Bài giảng: Cực trị của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ

Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

2

Đ2 cực trị của hàm số

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D (D  ) và x0  D

a x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;

b) chứa điểm x0 sao cho (a; b)  D và:

f(x) < f(x0) , với mọi x  (a; b)\{xx0}

Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).

b x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;

b) chứa điểm x0 sao cho (a; b)  D và:

f(x) > f(x0) , với mọi x  (a; b)\{xx0}

Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu đợc gọi chung là cực trị.

2 điều kiện cần để hàm số có cực trị

Xét hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và x0  (a, b)

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm

tại điểm x0 thì f '(x0) = 0.

3 điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b) Khi đó:

a Nếu f '(x) < 0 với mọi x  (a; x0) và f '(x) > 0 với mọi x  (x0; b) thì hàm số

f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0.

b Nếu f '(x) > 0 với mọi x  (a; x0) và f '(x) < 0 với mọi x  (x0; b) thì hàm số

f(x) đạt cực đại tại điểm x0.

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một điểm cực

Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:

Quy tắc 1: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tính f’(x)

Bớc 2: Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc hàm số liên tục nhng không có đạo hàm

Bớc 3: Xét dấu f'(x) Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực

Nhận xét: Nh vậy, qua thí dụ trên các em học sinh có thể thấy sự khác biệt về giá

y’ = 0  nghiệm (nếu có).

Bớc 4: Bảng biến thiên, từ đó đa ra lời kết luận

Hoạt động Tìm cực trị của hàm số y = xx  1

Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa

điểm x0,f '(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

b Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:

Quy tắc 2: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tính f’(x)

Bớc 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ) của phơng trình f'(x) = 0

Bớc 3: Với mỗi i ta tính f"(xi), khi dó:

 Nếu f''(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

 Nếu f''(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Thí dụ 3: Tìm cực trị của hàm số y = x  sin2x + 2

Nhận xét: Nh vậy, bởi việc xét dấu của y' gặp khó khăn nên việc lựa chọn quy

quả với các bài toán chứa tham số

Hoạt động Tìm cực trị của hàm số y = 3  2cosx  cos2x

Vậy, với a = 2, b = 3 và c = d = 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Hoạt động Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:

f(x) = x3 + ax2 + bx + c

đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = 2 và đồ thị của hàm số đi

qua điểm A(1; 0)

bài tập lần 1Bài tập 1:Cho hàm số:

Bµi tËp 2:Cho hµm sè:

lu«n cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt

Bµi tËp 4:T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè:

y = 2

Bµi tËp 15:Cho hµm sè y = 2

cùc tiÓu

b Giả sử đạt cực đại và cực tiểu tại x1, x2 Chứng minh rằng:

2 1

x + 2 2

mx 1

 Xác định m để:

Bài tập 25:Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:

8

đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểmA(1; 0).

và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục Ox

y = 1

3.Lập phơng trình Parabol (P) đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của

qua điểm cực đại và cực tiểu của hàm số

Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị Khi đó chứng minh rằng

Bài tập 41:Cho hàm số:

y = 2

x 1

 

.Lập phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thịhàm số và tiếp xúc với đờng thẳng (d): 2xy10 = 0

10

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 1.500.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

1 khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D (D  ) và x0  D

a x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một

khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b)  D và:

f(x) < f(x0) , với mọi x  (a; b)\{xx0}

Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).

b x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một

khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b)  D và:

f(x) > f(x0) , với mọi x  (a; b)\{xx0}

Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu đợc gọi chung là cực trị.

2 điều kiện cần để hàm số có cực trị

Xét hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và x0  (a, b)

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm

tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.

3 điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo

hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b) Khi đó:

a Nếu f '(x) < 0 với mọi x  (a; x0) và f '(x) > 0 với mọi x  (x0; b) thì

hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0.

b Nếu f '(x) > 0 với mọi x  (a; x0) và f '(x) < 0 với mọi x  (x0; b) thì

hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0.

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một điểm

Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:

Quy tắc 1: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tính f’(x)

Bớc 2: Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) tại đó đạo hàm củahàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhng không có đạohàm

Bớc 3: Xét dấu f'(x) Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm xi

Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa

điểm x0,f '(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

b Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:

Quy tắc 2: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:

= 0

Bớc 3: Với mỗi i ta tính f"(xi), khi dó:

Ví dụ 1: Cho hàm số:

a Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm thuộc khoảng (4; 2) của phơng trình :

 Hàm số đồng biến trong các khoảng (;3) và (1; +)

 Hàm số nghịch biến trong khoảng (3; 1)

 Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và giá trị cực đại yCĐ = 1

 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu yCT = 7

 phơng trình không có nghiệm thuộc khoảng (4;2)

 Với m  1 = 7

3 

4m3

 phơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (4; 2)

 Với m  1 = 1  m = 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt thuộckhoảng (4; 2)

 Với 1 < m  1  47

3 

50

m 03

   phơng trình có một nghiệm thuộckhoảng (4; 2)

 Với m  1 > 47

3 

50m3

  phơng trình không có nghiệm thuộc khoảng (4;2)

Chú ý:

kết luận nh trên nữa, bởi nó đợc nhận ra khi nhìn vào bảng biến thiên

Kết quả của định lí trên đợc sử dụng để:

1 Xác định giá trị cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ

2 Lập phơng trình đờng thẳng, đờng cong đi qua các điểm cực trị của cáchàm phân thức hữu tỉ

a Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số

có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

 ph¬ng tr×nh cã nghiÖmduy nhÊt.

c Điểm M thuộc Ox nên có M(a; 0).

Để M nhìn hai điểm A, B dới một góc vuông điều kiện là:

Bài toán 2:Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu II

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và không có cực tiểu

Ví dụ 2: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của các hàm số:

2



y' = 0  sin(x3

) =

1

2 

27

y''(

2

 + 2k) =  3 < 0

 Hàm số đạt cực đại tại các điểm x =

y''(7

6

 + 2k) = 3 > 0

 Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 7

Trờng hợp 1: Nếu m  0 khi đó (1) có nghiệm duy nhất x = 0 và đổi dấu qua

nghiệm này từ "" sang "+" nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Trờng hợp 2: Nếu m > 0 khi đó (1) có các nghiệm x0, x m.

Ta có:

y"(0) = 4m < 0  Hàm số đạt cực đại tại x = 0

 

y"  m 12m 4m 8m 0    Hàm số đạt cực tiểu tại x m.

Bài toán 3:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Phơng pháp áp dụng

Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số y = f(x) ta thựchiện theo các bớc:

Bớc 1: Miền xác định và tính đạo hàm y'

Bớc 2: Lựa chọn theo một trong hai hớng:

Hớng 1: Nếu xét đợc dấu của y' thì sử dụng dấu hiệu I với lập luận:

Hàm số có k cực trị

 Phơng trình y' = 0 có k nghiệm phân biệt và

đổi dấu qua các nghiệm đó

Hớng 2: Nếu không xét đợc dấu của y' hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về

cực đại hoạc cực tiểu thì sử dụng dấu hiệu II, bằng việc tínhthêm y" Khi đó:

1 Hàm số có cực trị  hệ sau có nghiệm thuộc D

y' 0y'' 0

x ly''(x ) 0

x ly''(x ) 0

Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số có các điểm cực

trị thoả mãn điều kiện K ", khi đó ta thực hiện theo các bớc:

x x3a

Bớc 3: Thực hiện phép chia đa thức y cho y' đợc:

y = y'.g(x) + h(x)  y1 = y(x1) = h(x1) và y2 = y(x2) = h(x2).Vậy toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

18

a Hàm số có cực trị.

c Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng

Vì qua x = 3 đạo hàm y' đổi dấu, do đó m = 0 thoả mãn

Trờng hợp 2 Nếu m  0 thì hàm số có cực trị khi:

Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2



b Trớc hết, hàm số có cực đại và cực tiểu

 (1) có hai nghiệm phân biệt  m thoả mãn (*)

Khi đó, gọi x1, x2 là hoành độ các điểm cực trị, ta có:

3m 4

m

.m 2m

 = 3(m 2)m

  m 2

Vậy, với m = 2 hoặc m = 2

3 thoả mãn điều kiện đầu bài.

c Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng

 (1) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0 < x1 < x2

2(m 1)

0m

Tim m hàm số có cực đại và cực tiểu và:

b Hai điểm cực đại, cực tiểu tạo với điểm C(4; 0) một tam giác vuông tạiC

Vậy, với m = 0 hoặc m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

b ABC vuông tại C điều kiện là:

Chú ý: Với hàm đa thức bậc bốn:

Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số có các điểm cực

trị thoả mãn điều kiện K ", khi đó ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Ta có:

 Miền xác định D = 

 Đạo hàm:

y' = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d, y' = 0  4ax3 + 3bx2 + 2cx + d = 0 (1)

x xA

(*) có ba nghiệm phân biệt  f(x) = 0 có hai nghiệm phâm biệt

 2m(m  1) < 0  0 < m < 1

Vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị khi m  (; 0][1; +)

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x42mx2 + 2m + m4 Xác định m để hàm số cócác điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều

 Giải

Ta lần lợt có:

 Miền xác định D = 

 Đạo hàm:

y' = 4x34mx = 4x(x2m), y' = 0  x(x2m) = 0 (1)Hàm số có cực đại, cực tiểu khi:

Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số có các điểm cực

trị thoả mãn điều kiện K ", khi đó ta thực hiện theo các bớc:

 (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc D

Bớc 3: Khi đó, (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn định lí Viét:

a Tìm quỹ tích các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số khi m thay

đổi

b Chứng tỏ rằng khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là không

đổi

22

2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ:

b Dơng

c Cực tiểu nằm trong khoảng (0; 2)

a Nằm về hai phía của trục Oy

b Nằm về hai phía của trục Ox

c Nằm về hai phía của đờng thẳng đờng thẳng (d): x  y = 0

d Thuộc các góc phần t thứ (I) và thứ (III)

Vậy, quỹ tích các điểm cực tiểu thuộc parabol (PB): y = x2 + 3x

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có ngay:

AB2 = [(m + 1)  (m  1)]2 + [(m2 + m + 2)  (m2 + m  2)]2

= 4 + 16 = 20

Vậy, khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu luôn bằng 20

Cách 2: Với hai điểm cực trị A(xA; yA), B(xB; yB) ta có:

= 5(xA  xB) = 5[(xA + xB)  4xAxB] = 5[(2m)  4(m  1)] = 20.

Vậy, khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu luôn bằng 20

2 Từ kết quả câu 1) hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn:

  thoả mãn điều kiện đầu bài

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có ngay điều kiện:

0 < x2 < x1  m  1 > 0  m > 1

Vậy, với m > 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Điều kiện là (1) có hai nghiệm dơng phân biệt khác m, tức:

Vậy, với m > 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

c Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x1 = m + 1 nên điều kiện là:

0 < m + 1 < 2  1 < m < 1

Vậy, với 1 < m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

3 Từ kết quả câu 1) hàm số luôn có cực đại, cực tiểu là A(xA; yA), B(xB; yB) với:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía của trục Oy điều kiện là:

xA.xB < 0  m2  1 < 0  m < 1

Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Để A, B nằm vế hai phía của trục Oy điều kiện là (1) có hai nghiệm trái

Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía của trục Ox điều kiện là:

yA.yB < 0  (m2 + m  2)(m2 + m + 2) < 0

 (m2  m + 2)(m2  m  2) < 0  (m + 1)(m  2) < 0  1 < m < 2.Vậy, với 1 < m < 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Để A, B nằm vế hai phía của trục Ox điều kiện là:

24

Vậy, với 1 < m < 2 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Cách 3: Để A, B nằm vế hai phía của trục Ox điều kiện đồ thị hàm số không cắt

Vậy, với 1 < m < 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

c Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía của đờng thẳng (d) điều kiện là:

tA.tB < 0  (xA  yA)(xB  yB) < 0

 (m  1 + m2  m + 2)(m + 1 + m2  m  2) < 0

 (m2 + 1)(m2  1) < 0  m2  1 < 0  m < 1

Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Để A, B nằm vế hai phía của đờng thẳng (d) điều kiện là:

Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

d Để đồ thị hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (I) và một điểm cựctrị thuộc góc phần t thứ (III) (với nhận xét yA < 0) ta phải có:

àà

Oy) để khẳng định đợc rằng ABC luôn cân tại A Từ đó, thực hiện thêmcác yêu cầu:

Xác định m để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu:

a Lập thành một tam giác vuông.

b Lập thành một tam giác có diện tích bằng 16.