08 hình học 10 chương II tích vô hướng

Hình học 10 www.vmathlish.com CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 Định nghĩa Lấy M nửa đường tròn đơn vị tâm O Xét góc nhọn  = xOM Gỉả sử M(x; y) sin = y (tung độ) y cos = x (hoành độ) y  tung ñoä  M y tan =  (x  0)  x  hoaønh ñoä  -1 O x1 x x  hoaønh ñoä  cot =   (y  0) y  tung ñoä  Chú ý: – Nếu  tù cos < 0, tan < 0, cot < – tan xác định   900, cot xác định   00   1800 Tính chất  Góc phụ  Góc bù sin(900   )  cos  cos(900   )  sin  tan(900   )  cot  cot(900   )  tan  Giá trị lượng giác góc đặc biệt sin(180   )  sin  cos(180   )   cos  tan(1800   )   tan  cot(180   )   cot  00 300 450 600 900 1800 sin 2 cos 2 2 0 –1 tan 3  cot  3  Các hệ thức www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com sin  (cos   0) cos  cos  cot   (sin   0) sin  tan  cot   (sin  cos   0) tan   sin2   cos2   1  tan2   (cos   0) cos2  1  cot   (sin   0) sin2  Chú ý:  sin   1;   cos   Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) a sin 00  b cos 00  c sin 900 b) a cos900  b sin 900  c sin1800 c) a2 sin 900  b2 cos900  c2 cos1800 d)  sin2 900  cos2 600  3tan2 450 e) Câu a) Câu a) Câu Câu a) b) Câu 4a2 sin2 450  3(a tan 450 )2  (2a cos450 )2 Tính giá trị biểu thức sau: sin x  cos x x 00; 450; 600 b) sin x  cos x x 450; 300 Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác lại: 1 sin   ,  nhọn b) cos    c) tan x  2 6 Biết sin150  Tinh cos150 , tan150 , cot150 Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị biểu thức: tan x  3cot x  sin x  , 900  x  1800 Tính A  tan x  cot x sin   cos  tan   Tính B  sin3   3cos3   2sin  Chứng minh đẳng thức sau: b) sin4 x  cos4 x   2sin2 x.cos2 x a) (sin x  cos x)2   2sin x.cos x c) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x d) sin6 x  cos6 x   3sin2 x.cos2 x e) sin x.cos x(1  tan x )(1  cot x )   2sin x.cos x Câu Đơn giản biểu thức sau: a) cos y  sin y.tan y d)  cos2 x  sin2 x  tan x.cot x b)  cos b  cos b e) c) sin a  tan2 a  4sin2 x.cos2 x (sin x  cos x )2 f) sin(900  x)  cos(1800  x)  sin2 x(1  tan2 x)  tan2 x Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890 b) sin2 30  sin2 150  sin2 750  sin2 870 www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com §2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Góc hai vectơ a Cho a , b  Từ điểm O vẽ OA  a, OB  b Chú ý: a AOB với 00  AOB  1800 Khi a ,b b A O b +  a, b  = 900  a  b B +  a, b  = 00  a , b hướng +  a, b  = 1800  a , b ngược hướng +  a, b    b , a  Tích vô hướng hai vectơ  Định nghĩa: a.b  a b cos  a, b  a.a  a  a Đặc biệt:  Tính chất: Với a , b , c kR, ta có: a  b  c   a.b  a.c ; + a.b  b.a ;  ka  b  k  a.b   a  kb  ; +  a  b   a  2a.b  b ; + a.b >   a, b  nhọn a  0; a   a   a  b 2  a2  2a.b  b ; a  b   a  b  a  b  + a.b <   a, b  tù a.b =   a, b  vuông Biểu thức toạ độ tích vô hướng  Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó:  a  a12  a22 ; cos(a , b )   Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) Khi đó: a.b  a1b1  a2b2 a1b1  a2 b2 a12  a22 b12  b22 ; a  b  a1b1  a2b2  AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2 Câu Cho tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = 2a Tính tích vô hướng: a) AB AC b) AC CB c) AB.BC Câu Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vô hướng: a) AB AC b) AC CB Câu Cho bốn điểm A, B, C, D c) AB.BC a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC AB  b) Từ suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Câu Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh: www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com BC AD  CA.BE  AB.CF  Câu Cho hai điểm M, N nắm đường tròn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN a) Chứng minh: AM AI  AB AI , BN BI  BA.BI b) Tính AM AI  BN BI theo R Câu Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a) Tính AB AC , suy giá trị góc A b) Tính CA.CB c) Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau: a) AB AC b) ( AB  AD )(BD  BC ) d) AB.BD e) ( AB  AC  AD )(DA  DB  DC ) HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 Câu Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = c) ( AC  AB)(2 AD  AB) d) a2 e) a) Tính AB AC , suy cosA b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG.BC c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB  GB.GC  GC.GA d) Gọi AD phân giác góc BAC (D  BC) Tính AD theo AB, AC , suy AD 29 HD: a) AB AC   , cos A   b) AG.BC  c) S   54 AB DC  AD  AB  AC , AD  AC 5 Câu Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 M trung điểm BC a) Tính BC, AM d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB  b) Tính IJ, I, J xác định bởi: IA  IB  0, JB  JC HD: a) BC = 19 , AM = b) IJ = 133 Câu 10 Cho tứ giác ABCD a) Chứng minh AB2  BC  CD2  DA2  AC.DB b) Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: AB2  CD2  BC  DA2 Câu 11 Cho tam giác ABC có trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh: MH MA  BC Câu 12 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a) MA2  MC  MB2  MD2 b) MA.MC  MB.MD c) MA2  MB.MD  MA.MO (O tâm hình chữ nhật) Câu 13 Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0) a) Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  AB  AC www.vmathlish.com Hình học 10 c) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 14 Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8) www.vmathlish.com a) Tính AB AC Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC e) Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng f) Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h) Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ABC Câu 15 Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2  MA.MB b) ( MA  MB)(2 MB  MC )  c) ( MA  MB)( MB  MC )  d) MA2  MA.MB  MA.MC Câu 16 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA.MC  MB.MD  a2 b) MA.MB  MC.MD  5a2 c) MA2  MB2  MC  3MD2 d) ( MA  MB  MC)( MC  MB)  3a2 Câu 17 Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB  MC MD  IJ §3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Cho ABC có: – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S Định lí côsin a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  c2  a2  2ca.cos B ; c2  a2  b2  2ab.cos C Định lí sin www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến 2(b2  c2 )  a2 2(a2  c2 )  b2 mb2  ; ; 4 Diện tích tam giác 1 S = aha  bhb  chc 2 1 = bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc = 4R = pr ma2  = p( p  a)( p  b)( p  c) mc2  2(a2  b2 )  c2 (công thức Hê–rông) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông A, AH đường cao A  BC  AB2  AC (định lí Pi–ta–go)  AB2  BC.BH ,  AH  BH CH , AC  BC.CH 1   2 AH AB AC B H C  AH BC  AB.AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD M PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO2  R2  Nếu M đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT 2 PM/(O) = MT  MO  R T B A R O C D Câu Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a  b.cos C  c.cos B b) sin A  sin B cos C  sin C cos B c)  R sin B sin C d) ma2  mb2  mc2  (a2  b2  c ) AB AC   AB AC  Câu Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 1   a) Nếu b + c = 2a b) Nếu bc = a2 sin B sin C  sin2 A, hb hc  ha2 hb hc e) S ABC  c) A vuông  mb2  mc2  5ma2 www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com Câu Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  góc hợp hai đường chép AC BD a) Chứng minh diện tích S tứ giác cho công thức: S  AC.BD.sin  b) Nêu kết trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc Câu Cho ABC vuông A, BC = a, đường cao AH a) Chứng minh AH  a.sin B.cos B, BH  a.cos2 B, CH  a.sin2 B b) Từ suy AB2  BC.BH , AH  BH HC Câu Cho AOB cân đỉnh O, OH OK đường cao Đặt OA = a, AOH a) Tính cạnh OAK theo a  b) Tính cạnh tam giác OHA AKB theo a  c) Từ tính sin 2 , cos 2 , tan 2 theo sin  , cos  , tan  Câu Giải tam giác ABC, biết: a) c 14; A 600 ; B 400 b) b 4,5; A 300 ; C c) c 35; A 400 ; C 1200 d) a 137,5; B b) b 32; c 45; A 870 d) b 14; c 10; A 1450 750 830 ; C 57 Câu Giải tam giác ABC, biết: a) a 6, 3; b c) a 7; b 6, 3; C 23; C 540 1300 Câu Giải tam giác ABC, biết: a) a  14; b  18; c  20 b) a  6; b  7,3; c  4,8 d) a  3; b  2; c   c) a  4; b  5; c  BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Câu Chứng minh đẳng thức sau: a) sin x  cos x    cos x sin x sin x b) sin3 x  cos3 x   sin x.cos x sin x  cos x  tan2 x   cos2 x  sin2 x   tan2 x c)  d)  1   4  tan x  4sin2 x.cos2 x sin x  cos x  sin x 2 sin x cos x   sin x  cos x e) cos x (1  tan x ) sin x(1  cot x )  cos x   sin x  f)  tan x    cot x    sin x    cos x  sin x.cos x  g) cos2 x(cos2 x  2sin2 x  sin2 x tan2 x )  1 Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Câu Biết sin180  www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com a) A = cos4 x  cos2 x  sin2 x b) B = sin4 x  sin2 x  cos2 x Câu Cho vectơ a , b a) Tính góc  a, b  , biết a , b  hai vectơ u  a  2b , v  5a  4b vuông góc b) Tính a  b , biết a  11, b  23, a  b  30 c) Tính góc  a, b  , biết (a  3b )  (7a  5b ), (a  4b )  (7a  2b ) d) Tính a  b , 2a  3b , biết a  3, b  2, (a, b )  1200 e) Tính a , b , biết a  b  2, a  b  4, (2a  b )  (a  3b ) Câu Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = a) Tính AB AC cosA b) M, N hai điểm xác định AM  Câu Cho hình bình hành ABCD có AB = AB, AN  AC Tính MN , AD = 1, BAD 600 a) Tính AB AD, BA.BC b) Tính độ dài hai đường chéo AC BD Tính cos  AC, BD  Câu Cho tam giác ABC có góc A nhọn Về phía tam giác vẽ tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi I trung điểm BC Chứng minh AIDE Câu Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi H, K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi I, J trung điểm AD BC Chứng minh HK  IJ Câu Cho hình vuông ABCD có cạnh 1, M trung điểm cạnh AB Trên đường chéo AC lấy điểm N cho AN  AC a) Chứng minh DN vuông góc với MN b) Tính tổng DN NC  MN CB Câu 10 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) AB AM  AC AM  b) AB AM  AC AM  c) ( MA  MB)( MA  MC )  d) ( MA  MB  MC )( MA  MB  MC )  Câu 11 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) b2  c2  a(b.cos C  c.cos B) b) (b2  c2 )cos A  a(c.cos C  b.cos B) b) sin A  sin B.cos C  sin C cos B  sin(B  C ) Câu 12 Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu (a  b  c)(b  c  a)  3bc A b) Nếu b3  c  a3  a2 A bca 600 600 c) Nếu cos( A  C )  3cos B  B 600 d) Nếu b(b2  a2 )  c(a2  c2 ) A 600 Câu 13 Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu b2  a2  b cos A  a cos B ABC cân đỉnh C 2c www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com sin B  cos A ABC cân đỉnh B sin C c) Nếu a  2b.cos C ABC cân đỉnh A b c a   d) Nếu ABC vuông A cos B cos C sin B.sin C b) Nếu e) Nếu S  2R2 sin B.sin C ABC vuông A Câu 14 Cho ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vuông góc với là: b2  c2  5a2 Câu 15 Cho ABC a) Có a = 5, b = 6, c = Trên đoạn AB, BC lấy điểm M, K cho BM = 2, BK = Tính MK 16 b) Có cos A  , điểm D thuộc cạnh BC cho ABC DAC , DA = 6, BD  Tính chu vi tam giác ABC HD: a) MK = 30 15 b) AC = 5, BC = 25 , AB = 10 Câu 16 Cho tam giác có độ dài cạnh là: x  x  1; x  1; x  a) Tìm x để tồn tam giác b) Khi chứng minh tam giác có góc 120 Câu 17 Cho ABC có B 900 , AQ CP đường cao, S ABC  9SBPQ a) Tính cosB b) Cho PQ = 2 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) cos B  b) R  Câu 18 Cho ABC a) Có B tiếp ACI 600 , R 2, I tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính đường tròn ngoại b) Có A 900 , AB 3, AC 4, M trung điểm AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM c) Có a 4,b 3, c 2, M trung điểm AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM 13 23 c) R  30 Câu 19 Cho hai đường tròn (O1, R) (O2, r) cắt hai điểm A B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn C D Gọi N giao điểm AB CD (B nằm A N) Đặt HD: AO1C b) R  a) R = , AO2D a) Tính AC theo R ; AD theo r  b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACD   HD: a) AC = R sin , AD = 2r sin b) Rr 2 www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com Câu 20 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB CAD a) Tính AC HD: a) AC = , b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, ,  a sin(   ) b) S  a2 cos(    ) sin(   ) Câu 21 Cho ABC cân đỉnh A, A , AB m, D điểm cạnh BC cho BC 3BD a) Tính BC, AD b) Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Tính cos để bán kính chúng bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC  m 11  cos  HD: a) BC = m sin , AD = b) cos    16 www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng 10 www.vmathlish.com ... thức sau: a) cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890 b) sin2 30  sin2 150  sin2 750  sin2 870 www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com §2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Góc hai vectơ a Cho... Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin 108 0 , cos 108 0 , tan720 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Câu Biết sin180  www.vmathlish.com Hình học 10 www.vmathlish.com a) A = cos4 x  cos2... )2 Câu Cho tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = 2a Tính tích vô hướng: a) AB AC b) AC CB c) AB.BC Câu Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vô hướng: a) AB AC b) AC CB Câu Cho bốn điểm A, B, C, D c)