Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ

Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số

bài giảng theo chơng trình chuẩn

Chúng ta đều đã đợc học về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ở nhữnglớp dới, và phơng pháp thờng đợc sử dụng để thực hiện dạng toán này là:

a Phơng pháp đánh giá, thí dụ với hàm số f(x) = sinx + cosx ta có đánh giá nh

thì số M = f(x0) đợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu, kí

Nhận xét: Nh vậy, muốn chứng minh rằng số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất

(giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D cần chỉ rõ:

a f(x)  M (hoặc f(x)  m) với mọi x D

b Tồn tại ít nhất một điểm x0  D sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m)

Trong bài học này, chúng ta sẽ học thêm một phơng pháp để tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp bằng việc lập bảng biến thiên của hàm sốtrên tập hợp đó Thí dụ sau sẽ minh học cách thực hiện:

Thí dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

f(x) = sin4x + cos4x

 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: (Sử dụng đạo hàm): Vì hàm số tuần hoàn với chu kì  và là hàm số chẵn nên

, k  Z

 yMax = 1, đạt đợc khi x = k

2

 , k  Z

sin22x = 1  cos2x = 0  x =

4

 + k2

, kZ

Hoạt động Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

f(x) = x2 + 2x  5 trên đoạn [2; 3]



Chú ý : Ngời ta chứng minh đợc rằng"Nếu hàm số liên tục trên một đoạn thì

đạt đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó" Từ đó, để tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của hàm số:

y = f(x)

trên [a; b], với f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b), ta thựchiện theo các bớc:

Bớc 1: Tính đạo hàm y’.

Bớc 2: Tìm các điểm tới hạn thuộc (a; b) của hàm số (thông thờng là giải

ph-ơng trình y' = 0 để tìm các nghiệm x  (a; b)) Giả sử các nghiệm là

x1, x2,

Bớc 3: Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1) , f(x2),

Bớc 4: Từ đó:

 x [a, b]Min y = Min{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), }

 x [a, b]Max y = Max{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), }

Thí dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

Chú ý: Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đợc ứng

dụng rất nhiều trong thực tế, thí dụ sau là một minh hoạ

Thí dụ 3: Cho một tam giác đều ABC cạnh a Ngời ta dựng một hình chữ nhậtMNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh

AC và AB của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diệntích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

B

PQ

M

Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài tập 10: Cho bất phơng trình (a 2)x a   x + 1

a Giải bất phơng trình khi a = 1

x đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài tập 12: Tìm m để bất phơng trình:

4 (2 x)(4 x)   x22x + m18nghiệm đúng với mọi x[2; 4]

Bài tập 13: Cho hệ:

2 2

b Hệ có nghiệm duy nhất

c Hệ có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1

 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”.

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 850.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bµi gi¶ng n©ng cao

Bµi to¸n 1:Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t trùc tiÕp

Bíc 4: KÕt luËn vÒ gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè dùa trªn b¶ng biÕn thiªn.

VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè:

Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện bài toán toán trên đã lập sai bảng

biến thiên (bỏi bỏ qua bớc tính giới hạn) dẫn tới kết luận hàm số không có giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = x2 và điểm A(3; 0) Xác định điểm M thuộc parabol

(P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tính khoảng cách ngắn nhất

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

minAM2 = 5  minAM = 5, đạt đợc khi x = 1 suy ra M(1; 1)

Vậy, với điểm M(1; 1) thoả mãn điều kiện đầu bài

Vậy, với điểm M(1; 1) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 3: Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V Cạnh đáy của hình lăng

trụ đó phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó lànhỏ nhất ?

 Hớng dẫn: Thiết lập công thức tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ dựa trên

Stp = 2x2 + 4xh = 2x2 + 4V

x .Vậy diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất khi 2x2 + 4V

Tới đây, ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Vậy MinStp = 63V2 đạt đợc khi x = 3V

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

  x = 3V

Bài toán 2:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Phơng pháp áp dụng

Sử dụng quy tắc trong phần lý thuyết

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Chú ý: Trong nhiều trờng hợp bằng việc tìm miền xác định của hàm số dẫn

tới việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y = x + 2 x 2

 Hớng dẫn: Tìm tập xác định của hàm số để đa bài toán về dạng 2.

Do hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét trong D = 0;

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phơng pháp khảo sát gián tiếp

đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới t để đa hàm số ban đầu về dạng y =F(t) đơn giản hơn

Vậy, để sử dụng phơng pháp chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác định ẩn phụ

y = F((x))

Bớc 2: Đặt t = (x), ta có:

 Điều kiện của ẩn t là Dt

 y = F(t)

Bớc 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = F(t) trên Dt

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

3sin 2x 82sin 2x 8

, k  

Bài toán 4:Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải

Bớc 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x, m)

và đờng thẳng (d): y = g(m)

Bớc 2: Xét hàm số y = f(x, m)

 Tìm miền xác định D

 Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bớc 3: Kết luận:

 Phơng trình có nghiệm



D x

min

 f(x, m)  g(m) 

D x

 Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bớc 2: Kết luận cho các trờng hợp nh sau:

 Bất phơng trình có nghiệm với xD 

D x

min

 y  g(m)

 Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi xD 

D x

max

 y  g(m)

Tơng tự cho bất phơng trình f(x, m)g(m) với lời kết luận:

 Bất phơng trình có nghiệm với xD 

D x

max

 y  g(m)

 Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi xD 

D x

min

 y  g(m)

3 Để sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào việc giải hệ đại

số ta chia làm hai dạng:

Dạng 1: Với hệ một ẩn, chúng ta chuyển nó về " Tìm điều kiện của tham số để

bất phơng trình có nghiệm với x D ".

Dạng 2: Với hệ hai ẩn ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Biến đổi hệ về việc xét phơng trình f(x, m) = 0 hoặc bất

ph-ơng trình f(x, m)0 (có thể là ẩn phụ t) trên miền D

Bớc 2: Xét hàm số y = f(x, m)

 Miền xác định D

 Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Ví dụ 2: Cho bất phơng trình (a 2)x a   x + 1 (1)

c Giải bất phơng trình khi a = 1

Vậy, với a = 1 bất phơng trình vô nghiệm

b Biến đổi tiếp (2) về dạng x2 + 1  a(x1)

Vậy, để (1) có nghiệm x[0; 2] điều kiện là a 1 hoặc a  5.

Ví dụ 3: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình:

x đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

 Hớng dẫn: Sử dụng hệ thức Viét của phơng trình bậc hai.

2 

32m trên tập D = [2 3; 2][2; 2 3].

Đạo hàm:

y' = 1

2 + 2

32m > 0 mD.

Ví dụ 4: Tìm m để bất phơng trình 4 (2 x)(4 x)   x22x + m18nghiệm đúng với mọi x[2; 4].

b Hệ có nghiệm duy nhất

c Hệ có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1

b Hệ có nghiệm duy nhất  m = f(3)  m = 1

c Hệ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1  m = f(2)  m = 2

C bài tập rèn luyện

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a y = x  1

x trên nửa khoảng (0; 2]

b y = x2 + 16

x với x > 0

Bài tập 2: Ngời ta định làm một cái hộp kim loại có thể tích V cho trớc Tính bán kính

đáy r và đờng cao h của hình trụ sao ít tốn kim loại nhất

Bài tập 3: Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh của tam giác là 6cm.

Tính độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

Bài tập 9: Cho x, y thoả mãn x  0, y  0 và x + y = 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a

b +

4 4

.

4.XÐt hµm sè f(t) = 2 2t

t = 1

4 

1xy4