Bài giảng: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §7 Khảo sát số hàm phân thức hữu tỉ  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tơ Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon86@gmail.com để nhận giải đáp §7 khảo sát số hàm phân thức hữu tỉ A giảng Hàm phân thức bậc bậc Với hàm số: (H): y = ta lần lợt cã: ax + b , víi c ≠ 0, D = ad − bc ≠ cx + d d a Tập xác định D = Ă \{ } c b Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = a nên y = a đờng tiệm cận ngang x c c d lim d đờng tiệm cận đứng x →− y = ∞ nªn x = − c c Bảng biến thiên: ad bc y' = cx + d - NÕu D = ad − bc > hàm số đồng biến D - NÕu D = ad − bc < ⇒ hàm số nghịch biến D Lập bảng biến thiên: Trêng hỵp D > x y' −∞ + − d/c +∞ + +∞ a a −∞ y c c Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến hàm số hàm số cực trị Trờng hợp D < x y' −∞ − − d/c +∞ − +∞ a a y c c Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng nghịch biến hàm số hàm số cực trị c Đồ thị: Do có hai trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có hai dạng sau đây: Với D > Với D < x= − d/c I x= − d/c y= a/c I y= a/c Mét sè tÝnh chÊt cđa hµm số hữu tỉ bậc bậc Tích chất 1: Đồ thị nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Tích chất 2: Không có đờng tiếp tuyến đồ thị hàm số qua tâm đối xứng I Tích chất 3: M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Nếu tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B thì: a M trung điểm AB ; b IAB có diện tích không đổi ; c Tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số Tích chất 4: Tam giác nội tiÕp Hyperbol (H) a NÕu ∆ABC néi tiÕp Hyperbol (H) (A, B, C không thẳng hàng thuộc đồ thị hàm số ) trực tâm H ABC thuộc (H) b Nếu ABC vuông A nội tiếp (H) B, C thuộc hai nhánh Hyperbol (H) c Nếu xét tập hợp tam giác vuông có chung đỉnh góc vuông nội tiếp đờng Hyperbol (H) tất cạnh huyền cđa chóng song song víi (hay cïng vu«ng gãc víi mét tiÕp tuyÕn ) TÝch chÊt 5: TiÕp tuyÕn cđa Hyperbol (H) a Hai tiÕp tun cđa (H) kh«ng bao giê vu«ng gãc víi b Hai tiÕp tun song song (H) có tiếp điểm đối xứng qua t©m cđa (H) TÝch chÊt 6: Hyperbol (H) đờng tròn Nếu đờng tròn (C) cắt (H) bốn điểm cho hai điểm điểm đầu mút đờng kính đờng tròn, hai điểm lại đối xứng qua tâm (H) ngợc lại Hoạt động Thí dụ 1: Chứng minh tính chất Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x + x2 Giải Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = ¡ \ { 2} Sù biÕn thiªn cđa hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = nên y = đờng tiƯm cËn ngang x →∞ lim y = ∞ nªn x = đờng tiệm cận đứng x Bảng biến thiên: y' = < với mäi x∈D (x − 1)2 y=2 I O −2 2 hàm số nghịch biến D −∞ +∞ + + x=2 +∞ y −∞ Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm A(0; −1) vµ B(−1; 0) x y'  y x Nhận xét: Các em học sinh quan sát hình vẽ rút đợc phơng pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc nhất, cụ thể dạng hàm số đơn điệu miền xác định nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị em häc sinh h·y thùc hiÖn nh sau: a Trong phần (Đồ thị hàm số) lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có hoành độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận đứng) b Vẽ hệ toạ độ với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I hình c Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cËn d LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, råi thùc hiƯn vẽ nhánh đồ thị chứa A, B Hoạt động x2 2x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: b Chứng minh r»ng giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiƯm cËn cđa đồ thị tâm đối xứng c Tuỳ theo giá trị m hÃy biện luận số nghiệm phơng x2 = m trình 2x + Cho hàm số (H) : y = Hàm phân thức bậc hai bậc Với hàm số: y= ax + bx + c , víi ad ≠ 0, tư, mÉu kh«ng cã nghiƯm chung dx + e ta lần lợt có: Viết lại hàm số dới dạng: y = f(x) = αx + β + γ dx + e e a Tập xác định D = Ă \{ } d b Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = ∞ x →∞ lim y = ∞ nªn x = e đờng tiệm cận đứng d lim [y − (αx + β)] = nªn y = x + đờng tiệm cận xiên x e / d x Bảng biến thiên: y' = α − γd α(dx + e)2 − γd = , (dx + e)2 (dx + e)2 DÊu cña đạo hàm dấu tam thức g(x) = (dx + e)2 d Vậy phơng trình y' = vô nghiệm có hai nghiệm phân biệt Do hàm số cực trị có hai cực trị Lập bảng biến thiên: x e/d + y' y Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến nghịch biến cực trị hàm số c Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có bốn dạng I I I I Mét sè tÝnh chÊt cña hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc Tích chất 1: Tích chất 2: Hàm số đồng biến trªn D khi:  e − ∉ D  d y ' ≥ 0, ∀x ∈ D  Hµm số có cực đại, cực tiểu khi: Phơng trình y' = có hai nghiệm phân biệt khác Khi đó: 2ax + b d Phơng trình đờng thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số có dạng y = (2ax + b) d Hàm số có hai cực trị trái dấu e Phơng trình y' = có hai nghiệm phân biệt khác phơng d trình ax + bx + c = vô nghiệm Hàm sè cã hai cùc trÞ cïng dÊu e ⇔ y' = có hai nghiệm phân biệt khác phơng trình ax2 + d bx + c = có hai nghiệm phân biệt Đồ thị nhận giao điểm I hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Ta có: a Tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số b Nếu tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B thì: M trung điểm AB IAB có diện tích không đổi Tích chất 3: Tích chất 4: Tích chất 5: Tích chất 6: Hoạt động Giá trị cực trị hàm số x0 y(x0) = Chứng minh tính chất Thí dụ 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị cđa hµm sè y =  e d x + 2x + x +1 Gi¶i Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = ¡ \ { −1} Sù biÕn thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiÖm cËn: lim y = −∞ ; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ lim y = ∞ nên x = đờng tiệm cận đứng lim[y − (x + 1)] = nªn y = x + đờng tiệm y x B x 21 cận xiên Bảng biến thiên: x + 2x = , (x + 1)2 (x + 1)2 y' = − y=x+1 x = y' = ⇔ x2 + 2x = ⇔   x = −2 x −∞ −2 −1 y' + − − C§ +∞ y −∞ −2 −∞   A I O −2 −5/2 x x=−1 0 CT 5 +∞ + +∞   Đồ thị hàm số: Lấy thêm ®iĨm A  −3; − ÷, B 1; ÷ 2    NhËn xÐt: C¸c em häc sinh quan sát hình vẽ rút đợc phơng pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc nhất, cụ thể dạng hàm số nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị em học sinh hÃy thực nh sau: Khả 1: Nếu hàm số có cực trị phần (Đồ thị hàm sè) chóng ta lÊy hai ®iĨm A, B ®èi xøng với qua I, từ đó: a Vẽ hệ toạ ®é cïng víi hai ®êng tiƯm cËn víi lu ý để tâm đối xứng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm A cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận c Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm B cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận Khả 2: Nếu hàm số cực trị lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có hoành độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận ®øng) a VÏ hƯ to¹ ®é cïng víi hai ®êng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa hai ®iĨm A, B tùa theo hai tiƯm cËn c LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, thực vẽ nhánh đồ thị chứa A, B Hoạt động Cho hàm số (H) : y = 2x + 5x + x+2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: b Chứng minh giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiƯm cËn cđa ®å thÞ tâm đối xứng c Tuỳ theo giá trị m hÃy biện luận số nghiệm phơng tr×nh 2x2 − (m − 5)x − 2m + = tập lần Bài tập 1: Cho hµm sè (H) : y = x+2 x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phơng trình x + = m x − cã hai nghiƯm tr¸i dÊu Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm A đồ thị với trục tung Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị đà cho, biết tiếp tuyến song song với tiếp tuyến điểm A Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (H) A, chứng tỏ A A đối xứng víi qua giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiƯm cËn Bµi tËp 2: Cho hµm sè: a b c d (H) : y = f(x) = x +1 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số y= x x +1 b Chứng minh với giá trị m, đờng thẳng y = mx 2m + qua điểm cố định đờng cong (H) c M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Giả sử tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Chứng minh rằng: M trung ®iĨm AB  ∆IAB cã diƯn tÝch kh«ng ®ỉi víi I giao điểm hai tiệm cận Tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận lµ mét h»ng sè Bµi tËp 3: Cho hµm sè: (H m ) : y = x −1 x−m a Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng (; 0) ? b Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng c Với kết câu b) hÃy: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số 10 Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (H) thành đồ thị hàm số y = 3x − x −3  T×m hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác đồ thị để khoảng cách chúng nhỏ Bµi tËp 4: Cho hµm sè (H) : y = x2 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Từ đồ thị (H) suy đồ thị hàm số y = x2 x c M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Chứng minh tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số d Giả sử tiếp tuyến điểm M cắt hai tiệm cận A, B Chứng minh rằng: M trung điểm AB IAB có diện tích không đổi với I giao điểm hai tiệm cận e Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (H) biết tiếp tuyến ®i qua ®iĨm E(2; 2) Bµi tËp 5: Cho hµm sè (H) : y = 2x − x + x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đồ thị (H) suy đồ thị hàm số y = 2x − x + x −1 b T×m m để phơng trình 2x2 + (m 1)x m + = cã hai nghiÖm x 1, x2 thoả mÃn: x1, x2 trái dấu < x1 < < x2 < c T×m hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác đồ thị để khoảng cách chúng nhỏ Bµi tËp 6: Cho hµm sè: (H m ) : y = x + mx + x+m a Với m = khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số Từ đồ thị x2 x + (H) suy đồ thị hàm số y = x + b Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu hai điểm nằm hai phía đờng thẳng đờng thẳng (d): x + y = Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao 11 Giỏo ỏn in tử giảng giá: 1.000.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIT DY 12 giảng nâng cao Bài toán 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc Cho hàm số (H) : y = VÝ dô 1: a b c d x+2 x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phơng trình x + = m x − cã hai nghiệm trái dấu Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm A đồ thị với trục tung Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị đà cho, biÕt r»ng tiÕp tun ®ã song song víi tiÕp tuyến điểm A Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (H) A, chứng tỏ A A’ ®èi xøng víi qua giao ®iĨm I cđa hai đờng tiệm cận Giải a Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Ă \ { 1} Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = nên y = đờng tiệm cËn ngang x →∞ lim y = ∞ nªn x = đờng tiệm cận đứng x Bảng biến thiên: y' = < với x∈D (x − 1)2 y=m y=1 y 2I O hàm số nghịch biến D 2 x −∞ +∞ + + −2 +∞ x=2 y Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm A ( 0; ) B(2; 0) b Vì x = không nghiệm phơng trình nên ta biến đổi phơng trình dạng: x+2 =m x −1 NhËn xÐt r»ng sè nghiƯm cđa phơng trình số giao điểm đồ thị hàm x+2 số y = với đờng thẳng y = m Ta lần lợt có: x x y' 13 Đồ thị hàm số y = x+2 gồm hai phần: x Phần đồ thị (H) phía trục Ox Lấy đối xứng phần đồ thị (H) ë phÝa trơc Ox qua Ox Tõ ®å thị, suy để phơng trình có hai nghiệm trái dấu điều kiện < m < c Phơng trình tiếp tuyến A có dạng: (d A ) : y + = y'(0) x ⇔ (d A ) : y = −3x − d TiÕp tun song song víi (dA) nªn cã hƯ sè góc k = Hoành độ tiếp điểm A tiếp tuyến với đồ thị (H) nghiệm phơng tr×nh: −3 x −1 = x = = −3 ⇔ (x − 1)2 = ⇔  ⇔ (x − 1)  x − = −1  x = lo¹i ⇒ A ' ( 2; ) A A đối xứng với qua I Khi đó, phơng trình tiếp tuyến điểm A’ cã d¹ng: (d A ' ) : y − = y '(2) (x − 2) ⇔ (d A ' ) : y = −3x + 10 Cho hµm sè: VÝ dô 2: (H) : y = f(x) = x +1 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số y= x x +1 b Chứng minh với giá trị m, đờng thẳng y = mx 2m + qua điểm cố định đờng cong (H) c M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Giả sử tiếp tuyến M cắt hai tiƯm cËn t¹i A, B Chøng minh r»ng:  M trung điểm AB IAB có diện tích không đổi với I giao điểm hai tiệm cận Tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số Giải a Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = ¡ \ { 1} Sù biÕn thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiƯm cËn: y lim y = nªn y = đờng tiệm cận ngang x lim y = nên x = đờng tiệm cận đứng x 14 Bảng biến thiên: I O −1 −1 x = −1 y x = x=1 y' = −2 < víi mäi x∈D (x 1)2 hàm số nghịch biến D x y' −∞ + +∞ + +∞ Đồ thị hàm số: Lấy thêm ®iĨm A(0; −1) vµ B(−1; 0) x −1 Hµm sè y = đợc viết lại dới dạng: x +1 x + ( −x) + = = f(−x) , y= − x − ( −x) − nên đồ thị đợc suy cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Oy (đờng nét đứt) b Giả sử N(x0 ; y0) điểm cố định đờng thẳng y = mx 2m + 3, ta cã: y0 = mx0 − 2m + 3, ∀m ⇔ m(x0 − 2) + − y0 = 0, ∀m x0 − = x0 = ⇔ ⇔ ⇒ N(2; 3)∈(H) 3 − y =  y0 = VËy, víi mäi gi¸ trị m, đờng thẳng y = mx + m qua điểm cố định N(2; 3) đờng cong (H) a +1 c M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ a, M a; ữ a phơng trình tiếp tuyến M có d¹ng: a +1 (d): y − y(a) = y'(a)(x − a) ⇔ (d): y = − (x − a) + (a 1) a Ta lần lợt: Toạ độ giao điểm A tiếp tuyến M tiệm cận đứng nghiệm hệ phơng tr×nh: x = x =    a +3 a +1 ⇔  a + ⇔ A 1;  ÷  a −1  y = a −1  y = − (a − 1) (x − a) + a −   Toạ độ giao điểm B tiếp tuyến M tiệm cận ngang nghiệm hệ phơng tr×nh: y =  x = 2a −  a +1 ⇔  ⇔ B(2a − 1; 1)  y =  y = − (a − 1) (x − a) + a − Từ đó, ta lần lợt nhận thấy: y 15 Với hai điểm A, B thì: x A + x B = + 2a − = 2a = 2x M  ⇒ M lµ trung ®iĨm cđa AB  a+3 a +1  y A + y B = a − + = a − = 2y M  DiÖn tích tam giác IAB đợc xác định bởi: a +3 − 2a − − = a − = S∆IAB = IA.IB = a −1 a −1 TÝch kho¶ng cách từ M tới hai đờng tiệm cận bằng: a +1 = a −1 −1 = a −1 a −1 a −1 Cho hµm sè: VÝ dô 3: (H m ) : y = x −1 xm a Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng (; 0) ? b Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng c Với kết câu b) hÃy: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số 3x x Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (H) thành đồ thị hàm số y = Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác đồ thị để khoảng cách chúng nhỏ Giải a Miền xác định D = Ă \{m} Trớc hết hàm số cần xác định (0; +), điều kiện m (*) Đạo hµm: 1− m y' = (x − m)2 Hµm số đồng biến với (0; +) khi: y' 0, x(0; +) dấu đẳng thức xảy số hữu hạn điểm (*) m > ⇔ m < ⇔ ≤ m < VËy, víi ≤ m < thoả mÃn điều kiện đầu b Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(m; 1), suy m = c Víi m = 2, hµm sè có dạng: x y= x2 Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Ă \ { 2} Sự biến thiên hàm số: 16 Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = nên y = đờng tiƯm cËn ngang x →∞ lim y = ∞ nªn x = đờng tiệm cận đứng x Bảng biến thiên: y' = < với mäi x∈D (x − 2)2 −∞ I x + y O +∞ + x=2 y=1 1/2 hàm số nghịch biến D x y' y + Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm A 0; ữ B(1; 0) r ã Giả sử với phép tịnh tiến theo vectơ v(a; b) biến đồ thị (H) thành đồ thị hàm số 3x y= Với phép tịnh tiến này, hàm số đồ thị (H) có dạng: x (x + a) (1 − b)x + a − − b(a − 2) y+b= ⇔ y= (x + a) − x+a−2 1 − b = b = −2  ⇒ a − − b(a − 2) = −8 ⇔  a = −1 a − = −3  r VËy, víi vect¬ v( −1; − 2) thoả mÃn điều kiện đầu ã Xét hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị, ta có:  −x +   x2 +  A  − x1 ; ÷, B  + x ; ÷ − x1   x2   Suy ra: AB = ( + x )  2  x + − x1 +  − ( − x1 )  +  − ÷  − x1   x2 2  2  1 = ( x + x1 ) +  + ÷ = ( x + x1 )  + 2 ÷ x1 x    x x1  C «si ≥ 4x1x = x1 x 17 Suy MinAB =  x1 = x  ⇔  1 = x x 2 , đạt đợc khi: x1 = x  ⇔ x1 = x =   x1 =  VËy, hai ®iĨm A(1; 0), B(3; 2) thoả mÃn điều kiện đầu Bài toán 2: Khảo sát vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc Cho hàm sè (H) : y = VÝ dô 1: x2 − x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Từ đồ thị (H) suy đồ thị hàm số y = x2 x c M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Chứng minh tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số d Giả sử tiếp tuyến điểm M cắt hai tiệm cận A, B Chứng minh rằng: M trung điểm AB IAB có diện tích không đổi với I giao điểm hai tiệm cận e Viết phơng trình tiếp tuyến ®å thÞ (H) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iĨm E(2; 2) y  Gi¶i y=x x a Viết lại hàm số dới dạng (H) : y = x Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Ă \ { 0} Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = ; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ lim y = nên x = đờng tiệm cËn ®øng x →0  18 lim(y − x) = nên y = x đờng tiệm cận xiên x Bảng biến thiên: y' = + > 0, x D hàm số đồng biÕn trªn D x x −∞ +∞ y' + + +∞ +∞ y −∞ −∞ B I O 1 A x Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm A ( 1; 1) , B ( 2; 1) b Ta cã:  x2 − víi x>0 x2 −  x  y= = x  − x − víi x Lấy đối xứng phần đồ thị (H) với x < qua trôc Ox   2 c M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ a M a; a ữ a khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng, tiệm cận xiên là: a a ữ 2 = không ®æi a = d1 = a, ⇒ d1.d = a  d2 = a a 1+1 d Ph¬ng trình tiếp tuyến M với (H) có dạng: 2  (d) : y = 1 + ÷( x − a ) + a − a  a Ta lần lợt: Toạ độ giao điểm A (d) tiệm cận đứng nghiệm hÖ: x = x = 4    2 ⇔ ⇔ A  0; − ÷   a  y = − a  y = 1 + a ÷( x − a ) + a − a      Toạ độ giao điểm B (d) tiệm cận xiên nghiệm hệ: y = x x = 2a  ⇔ B(2a; 2a) 2 ⇔    y = 2a  y = 1 + a ÷( x − a ) + a − a Từ đó, ta lần lợt nhận thấy: Với hai điểm A, B thì: xA + xB = 2a = 2xM M trung điểm AB Diện tích tam giác IAB đợc xác ®Þnh bëi: 1 · S = IA.IB.sin AIB = |yA − yI||xB − xI| = − 2a = a 2 e TiÕp tuyÕn (d) ®i qua E, suy ra: 2 4  = 1 + ÷( − a ) + a − ⇔ − = ⇔ a = a  a a a  Khi đó, phơng trình tiếp tuyến có dạng (d): y = 3x −  19 Cho hµm sè (H) : y = VÝ dô 2: 2x − x + x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đồ thị (H) suy đồ thị hàm số y = 2x − x + x −1 b T×m m để phơng trình 2x2 + (m 1)x m + = cã hai nghiÖm x 1, x2 thoả mÃn: x1, x2 trái dấu < x1 < < x2 < c T×m hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác đồ thị để khoảng cách chúng nhỏ Giải a Viết lại hàm số dới dạng: (H) : y = −2x − − x Ta lần lợt có: Hàm số xác định trªn D = ¡ \ { 1} Sù biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực ®êng tiÖm cËn: lim y = +∞ ; lim y = −∞ x →−∞ x →+∞ lim y = nên x = đờng tiệm cận đứng x →1 lim [ y − (−2x − 1) ] = = nªn y = −2x − đờng tiệm cận xiên x Bảng biến thiªn: x = , y' = ⇔ −x2 + 2x = ⇔  ( x − 1) x = x −∞ +∞ y' 0 − + + − CT C§ +∞ +∞ y −8 −7 −∞ −∞ Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm A ( −1; ) , B ( 3; − ) 2x − x + Hµm sè y = đợc viết lại dới dạng: x 2x − x + = −f(x), y=− 1− x nên đồ thị đợc suy cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox Đề nghị bạn đọc tự vẽ đồ thị b Biến đổi phơng trình dạng: y ' = + 20 2x2 − x + = (1 − x)m (*) Nhận thấy x = nghiệm phơng trình nên ta biến đổi tiếp: 2x − x + = m x −1 Tõ ®ã, nghiệm phơng trình ứng với hoành độ giao điểm đồ thị (H) với đờng thẳng y = m Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu m > Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tho¶ m·n < x1 < < x2 < m < −8 c XÐt hai ®iĨm A, B thuộc hai nhánh đồ thị, ta có: 2   A 1 − x1 ; 2x1 − + ÷, B 1 + x ; − 2x − − ÷ x1   x2   Tõ ®ã: AB = ( + x )  = ( x + x1 )     − ( − x1 )  +  −2x − − ÷−  2x1 − + ÷  x2   x1      2 2      1 = ( x + x1 ) 1 + 1 + +  x + x1 + + ÷ ÷ x x1    x1 x        C «si  2 = ( x + x1 )  + + 2 ÷ ≥ 4x1x  + + 2÷ x1 x x1 x  x1x x1 x       C «si  =  5x1x + + + ÷ = 16 ÷ ≥  5x1x  ÷ x1x  x1x    Suy MinAB = ) 5+2 + , đạt đợc khi: x1 = x ⇔ x1 = x2 =  5x1x = x x  4 VËy, hai điểm A, B cần tìm có hoành độ tơng ứng lµ − VÝ dơ 3: ( 4 ,1+ 4 Cho hµm sè: (H m ) : y = x + mx + x+m a Với m = khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số Từ đồ thị x2 x + (H) suy đồ thị hàm số y = x + b Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu hai điểm nằm hai phía đờng thẳng đờng thẳng (d): x + y = 21 Giải a Với m = 1, hàm sè cã d¹ng: x2 + x + ⇔ (H) : y = x + (H) : y = x +1 x +1 Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Ă \ { 1} Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = −∞ ; lim y = +∞ y x →−∞ x →+∞ lim y = ∞ nªn x = −1 đờng tiệm x 3/2B cận đứng −1 lim(y − x) = nªn y = x đờng tiệm O x cận xiên I y=x+1 Bảng biến thiên: 7/2 A x + 2x y' = − = , (x + 1) (x + 1) x=−1 y' = ⇔ x2 + 2x = ⇔ x = hc x = −2 x −∞ −2 −1 +∞ y' + 0 + − − C§ CT +∞ +∞ y −∞ −3 −∞ 7  3  Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm A  −3; − ÷, B 1; ÷ 2  2  x − x +1 Hµm sè y = đợc viết lại dới dạng: x + x ( −x ) + ( −x ) + y= = f ( −x ) , ( −x ) + nên đồ thị đợc suy cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Oy (đờng nét đứt) b Miền xác định D = Ă \{m} Đạo hàm: x + 2mx + m − y' = , (x + m) y' = ⇔ f(x) = x2 + 2mx + m2 − = ⇔ x1, = −m D Tức y' = có hai nghiệm phân biệt thuộc D đổi dấu qua hai nghiệm này, hàm số có cực đại cực tiểu 22 Tới đây, ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Để A, B n»m vÕ hai phÝa cđa trơc Ox ®iỊu kiƯn lµ: yA.yB < ⇔ (−m − 2)(−m + 2) < ⇔ m2 − < ⇔ m < VËy, víi m < tho¶ m·n điều kiện đầu Cách 2: Các điểm cực trị có hoành độ thoả mÃn: x1 + x = −2m   x1 x = m −  §Ĩ A, B n»m vÕ hai phía trục Ox điều kiện là: yA.yB < ⇔ (2xA + m)(2xB + m) < ⇔ 4xAxB + 2m(xA + xB) + m2 < ⇔ 4(m2 − 1) − 4m2 + m2 < ⇔ m2 − < ⇔ m < VËy, với m < thoả mÃn điều kiện đầu Cách 3: Để A, B nằm vế hai phía trục Ox điều kiện đồ thị hàm số không cắt trục Ox, tức phơng trình: y = vô nghiệm ⇔ x2 + mx + = v« nghiƯm ⇔ ∆ < ⇔ m2 − < ⇔ m < VËy, víi m < tho¶ mÃn điều kiện đầu C tập rèn luyện hàm phân thức bậc bậc Bài tập 1: Cho hàm số: x+2 x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Chứng minh tiếp tuyến đồ thị hàm số ®Ịu lËp víi hai ®êng tiƯm cËn mét tam gi¸c có diện tích không đổi c Tìm tất điểm thuộc đồ thị cho tiếp tuyến lập với hai đờng tiềm cận tam giác có chu vi bÐ nhÊt Bµi tËp 2: Cho hµm sè: 3x + y= x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm đồ thị hàm số tát điểm có toạ độ nguyên Bài tập 3: Cho hµm sè: (C): y = (3m + 1)x − m + m x+m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Với giá trị m giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = x + (Cm): y = 23 Bµi tËp 4: Cho hµm số: x x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm điểm đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến điểm tạo với hai đờng tiệm cận tam giác có chu vi nhá nhÊt mx + Bµi tËp 5: Cho hµm sè (Cm): y = , víi m ≠ ±1 x+m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm điểm cố định họ (Cm) Bài tập 6: Cho hàm sè: 2x (C): y = x +1 a Kh¶o sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm cặp điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến song song với Bài tËp 7: Cho hµm sè: x +1 (C): y = x3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm toạ độ giao điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = x + 2005 Bài tập 8: Cho hµm sè: (m − 2)x − (m − 2m + 4) (Cm): y = xm a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm điểm mặt phẳng toạ độ mà đồ thị hàm số qua dù m lấy giá trị Bµi tËp 9: Cho hµm sè: (3m + 1)x − m + m (Cm): y = x+m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm điểm đờng thẳng x = 1, cho có giá trị m để đồ thị hàm số qua Bài tập 10: Cho hàm số (C) đờng thẳng (d) có phơng trình: (C): y = , (d): y = ax + b x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Tìm a, b để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) Giả sử điều kiện đợc thoả mÃn Khi (d) cắt Ox, Oy A, B hÃy: - Chứng tỏ tam giác OAB có diện tích không ®ỉi - Chøng tá r»ng trung ®iĨm cđa AB lµ tiếp điểm (d) với (C) - Khi khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (d) lớn ? (C): y = 24 hàm phân thức bậc hai bậc Bài tập 1: Cho hàm sè: x2 + x − x−2 a Kh¶o sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b CMR tích khoảng cách từ điểm M đồ thị (C) đến đờng tiệm cận số không phụ thuộc vị trí ®iĨm M c T×m hai ®iĨm A, B thc hai nhánh khác đồ thị để khoảng cách chóng lµ nhá nhÊt Bµi tËp 2: Cho hµm sè: x2 y= x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Tìm hai điểm A, B nằm đồ thị đối xứng qua đờng thẳng (d): y = x Bài tập 3: Cho hµm sè: (C): y = x + 2x + x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Giải thích phơng tr×nh x + 2x + = m(x + 1) x +1 víi m > cã hai nghiƯm phân biệt có tổng không đổi Bài tập 4: Cho hµm sè: x + mx − m + (Cm): y = x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Khi hÃy chứng minh đồ thị hàm số nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng b Tuỳ theo m hÃy khảo sát biến thiên cđa hµm sè Bµi tËp 5: Cho hµm sè: x + mx + (Cm): y = x+m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để hàm số đồng biÕn víi x > Bµi tËp 6: Cho hµm sè: x + mx − (Cm): y = x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm tâm ®èi xøng y= 25 Bµi tËp 7: Cho hµm sè: x − 2mx + 3m x − 2m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Khi hÃy lập phơng trình ®êng cong ®èi xøng víi ®å thÞ (C−1) qua ®iĨm A(1; 1) b Xác định m để đồ thị hàm số (C m) có hai điểm đối xứng với qua gốc toạ độ Bài tập 8: Cho hàm sè: mx + 6x − (Cm): y = x+2 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ Bài tập 9: Cho hàm số: x + mx − (Cm): y = mx − a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mÃn : x1 + x2 = 4x1x2 Bài tập 10: Cho hµm sè: x − 2mx + m y= x+m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, từ lập phơng trình đờng thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số (Cm): y = 26 ... m hàm số đồng biến khoảng (; 0) ? b Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng c Với kết câu b) hÃy: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số 10 Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị. .. hàm số đồng biến khoảng (; 0) ? b Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng c Với kết câu b) hÃy: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số 3x x Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị. .. x2 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Từ đồ thị (H) suy đồ thị hàm số y = x2 − x c M lµ điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Chứng minh tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số d Giả