Bài giảng có phần nâng cao. Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG I VECTO
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2Đ2 tổng và hiệu của hai vectơ
Với hai số thực a và b chúng ta đã định nghĩa đợc phép a b Do vậy, vấn đề đặt ± b Do vậy, vấn đề đặt
ra là cần xây dựng đợc phép cộng, trừ cho hai vectơ a và b cùng với việc xác định các tính chất kèm theo.
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1 Tổng của hai vectơ
Định nghĩa: Tổng của hai vectơ a và b là một véctơ đợc xác định nh sau:
Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ AB = a.
Từ điểm B dựng vectơ BC = b .
Khi đó véctơ AC gọi là vectơ tổng của hai vectơ a và b, ta viết
AC = a + b .
Từ định nghĩa trên ta đợc quy tắc ba điểm:
AC = AB + BC, với ba điểm A, B, C bất
kì
Hoạt động : 1 H y phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.
2 Mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm.
3 Cho tứ giác ABCD H y xác định các vectơ tổng sau:ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.
AB + CB, AB + CD, AB + AD.
4 Nếu có a + b = c thì có thể suy ra a + b = c đợc không ?
5 Giải thích tại sao ta có a + b ≥ a + b
2 Tính chất của phép cộng véctơ
Với mọi vectơ a, b và c, ta có:
Tính chất 1: (Tính chất giao hoán): a + b = b + a
Tính chất 2: (Tính chất kết hợp): (a + b) + c = a + (b +
c)
Tính chất 3: (Tính chất của vectơ không): a + 0 = 0 + a = a
Hoạt động : 1 Sử dụng định nghĩa h y chứng minh tính chất 1).ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.
2 Sử dụng bốn điểm A, B, C, D cho tơng ứng các vectơ AB a,
BC b,
CD c,
h y chứng minh tính chất 2).ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.
Thí dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng:
AB + CD + BC = AD
Giải
C A
B
b
a
Trang 3Ta có thể trình bày theo ba cách sau:
Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
VT = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD, đpcm
Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
VT = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD, đpcm
Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
AD = AC + CD = AB + BC + CD, đpcm
Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
AD = AB + BD = AB + BC + CD, đpcm
Nhận xét: Việc trình bày thí dụ trên theo bốn cách chỉ mang tính chất minh hoạ
cho những ý tởng sau:
1 Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối của
vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó sử dụng
chiều thuận của quy tắc ba điểm
2 Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ngợc lại của quy tắc ba
điểm, cụ thể "với một vectơ AB bất kì chúng ta đều có thể xen thêm vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân tích đợc vectơ AB thành tổng của hai vectơ".
Thí dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng AB + AD = AC
Giải
Vì ABCD là hình bình hành, suy ra:
BC AD
BC AD
AD = BC,
do đó:
AB + AD = AB + BC = AC
Từ thí dụ trên ta đợc quy tắc hình bình hành:
AB + AD = AC, với ABCD là hình bình
hành
Hoạt động : 1 Dựa vào hình bình hành ABCD:
H y xác định các vectơ tổng ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm. BA + BC , CB + CD.
Vectơ AC có thể là tổng của những cặp vectơ nào ?
2 H y nêu phãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm. ơng pháp xác định vectơ tổng của hai vectơ cùng gốc.
Thí dụ 3: Cho ABC đều cạnh bằng a Tính độ dài vectơ tổng AB + AC
Giải
Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A1 đối xứng với A qua M, ta có ngay ABA1C
là hình bình hành, suy ra:
AB + AC = AA1
AB + AC = AA1
= 2AM = 2
2
3
a = a 3
D A
M
Trang 4 Chú ý: Với các em học sinh cha nắm vững kiến thức về tổng của hai vectơ thì
th-ờng kết luận ngay rằng:
AB + AC = AB + AC = a + a = 2a
Hoạt động : Cho ABC vuông tại A, biết BC = a Tính độ dài vectơ tổng AB +
AC
Thí dụ 4: Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng:
MA + MB = 0
Giải
Ta có:
AM MB
AM MB
MB = AM,
do đó:
MA + MB = MA + AM = MM = 0
Từ thí dụ trên ta đợc kết quả:
Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0
Hoạt động : Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh rằng:
0 OD OC OB
Thí dụ 5: Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh rằng:
GA + GB + GC = 0
Giải
Trọng tâm G thuộc trung tuyến AM, ta dựng hình bình
hành BGCA1 bằng việc lấy điểm A1 đối xứng với G qua M,
ta có:
GB + GC = GA1,
AG GA
AG GM
2 GA
1 1
GA1 = AG,
GA + GB + GC = GA + GA1 = GA + AG = GG = 0, đpcm
Từ thí dụ trên ta đợc kết quả:
Gọi G là trọng tâm ABC thì GA + GB + GC = 0
3 Vectơ đối của một vectơ
Định nghĩa : Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ không, thì ta nói a là vectơ
đối của b, hoặc b là vectơ đối của a
Với vectơ AB cho trớc, ta có nhận xét:
AB + BA = AA = 0 BA là vectơ đối của AB
Hoạt động :
1 H y nêu nhận xét về vectơ đối của vectơ ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm. AB.
2 Mọi vectơ đều có vectơ đối ?
Kí hiệu: Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là a
M
A1 B
G M
Trang 5Suy ra AB = BA.
Nhận xét:
1 Ta có a + (a ) = (a ) + a = 0
2 Hai vectơ gọi là đối nhau nếu chúng ngợc hớng và cùng độ dài
3 Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0
Thí dụ 6: Ta đã biết rằng "Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0
", từ đó suy ra MB là vectơ đối của MA và ngợc lại
Hoạt động :
1 Cho điểm O và vectơ AB H y dựng vectơ ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm. OM sao cho OM + AB = 0.
2 Cho hình lục giác đều ABCDEF có tâm O H y chỉ ra các vectơ cùng phãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm. ơng, cùng hớng, ngợc hớng, bằng nhau, đối nhau.
4 Hiệu của hai vectơ
Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ a và b, kí hiệu a b, là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b, nghĩa là:
a b = a + (b).
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Để dựng vectơ ab khi biết các vectơ a và b ta lấy điểm A tuỳ ý, từ đó dựng vectơ AB = a và AC = b, khi đó CB = ab
Từ cách dựng trên ta đợc quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc:
AB AC = CB, với ba điểm A, B, C bất kì
Hoạt động : H y chứng minh quy tắc trên.ãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.
Tính chất của phép trừ véctơ
ab = c a = b + c
Thí dụ 7: Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng:
AB + CD = AD + CB
Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
VT = (AD + DB) + (CB + BD) = AD + CB + (DB + BD)
= AD + CB = VP, đpcm
Cách 2: Biến đổi tơng đơng đẳng thức về dạng:
ABAD = CBCD DB = DB , luôn đúng
Cách 3: Biến đổi tơng đơng đẳng thức về dạng:
ABCB = ADCD AB + BC = AD + DC AC = AC, luôn
đúng
C A
B
b
a a
b
a b
Trang 6 Nhận xét:
1 Trong bài học trớc chúng ta đã có 6 cách để chứng minh đẳng thức trên và ở đây chúng ta ghi nhận thêm đợc những cách giải khác, cụ thể:
Trong cách 1, ta sử dụng quy tắc ba điểm và tổng của hai vectơ đối nhau
Trong cách 2, ta sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc
Trong cách 3, ta sử dụng phép đổi dấu bằng việc đảo chiều vectơ
2 Các em học sinh hãy nêu thêm một cách giải khác dựa trên kết quả:
AB + BC + CD + DA = 0
bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB Vẽ các
vectơ MA + MB và MA MB
Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tuỳ ý Chứng minh rằng:
MA + MC = MB + MD
Bài tập 3: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a AB + BC + CD + DA = 0
b AB AD = CB CD
Bài tập 4: Cho ABC Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ,
CARS Chứng minh rằng RJ IQ PS 0
Bài tập 5: Cho ABC đều, cạnh bằng a Tính độ dài của các vectơ AB + BC và
AB BC
Bài tập 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng:
a CO OBBA
b AB BC DB
c DA DBOD OC
d DA DBDC 0
Bài tập 7: Cho a , b là hai vectơ khác 0 Khi nào có đẳng thức:
a a + b = a + b
b a + b = a b
Bài tập 8: Cho a + b = 0 So sánh độ dài, phơng, hớng của hai vectơ a và b
Bài tập 9: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau
Bài tập 10: Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC cùng tác động vào
một vật tại điểm M và vật đứng yên Cho biết cờng độ của F1 và F2
đều là 100N và AMB = 600 Tìm cờng độ và hớng của lực F3
Bài tập 11: Cho ABC đều có cạnh bằng a Tính độ dài vectơ tổng AB + AC
Bài tập 12: Cho ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O
a Chứng minh rằng:
0 OC OB
b Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
OM = OA OB; ON = OB OC; OP = OC OA.
Trang 7Bài tập 13: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng:
AD + BE + CF = AE + BF + CD
Bài tập 14: Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
MA MB + MC = 0
Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”
Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 850.000đ.
1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2 Bạn gửi tiền về:
Lấ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ
3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.
LUễN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY
Trang 8bài giảng nâng cao
A Tóm tắt lí thuyết
1 Tổng của hai vectơ
Định nghĩa : Tổng của hai vectơ a và b là một véctơ đợc xác định nh sau:
Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ AB = a.
Từ điểm B dựng vectơ BC = b.
Khi đó véctơ AC gọi là vectơ tổng của hai vectơ a và b , ta viết
AC = a + b .
Từ định nghĩa trên ta đợc quy tắc ba điểm:
AB + BC = AC, với ba điểm A, B, C bất kì
Tính chất của phép cộng véctơ
Với mọi véctơ a, b và c, ta có:
Tính chất 4: (Tính chất giao hoán): a + b = b + a
Tính chất 5: (Tính chất kết hợp): (a + b ) + c = a + (b + c)
Tính chất 6: (Tính chất của vectơ không): a + 0 = 0 + a = a
Ta có quy tắc hình bình hành:
AB + AD = AC, với ABCD là hình bình hành
Ta có:
Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0
Ta có:
Gọi G là trọng tâm ABC thì GA + GB + GC = 0
2 hiệu của hai vectơ
Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ a và b, kí hiệu a b, là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b, nghĩa là:
a b = a + (b).
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Để dựng vectơ ab khi biết các vectơ a và b ta lấy điểm A tuỳ ý, từ đó dựng vectơ AB = a và AC = b, khi đó CB = ab
C A
B
b
a
C A
B
b
a a
b
a b
Trang 9Từ cách dựng trên ta đợc quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc:
AB AC = CB, với ba điểm A, B, C bất kì
Tính chất của phép trừ véctơ
ab = c a = b + c
B phơng pháp giải toán
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB Vẽ
các vectơ MA + MB và MA MB
Giải
a Vẽ vectơ u = MA + MB:
Trên đoạn thẳng MA lấy điểm C sao cho AC = MB
Do đó:
u = MA + AC
Theo quy tắc ba điểm, ta có:
u = MC
Vậy, MA + MB = MC
b Vẽ vectơ v = MA MB:
Ta có:
v = MA + (MB) = MA + BM (vì BM là vectơ đối của MB) = BM + MA (tính chất giao hoán) = BA (Quy tắc ba điểm)
Vậy, MA MB = BA
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tuỳ ý Chứng minh rằng:
MA + MC = MB + MD
Giải
Gọi O là tâm của ABCD thì O là trung điểm của AC và BD
Gọi M' là điểm đối xứng của M qua O thì:
AMCM' là hình bình hành, suy ra:
MA + MC = MM' (1)
BMDM' là hình bình hành, suy ra:
MB + MD = MM' (2) Vậy, từ (1) và (2) ta đợc MA + MC = MB + MD
Ví dụ 3: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a AB + BC + CD + DA = 0
b AB AD = CB CD
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
a Ta có:
AB + BC + CD + DA = (AB + BC) + (CD + DA)
= AC + CA = 0
M
D
C M'
M O
Trang 10b Ta có:
Vậy, từ (1) và (2) ta đợc AB AD = CB CD
Ví dụ 4: Cho ABC Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,
BCPQ, CARS Chứng minh rằng RJ IQ PS 0
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
Vì ABIJ là hình bình hành nên AJ BI
Mà RJRAAJ RJRABI
Mặt khác:
SC
RA (CARS là hình bình hành) RJSCBI (1)
Lại có:
BQ IB
IQ (theo quy tắc ba điểm) (2)
CS PC
Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta đợc:
PS IQ
RJ = SC BI + IB BQ + QB CS
= (SC + CS) + (BI + IB ) + (BQ + QB) = 0 + 0 + 0 = 0
Ví dụ 5: Cho ABC đều, cạnh bằng a Tính độ dài của các vectơ AB + BC
và AB BC
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
a Ta có:
AB + BC = AC (quy tắc ba điểm)
Suy ra, AB + BC = AC = AC
Mà AC = a (theo giả thiết)
Vậy, độ dài vectơ AB + BC = a
b Gọi C1 là điểm đối xứng của C qua B, ta có:
1
BC = BC
Suy ra:
AB BC = AB + BC1 = AC1 AB BC = AC1 = AC1
Xét ABC1 có trung tuyến AB bằng nửa cạnh tơng ứng CC1 nên vuông tại A
Do đó:
AC1 = CC2 AC2 a 3
1 Vậy, độ dài vectơ AB BC = a 3
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng:
a CO OBBA
b AB BC DB
c DA DBOD OC
Trang 11d DA DBDC 0.
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
a Vì O là trung điểm của BD nên: OB OD
Suy ra:
OD CO OB
Vì ABCD là hình bình hành nên CD = BA
Vậy, ta đợc CO OBBA đpcm
b Ta có:
BC
DA (ABCD là hình bình hành)
Suy ra:
AB BC = AB + DA = DB
Vậy, ta đợc AB BC DB đpcm
c Ta có:
DB
DA = BA (quy tắc ba điểm)
Mà BA = OA OB
Suy ra, ta có DA DBOD OC đpcm
d Ta có:
DB
DA = BA
Mà:
BA = DC DA DB = DC DA DBDC 0 đpcm
Ví dụ 7: Cho a, b là hai vectơ khác 0 Khi nào có đẳng thức:
a a + b = a + b
b a + b = a b
Giải
a Đặt a = AB và b = BC
Giả sử, a và b cùng hớng thì A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó
Ta có:
AC BC AB b a
AC BC AB b
a
) 2 ( AC b
a
) 1 ( AC b
a
Từ (1) và (2) a + b = a + b
Vậy, có đẳng thức a + b = a + b khi và chỉ khi a và b cùng hớng
b Đặt a = AB và b = BC
Cách 1: giả sử ABC vuông tại B, ta có:
a + b = AB + BC = AC
a b = AB BC = AB + (BC) (1) Gọi C1 là điểm đối xứng của C qua B, ta có:
(1) a b = AB + BC1 = AC1
Do đó:
Trang 12a + b = AC.
a b = AC1,
Mà AC = AC1 (do ABC cân tại A)
Vậy, có đẳng thức a + b = a b khi a vuông góc với b
Cách 2: Giả sử BD là đờng chéo của hình bình hành vẽ trên hai véctơ AB và BC
Ta có:
a + b = AC a + b = AC (1)
Mà, DC = a và CB = b nên:
a b = DC + CB = DB a b = DB (2)
Theo đề bài, ta có:
a + b = a b AC = BD
ABCD là hình chữ nhật a b
Vậy, có đẳng thức a + b = a b khi a b
Ví dụ 8: Cho a + b = 0 So sánh độ dài, phơng, hớng của hai vectơ a và b
Giải
Vì a + b = 0 a + b = 0 a = b
Vậy, a và b có:
a = b
Cùng phơng
Ngợc hớng
Ví dụ 9: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau
Giải
Ta có:
Nếu AB = CD thì ABCD là hình bình hành Do đó, AD và BC có trung
điểm trùng nhau
Nếu AD và BC có trung điểm trùng nhau thì ABCD là hình bình hành Do
đó: AB = CD
Ví dụ 10: Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC cùng tác động vào
một vật tại điểm M và vật đứng yên Cho biết cờng độ của F1 và F2
đều là 100N và AMB = 600 Tìm cờng độ và hớng của lực F3
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
ABC có MA = MB = 100N và AMB = 600 nên ABC đều
Đờng cao MH =
2
3
MA MH = 50 3(N)
Vì F3 là lực tổng hợp của F1 và F2 nên
