Bài giảng: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ5 đờng tiệm cận của đồ thị hàm số

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 đờng tiệm cận đứng và đờng tiệm cận ngang

Định nghĩa 1: Đờng thẳng y = y0 đợc gọi là đờng tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm

cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

xlim

  f(x) = y0 hoặc

xlim

 f(x) = y0



Chú ý: Từ định nghĩa trên, để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang điều kiện cần là

tập xác định của hàm số phải chứa + hoặc 

Thí dụ hàm số 2

y 1 x không thể có tiệm cận ngang

Định nghĩa 2: Đờng thẳng x = x0 đợc gọi là đờng tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận

đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

0

x x

lim f(x)



 =  hoặc

0

x x

lim f(x)



Thí dụ 1: Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

x 2

x 2







 Giải

Miền xác định D = \ 2

Từ đó, ta lần lợt có:

x 2 x 2

x 2 lim y lim

x 2

   



  Đờng thẳng x =  là tiệm cận đứng

2 1

lim y lim lim 1

2

x

     









 Đờng thẳng y =1 là tiệm cận ngang

Hoạt động Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

y = 2x 2

x 3

 

 .

Thí dụ 2: Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

2 4x 1

x





 Giải

Miền xác định D = \ 0  

Từ đó, ta lần lợt có:

2

x 0 x 0

4x 1 lim y lim

x



   Đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng

     



 Đờng thẳng y = 2 là một tiệm cận ngang

2

2

        



 Đờng thẳng y = 2 là một tiệm cận ngang

Hoạt động Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

2

x 1

x 1







2 đờng tiệm cận xiên

Định nghĩa 3: Đờng thẳng y = ax + b đợc gọi là đờng tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm

cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

xlim

 [f(x)  (ax + b)] = 0 hoặc

xlim

  [f(x)  (ax + b)] = 0

Thí dụ 3: Chứng minh rằng đờng thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:

2

x x 7

x 3

 





 Giải

Ta có:

lim y (x 2) lim (x 2) lim 0

do đó, đờng thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Hoạt động Chứng minh rằng đờng thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ

thị hàm số:

y = 2 2x 3x

x 1



 .



Chú ý: Để tìm các hệ số a, b trong phơng trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp

dụng công thức sau:

a = xlim

 

f (x)

x và b = xlim

  [f(x)ax]

hoặc a = xlim

  

f (x)

x và b = xlim

   [f(x)ax]

Thí dụ 4: Tìm đờng tiệm xiên của đồ thị hàm số:

2

x 2x 4

x 1

 





 Giải

Giả sử đờng thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, ta có:

f(x)

a lim

x

 



2

x

x 2x 4 lim

x(x 1)

 

 





2 2 x

x 2x 4 lim

x x

 

 





2 x

2 4 1

x x

1 1 x

 

 



x

b lim f(x) ax

 

2

x

x 2x 4

x 1

 



3x 4 lim

x 1

 

 



4 3 x lim

1 1 x

 

 





= 3

Vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đờng thẳng y = x  3



Chú ý: Trong thực tế để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức dạng trên chúng ta

thực hiện nh sau:

Viết lại hàm số dới dạng:

7

x 1

  

 Nhận xét rằng

x

lim f(x) (x 3)

   

x

7

x 1

 

 suy ra, đờng thẳng y = x  3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Hoạt động Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số

3 2

x x 1

x 1

 





bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho hàm số (C): y = 2x 2

x 3

 



Viết phơng trình của đờng cong (C)

đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, suy ra rằng đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm

đối xứng

Bài tập 2: Cho hàm số (C): y =

2

x x 4

x 2

 

đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, suy ra rằng đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm

đối xứng

Bài tập 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

2

x 2

a y

x 1







2 2

x x 1

5x 2x 3

 



Bài tập 4: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

x

a y

x 1



x 2

x 2x







Bài tập 5: Cho hàm số mx 1

x 1 m





 

hình chữ nhật có diện tích bằng 2

Bài tập 6: Cho hàm số (Cm): y =

1 x

2 x ) 2 m (

x2







có diện tích bằng 4

Bài tập 7: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

2

a y x  x 1 b y x x21

Bài tập 8: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

2

b y x   x 1 x

Bài tập 9: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

2

x (C) : y

x 1





 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 800.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

Bài toán 1:Tiệm cận của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

Phơng pháp áp dụng

Cho hàm số:

y = u(x)

trong đó u(x), v(x) là các hàm đa thức không có nghiệm chung Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số

Khi đó:

 Nếu phơng trình v(x) = 0 có nghiệm x = x0, thì đờng thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Số nghiệm phân biệt của phơng trình v(x) = 0 là số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 Nếu bậc u(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc v(x) thì đồ thị hàm số còn có tiệm cận ngang, có phơng trình y = a, đợc xác định bởi:

a =

x

lim

 y

 Nếu bậc u(x) lớn hơn bậc v(x) (giả sử u(x) = g(x)v(x) + h(x)), thì:

x

lim

 [y  g(x)] = 0  Đờng y = g(x) là tiệm cận của đồ thị hàm số

Khi đó:

Nếu bậc g(x) bằng 1 thì y = g(x) là phơng trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Nếu bậc g(x) lớn hơn 1 thì y = g(x) là phơng trình tiệm cận cong của đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = 2x 2

x 3

 



Viết phơng trình của đờng cong (C)

đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, suy ra rằng đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm

đối xứng

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến trong phần phơng pháp giải toán,

 Giải

a Miền xác định D = \ {3}

Từ đó, ta nhận đợc kết luận:

 Đờng thẳng x =  là tiệm cận đứng vì xlim3

  y = 

 Đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang vì xlim

 y = 2

b Ta lần lợt có:

 Giao điểm I(3; 2)

 Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

là:

X x 3

Y y 2

 





 



 x X 3

y Y 2

 





 



Khi đó, trong hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình:

2(X 3) 2 (C) : Y 2

(X 3) 3

  

 

   (C) : Y 4

X



Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y 4

X

 là hàm số lẻ dó đó nó nhận gốc I làm tâm đối xứng



Chú ý: Mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất y = ax b

cx d



0 và TS, MS không có nghiệm chung) đều có hai tiệm cận là:

c

 vì d

x c

lim y

 



c

 vì

x

a lim y

c

  

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng

Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y =

2

x x 4

x 2

 

đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, suy ra rằng đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm

đối xứng

 Giải

a Miền xác định D = \ {2}

Viết lại hàm số dới dạng:

y = x  1  2

x2

Từ đó, ta nhận đợc kết luận:

 Đờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng vì limx 2

 y = 

 Đờng thẳng y = x  1 là tiệm cận xiên vì xlim f(x) (x 1)  0

    

b Ta lần lợt có:

 Giao điểm I(2; 3)

 Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:

X x 2

Y y 3

 





 



 x X 2

y Y 3

 





 

 Khi đó, trong hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình:

(C): Y  3 = (X  2)  1  2

(X 2) 2  (C): Y = X  2

X Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X  2

X là hàm số lẻ do đó nó nhận gốc I làm tâm đối xứng



Chú ý: Mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất y =

2

ax bx c

dx e

 

0 và TS, MS không có nghiệm chung) đều có hai tiệm cận là:

d

 vì e

x d

lim y

 



Tiệm cận xiên đợc xác định bằng cách chia TS cho MS, giả sử:

dx e

  



thì đờng thẳng y = kx + m là tiệm cận xiên vì:

x

lim y (kx m) 0

    

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng

Ví dụ 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

2

x 2

a y

x 1







2 2

x x 1

5x 2x 3

 



 Giải

a Miền xác định D = \ {1}

Từ đó, ta nhận đợc kết luận:

 Các đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng vì xlim1

  y = 

 Đờng thẳng y = 0 là tiệm cận ngang vì xlim

 y = 0

b Miền xác định D = \ 1,3

5



 

Từ đó, ta nhận đợc kết luận:

 Đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng vì xlim1

  y = 

 Đờng thẳng x = 3

5 là tiệm cận đứng vì xlim3 / 5

 y = 

 Đờng thẳng y = 1

5 là tiệm cận ngang vì xlim

 y = 1

5

Ví dụ 4: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

3

x

a y

x 1





3 2

x 2

x 2x







 Giải

a Miền xác định D = \ {1}

Từ đó, ta nhận đợc kết luận:

 Đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng vì xlim1

  y = 

 Đờng thẳng y = 0 là tiệm cận ngang vì xlim

 y = 0

b Miền xác định D = \ {0, 2}

Viết lại hàm số dới dạng:

y = x + 2 + 4x2 2

x 2x





Từ đó, ta nhận đợc kết luận:

 Đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng vì limx 0

 y = 

 Đờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng vì xlim2

 y = 

 Đờng thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên vì xlim

 [y(x + 2)] = 0



Chú ý: Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm tới tiệm cận của các hàm phân thức hữu tỉ có

chứa tham số

Ví dụ 5: Cho hàm số mx 1

x 1 m





 

hình chữ nhật có diện tích bằng 2

 Giải

a Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi TS và MS có nghiệm chung, tức là:

1 1 m  m(1 m) 1   m2  m + 1 = 0, vô nghiệm

Vậy, với mọi m đồ thị hàm số luôn có hai tiệm cận là:

 Đờng thẳng (d1): x = m  1 là tiệm cận đứng vì xlim ym 1

  

 Đờng thẳng (d2): y = m là tiệm cận ngang vì xlim y m

  

b Với tâm đối xứng I(m  1; m), ta có:

OI 5  OI = 5  (m  1) + m = 5  m  m  2 = 0  m = 1 hoặc m = 2 Vậy, với m = 1 hoặc m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

c Ta có:

 (d1) cắt Ox tại điểm A(m  1; 0)

 (d2) cắt Oy tại điểm B(0; m)

Khi đó, từ giả thiết ta có:

OA.OB = 2  m  1.m = 2  m2  m = 2

2

2

m m 2

  

 

 



2

2

m m 2 0

m m 2 0, vô nghiệm

   

 

  



m 2





  



Vậy, với m = 1 hoặc m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 6: Cho hàm số (Cm): y =

1 x

2 x ) 2 m (

x2









có diện tích bằng 4

 Giải

1 Viết lại hàm số dới dạng:

y = 2x + m +

1 x

2 m





Để đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên điều kiện là:

m  2 = 0  m = 2

Vậy, với m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Trớc tiên, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên khi m  2 (*) Khi đó, đồ thị hàm số có:

 Tiệm cận đứng là (d1): x = 1

 Tiệm cận xiên là (d2): y = 2x + m

a Với tâm đối xứng I(1; m + 2), ta có:

OI 5  OI2 = 5  1 + (m + 2)2 = 5  m2 + 4m = 0

 m = 4 hoặc m = 0

Vậy, với m = 4 hoặc m = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Viết lại phơng trình tiệm cận xiên dới dạng (d2): 2x  y + m = 0

Ta có:

d(O, (d2)) = 5 

2 2

m

3 5

2 +1    m = 5  m = 5.

Vậy, với m = 5 thoả mãn điều kiện đầu bài

c Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d2) với các trục Ox, Oy, ta đợc:

m

A ; 0 B 0; m

2



Để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4 điều kiện là:

SOAB = 4  4 =

2

1 OA.OB =

2

1

2

m

 m =

4

1

m2

 m2 = 1  m = 1, thoả mãn điều kiện (*)

Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài toán 2:Tiệm cận của đồ thị hàm vô tỉ

Phơng pháp áp dụng

Sử dụng định nghĩa và quy tắc tìm tiệm cận hai phía

Với hàm số:

để tìm các đờng tiệm cận của (C) ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử (d): y = a1x + b1là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta có:

a = xlim

  

2

Ax Bx C x

  =  A 2

x

b lim Ax Bx C x A

  

= xlim

   2

Bx C

Ax Bx C x A



   = B

2 A . Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên phải của đồ thị (C) là:

(d1): y =  Ax B

2 A .

Bớc 2: Giả sử (d): y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số, ta có:

a = xlim

 

2

Ax Bx C x

  = A 2

x

b lim Ax Bx C x A

 

= xlim

  2

Bx C

Ax Bx C x A



2 A . Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên trái của đồ thị (C) là:

(d2): y = Ax + B

2 A . Phơng pháp đợc mở rộng cho lớp hàm số:

y = cx + d  Ax2Bx C ; y = n n n 1

a x a x  a



Ví dụ 1: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

2

b y x x 1

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

 Giải

a Miền xác định D = 

 Giả sử (d1): y = a1x + b1là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta có:

a1 =

xlim

  

y

x =

xlim

  

2

x x 1 x

  =

xlim

   2

1 1 1

x x

  

= 1,

b1 = xlim

  [yax] = xlim

  [ 2

x  x 1 + x]

= xlim

   2

x 1

x x 1 x



   = 1

2 Vậy, đờng thẳng (d1): y = x1

2 là tiệm cận xiên bên phải của (C)

 Giả sử (d2): y = a2x + b2là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số, ta có:

a2 =

xlim

 

y

x =

xlim

 

2

x x 1 x

  =

xlim

  2

1 1 1

x x

  = 1,

b2 = xlim

 [yax] = xlim

 

2

x x 1 x

    

= xlim

  2

x 1

x x 1 x



   = 1

2 Vậy, đờng thẳng (d2): y = x + 1

2 là tiệm cận xiên bên trái của (C)

b Miền xác định D = 

 Giả sử (d1): y = a1x + b1là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta có:

a1 =

x

y lim x

   =

2

x

x 1 lim 1

x

  

x

1 lim 1 1

x

  

 

= 0

b1 =xlim

  (yax) =  2 

xlim x x 1

     = 2

x

1 lim

x x 1

  



  = 0 Vậy, đờng thẳng (d1): y = 0 là tiệm cận ngang bên phải của (C)

 Giả sử (d2): y = a2x + b2là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số, ta có:

a2 =xlim

 

y

x =xlim

 

2

x 1 1

x

=xlim

  2

1

1 1

x

 

= 2

b2 =xlim

 (yax) = xlim

 ( 2 

x  1 x =xlim

  2

1

x 1 x



  = 0

Vậy, đờng thẳng (d2): y = 2x là tiệm cận xiên bên trái của (C)



Chú ý: Với các đồ thị hàm số vô tỉ dạng khác, để xác định các đờng tiệm cận ta

có thể thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm miền xác định D và miền giá trị I (nếu có thể) của hàm số, nếu D

hoặc I có chứa  thì thực hiện bớc 2 còn trái lại kết luận đồ thị hàm số không có tiệm cận

Bớc 2: Dựa vào D và I tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số Nếu hàm số chứa

căn bậc chẵn, nói chung ta thờng phải tìm các tiệm cận bên trái và bên phải

Ví dụ 2: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số: