Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Các đờng tiệm cận của đồ thị

Từ đó, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

Các em học sinh cần có kĩ năng thành thạo khi xét các tính chất đã nêu của hàm số cho trớc cũng nh khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản.

Chơng I gồm các bài học:

Đ1 Tính đơn điệu của hàm số

Đ2 Cực trị của hàm số

Đ3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đ4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ toạ độ

Đ5 Đờng tiệm cận của đồ thị hàm số

Đ6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Đ7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ.

Đ8 Một số bài toán thờng gặp về đồ thị

3

Đ1 tính đơn điệu của hàm số

bài giảng theo chơng trình chuẩn

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm sốxác định trên I

Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên K ta đi xét dấu biểu thức:

 b thay đổi trên I, kí hiệu là x

 a tiến dần tới b, kí hiệu là x + x với x  0

khi đó (1) đợc viết lại dới dạng:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x)  0, x  I.

b Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x)  0, x  I.

Đảo lại, ta có định lí:

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu f '(x) > 0, x  I thì f(x) đồng biến trên khoảng I.

b Nếu f '(x) < 0, x  I thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.

c Nếu f '(x) = 0, x  I thì f(x) không đổi trên khoảng I.



Chú ý: Khoảng I trong định lí trên có thể đợc thay bởi một đoạn hoặc một nửa

khoảng Khi đó, phải bổ sung giả thiết "Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa

1  x  0  x  1  x  1  Tập xác định D = (; 1].

Đạo hàm:

2 3

3xy'

2 1 x





y’ = 0 với x = 0 và y’ < 0 với xD\{0}

Nhận xét: Qua thí dụ trên, ta thấy có thể mở rộng định lí 1 nh sau:

Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu f '(x)  0, x  I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu

hạn điểm trên khoảng I, thì f(x) đồng biến trên khoảng I.

b Nếu f '(x)  0, x  I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu

hạn điểm trên khoảng I, thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.

Thí dụ 2: Xét sự biến thiên của hàm số y x 1.

Chú ý: Để chứng minh hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I ta đi

chứng minh y’  0, xI (hoặc y’  0, xI)

Thí dụ 3: Chứng minh rằng hàm số y = cos2x  2x + 3 nghịch biến trên 

Chú ý : Thí dụ tiếp theo minh hoạ việc thực hiện dạng toán "Tìm điều kiện của

tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I".

Thí dụ 4: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số:

Chú ý : Từ ý c) của định lí 1 gợi ý cho ta thực hiện dạng toán "Chứng minh

rằng biểu thức A = f(x) không phụ thuộc vào giá trị của x và tính giá trị của A".

= sin2x  sin2(a + x) + 2cosa.sin(2x + a)

= 2sin(2x + a).cosa + 2cosa.sin(2x + a) = 0

b Từ a) suy ra rằng hàm số f lấy giá trị không đổi trên  và do đó:

f(x) = f(0) = 2 – sin20 – sin2a – 2cosa.cos0.cosa = 1 – sin2a – 2cos2a = cos2a

)..

Điều đó gợi ý cho ta thực hiện dạng toán "Chứng minh bất đẳng thức".

Đạo hàm:

f '(x) = cosx1 < 0 với 0 < x <

2

  hàm số f(x) nghịch biến trên 0;

b Sử dụng kết quả trên với lập luận:

x < 0  x > 0  sin(x) < x  sinx < x  sinx > x, đpcm

Hoạt động Chứng minh rằng 2sinx + tanx > 3x với mọi x  0;

Chú ý: Việc kết hợp kết quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên

tục với tính đơn điệu của hàm số cho phép chúng ta giải phơngtrình, bất phơng trình và chứng minh tính duy nhất nghiệm của ph-

nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phơng trình.

Hoạt động Giải các phơng trình sau:

a x7 + 3x3  4 = 0 b x 1 9 x    3

Thí dụ 8: Cho hàm số f(x)2x2 x 2

a Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng [2; +)

b Chứng minh rằng phơng trình 2x2 x 211 có nghiệm duy nhất

suy ra đờng thẳng y = 11 luôn cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm dy nhất, tứcphơng trình 2x2 x 2 11 có nghiệm duy nhất.

Hoạt động Chứng minh rằng phơng trình x x 1 6 có nghiệm duy

nhất.

9

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.200.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

Bµi tËp 7: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè:

y =

2 2

Bµi tËp 9: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = (x  5)3 2

x

x 1

Bµi tËp 12: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè : y = x x2 x 1

Bµi tËp 13: Tuú theo m, kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè:

Bµi tËp 18:Tuú theo m, kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = mx4 + 2x21

Bµi tËp 19: H·y kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè:

Bµi tËp 22: Tuú theo a, kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè:

Bài tập 30: Cho hàm số:

y = x x2 xa Tìm a để hàm số luôn nghịch biến với mọi x

(tanA + tanB + tanC) > 

Bài tập 34:Chứng minh rằng với 0 < x <

Từ đó, ta có kết quả:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

c Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x)  0, x  I.

d Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x)  0, x  I.

2 điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Định lí 1 (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn tại một điểm c  (a, b) sao cho:

f(b)  f(a) = f '(c).(b  a) hay f '(c) = f(b) f(a)

điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB

Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu f '(x) > 0, x  I thì f(x) đồng biến trên khoảng I.

b Nếu f '(x) < 0, x  I thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.

c Nếu f '(x) = 0, x  I thì f(x) không đổi trên khoảng I.

Ta có mở rộng của định lí 2 nh sau:

Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu f '(x)  0, x  I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm trên khoảng I, thì f(x) đồng biến trên khoảng I.

b Nếu f '(x)  0, x  I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm trên khoảng I, thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.

Ta tóm tắt định lí 3 trong các bảng biến thiên sau:

Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thờng là việc

giải phơng trình y' = 0)

Bớc 3: Tính các giới hạn (nếu cần)

Bớc 4: Lập bảng biến thiên của hàm số

Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số y = x3  2x2 + x + 1

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

 Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a < 0)

và dấu của ' = b23ac (' > 0 hay '  0), do đó ta có bốn trờng hợpbiến thiên khác nhau

Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của hàm số y = x4  2x2  5

y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0  2x(2ax2 + b) = 0.

Do đó, phơng trình y' = 0 hoặc có một nghiệm (a.b  0) hoặc có banghiệm phân biệt, do đó ta có bốn trờng hợp biến thiên khác nhau

- Nếu D = adbc < 0  Hàm số nghịch biến trên D

lim

  y = 

 Bảng biến thiên:

Tr ờng hợp D > 0 Tr ờng hợp D < 0

y = f(x) = x +  +

dx e



 Miền xác định D = \{e

Ví dụ 7: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên

tập I " Khi đó, ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm miền xác định D và thiết lập điều kiện I D

Bớc 2: Đạo hàm y'

Bớc 3: Hàm số đơn điệu trên tập I (giả sử đồng biến trên I) khi:

y’  0, xI

19

Bài toán đợc chuyển về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc tam thứcbậc hai hoặc sử dụng phơng pháp hàm số.

b Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 khi:

Ví dụ 3: Cho hàm số:

a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?

a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi:

y'  0, xD và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

 1  m2 < 0  m>1

Vậy, với m > 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Trớc hết là hàm số cần xác định trên (0; +), điều kiện là m  0 (*)

Hàm số đồng biến với trên (0; +) khi:

y'  0, x(0; +) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

 1  m2 > 0  m < 1   (*) 1 m 0.

Vậy, với 1 < m  0 thoả mãn điều kiện đầu bài



Chú ý Rất nhiều học sinh khi thực hiện bài toán trên:

a ở câu a), đã nhận cả nghiệm m = 1, bởi thiết lập điều kiện là 1  m2  0 Các

em học sinh cần nhớ kỹ nội dung định lí 2

b ở câu b), đã không kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trên khoảng (0;+)

Vậy, với m  0 thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài toán 3:Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Phơng pháp áp dụng

Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:

a.Nếu f'(x) = 0, x[a; b]  Hàm số f(x) là hàm hằng trên [a; b]

21

= sinx + (cosx + 1)tanx

2

= sinx + 2cosx

2 sinx

2 = sinx + sinx = 0

b Ta có thể lựa cọn mọtt trong hai cách sau:

Cách 1: Từ a) suy ra rằng hàm số f lấy giá trị không đổi trên  và do đó:

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x

a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;



(2 cos x 1)(cos x 1)

2cos x

Chú ý: Đôi khi chúng ta không thể khẳng định đợc ngay rằng f'(x)  0, x[a; b]

(hoặc f '(x)  0, x[a; b]), ví dụ nh hàm số f(x) = x

 f '(x) nghịch biến với x > 0  f '(x) < f '(0) với x > 0

 f '(x) < 0 với x > 0  f(x) nghịch biến với x > 0

Chú ý: Trong các ví dụ trên chúng ta đã chỉ ra ngay đợc hàm số cần xét sự

biến thiên Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét sựbiến thiên, khi bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức nhiều biến

Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong mọi ABC nhọn ta đều có:

tanA + tanB + tanC > 

 Hớng dẫn: Sử dụng hàm số đặc trng y = tanx  x.

 Giải

Viết lại bất đẳng thức dới dạng:

23

ta n A ta n B ta n C A B C      (tanA – A) + (tanB – B) + (tanC – C)

tanAA > 0, tanBB > 0, tanCC > 0

Cộng theo vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh

Bài toán 4:Giải phơng trình, bất phơng trình và hệ

Cách 1: Viết lại phơng trình dới dạng:

nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình

Cách 3: Viết lại phơng trình dới dạng:

Khi đó, hệ có dạng:

25

Bài toán 5:ứng dụng vào thực tế.

Ví dụ 1: Số dân của một thị trấn đợc cho bởi:

f(t) = 26t 10

t 5





trong đó t là khoảng thời gian kể từ đầu năm 1970 (đợc tính bằng năm) và f(t)

là dân số tại thời điểm t (đợc tính nghìn ngời)

a Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995

b Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +) Tính f'(t) và xétchiều biến thiên của hàm số f trên nửa khoảng [0; +)

c Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tínhbằng nghìn ngời/năm)

 Tính tốc độ tăng dân số trong năm 1990 của thị trấn

 Tốc độ tăng dân số trong năm 1990 của thị trấn là f'(1990) = 0,192

 Tốc độ tăng dân số trong năm 2008 của thị trấn là f'(2008) = 0,065

Bài tập 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

a y = (x  5)3 x2 b y =

2

x

x 1

Bài tập 6: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = 2

x x  x 1

Bài tập 7: Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

a y = 4x3 + mx b y = mx33(m1)x2 + 3(m2)x +1

Bài tập 13: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a Tìm a để hàm số nghịch biến trên

Bài tập 17: Chứng minh rằng trong mọi ABC nhọn ta đều có:

(tanA + tanB + tanC) > 

Bài tập 18: Chứng minh rằng sin200 >

Bài tập 16: Không tồn tại giá trị của a để hàm số luôn nghịch biến.

Bài tập 17:Viết lại bất đẳng thức dới dạng:

1

2 ) 1 

3 1

Từ đó, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Bài tập 18: Ta có sin600 = 3sin2004sin3200, do đó sin200 là nghiệm của phơng trình:

 27 3 > 46  2187 > 2116, luôn đúng.

29