Bài giảng: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ

Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

- Nếu D = adbc > 0  hàm số đồng biến trên D

- Nếu D = adbc < 0  hàm số nghịch biến trên D

c Đồ thị: Do có hai trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm

số có hai dạng sau đây:

3y= a/c

x=d/c

Iy= a/c

x=d/c

I

Một số tính chất của hàm số hữu tỉ

bậc nhất trên bậc nhất

Tích chất 1: Đồ thị nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng

Tích chất 2: Không có bất cứ đờng tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua tâm đối

xứng I

Tích chất 3: M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm

cận tại A, B thì:

a M là trung điểm AB ;

b IAB có diện tích không đổi ;

c Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số

Tích chất 4: Tam giác nội tiếp Hyperbol (H)

a Nếu ABC nội tiếp trong Hyperbol (H) (A, B, C không thẳng hàngthuộc đồ thị hàm số ) thì trực tâm H của ABC cũng thuộc (H)

b Nếu ABC vuông tại A nội tiếp trong (H) thì B, C thuộc hai nhánhcủa Hyperbol (H)

c Nếu xét tập hợp các tam giác vuông có chung đỉnh góc vuông vàcùng nội tiếp trong một đờng Hyperbol (H) thì tất cả các cạnhhuyền của chúng song song với nhau (hay cùng vuông góc với mộttiếp tuyến )

Tích chất 5: Tiếp tuyến của Hyperbol (H)

a Hai tiếp tuyến của (H) không bao giờ vuông góc với nhau

b Hai tiếp tuyến song song của (H) có các tiếp điểm đối xứng nhauqua tâm của (H)

Tích chất 6: Hyperbol (H) và đờng tròn Nếu một đờng tròn (C) cắt (H) tại bốn

điểm sao cho hai điểm trong 4 điểm đó là các đầu mút đờng kính của

đờng tròn, thì hai điểm còn lại đối xứng nhau qua tâm của (H) và ngợclại

Hoạt động Chứng minh các tính chất trên.

Thí dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y 2x 1x 2 .

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

2

y' + +

3 Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A(0;1) và B(1; 0)



Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng

pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, cụ thể vì các dạng hàm sốnày luôn đơn điệu trên miền xác định của nó và luôn nhận giao điểm của hai đờngtiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đúng đồ thị của nó các em học sinh hãy thựchiện nh sau:

a Trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta lấy hai điểm A, B thuộc mộtnhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị của tiệm cận

đứng)

b Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I ở giữahình

c Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận

d Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, rồi thực hiện vẽnhánh đồ thị chứa A’, B’

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

b Chứng minh rằng giao điểm I của hai đờng tiệm cận của

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = (dx + e)2d

Vậy phơng trình y' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt Do đóhàm số hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị

Một số tính chất của hàm phân thức hữu tỉ

bậc hai trên bậc nhất

Tích chất 1: Hàm số đồng biến trên D khi:

eDd

Tích chất 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi:

Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác e

 Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

số có dạng y = 1

d(2ax + b)

Tích chất 3: Hàm số có hai cực trị trái dấu

 Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác e

d và phơngtrình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm

Tích chất 4: Hàm số có hai cực trị cùng dấu

 y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác e

d và phơng trình ax2 +

bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt

Tích chất 5: Đồ thị nhận giao điểm I của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng

Tích chất 6: M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Ta có:

a Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số

b Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B thì:

 M là trung điểm AB

 IAB có diện tích không đổi

Hoạt động Chứng minh các tính chất trên.

Thí dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

7I

y

x

x=1y=x+1

O

2

1

22

5/2A

B

 Bảng biến thiên:

y' = 1 1 2

2 2

Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng

pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, cụ thể vì các dạng hàm sốnày luôn nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đúng

đồ thị của nó các em học sinh hãy thực hiện nh sau:

Khả năng 1: Nếu hàm số có cực trị thì trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta

lấy hai điểm A, B đối xứng với nhau qua I, từ đó:

a Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I ở giữahình

b Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm A và cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận

c Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm B và cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận

Khả năng 2: Nếu hàm số không có cực trị chúng ta lấy hai điểm A, B thuộc một

nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị của tiệm cận đứng)

a Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I ở giữahình

b Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận

c Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, rồi thực hiện vẽnhánh đồ thị chứa A’, B’

Hoạt động Cho hàm số

2

2x 5x 4 (H) : y

x 2

 





a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

b Chứng minh rằng giao điểm I của hai đờng tiệm cận của

đồ thị là tâm đối xứng của nó

c Tuỳ theo giá trị của mh y biện luận số nghiệm của phãy biện luận số nghiệm của ph ơng

trình 2x2  (m  5)x  2m + 4 = 0

bài tập lần 1Bài tập 1: Cho hàm số (H) : y x 2

x 1







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Tìm m để phơng trình x2 m x 1 có hai nghiệm trái dấu

c Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm A của đồ thị với trục tung

d Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó songsong với tiếp tuyến tại điểm A Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với (H) tạiA’, chứng tỏ rằng A và A’ đối xứng với nhau qua giao điểm I của hai đờngtiệm cận

 M là trung điểm AB

 IAB có diện tích không đổi với I là giao điểm của hai tiệm cận

 Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số

c Với kết quả ở câu b) hãy:

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

 Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (H) thành đồ thị của hàm số y 3x 8

d Giả sử tiếp tuyến tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A, B Chứng minh rằng:

 M là trung điểm AB

 IAB có diện tích không đổi với I là giao điểm của hai tiệm cận

e Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Từ đồ thị (H) suy ra đồ thịhàm số

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.000.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

11

bài giảng nâng cao

Bài toán 1:Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Tìm m để phơng trình x2 m x 1 có hai nghiệm trái dấu

c Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm A của đồ thị với trục tung

d Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó songsong với tiếp tuyến tại điểm A Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với (H) tạiA’, chứng tỏ rằng A và A’ đối xứng với nhau qua giao điểm I của hai đờngtiệm cận

 Giải

a Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D\ 1  

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

3 Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A 0; 2   và B(2; 0)

b Vì x = 1 không là nghiệm của phơng trình nên ta biến đổi phơng trình về dạng:

 Phần đồ thị (H) ở phía trên trục Ox

 Lấy đối xứng phần đồ thị (H) ở phía trục Ox qua Ox

2 Từ đồ thị, suy ra để phơng trình có hai nghiệm trái dấu điều kiện là 1 < m < 2

22

y = m

c Phơng trình tiếp tuyến tại A có dạng:

d Tiếp tuyến song song với (dA) nên có hệ số góc k = 3

Hoành độ tiếp điểm A’ của tiếp tuyến với đồ thị (H) là nghiệm của phơng trình:

2

3

3(x 1)

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm A’ có dạng:

b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng y = mx  2m + 3 luôn đi

qua một điểm cố định của đờng cong (H)

c M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Giả sử tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm

cận tại A, B Chứng minh rằng:

 M là trung điểm AB

 IAB có diện tích không đổi với I là giao điểm của hai tiệm cận

 Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số

 Giải

a Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D\ 1  

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

= 1

11



1

x

=

 1

 M là trung điểm của AB.

 Diện tích tam giác IAB đợc xác định bởi:

c Với kết quả ở câu b) hãy:

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

 Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (H) thành đồ thị của hàm số y 3x 8

Hàm số đồng biến với trên (0; +) khi:

y'  0, x(0; +) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

 1  m > 0  m < 1 (*) 0 m 1. 

Vậy, với 0 m 1  thoả mãn điều kiện đầu bài

b Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(m; 1), suy ra m = 2

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

1

Giả sử với phép tịnh tiến theo vectơ v(a; b) biến đồ thị (H) thành đồ thị hàm

Vậy, với vectơ v( 1; 2)   thoả mãn điều kiện đầu bài

Xét hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị, ta có:

Vậy, hai điểm A(1; 0), B(3; 2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài toán 2:Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

d Giả sử tiếp tuyến tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A, B Chứng minh rằng:

 M là trung điểm AB

 IAB có diện tích không đổi với I là giao điểm của hai tiệm cận

e Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực



 gồm hai phần:

 Phần đồ thị (H) với x > 0

 Lấy đối xứng phần đồ thị (H) với x < 0 qua trục Ox

c M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ bằng a thì 2

x

y

= x

 Với hai điểm A, B thì:

xA + xB = 2a = 2xM M là trung điểm của AB

 Diện tích tam giác IAB đợc xác định bởi:

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

 Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi m > 1.

 Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 < x1 < 2 < x2 < 3 khi m < 8

c Xét hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị, ta có:

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

     ; xlim y  

xlim1

  y =  nên x = 1 là đờng tiệmcận đứng

x

lim(y x)

   = 0 nên y = x là đờng tiệmcận xiên

 Bảng biến thiên:

y' = 1 1 2

2 2

Tức là y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt thuộc D và đổi dấu qua hai nghiệm này,

do đó hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Tới đây, ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía của trục Ox điều kiện là:

yA.yB < 0  (m  2)(m + 2) < 0  m2  4 < 0  m < 2

Vậy, với m < 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Các điểm cực trị có hoành độ thoả mãn:

Vậy, với m < 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 3: Để A, B nằm vế hai phía của trục Ox điều kiện đồ thị hàm số không cắt trục

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều lập với hai đờng tiệmcận một tam giác có diện tích không đổi

c Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờngtiềm cận một tam giác có chu vi bé nhất

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm trên đồ thị hàm số tát cả những điểm có các toạ độ là nguyên

Bài tập 3: Cho hàm số:

21

(Cm): y = (3m 1)x m m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến sẽsong song với đờng thẳng y = x + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 2 sao cho tiếp tuyến tại

điểm đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm các cặp điểm trên đồ thị (C) mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm toạ độ các giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằngtiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng y = x + 2005

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 3

b Tìm những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị của hàm số không thể đi qua

dù m lấy giá trị bất kì nào

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Tìm những điểm trên đờng thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m

để đồ thị của hàm số đi qua

Bài tập 10:Cho hàm số (C) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

(C): y = 1

x , (d): y = ax + b

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Tìm a, b để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) Giả sử điều kiện đợc thoả mãn.Khi đó (d) cắt Ox, Oy tại A, B hãy:

- Chứng tỏ rằng tam giác OAB có diện tích không đổi

- Chứng tỏ rằng trung điểm của AB là tiếp điểm của (d) với (C)

- Khi nào thì khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (d) là lớn nhất ?