Chương II - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

Ví dụ:Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH... a Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho DA = DB b Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB... C

S

S 2 Tích vô h ớng của hai véc tơ

Sở giáo dục và đào tạo hải phòng

Tr ờng THPT trần h ng đạo



Thực hiện: Nguyễn Thị Vân

O  

O’

F

A =  F  OO’cos

Trong đó F  là c ờng độ lực F tính bằng Niutơn (N)

OO’ độ dài OO’ tính bằng mét (m)

 Là góc giữa OO’ và F

1.Định nghĩa:

Cho hai véc tơ a và b khác véc tơ 0.Tích vô h ớng của a và b

Là một sô ký hiệu là a.b,đ ợc xác định bởi công thức sau:

a.b =  a . b cos(a,b)

Tr ờng hơp ít nhất một trong hai véc tơ a hoặc b bằng véc tơ 0

Ta quy ớc: a.b = 0

Chú ýa)Với a và b khác véc tơ 0 ta có a.b = 0  a  b

b) Khi a = b => a.a = a 2

Gọi là bình ph ơng vô h ớng của véc tơ a

a 2 =  a . a cos 00 =  a 2

Ghi nhớa.b =  a . b cos(a,b)

Ví dụ:Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao

AH

A

H

Khi đó:

AB.AC = a a cos 600 = 1

2 a2

AC.CB = a a cos 1200 = -1

2 a2 AH.BC = a cos 90a3 0 = 0

Ghi nhía.b =  a . b cos(a,b) (*)

2.TÝnh chÊt cña tÝch v« h íng

b  lµ mét sè

a  lµ mét sè

cos ( a,b ) lµ mét sè

a b = b a ( tÝnh chÊt giao ho¸n )

a ( b + c ) = a b + a c (t/c ph©n phèi)

( k a ) b = k ( a.b ) = a.(k b);

a 2 0, a2 = 0  a = 0

NhËn xÐt: (a + b ) 2 = a 2 + 2a.b + b 2

( a - b ) 2 = a 2 - 2a.b + b 2

( a + b ) (a – b ) = a 2 – b 2

Ghi nhớa.b =  a . b cos(a,b) (*)

Cho hai véc tơ a và b đều khác véc tơ 0

Khi nào thì tích vô h ớng của hai véc tơ là số d ơng?

Là số âm? Bằng 0?

*) a b > 0 00< ( a , b ) < 900

*) a b < 0 900< ( a , b ) < 1800

*) a b = 0 [ a = 0

b = 0 ( a , b ) = 00 tức là a  b

1

A

F

F 2

F 1

( F , AB ) = 

F1 AB

F2 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña F lªn AB

F = F1+F2

C«ng A = F AB = ( F 1 + F 2 ).AB = F 1 AB + F 2 AB

A = F2.AB

3.Biểu thức tọa độ của tích vô h ớng

Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),cho hai véc tơ a = (a1;a2),

b = (b1;b2) Khi đó tích vô h ớng a.b = a1.b1+a2.b2

Học sinh tự chứng minh Nhận xét:hai véc tơ a = (a1;b1) và b= (a2;b2) khác véc tơ 0

Vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1.b1 + a2b2 = 0

2

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( 2;4),B(1;2)

C(6;2).Chứng minh rằng AB  AC

Học sinh cùng nhau chứng minh

AB = (-1 ; -2 )

AC = (4 ; -2 )

AB AC = (-1).4 + (-2).(-2) = -4 +4 =0

=> AB  AC

Ghi nhớa.b =  a . b cos(a,b) (*) Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),

cho hai véc tơ a = (a1;a2b = (b), 1;b2)

a.b = a1.b1+a2.b2

a  b  a1.b1+a2.b2 = 0

Ghi nhớa.b =  a . b cos(a,b) (*) 3.Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),

cho hai véc tơ a = (a1;a2b = (b), 1;b2)

a.b = a1.b1+a2.b2

a  b  a1.b1+a2.b2 = 0

4.áp dụng:

a.Độ dài của véc tơ a b2

1

2

1 



 a  b) Góc giữa hai véc tơ:

cos ( a , b ) = a b

a b =

a1b1+ a2b2

b a

b





Ghi nhớa.b =  a . b cos(a,b) (*) 3.Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),

cho hai véc tơ a = (a1;a2b = (b), 1;b2)

a.b = a1.b1+a2.b2

a  b  a1.b1+a2.b2 = 0

4.áp dụng:

a.Độ dài của véc tơ a b2

1

2

1 



 a  b) Góc giữa hai véc tơ:

cos ( a , b ) = a b

a b =

a1b1+ a2b2

b a

b

2

2 2

2 1 2

VÝ dô:Cho OM = (-2;-1),ON =( 3;-1)

cos MON = cos ( OM,ON )

4.¸p dông:

a.§é dµi cña vÐc t¬ a b2

1

2

1 



 a  b) Gãc gi÷a hai vÐc t¬:

cos ( a , b ) = a b

a b =

a1b1+ a2b2

b a

b

2

2 2

2 1

2

=

OM ONOM.ON = -6 +1

5 10

2 2

=

=> (OM,ON) = 450

c) Khoảng cách giữa hai điểm

A(xA;yA) ,B(xB;yB)

AB = (xB – xA;yB – yA)

AB2 = (xB – xA)2 +( yB – yA)2

AB =  (xB – xA)2 +(yB – yA)2

Ví dụ Cho M( -2;2) và N(1;1)

.Khi đó MN = ( 3;-1)

MN = 3 2 + ( -1 )2 = 10

C©u hái vµ bµi tËp

1.Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC cã AB = AC = a .TÝnh c¸c tÝch v« h íng AB.AC, AC.CB

C©u hái vµ bµi tËp

2.Cho ba ®iÓm O,A,B th¼ng hµng vµ biÕt OA = a,OB = b

TÝnh tÝch v« h íngOA.OB trong c¸c tr êng hîp sau a) §iÓm O n»m ngoµi ®o¹n AB

b) §iÓm O n»m trong ®o¹n AB

Câu hỏi và bài tập

3.Cho nửa đ ờng tròn tâm O đ ờng kính AB = 2R.Gọi M và

N là hai điểm thuộc nửa đ ờng tròn sao cho hai dây cung AM

và BN cắt nhau tại I

a)Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA;

b)Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM +BI.BN theo R

Câu hỏi và bài tập

4.Trên mặt phẳng Oxy,cho hai điểm A(1;3),B(4;2)

a) Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho DA = DB

b) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích

tam giác OAB

C©u hái vµ bµi tËp

5.Trªn mÆt ph¼ng Oxy, h·y tÝnh gãc gi÷a hai vÐc t¬ a vµ b

t:rong c¸c tr êng hîp sau:

a) a = (2;-3) , b =( 6;-4) b) a = (3;2), b =( 5;-1) c) a = (-2 ; -2 3 ) , b = (3; 3 )

C©u hái vµ bµi tËp

6.Trªn mÆt ph¼ng Oxy, cho bèn ®iÓm A(7;-3),B(8;4),C(1;5) D(0;2).Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng

Câu hỏi và bài tập

7.Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-2;1).Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm C có

tung độ bằng 2 sao cho tamgiác ABC vuông ở C