Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ §2 Tích vơ hướng hai vectơ Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí Định hướng thực hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: Đọc Hiểu Ghi nhớ định nghĩa, định lí Chép lại ý, nhận xét Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com nhn c gii ỏp Đ2 tích vô hớng hai vectơ Bài học nêu định nghĩa tích vô hớng với tính chất Các em học sinh phải biết vận dụng kiến thức để giải số toán hình học toán thực tế giảng theo chơng chơng trình chuẩn góc hai vectơ ( , ) Từ điểm O đó, ta vẽ vectơ Cho hai vect¬ a b a b OA = a = Khi đó: b OB , góc Số đo góc AOB đợc gọi số đo góc hai vectơ a b hai vectơ a b Ta thấy việc xác định góc hai vectơ không phụ thuộc vào việc chọn điểm , ) O, góc hai vectơ a đợc kí hiệu ( a b b NÕu ( a , b ) = 900 ta nói hai vectơ a b vuông góc với nhau, kí hiƯu a b = 420 TÝnh c¸c gãc: Thí dụ 1: Cho ABC vuông A, biết B ( BA , BC ); ( AB , BC ); ( AC , BC ); ( BA , AC ) Gi¶i Ta cã ngay: ( BA , BC ) = 420; ( AB , BC ) = 900 + 420 = 1320; ( AC , BC ) = 900 420 = 480; ( BA , AC ) = 900 Hoạt động B A C Khi góc hai vectơ 00 ? Hai vectơ h Hai vectơ ngợc hớng ớng Khi góc hai vect¬ b»ng 1800 ? Hai vect¬ cïng h íng Hai vectơ ngợc hớng Định nghĩa tích vô hớng hai vectơ kí hiệu số thực Định nghĩa: Tích vô hớng hai vectơ a a b b đợc xác định bëi: a b = a . b .cos( a ; b ) , Từ định nghĩa với a b ta có kết quả: a a = a a cos00 = a > cos > 00 < 900 b a b c a b = cos = = 900 a b < cos < 900 < 1800 d a b Nếu hai vectơ ta quy íc: a = b = tÝnh chÊt cđa tÝch v« híng , , Với vectơ a b c với mäi sè thùc k ta ®Ịu cã : = TÝnh chÊt 1: (TÝnh chÊt giao ho¸n): a b b a + TÝnh chÊt 2: (TÝnh chÊt ph©n phèi): a ( b + c ) = a a c b TÝnh chÊt 3: m( a ) b = m( a b ) Hoạt động HÃy chứng minh tính chất tích vô hy chứng minh tính chất tích vô hớng Dùng tính chÊt cđa tÝch v« híng, ta cã thĨ chøng minh đẳng thức tích vô hớng sau: + )2 = 2 + 2 + (a a a b b b ( a b ) = a + b 2 a b + )( ) = 2 2 (a a b a b b ThÝ dụ 2: Cho ABC cạnh a, trọng tâm G a Tính tích vô hớng AB AC AB BC b Gọi I điểm thoả m·n IA 2 IB + IC = Chứng minh BCIG hình bình hành, từ tÝnh IA ( AB + AC ), IB IC , IA IB Gi¶i A a Ta cã: ( AB , AC ) = 60o G AB AC = AB.AC.cos60o = a.a = a2 Ta cã: B I C M ( AB , BC ) = 120o AB BC = AB.BC.cos120o = a.a.( ) = a2 2 b Ta cã: IA 2 IB + IC = ( GA GI )2( GB GI ) + 4( GC GI ) =0 GA 2 GB + GC = GI ( GA + GB + GC )3 GB + GC = GI BC = GI BCIG hình bình hành Gọi M trung điểm BC, ta đợc: IA ( AB + AC ) = ( IG + GA ).2 AM = IG AM + GA AM = CB AM 2GA.AM = 2 a a = a2 2 IB IC = ( IA + AB )( IA + AC ) = IA + IA ( AB + AC ) + AB AC 2 + a2a2 + a2 = 5a 2 IA IB = ( IG + GA )( IG + IC ) = IG + IG IC + GA IG + GA = AG2 + GI2a2 + a2 = a IC = IG2 + IG IC + GA GB = IG2 + IG.IC.cos300 + GA.GB.cos1200 2 = a + a a + a a ( ) = 17a 2 2 24 Công thức hình chiếu a Nếu điểm A, B, C, D trục thì: AB CD = AB CD b NÕu A', B' hình chiếu A, B lên giá cđa CD th×: AB CD = A' B ' CD biểu thức toạ độ tích vô hớng (a ; a ) (b ; b ) th×: NÕu a b = a b + a b 1 2 a b Gãc hai vectơ a b xác định bởi: a b a b cos = a 12 a 22 b 12 b 22 tập lần Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O M điểm tuỳ ý đờng tròn nội tiếp hình vuông N điểm tuỳ ý cạnh BC Tính: a MA MB + MC MD b NA AB c NO BA Bµi tập 2: Cho MM1 đờng kính đờng tròn tâm O, bán kính R A điểm cố định OA = d Giả sử AM cắt (O) N a Chứng minh tích vô hớng AM AM có giá trị không phụ thuộc M b Chøng minh r»ng tÝch AM AN cã giá trị không phụ thuộc M Bài tập 3: Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng ABCD vµ chØ khi: AC2 + BD2 = AD2 + BC2 Bài tập 4: Cho ABC vuông, có cạnh huyển BC = a , M trung điểm BC BiÕt r»ng AM BC = a , tÝnh ®é dµi AB vµ AC Bµi tËp 5: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp điểm M cho MA MB MA MC = a2MB2 + MC2, víi a = BC Bài tập 6: Cho hai vectơ đơn vị a b thoả mÃn a + b = HÃy xác định (3 a b )(2 a + b ) giảng nâng cao A Tóm tắt lí thuyết I Định nghĩa Tích vô hớng hai vectơ a b ( a , b ) ký hiƯu lµ a b số thực đợc xác định bëi: a b = | a |.| b |.cos, víi = ( a , b ) Từ định nghĩa ta có kÕt qu¶: a a2 = a a = | a |2 b a b > cos > 00 < 900 c a b = cos = = 900 a b d a b < cos < 900 < 1800 NÕu mét hai vectơ ta quy ớc: a = b = tính chất tích vô hớng Với vectơ a , b , c với sè thùc k ta ®Ịu cã: TÝnh chÊt 1: (TÝnh chÊt giao ho¸n) Ta cã: a b = b a TÝnh chÊt 2: (TÝnh chÊt ph©n phèi) Ta cã: a ( b + c ) = a b + a c TÝnh chÊt 3: Ta cã: m( a ) b = m( a b ) đẳng thức tích vô híng ( a + b )2 = | a |2 + | b |2 + a b ( a b )2 = | a |2 + | b |22 a b ( a + b )( a b ) = | a |2| b |2 Công thức hình chiếu a Nếu điểm A,B, C, D trơc th×: AB CD = AB CD b Nếu A', B' hình chiếu A, B lên giá CD thì: AB CD = A' B ' CD biểu thức toạ độ tích vô hớng Nếu a (a1; a2) b (b1; b2) a b = a1.b1 + a2.b2 Gãc hai vectơ a b xác định bởi: a1 b1 a b cos = a12 a 22 b12 b 22 B ph¬ng pháp giải toán Bài toán 1: Tính tích vô hớng hai vectơ Phơng pháp thực Ta lựa chọn mét c¸c c¸ch sau: , vỊ cïng gốc để xác Cách 1: Sử dụng định nghĩa cách đa hai vectơ a b , ), từ đó: định đợc góc = ( a b a b = a . b .cos C¸ch 2: Sư dơng c¸c tÝnh chÊt đẳng thức tích vô hớng hai vectơ Cách 3: Sử dụng định lý hình chiếu: với A', B' hình chiếu A, B lên gi¸ cđa CD , ta cã: AB CD = A' B ' CD C¸ch 4: Sư dơng biểu thức toạ độ Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O M điểm tuỳ ý đờng tròn nội tiếp hình vuông N điểm tuỳ ý cạnh BC Tính: a MA MB + MC MD A b NA AB M c NO BA Gi¶i a Ta cã: MA MB + MC MD = ( MO + OA ).( MO + OB ) + D + ( MO + OC ).( MO + OD ) = 2MO2 + OA OB + OC OD + MO ( OA + OB + OC + OD ) = a2, bëi OA OB, OC OD vµ OA + OB + OC + OD = b NhËn xÐt r»ng B lµ hình chiếu vuông góc N lên AB, đó: 2 NA AB = BA AB = AB AB = AB = a c Gọi K trung điểm AB, suy M hình chiếu vuông góc O lên AB, ®ã: a.a = a2 NO BA = BK BA = 2 Chó ý: Víi toán có điều kiện, cần vận dụng linh hoạt điều kiện dể nhận đợc biểu thức cần dùng, cụ thể giả sử toán yêu cầu tÝnh: A = (1 a + 1 b )(2 a + 2 b ) biÕt r»ng a = a, b = b vµ a + b = c, ®ã ta hiĨu r»ng: K B N O C A = 12 a + 12 b + (12 + 21) a b = 12a2 + 12b2 + (12 + 21) a b Nh từ giả thiết ta cần nhận đợc giá trị tích a b , ®Ĩ cã ®ỵc nã ta sư dơng: a + b = c ( a + b )2 = c2 a + b + a b = c2 a b = (c2a2b2) Suy ra: A = 12a2 + 12b2 + (12 + 21)(c2a2 + b2) Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức tích vô hớng hay độ dài Phơng pháp thực Ta có hai dạng: Dạng 1: Với biểu thức tích vô hớng ta sử dụng định nghĩa tính chất tích vô hớng, cần đặc biệt lu ý phép phân tích vectơ để biến đổi Dạng 2: Với biểu thức độ dài ta thớng sử dụng AB2 = AB Ví dụ 2: Cho MM1 đờng kính đờng tròn tâm O, bán kính R A điểm cố định OA = d Giả sử AM cắt (O) N a Chứng minh tích vô hớng AM AM có giá trị không phô thuéc M b Chøng minh r»ng tÝch AM AN có giá trị không phụ thuộc M Giải a Ta cã: AM AM = ( OM OA ).( OM OA ) = OM OM ( OM + OM ) OA + OA A N 2 2 = OA OM = d R b Ta cã: AM AN = AM AN = AM ( AM + M N ) = AM AM + AM M N = d2R2 M1 M O Bài toán 3: Chứng minh tính vuông góc Thiết lập điều kiện vuông góc Phơng pháp thực Ta dùng định lý: a b a b = a . b .cos( a , b ) = a 0 b 0 cos(a, b ) Ngoài ra, ta sử dụng tính chất tích vô hớng (a ; a ) (b ; b ) điều kiện Chú ý: Nếu a b a b + a b = 1 2 a b VÝ dơ 3: Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng ABCD vµ chØ khi: AC2 + BD2 = AD2 + BC2 (1) Gi¶i Biến đổi (1) dạng: = ( AC 2 BC 2) + ( BD 2 AD 2) = ( AC BC )( AC + BC ) + ( BD AD )( BD + AD ) = AB ( AC + BC ) + BA ( BD + AD ) = AB ( AC + BC BD AD ) = AB DC AB CD Bài toán 4: Sử dụng tích vô hớng giải toán định lợng, định tính Phơng pháp thực Với toán định lợng, ta sử dụng kết quả: a Gọi góc a b , ta có: a.b cos = |a |.|b | b Để tính độ dài đoạn AB, ta thùc hiÖn AB = AB = AB AB thực phép phân tích vectơ AB thành tổ hợp vectơ sở Với toán định tính, ta biến đổi điều kiện ban đầu thành biểu thức tích vô hớng, tõ ®ã dÉn tíi a b a // b , tõ ®ã ®a lêi kÕt luËn cho toán Ví dụ 4: Cho ABC vuông, có cạnh huyển BC = a , M trung ®iÓm BC BiÕt r»ng AM BC = a , tính độ dài AB AC Giải Từ giả thiết ta đợc; a2 = ( AB + AC ).( AC AB ) AM BC = 2 = ( AB 2 AC 2) = (AB2AC2) 2 AB2AC2 = a2 Mặt khác theo Pitago, ta đợc: AB2 + AC2 = BC2 = ( a )2 = 3a2 Giải hệ phơng trình tạo (1), (2), ta đợc AB = a , AC = a (1) (2) Bài toán 5: Tìm điểm M thoả mÃn đẳng thức tích vô hớng hay độ dài Phơng pháp thực Ta biến đổi biểu thức ban đầu dạng sau: Dạng 1: AM2 = k > 0, M thuộc đờng tròn tâm A, bán kính R = k D¹ng 2: MA MB = k, víi A, B cố định k không đổi Khi đó: Gọi I trung điểm AB, ta đợc: k = MA MB = ( MI + IA ).( MI + IB ) = ( MI + IA ).( MI IA ) = MI2IA2 IM2 = k + IA2 = k + AB DỈt l Khi đó: - Nếu l < M không tồn M - Nếu l = M I - NÕu l > th× M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính R = n l n Më réng: NÕu ta cã MA i MA i = k, víi A, Ai, i = 1, n cố định, i i i k không đổi Khi đó: Gọi K điểm thoả mÃn: n i KA i = tồn điểm cố định K i Từ đó: n i MA i n = i 1 MK = MK , víi = i 1 i i Khi ta đợc: MA MK = D¹ng 3: n i k MA BC = k, víi A, B, C cố định Khi đó: Gọi M0, A0 theo thứ tự hình chiếu vuông góc M, A lên BC, ta đợc: k k = MA BC = M A BC M A = , BC có giá trị không đổi A0 cố định nên M0 cố định Vậy điểm M thuộc đờng thẳng vuông góc với BC M0 Đặc biệt k = M thuộc đờng thẳng qua A vuông góc với BC Ví dụ 5: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp điểm M cho MA MB MA MC = a2MB2 + MC2, víi a = BC A Giải Ta biến đổi (1) d¹ng: a2 = MA ( MC MB ) MB + MC G = ( MA + MB + MC )( MC MB ) = MG BC G trọng tâm ABC, gọi M0, G0 theo thứ tự hình chiếu vuông góc củaG B M, G lên BC, ta đợc: M G BC = a2 M G = a G0 cè định nên M0 cố định Vậy điểm M thuộc đờng thẳng vuông góc với BC M0 Bài toán 6: Sử dụng biểu thức toạ độ tích vô hớng Phơng pháp thực Ta sử dụng kết quả: (a ; a ), (b ; b ) vµ góc thì: Nếu a a b b 10 M M C a b = a1.b1 + a2.b2 a b a b cos = a 12 a 22 b 12 b 22 VÝ dô 6: Cho hai vectơ đơn vị a b thoả mÃn a + b = HÃy xác định (3 a 4 b )(2 a + b ) Gi¶i Gi¶ sư a (a1; a2), b (b1; b2), tõ gi¶ thiÕt suy ra: a a2 1 2 b b 1 (a b ) (a b ) 2 a a 1 b 1 b a b a 1 b 1 Ta cã: (3 a 4 b )(2 a + b ) = (3a14b1; 3a24b2).(2a1 + 5b1; 2a2 + 5b2) = (3a14b1)(2a1 + 5b1) + (3a24b2)(2a2 + 5b2) = 6( a 12 + a 22 )20( b12 + b 22 ) + 7(a1b1 + a2b2) = 620 + = Chú ý: Bài toán giải tích vô hớng tuý, cụ thể: Tõ gi¶i thiÕt, suy ra: ( a + b )2 = a + b + a b = a b = Ta cã: (3 a 4 b )(2 a + b ) = a 220 b + a b = 620 + = 7 tập lần Bài tập Cho ABC có cạnh a, b, c a Tính AB AC theo a, b, c b TÝnh AB BC + BC CA + CA AB c Gäi M trung điể BC G trọng tâm ABC, tính độ dài AM từ suy độ dài AG d Tính cosin góc nhọn tạo AG BC Bài tập Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Có AC, BD hai dây cung thuộc nửa đờng tròn, cắt E Chứng minh rằng: AE AC + BE BD = AB Bài tập Cho ABC vuông A, gọi M trung điểm BC Lấy điểm B 1, C1 AB AC cho AB.AB1 = AC.AC1 Chøng minh r»ng AM B1C1 Bµi tËp Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD = a, BC = b, đờng cao AB = h Tìm hệ thức liên hệ a, b, h cho: a BDCI, với I trung điểm AB b ACDI c BMCN, với M, N theo thứ tự trung điểm AC BD Bài tập Cho hình bình hành ABCD, biết với điểm M có: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 Chøng minh r»ng ABCD hình chữ nhật Bài tập Cho ABC Tìm tập hợp điểm M, cho MA2MB2 = k Bài tập Cho ABC Tìm tập hợp ®iĨm M, cho: 3MA22MB2MC2 = 2l Bµi tËp Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M điểm tuú ý a Chøng minh r»ng MA2MB2 + MC2 = MD22(OB2 OA2) 11 b Giả sử M di động đờng tròn (d), định vị trí M để MA 2MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ Bài tËp Cho ABC, biÕt A(1; 2), B(1; 1), C(5; 1) a TÝnh AB AC b TÝnh cos sin góc A c Tìm toạ độ chân đờng cao A1 ABC d Tìm toạ độ trực tâm H ABC e Tìm toạ độ trọng tâm G ABC f Tìm toạ độ tâm I đờng tròn ngoại tiếp ABC, từ chứng minh I, H, G thẳng hàng Giỏo ỏn in t ca bi giảng giá: 1.000.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY Bµi tËp a Ta cã: C híng híng dÉn đáp số BC = AC AB Bình phơng vô hớng hai vế (1), ta đợc: 2 2 BC = ( AC AB ) BC = AC + AB 2 AC AB theo tÝnh giao ho¸n, ta cã: AC AB = AB AC Suy ra: AB AC = (1) (AB2 + AC2 BC2) = (b2 + c2a2) 2 b Bằng cách tính tơng tự, ta ®ỵc: BA BC = Tõ ®ã: (a + c2b2) vµ CA CB = (a2 + b2c2) 2 AB BC + BC CA + CA AB = BA BC CA CB AB AC 12 = (a2 + c2b2) (a2 + b2c2) (b2 + c2a2) c Ta cã: = (a2 + c2 + b2) AM = 2 ( AB + AC ) (2) Bình phơng vô hớng hai vế (2), ta đợc: AM2 = ( AB + AC )2 = (AB2 + AC2 + AB AC ) 4 = [c2 + b2 + (b2 + c2a2)] = (2c2 + 2b2a2) 4 AM = 2c 2b a (*) Suy AG = AM = 3 2c 2b a = d Gọi góc nhọn tạo AG BC, đó: AG BC = AG . BC .cos cos = 2c 2b a | AG.BC | (3) | AG | | BC | Ta ®i tÝnh AG BC , b»ng c¸ch: AG BC = ( AB + AC )( AC AB ) = (AC2AB2) = 3 (b2c2) (4) Thay (4) vµo (3), ta đợc: | b c2 | | b2 c2 | cos = = a c b a 2 c b a a Chó ý: Ta cịng cã thĨ tÝnh AB BC + BC CA + CA AB b»ng c¸ch: Ta cã: AB + BC + CA = (5) Bình phơng hai vế (5), ta ®ỵc: ( AB + BC + CA )2 = AB2 + BC2 + CA2 + AB BC + BC CA + CA AB AB BC + BC CA + CA AB = (a2 + c2 + b2) Bµi tËp Ta cã: AE AC = AE AC = AE ( AB + BC ) 13 = AE AB + AE BC = AE AB (1) BE BD = BE BD = BE ( BA + AD ) = BE BA + BE AD = BE BA (2) Céng theo vÕ (1) vµ (2), ta ®ỵc: AE AC + BE BD = ( AE BE ) AB = ( AE + EB ) AB = AB = AB2 Bµi tËp Tõ gi¶ thiÕt suy AB AB = AC AC Ta cã: AM B C = ( AB + AC )( AC AB ) = ( AB AC AB AB + AC AC AC AB ) = AM B1C1 Bµi tËp a Ta cã: BD CI BD CI = = ( AD AB ) CI = AD CI AB CI = AD C A AB A D C1 a BI A h = ab + h h I h2 = 2ab a b Ta cã: B C b D AC DI AC DI = = ( AB + BC ) DI = AB DI + BC DI = AB AI + BC D1B = h h ba h2 = 2ab c Ta cã: BM CN BM CN = = ( BA + BC ) ( CB + CD ) 2 = ( BA + BC ).( CB + CD ) = BA CB + BC CB + BA CD + BC CD = BC + BA BA + BC CD = b2 + h2b(ba) = 2b2 + h2 + ab h2 = 2b2ab Bài tập Gọi O giao điểm hai đờng chéo, ta đợc: 14 MO = MA + MC = MB + MD (1) Bình phơng hai vế (1), ta đợc: ( MA + MC )2 = ( MB + MD )2 MA2 + MC2 + MA MC = MB2 + MD2 + MB MD MA MC = MB MD ( MO + OA ).( MO + OC ) = ( MO + OB ).( MO + OD ) ( MO + OA ).( MO OA ) = ( MO + OB ).( MO OB ) OA2 = OB2 OA = OB AC = BD ABCD hình chữ nhật Bài tập Gọi I trung điểm AB, ta biến đổi biểu thức dạng: k = MA 2 MB = ( MA + MB )( MA MB ) = MI BA Gäi M0 hình chiếu vuông góc M lên AB, ta đợc: M k k = MI BA = M I BA M I = , BA có giá trị không đổi I cố định nên M cố định I M0 B Vậy điểm M thuộc đờng thẳng vuông góc với AB M0.A Nhận xét: Thông qua ví dụ trên, đà biết cách giải toán: Tìm tập hợp điểm M thoả mÃn: MA2 + MB2 = k, với A, B cố định, + = k không đổi Trong trờng hợp + 0, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gäi I điểm thoả mÃn IA + IB = ( IB + BA ) + IB = (1) Bíc 2: ( + ) IB = AB IB = AB Vậy tồn điểm I cố định Ta biến đổi (1) dạng: k = MA + MB = ( MI + IA )2 + ( MI + IB )2 = ( + )MI2 + IA2 + IB2 + 2( IA + IB ) MI MI2 = [k(IA2 + IB2)] DỈt l BiƯn ln: Với l < 0, không tồn điểm M A Víi l = 0, th× MI Víi l > 0, M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính R = l Bài tập Kí hiệu hệ thức giả thiết (1) O Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC, ta có: O0 MA2 = MA = ( MO + OA )2 = MO2 + OA2 + MO OA , B MB2 = MB = ( MO + OB )2 = MO2 + OB2 + MO OB , M0 MC2 = MC = ( MO + OC )2 2 = MO + OC + MO OC , B Bíc 3: C M v 15 từ suy (1) đợc biến đổi vỊ d¹ng: 2l = MO (3 OA 2 OB OC ) = MO [3 OA 2( OA + AB ) ( OA + AC )] = 2 MO (2 AB + AC ) (2) Dùng vect¬ v = AB + AC vµ gäi M0, O0 theo thứ tự hình chiếu vuông góc M, O lên đờng thẳng chứa vectơ v , ta đợc: (2) l = MO v = M O v M O = l v có giá trị không đổi O0 cố định nên M0 cố định Vậy M thuộc đờng thẳng qua M0 vuông góc với v Nhận xét: Thông qua ví dụ trên, đà biết cách giải toán: Tìm tập hợp điểm M thoả m·n: MA2 + MB2 + MC2 = k, (*) víi A, B, C cố định, + + = k không đổi Trong trờng hợp + + 0, ta thùc hiÖn theo bớc: Bớc 1: Gọi I điểm thoả m·n IA + IB + IC = Khi tồn điểm I cố định Bớc 2: Ta biến đổi (*) d¹ng: k = MA + MB + IC = ( MI + IA )2 + ( MI + IB )2 + ( MI + IC )2 = ( + + )MI2 + IA2 + IB2 + IC2 + + 2( IA + IB + IC ) MI MI2 = [k(IA2 + IB2 + IC2)] DỈt l BiƯn ln: Víi l < 0, kh«ng tồn điểm M Với l = 0, M I Víi l > 0, th× M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính R = l Chú ý: Với yêu cầu tìm cực trị, ta sử dụng tích vô hớng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị biểu thức độ dài, thí dụ: S = MI2 + c, víi c lµ h»ng sè I cố định Khi SMin = c, đạt đợc MI = M I Bài tËp a Ta cã: ( MA + MC )2 = ( MB + MD )2 = MA2MB2 + MC2MD2 + 2( MA MC MB MD ) (1) Ta xÐt: MA MC MB MD = Bíc 3: MA MC 2 MO MB MD 2 MO 16 = ( OA OM ).( OC OM )( OB OM ).( OD OM ) =( OA OM ).( OA + OM ) + ( OB OM ).( OB + OM ) =OA2 + OM2 + OB2OM2 = OB2 OA2 (2) Thay (2) vào (1), ta đợc: = MA2MB2 + MC2MD2 + 2(OB2 OA2) MA2MB2 + MC2 = MD22(OB2 OA2), ®pcm b Từ kết câu a) suy MA 2MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ MD2 nhỏ M hình chiếu vuông góc D lên (d) Bài tập a Ta cã: AB (2; 1), AC (4; 3) AB AC = 2.41.(3) = 5 b Ta cã: AB.AC cosA = = 25 | AB | | AC | sinA = cos A = 1 = , = 5 c A1(x, y) chân đờng cao tõ ®Ønh A cđa ABC BC AA // BC BA AA BC BA // BC 1 ( x 1, y ( x 1, y ).(6, ) 0 1) //(6, ) 2( y 6( x 1) x y 2 ) x=y= Vậy, ta đợc A1( , ) 2 d H(x, y) lµ trùc t©m H cđa ABC ( x 1, y ).( 6, ) 0 ( x 1, y 1).( 4, 3) Vậy, ta đợc H(2, 5) AH BC BH CA AH.BC 0 BH.CA 0 2 x y e Toạ độ trọng tâm G( , ) 3 f I(x, y) tâm I đờng tròn ngoại tiếp ABC BI AI AI = BI = CI CI AI ( y 2) ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( y 2) ( x 5) ( y 1) ( x 1) 2 2 2 2 2 2 x 3 / y / Vậy, ta đợc I( , ) Nhận xÐt r»ng GH ( 2 13 , ) vµ IH ( , 13 ) I, H, G thẳng hàng 3 3 17 ... góc hai vectơ 00 ? Hai vectơ h Hai vectơ ngợc hớng ớng Khi góc hai vectơ 1800 ? Hai vectơ h ớng Hai vectơ ngợc hớng Định nghĩa tích vô hớng hai vectơ kí hiệu số thực Định nghĩa: Tích vô hớng... làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhận giải đáp §2 tÝch vô hớng hai vectơ Bài học nêu định nghĩa tích vô. .. m( a b ) Hoạt động HÃy chứng minh tính chất tích vô hy chứng minh tính chất tích vô hớng Dùng tính chất tích vô hớng, ta chứng minh đẳng thức tích vô hớng sau: + )2 = 2 + 2 +