Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn HOẠT ĐỘNG 1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2 Đọc lần 2 toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí Định hướng thực hiện các hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí Chép lại các chú ý, nhận xét Thực hiện các hoạt động vào vở 4 Thực hiện bài tập lần 1 5 Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1 Đọc lần 1 chậm và kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4 Thực hiện bài tập lần 2 5 Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: nhomcumon68@gmail.com để nhận Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm được Bài tập lần 1 chưa làm được Bài tập lần 2 chưa làm được Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ được giải đáp 2 §3 Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè bµi gi¶ng theo ch¬ng tr×nh chuÈn Chóng ta ®Òu ®· ®îc häc vÒ gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè ë nh÷ng líp díi, vµ ph¬ng ph¸p thêng ®îc sö dông ®Ó thùc hiÖn d¹ng to¸n nµy lµ: a Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸, thÝ dô víi hµm sè f(x) = sinx + cosx ta cã ®¸nh gi¸ nh sau: f (x)     1sin t1 2 f (x)  2 Do ®ã: 2 sin  x     4     max f (x)  2 , ®¹t ®îc khi sin  x   1  x   2k  4 4   3  min f (x)  2 , ®¹t ®îc khi sin  x    1  x   2k  4 4 Ho¹t ®éng T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè: f (x) 3sin x  4cos x b Ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai, thÝ dô víi hµm sè f(x) = x2 + x + 1 ta cã biÕn ®æi nh sau:  1 2  3 3  min f (x) 3 , ®¹t ®îc khi x  1 f (x)  x    2 4 4 4 2 Ho¹t ®éng T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè: f (x) x2  x2 1 c Sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n, thÝ dô víi hµm sè f (x) x2  1x2 ta cã: f (x)  C«si 2 x2 x2 1 2  min f (x) 2 , ®¹t ®îc khi x 1 Ho¹t ®éng T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè: f (x) x3  x2 1 , víi x  0 §Þnh nghÜa: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp D ( D   ) a NÕu tån t¹i mét ®iÓm x0  D sao cho: f(x)  f(x0) víi mäi x  D 3 th× sè M = f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiÖu M = max f(x) xD b NÕu tån t¹i mét ®iÓm x0  D sao cho: f(x)  f(x0) víi mäi x  D th× sè m = f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiÖu m = min f(x) xD  NhËn xÐt: Nh vËy, muèn chøng minh r»ng sè M (hoÆc m) lµ gi¸ trÞ lín nhÊt (gi¸ trÞ nhá nhÊt) cña hµm sè f trªn tËp D cÇn chØ râ: a f(x)  M (hoÆc f(x)  m) víi mäi x  D b Tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm x0  D sao cho f(x0) = M (hoÆc f(x0) = m) Trong bµi häc nµy, chóng ta sÏ häc thªm mét ph¬ng ph¸p ®Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn mét tËp hîp b»ng viÖc lËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn tËp hîp ®ã ThÝ dô sau sÏ minh häc c¸ch thùc hiÖn: ThÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè: f(x) = sin4x + cos4x  Gi¶i Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch: C¸ch 1: (Sö dông ®¹o hµm): V× hµm sè tuÇn hoµn víi chu k×  vµ lµ hµm sè ch½n nªn ta xÐt trªn D  0;    2 §¹o hµm: y' = 4cosx.sin3x  4sinx.cos3x = 2(sin2x  cos2x)sin2x = sin4x, y' = 0  sin4x = 0  x = k  x = 0, x =  vµ x =  4 4 2 B¶ng biÕn thiªn: x0 /4 /2 y'  0 + y 1 1/2 1 CT Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta cã:  yMin = 1 , ®¹t ®îc khi x =  + k , k  Z 2 42  yMax = 1, ®¹t ®îc khi x = k , k  Z 2 C¸ch 2: (Sö dông c¸ch ®¸nh gi¸): Ta cã: f(x) = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)22sin2x.cos2x = 1 1 sin22x 2 Tõ ®ã, suy ra: f(x)  1 1 = 1  Min f(x) = 1 , ®¹t ®îc khi: 2 2 xR 2 4 sin22x = 1  cos2x = 0  x =  + k , kZ 42 f(x)  1  Max f(x) = 1, ®¹t ®îc khi: xR sin22x = 0  sin2x = 0  x = k , kZ 2 Ho¹t ®éng T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè: f(x) = x2 + 2x  5 trªn ®o¹n [2; 3]  Chó ý: Ngêi ta chøng minh ®îc r»ng"NÕu hµm sè liªn tôc trªn mét ®o¹n th× ®¹t ®îc gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn ®o¹n ®ã" Tõ ®ã, ®Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè: y = f(x) trªn [a; b], víi f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] vµ cã ®¹o hµm trong kho¶ng (a; b), ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh ®¹o hµm y’ Bíc 2: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n thuéc (a; b) cña hµm sè (th«ng thêng lµ gi¶i ph- ¬ng tr×nh y' = 0 ®Ó t×m c¸c nghiÖm x  (a; b)) Gi¶ sö c¸c nghiÖm lµ x1, x2, Bíc 3: TÝnh c¸c gi¸ trÞ f(a), f(b), f(x1) , f(x2), Bíc 4: Tõ ®ã:  Min y = Min{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), .} x[a, b]  Max y = Max{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), .} x[a, b] ThÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè:  Gi¶i f(x) = x3 + 2x2 + 3x  4 trªn ®o¹n [4; 0] 3 §¹o hµm: f'(x) = x2 + 4x + 3, f'(x) = 0  x2 + 4x + 3 = 0  x = 1 hoÆc x = 3 Ta cã: f(4) =  16 , f(3) = 4, f(1) =  16 vµ f(0) = 4 3 3 VËy, ta nhËn ®îc:  Max f(x) = Max{ 16 , 4} = 4 ®¹t ®îc khi x = 3 hoÆc x = 0 3 x[ 4;0]  Min f(x) = Min{ 16 , 4} =  16 ®¹t ®îc khi x = 4 hoÆc x = 1 3 3 x[ 4;0] Ho¹t ®éng T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: f(x) = 2x2  5x  4 trªn ®o¹n [0; 1] x2 5  Chó ý: Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè ®îc øng dông rÊt nhiÒu trong thùc tÕ, thÝ dô sau lµ mét minh ho¹ ThÝ dô 3: Cho mét tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a Ngêi ta dùng mét h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã c¹nh MN n»m trªn c¹nh BC, hai ®Ønh P vµ Q theo thø tù n»m trªn hai c¹nh AC vµ AB cña tam gi¸c X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M sao cho h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã  Gi¶i §Æt BM = x ®iÒu kiÖn 0  x  a , suy ra: A 2 1 QP MN = a  2x; MQ = BM.tan B = x.tan600 = x 3 Tõ ®ã: SMNPQ = MN.MQ = x 3 (a  2x) =  2x2 3 + ax 3 BM N C Ta xÐt hµm sè y =  2x2 3 + ax 3 trªn ®o¹n [0; a ], ta cã: 2 y' =  4x 3 + a 3 , y' = 0   4x 3 + a 3 = 0  x = a Ta cã: 4 y(0) = 0, y( a ) = 0, y( a ) = a2 3 2 4 8 VËy, ta nhËn ®îc: Max y a2 3 a2 3 a 0; a  = Max{0, } = ®¹t ®îc khi x = x  8 8 4  2 bµi tËp lÇn 1 Bµi tËp 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè: f(x) = 2x x 1 Bµi tËp 2: Cho parabol (P): y = x2 vµ ®iÓm A(3; 0) X¸c ®Þnh ®iÓm M thuéc parabol (P) sao cho kho¶ng c¸ch AM lµ ng¾n nhÊt vµ tÝnh kho¶ng c¸ch ng¾n nhÊt ®ã Bµi tËp 3: ThÓ tÝch cña mét h×nh l¨ng trô tø gi¸c ®Òu b»ng V C¹nh ®¸y cña h×nh l¨ng trô ®ã ph¶i b»ng bao nhiªu ®Ó diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh l¨ng trô ®ã lµ nhá nhÊt ? Bµi tËp 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: f(x) = x  sin2x trªn ®äan    ;  2  Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè: y = x + 2 x2 Bµi tËp 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: y = cosx + sin x Bµi tËp 7: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y = 2sin2x + 2sinx  1 6 Bµi tËp 8: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: Bµi tËp 9: y = 1  sin6 x  cos6 x 1  sin4 x  cos4 x T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: x x + x 12 = m( 5  x + 4  x ) Bµi tËp 10: Cho bÊt ph¬ng tr×nh (a  2)x  a  x + 1 a Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh khi a = 1 b T×m a ®Ó (1) cã nghiÖm x[0; 2] Bµi tËp 11: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 12x26mx + m24 + 12 m2 = 0 T×m m sao cho x13 + x23 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt Bµi tËp 12: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh: 4 (2  x)(4  x)  x22x + m18 nghiÖm ®óng víi mäi x[2; 4] Bµi tËp 13: Cho hÖ: x2  4x  3 0 2 x  8x 14  m 0 Víi gi¸ trÞ nµo cña m th×: a HÖ v« nghiÖm b HÖ cã nghiÖm duy nhÊt c HÖ cã nghiÖm lµ mét ®o¹n trªn trôc sè cã ®é dµi b»ng 1  Chó ý: C¸c bµi tËp nµy sÏ ®îc tr×nh bµy trong phÇn “Bµi gi¶ng n©ng cao” Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 850.000đ 1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT 7 ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY bµi gi¶ng n©ng cao Bµi to¸n 1: Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t trùc tiÕp Ph¬ng ph¸p ¸p dông Ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: MiÒn x¸c ®Þnh Bíc 2: §¹o hµm y', råi gi¶i ph¬ng tr×nh y’ = 0 Bíc 3: LËp b¶ng biÕn thiªn Bíc 4: KÕt luËn vÒ gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè dùa trªn b¶ng biÕn thiªn VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè: f(x) = 2x x 1  Híng dÉn: Sö dông kiÐn thøc trong phÇn ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n MiÒn x¸c ®Þnh D =  §¹o hµm: 1  x 2 2 f' = 2 2 , f' = 0  1  x = 0  x = 1 (x 1) Giíi h¹n lim y = 0 x  B¶ng biÕn thiªn: x  1 1 +  f'  0 0  f  CT C§ 1/2 0  VËy, ta nhËn ®îc:  max f(x) 1 ®¹t ®îc khi x = 1 2  min f(x)  1 ®¹t ®îc khi x = 1 2 8  Chó ý: RÊt nhiÒu häc sinh khi thùc hiÖn bµi to¸n to¸n trªn ®· lËp sai b¶ng biÕn thiªn (bái bá qua bíc tÝnh giíi h¹n) dÉn tíi kÕt luËn hµm sè kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt VÝ dô 2: Cho parabol (P): y = x2 vµ ®iÓm A(3; 0) X¸c ®Þnh ®iÓm M thuéc parabol (P) sao cho kho¶ng c¸ch AM lµ ng¾n nhÊt vµ tÝnh kho¶ng c¸ch ng¾n nhÊt ®ã  Híng dÉn: ThiÕt lËp ®é dµi AM2 (P) y  Gi¶i §iÓm M  (P) cã hoµnh ®é x nªn M(x, x2) Kho¶ng c¸ch AM ®îc x¸c ®Þnh bëi AM2 = (x + 3)2 + x4 = x4 + x2 6x + 9 (d) Tíi ®©y, ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch: C¸ch 1: (Sö dông ®¹o hµm): XÐt hµm sè y = x4 + x2 6x + 9 trªn  taMFcã: y' = 4x3 + 2x + 6, y' = 0  4x3 + 2x + 6 = 0  (x + 1)(2x2  2x + 3) = 0  x =O1 A x B¶ng biÕn thiªn: L x  1  y'  0 + y  5  CT Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta cã: minAM2 = 5  minAM = 5 , ®¹t ®îc khi x = 1 suy ra M(1; 1) VËy, víi ®iÓm M(1; 1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi C¸ch 2: Ta biÕn ®æi: AM2 = (x21)2 + 3(x + 1)2 + 5  5 Do ®ã, ta ®îc AMMin = 5 , ®¹t ®îc khi: x2  1 0  x = 1  M(1; 1)  x 1 0 VËy, víi ®iÓm M(1; 1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi VÝ dô 3: ThÓ tÝch cña mét h×nh l¨ng trô tø gi¸c ®Òu b»ng V C¹nh ®¸y cña h×nh l¨ng trô ®ã ph¶i b»ng bao nhiªu ®Ó diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh l¨ng trô ®ã lµ nhá nhÊt ?  Híng dÉn: ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh l¨ng trô dùa trªn c¹nh ®¸y x  Gi¶i Gäi x lµ c¹nh ®¸y vµ h lµ ®êng cao cña l¨ng trô, ta cã: V = x2.h  h = V x2 DiÖn tÝch toµn phÇn cña l¨ng trô lµ: Stp = 2x2 + 4xh = 2x2 + 4V x VËy diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh l¨ng trô nhá nhÊt khi 2x2 + 4V nhá nhÊt x 9 Tíi ®©y, ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta xÐt hµm sè y = 2x2 + 4V trªn tËp D = (0; +), ta cã: x y' = 4x x2 4V , y' = 0  4x 4V x2 = 0  x = 3 V B¶ng biÕn thiªn: x  0 3V +   y'  0 + y +  6 3 V2 +  CT Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta cã: Miny = 6 3 V2 , ®¹t ®îc khi x = 3 V VËy MinStp = 6 3 V2 ®¹t ®îc khi x = 3 V = 6 3 V2 C¸ch 2: Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si, ta cã: 2x2  4Vx = 2x2  2Vx  x  2V C«si 3 3 2x2 2Vx 2Vx Do ®ã Min  2x2  4V   x  = 6 3 V2 , ®¹t ®îc khi 2x2 2Vx  x = 3 V Bµi to¸n 2: Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn mét ®o¹n Ph¬ng ph¸p ¸p dông Sö dông quy t¾c trong phÇn lý thuyÕt VÝ dô 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: f(x) = x  sin2x trªn ®äan    ;  2   Gi¶i §¹o hµm: f'(x) = 1  2cos2x, f'(x) = 0  1  2cos2x = 0  cos2x = 1  2;  x  vµ x 5 2  6 6 VËy, ta cã: Max f(x)            5    x ;  = max f    ; f    ; f   ; f   ; f    2    2  6 6  6   = max   ;    3;  3 ; 5  3 ;  = 5  3  2 6 26 2 6 2  62 ®¹t ®îc khi x 5 6 10 Min f(x)            5    x ;  = min f    ; f    ; f   ; f   ; f    2    2  6 6  6   = min   ;    3 ;   3 ; 5  3 ;  =    2 6 2 6 2 6 2  2 ®¹t ®îc khi x   2  Chó ý: Trong nhiÒu trêng hîp b»ng viÖc t×m miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè dÉn tíi viÖc t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn mét ®o¹n VÝ dô 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè: y = x + 2  x2  Híng dÉn: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®Ó ®a bµi to¸n vÒ d¹ng 2  Gi¶i §iÒu kiÖn: 2x2  0   2  x  2  D = [ 2  2 ] §¹o hµm: y' = 1 x, y' = 0  x 0 2  x2 2  x2 = x   2 2  x = 1 2  x x Ta cã: f( 2 ) =  2 , f(1) = 2 vµ f( 2 ) = 2 VËy, ta ®îc:  Max y = Max{ 2 , 2, 2 } = 2 ®¹t ®îc khi x = 1 xD  Min y = Min{ 2 , 2, 2 } =  2 ®¹t ®îc khi x =  2 xD  Chó ý: 1 §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè trªn, chóng ta hoµn toµn cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc, cô thÓ: y x  2  x2  Bunhiac«pxki (1 1)(x2  2  x2 ) 2 = 2 suy ra Max y = 2, ®¹t ®îc khi: xD 2 Víi c¸c hµm sè lîng gi¸c do ®Æc thï chóng thêng cã tÝnh tuÇn hoµn vµ khi ®ã chóng ta chØ cÇn xÐt hµm sè trªn mét chu kú VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: y = cosx + sin x  Gi¶i §iÒu kiÖn: cos x 0    2k  x  + 2k, k  sin x 0 2 11 Do hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2 nªn ta chØ cÇn xÐt trong D =  0;    2 §¹o hµm: y' =  sin x + cos x , y' = 0  sin x = cos x  x =  2 cos x 2 sin x 2 cos x 2 sin x 4 VËy, ta cã:       Miny = Min y 0 , y  , y   = Min 1, 8, 1 = 1, ®¹t ®îc khi x = 2k4   4   2  hoÆc x =  + 2k , k  2       Maxy = Max y 0 , y  , y   = Max 1, 8, 1 = 8 , ®¹t ®îc khi x44   4   2  =  + 2k , k  4 Bµi to¸n 3: Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t gi¸n tiÕp Ph¬ng ph¸p ¸p dông ViÖc t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè b»ng ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t gi¸n tiÕp ®îc thùc hiÖn th«ng qua viÖc sö dông ®èi sè míi t ®Ó ®a hµm sè ban ®Çu vÒ d¹ng y = F(t) ®¬n gi¶n h¬n VËy, ®Ó sö dông ph¬ng ph¸p chóng ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: BiÕn ®æi hµm sè ban ®Çu vÒ d¹ng míi ®Ó x¸c ®Þnh Èn phô y = F((x)) Bíc 2: §Æt t = (x), ta cã:  §iÒu kiÖn cña Èn t lµ Dt Bíc 3:  y = F(t) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè y = F(t) trªn Dt VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y = 2sin2x + 2sinx  1  Híng dÉn: Sö dông Èn phô t = sinx víi ®iÒu kiÖn t 1  Gi¶i §Æt t = sinx, ®iÒu kiÖn t 1 Hµm sè ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: y = 2t2 + 2t  1 §¹o hµm: y' = 4t + 2, y' = 0  4t + 2 = 0  t =  1 Ta cã: 2 y(1) = 1, y( 1 ) =  3 , y(1) = 3 22 VËy, ta nhËn ®îc:  Max y = Max{1,  3 , 3} = 3 ®¹t ®îc khi: 2 xR 12 t = 1  sinx = 1  x =   2k , k  2  Min y = Min{1,  3 , 3} =  3 ®¹t ®îc khi: 2 2 xR  x    2k t =  1  sinx =  1   6 2 2  x 7  2k , k   6 VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y = 1  sin6 x  cos6 x 1  sin4 x  cos4 x Híng dÉn: Sö dông phÐp h¹ bËc to¸n côc ®Ó ®a hµm sè vÒ d¹ng y = f(sin22x)  Gi¶i BiÕn ®æi hµm sè vÒ d¹ng: 2  3 sin2 2x 2 2 y= 4 = 8  3sin 2x = 3sin 2x  8 2  1 sin2 2x 8  2sin2 2x 2sin2 2x  8 2 §Æt X = sin22x ®iÒu kiÖn 0  X  1 Khi ®ã: y = F(X) = 3X  8 2X  8 MiÒn x¸c ®Þnh D = [0; 1] §¹o hµm: y' = 2  8 < 0, XD  hµm sè nghÞch biÕn trªn D (2X  8) Ta cã ngay:  Min y = F(1) = 5 ®¹t ®îc khi: XD 6 X = 1  sin22x = 1  cos2x = 0  x =  + k , k   42  Max y = F(0) = 1 ®¹t ®îc khi: XD X = 0  sin22x = 0  sin2x = 0  x = k , k   2 Bµi to¸n 4: Sö dông gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ Ph¬ng ph¸p ¸p dông 1 §Ó sö dông gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè vµo viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh: f(x, m) = g(m) ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: 13 Bíc 1: LËp luËn sè nghiÖm cña (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè (C): y = f(x, m) Bíc 2: vµ ®êng th¼ng (d): y = g(m) Bíc 3: XÐt hµm sè y = f(x, m)  T×m miÒn x¸c ®Þnh D  TÝnh ®¹o hµm y', råi gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0  LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè KÕt luËn:  Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  min f(x, m)  g(m)  max f(x, m) xD xD  Ph¬ng tr×nh cã k nghiÖm ph©n biÖt  (d) c¾t (C) t¹i k ®iÓm ph©n biÖt  Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  (d)(C) =  2 §Ó sö dông gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè vµo viÖc gi¶i bÊt ph- ¬ng tr×nh: f(x, m)  g(m), ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: XÐt hµm sè y = f(x, m):  T×m miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè  TÝnh ®¹o hµm y', råi gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0  LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè Bíc 2: KÕt luËn cho c¸c trêng hîp nh sau:  BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi xD  min y  g(m) xD  BÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi xD  max y  g(m) xD T¬ng tù cho bÊt ph¬ng tr×nh f(x, m)g(m) víi lêi kÕt luËn:  BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi xD  max y  g(m) xD  BÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi xD  min y  g(m) xD 3 §Ó sö dông gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè vµo viÖc gi¶i hÖ ®¹i sè ta chia lµm hai d¹ng: D¹ng 1: Víi hÖ mét Èn, chóng ta chuyÓn nã vÒ " T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi xD " D¹ng 2: Víi hÖ hai Èn ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: BiÕn ®æi hÖ vÒ viÖc xÐt ph¬ng tr×nh f(x, m) = 0 hoÆc bÊt ph- ¬ng tr×nh f(x, m)0 (cã thÓ lµ Èn phô t) trªn miÒn D Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x, m)  MiÒn x¸c ®Þnh D  TÝnh ®¹o hµm y', råi gi¶i ph¬ng tr×nh y' = 0  LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè Bíc 3: KÕt luËn VÝ dô 1: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: x x + x 12 = m( 5  x + 4  x ) Híng dÉn: Sö dông phÐp nh©n liªn hîp ®Ó biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = m  Gi¶i §iÒu kiÖn: 14 x 0  x  12 0  5  x 0  0  x  4 (1) 4  x 0 ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: (x x + x 12 )( 5  x  4  x ) = m (2) XÐt hµm sè y = f(x) = (x x + x 12 )( 5  x  4  x )  MiÒn x¸c ®Þnh D = [0, 4] NhËn xÐt r»ng: - Hµm sè h(x) = x x + x 12 ®ång biÕn trªn D - Hµm sè g(x) = 5  x  4  x cã: g '(x) = 5  x  4  x > 0, xD  lµ hµm ®ång biÕn trªn D 2 5 x 4 x  Hµm sè y = f(x) = h(x)g(x) lµ hµm ®ång biÕn trªn D VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi f(0)  m  f(4)  12 ( 5  4 )  m  12 VÝ dô 2: Cho bÊt ph¬ng tr×nh (a  2)x  a  x + 1 (1) c Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh khi a = 1 d T×m a ®Ó (1) cã nghiÖm x[0; 2]  Gi¶i BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng bÊt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (1)  (a + 2)xa  (x + 1)2  x2ax + a + 1  0 (2) a Víi a = 1, ta ®îc: (2)  x2x + 2  0 v« nghiÖm VËy, víi a = 1 bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b BiÕn ®æi tiÕp (2) vÒ d¹ng x2 + 1  a(x1) (3) NhËn xÐt r»ng x = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (3), do ®ã:  x2 1 a víi 0 x 1 (I) (3)   x  1  x2 1  x1 a víi 1  x 2 (II) XÐt hµm sè f(x) = x2 1 x 1  MiÒn x¸c ®Þnh D = [0; 2]\{1}  §¹o hµm: y' = x2  2x  1 2 , y' = 0  x22x1 = 0  x = 1  2 (x  1)  B¶ng biÕn thiªn: x  0 1 2 +  15 y'   y 1 +  5 Khi ®ã:  (I) cã nghiÖm  Max f (x)  a  f(0)  a  1  a  a 1 x[ 0,1) (II) cã nghiÖm  Min f (x)  a  f(2)  a  5  a  a  5 x(1,2] VËy, ®Ó (1) cã nghiÖm x[0; 2] ®iÒu kiÖn lµ a 1 hoÆc a  5 VÝ dô 3: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 12x26mx + m24 + 12 m2 = 0 (1) T×m m sao cho x13 + x23 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt  Híng dÉn: Sö dông hệ thức ViÐt cña ph¬ng tr×nh bËc hai  Gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi: '  0  9m212(m24 + 12 m2 )  0  4  m2  12  2  m 2 3 Khi ®ã theo ®Þnh lÝ ViÐt, ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1  x2 m 2 x 1 2 12 1.x2  (m  4  2 )  12 m Khi ®ã: x13 + x32 = (x1 + x2)33x1x2(x1 + x2) = m2  32m XÐt hµm sè y = m  3 trªn tËp D = [2 3 ; 2][2; 2 3 ] 2 2m §¹o hµm: y' = 12 + 2m2 3 > 0 mD Do ®ã:  Max y = y(2 3 )= 3 3  Max( x13 + x 3 ) = 3 3 , ®¹t ®îc m = 2 3 2 xD 4 4  MxiDn y =y(2 3 )= 3 3 4  Min( x13 + x32 ) = 3 3 4 , ®¹t ®îc m= 2 3  Chó ý: Trong bµi to¸n trªn ta chØ xÐt hµm sè trªn tËp: D = [2 3 ; 2][2, 2 3 ] NÕu quªn ®iÒu kiÖn   0 th× bµi to¸n hoµn toµn sai 16 VÝ dô 4: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh 4 (2  x)(4  x)  x22x + m18 nghiÖm ®óng víi mäi x[2; 4]  Híng dÉn: Sö dông Èn phô t  (2  x)(4  x)  Gi¶i §Æt t = (2  x)(4  x) , víi x[2; 4] ta nhËn ®îc ®iÒu kiÖn cña t lµ 0  t  3 Khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng: t24t + 10  m XÐt hµm sè y = t24t + 10  MiÒn x¸c ®Þnh D = [0; 3]  §¹o hµm: y' = 2t4, y' = 0  2t4 = 0  t = 2  B¶ng biÕn thiªn: t  0 2 3 +  y'  0 + y 10 6 7 VËy, ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x[2; 4] lµ m  10 VÝ dô 5: Cho hÖ: x2  4x  3 0 2 x  8x 14  m 0 Víi gi¸ trÞ nµo cña m th×: a HÖ v« nghiÖm b HÖ cã nghiÖm duy nhÊt c HÖ cã nghiÖm lµ mét ®o¹n trªn trôc sè cã ®é dµi b»ng 1  Gi¶i KÝ hiÖu hÖ c¸c bÊt ph¬ng tr×nh cña hÖ theo thø tù lµ (1), (2) Gi¶i (1), ta ®îc: 1  x  3  tËp nghiÖm cña (1) lµ X1 = [1, 3] Gi¶i (2), ta cã: (2)  m x2 + 8x14 XÐt hµm sè f(x) = x2 + 8x14 trªn tËp X1  §¹o hµm: f '(x) = 2x + 8, f '(x) = 0  2x + 8 = 0  x = 4  B¶ng biÕn thiªn: x  1 3 4 +  f '(x) + + 0 f(x) Khi ®ã: a HÖ v« nghiÖm  m > f(3)  m > 1 b HÖ cã nghiÖm duy nhÊt  m = f(3)  m = 1 c HÖ cã nghiÖm lµ mét ®o¹n cã ®é dµi b»ng 1  m = f(2)  m = 2 C bµi tËp rÌn luyÖn 17 Bµi tËp 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: a y = x  1 trªn nöa kho¶ng (0; 2] x b y = x2 + 16 víi x > 0 x Bµi tËp 2: Ngêi ta ®Þnh lµm mét c¸i hép kim lo¹i cã thÓ tÝch V cho tríc TÝnh b¸n kÝnh ®¸y r vµ ®êng cao h cña h×nh trô sao Ýt tèn kim lo¹i nhÊt Bµi tËp 3: Chu vi cña mét tam gi¸c lµ 16cm, ®é dµi mét c¹nh cña tam gi¸c lµ 6cm TÝnh ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c sao cho tam gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt Bµi tËp 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: a f(x) = x2 + 2x + 4 trªn ®o¹n [2; 4] b f(x) = x3 + 2x2 + 3x  4 trªn ®o¹n [4; 0] 3 Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: a f(x) = 2x2  5x  4 trªn ®o¹n [0; 1] b f(x) = sin x , víi x  [0; ] x2 2  cos x Bµi tËp 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: a f(x) x  4  x2 b y = x  2 + 4  x Bµi tËp 7: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: a y = cos22x  sinx.cosx + 4 b y = 2 cos2 x | cos x | 1 | cos x | 1 Bµi tËp 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè: a y = sin 2 2x + cos 2 4x + 1 b y = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx 1 x 1 x Bµi tËp 9: Cho x, y tho¶ m·n x  0, y  0 vµ x + y = 1 H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x + y trªn kho¶ng 0 < x < + y 1 x 1 Bµi tËp 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a4 b4  a2 b2  a b F = + 4   2  2  + + víi a, b  0 4 b a b a  b a D híng dÉn  ®¸p sèp sè Bµi tËp 1: a Max f(x) = y(2) = 3 ®¹t ®îc khi x = 2 x( 0 ; 2 ] 2 b Min y = 12, ®¹t ®îc khi x = 2 xD Bµi tËp 2: 33 V2 , ®¹t ®îc khi:r = 3 V vµ h = 3 4V 2  Bµi tËp 3: 34 Bµi tËp 4: MaxS = 12, ®¹t ®îc khi a = 5 vµ b = 5 18 a Ta cã:  Max f(x) = 4 ®¹t ®îc khi x = 2 x[ 2 ; 4 ]  Min f(x) = 4 ®¹t ®îc khi x = 4 x[ 2 ; 4 ] b Ta cã:  Max f(x) = 4 ®¹t ®îc khi x = 3 hoÆc x = 0 x[ 4;0]  Min f(x) =  16 ®¹t ®îc khi x = 4 hoÆc x = 1 3 x[ 4;0] Bµi tËp 5: a Ta cã: Max f(x) 11  x[0;1] = 3 ®¹t ®îc khi x = 1 Min f(x)  x[0;1] = 2 ®¹t ®îc khi x = 0 b Ta cã: Max y 1 1 2  xD = Max{0, 3 } = 3 , ®¹t ®îc khi x = 3 Min y 1  xD = Min{0, 3 } = 0, ®¹t ®îc khi x = 0 hoÆc x =  Bµi tËp 6: a Ta cã:  Max f(x) = 2 2 , ®¹t ®îc khi x = 2 x D  Min y = 2, ®¹t ®îc khi x = 2 xD b Ta cã:  Max y = 2, ®¹t ®îc khi x = 3 xD  Min y = 2 , ®¹t ®îc khi x = 2 hoÆc x = 4 xD Bµi tËp 7: a Ta cã:  x   k  MxaRx y = 81 16 ®¹t ®îc khi sin2x =  14 = sin2   x     k , k   2  Min y = 7 ®¹t ®îc khi x =   k , k  xR 2 4 b Ta cã:  Min y = f(0) = 1, ®¹t ®îc khi x =  + k, k   tD 2  Max y = f(1) = 2, ®¹t ®îc khi x = k, k   tD Bµi tËp 8: a §Æt t = sin 2 2x , ta cã: 1x 19 1  2 2x  1 vµ [1; 1]    ;   1 x  2 2 do ®ã: sin(1)  sin 2 2x  sin1  sin1  t  sin1 1 x Khi ®ã, hµm sè ®îc chuyÓn vÒ d¹ng: y = 2t2 + t + 2 = f(t)  MiÒn x¸c ®Þnh D = [sin1; sin1]  §¹o hµm: f' = 4t + 1, f' = 0  4t + 1 = 0  t = 1 D 4  B¶ng biÕn thiªn: t  sin1 1/4 sin1 +   f' + 0  f 17/8 Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta cã: 1 Min f = min{f(sin1), f(sin1)} = 2sin21sin1 + 2, ®¹t ®îc khi: tD t = sin1  2 2x = 1  x = 1 1 x 2 Max f = 1 = 17 , ®¹t ®îc khi t = 1  sin 2x = 1 f  tD 4 8 4 1 x2 4 b Miny = 3 1, Maxy = 2( 2 +1) Bµi tËp 9: Ta cã: P = x + y = x(x 1)  y(y 1) = (x  y)2  2xy 1 = 2  2xy y 1 x 1 (x 1)(y 1) xy  x  y 1 2  xy §Æt t = xy, ta cã t  0 vµ v× 1 = x + y  2 xy  xy  1 hay t  1 4 4 VËy ®iÒu kiÖn lµ 0  t  1 4 XÐt hµm sè f(t) = 2  2t trªn D =  0; 1  2t  4  §¹o hµm: f ' = 2  6 < 0 tD  hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn D (2  t) Ta cã:  Min f = f( 1 ) = 2  MinP = 2 ®¹t ®îc khi: tD 4 3 3 20 ...  Bài toán 3: Phơng pháp khảo sát gián tiếp Phơng pháp áp dụng Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số phơng pháp khảo sát gián tiếp đợc thực thông qua việc sử dụng đối số t để đa hàm số ban... tìm miền xác định hàm số dẫn tới việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn cđa hµm sè: y = x +  x2 Hớng dẫn: Tìm tập xác định hàm số để đa toán dạng ... Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số: y = x + 2 x2 Bµi tập 6: Tìm giá trị lớn nhỏ cđa hµm sè: y = cosx + sin x Bµi tËp 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa hµm