Hệ quả: cos A b2 c2 a2 2bc cos B a2 c2 b2 2ac cos C a2 b2 c2 2ab c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B C Ta có: A b2 c2 a2 2 a c b2 mb 2 a b c2 mc2 m a2 mb B Đònh lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có: a b c 2R sin A sin B sin C ma c b mc a M C A b c O R B a C Công thức tính diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ABC Gọi p = abc nửa chu vi ABC Kí hiệu ha, hb, hc chiều cao ABC ứng với đỉnh A, B, C S diện tích ABC Ta có: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 S= S= S= www.TOANTUYENSINH.com 1 aha bhb chc phần hai cạnh 2 đá y nhân chiều cao 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 abc nửa tích số hai cạnh 4R A c b O R r nhân sin góc xen S = pr S = p( p a)( p b)( p c) (công thức Hê-rông) B a C Giải tam giác ứng dụng vào việc đo đạc: a) Giải tam giác: Giải tam giác tìm số yếu tố tam giác cho biết yêu tố khác b) Ứng dụng vào việc đo đạc: Vấn đề 1: Để đo chiều cao sân (không leo lên cây) ta làm nào? Vấn đề 2: Muốn biết sông rộng ta làm sao? (không có phương tiện qua sông) LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Cho ABC có: – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S Định lí cơsin a2 b2 c2 2bc.cos A ; b2 c2 a2 2ca.cos B ; c2 a2 b2 2ab.cos C Định lí sin a b c 2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến ma2 2(b2 c2 ) a2 ; NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 mb2 2(a2 c2 ) b2 ; mc2 2(a2 b2 ) c2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Diện tích tam giác S= = = = = 1 aha bhb chc 2 1 bc sin A ca sin B ab sin C 2 abc 4R pr (cơng thức Hê–rơng) p( p a)( p b)( p c) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vng (nhắc lại) Cho ABC vng A, AH đường cao BC AB2 AC (định lí Pi–ta–go) AB2 BC.BH , AC BC.CH AH BH CH , AH AB AC B A H C AH BC AB.AC b a.sin B a.cos C c tan B c cot C ; c a.sin C a.cos B b tan C b cot C Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD PM/(O) = MA.MB MC.MD MO2 R2 Nếu M ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT PM/(O) = MT MO2 R2 T B A R O M C D NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ