Bài giảng: Phương trình lượng giác cơ bản (Đại số và Giải tích 11 - Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

k 2 x

21 3

2 2kx

Ví dụ 2: Tính các góc của ABC, biết AB = 2 cm, AC = 3cm và đờng

135 B

45 B

.Trong tam giác vuông HAC, ta có:

145 C

35 C

.Giá trị Cˆ  1450 không đợc chấp nhận vì khi đó Bˆ + Cˆ > 1800, mâu thuẫn, do

1 3 12

c Giải phơng trình 2sinx  2cosx = 1  3 bằng cách bình phơng hai vế

 Hớng dẫn: Sử dụng phép biến đổi

x

k 12 4

4 x

k 2 6

k 2 3 x

k 6

= 2sin 76  2cos76 = 1 + 3, sai

b Với họ nghiệm x = 3 + k ta cần xét hai trờng hợp về tính chẵn, lẻ của k 

Bạn đọc tự giải tiếp.

 Nhận xét: Nh vậy, khi sử dụng các phép biến đổi không tơng đơng chúng ta cần

thực hiện công việc thử lại để xác định tính đúng đắn về nghiệm củaphơng trình Và trong nhiều trờng hợp việc thử lại khá tốn công, do đóviệc lựa chọn một phơng pháp biến đổi để giải phơng trình lợng giác làrất quan trọng

5 x 2

l 2 6 x 2

5 x

l 12

x

, l  Z.

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm

Dạng 2: Phơng trình cosx = m

k 2 x

, k  Z.

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cos của góc đặc biệt, khi

đó đặt m = cos, ta đợc cosx = cos  

k 2 x

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm

 Chú ý: Với câu b) ta còn có thể trình bày nh sau:

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số sau:

y = sin xcos 4x cos3x

 Hớng dẫn: Sử dụng điều kiện có nghĩa của hàm phân thức.

 Giải

Điều kiện để hàm số xác định là:

cos4x  cos3x  0  cos4x  cos3x  4x 3x 2k

x7

Ví dụ 3: Giả sử một con tàu vũ trụ đợc phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran ở Mỹ

Nó chuyển động theo một quỹ đạo đợc mô tả trên một bản đồ phẳng (qunah đờngxích đạo) của mặt đất: điểm M mô tả cho con tàu, đờng thẳng  mô tả cho đờngxích đạo Khoảng cách h từ M đến  đợc tính theo công thức h = d, trong đó d =4000cos  ( t  10 )

45 với t (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vàoquỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên , d < 0 nếu M ở phía dới 

a Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi vơ-ran (tức là ứng với t = 0) Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đờngthẳng , trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran

Ca-na-b Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000

c Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 1236

k 90 25 t

, k  Z. (I)Thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo chính là nghiệm dơng nhỏnhất của hệ (I), ta thấy ngay t = 25

k 90 37 t

, k  Z. (II)Thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo chính là nghiệm dơng nhỏnhất của hệ (II), ta thấy ngay t = 37

Vậy, thời điểm sớm nhất là 37 phút

Ví dụ 4: Giải phơng trình cos[

4 21cos(x ) 4k (2)

Trong cả hai trờng hợp ta đều kết luận phơng trình có một họ nghiệm

 Nhận xét: Nh vậy với mọi giá trị của tham số phơng trình luôn có nghiệm.

VÝ dô 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

 Chó ý: Víi c©u a) ta cßn cã thÓ tr×nh bµy nh sau:

tan(x  150) = 5  x  150 = arctan5 + k1800  x = 150 + arctan5 + k1800,

3 4 x

l 2 4 4

l 2 x

Trong cả hai trờng hợp ta đều kết luận phơng trình có một họ nghiệm

 Nhận xét: Nh vậy với mọi giá trị của tham số phơng trình luôn có nghiệm.

Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau:

a cot x 0

203

 x = 3

20



+ k2

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc sau:

a.Biểu diễn (, ) trên đờng tròn đơn vị thành cung 

AB

b Tịnh tiến đờng thẳng m song song với trục cosin, khi đó số giao

điểm của nó với cung 

AB bằng số nghiệm thuộc (, ) của

ph-ơng trình

Cách 2: Thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1. Vẽ đồ thị hàm số y = sinx, lấy trên (, )

Bớc 2. Tịnh tiến đờng thẳng y = m song song với trục Ox, khi đó số

giao điểm của nó với phần đồ thị hàm số y = sinx bằng sốnghiệm thuộc (, ) của phơng trình

1 Phơng trình cosx = m, với lu ý khi sử dụng cách 1 ta tịnh tiến đờng thẳng m song song với trục sin.

2 Với các phơng trình tanx = m và cotx = m ta chỉ có thể sử dụng cách 2.

1 Đồ thị hàm số y = sinx đợc cho bởi hình vẽ sau:

a Nghiệm của phơng trình sinx = 

b Nghiệm của phơng trình sinx = 1 trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độ giao

điểm của đồ thị hàm số y = sinx với đờng thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể làcác điểm A1, A2 Từ đó, ta có nghiệm:

xO

a Nghiệm của phơng trình cosx =

2

1

trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độ giao

điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đờng thẳng y =

2

1 trên khoảng đó, cụ thể làcác điểm B1, B2, B3, B4, B5 Từ đó, ta có nghiệm:

b Nghiệm của phơng trình cosx = 1 trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độ giao

điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đờng thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể làcác điểm A1, A2 Từ đó, ta có nghiệm:

x'1 = , x'2 = 3

 Nhận xét: Nh vậy, ví dụ trên đã minh hoạ việc sử dụng đồ thị để tìm nghiệm thuộc

khoảng (a; b) của phơng trình sinx = m Tuy nhiên, trong thực té phơngpháp đó quá cồng kềnh so với phơng pháp so sánh Ví dụ sau sẽ minhhoạ cho nhận xét này

Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm thuộc [

3 m < 1, phơng trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc D

Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm thuộc (

4

5

; ) của phơng trình(m + 1)sinx = (m1)cosx (1)

 Hớng dẫn: Chuyển phơng trình ban đầu về dạng tanx = f(m).

sin

cosin

8/3

A B

1

O

1

m x

2

x

1

/6 1/2

y= sinx y

/6

/2

nghiệm phân biệt thuộc D.

Ví dụ 4: Tìm nghiệm của các phơng trình sau trong khoảng đã cho:

2

k 2 6 x 2

7 x

k 12

 k = 0  nghiệm x2 = 127 + 0. = 127 Vậy, phơng trình có hai nghiệm x1 =

k 2 6 5 x

k 2 6 5 x

y

x

y=tan x

y = m

1 k

2 k

3 2

0 2

0 1

30 x

60 x

150 x

1 k

Ví dụ 6: Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thờng có trò chơi đu Khi ngờichơi nhún đều, cây đu sẽ đa ngời chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng Nghiêncứu trò chơi này, ngời ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) ngời chơi đu đến vịtrí cân bằng đợc biểu diễn qua thời gian t (t  0, đợc tính bằng giây) bởi hệ thức h

= d với d = 3cos( 2 t  1 )

3 , trong đó ta quy ớc rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở

về phía sau lng ngời chơi đu d < 0 trong trờng hợp trái lại

a Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà ngời chơi đu ở xa vị trícân bằng nhất

b Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà ngời chơi đu cách vị trícân bằng 2m

3 =

94

2

k 2 535 , 0 ) 1 t 2 ( 3

2

k 3 9 , 0 t

0 k

 t2 = 0,1 (s) hoặc t2 = 1,6 (s)

Vậy, ở vào thời điểm t = 0,1 (s) hoặc t = 0,9 (s) hoặc t = 1,6 (s) trong 2 giây đầutiên, ngời chơi đu cách vị trí cân bằng 2m

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 950.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

x cos 1

a cos2x  sin2x = 0 b cos2(x + y

Bài tập 8: Giải các phơng trình sau:

a tan(x  150) = 5 b tan(2x + 450).tan(1800  x

1

204

Bài tập 18: Vẽ đồ thị hàm số y = tanx rồi chỉ ra trên các đồ thị đó những điểm có hoành

độ thuộc khoảng (; ) là nghiệm của mỗi phơng trình sau:

a tanx = 1 b tanx = 0

Bài tập 19: Vẽ đồ thị hàm số y = cotx rồi chỉ ra trên các đồ thị đó những điểm có hoành

độ thuộc khoảng (; ) là nghiệm của mỗi phơng trình sau:

a sinx + 3cosx = 0. b sin2x + sin2x = 21

Bµi tËp 22: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

Bµi tËp 23: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1 b tanx + tan 

20 2kx

18 37

24 2

5 lx

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm

Bài tập 3: Điều kiện để hàm số xác định là:

k 2 4 x

 Chú ý: Với câu b) ta còn có thể trình bày nh sau:

140 733



  } với k  

 Nhận xét: Nh vậy, trong ví dụ trên:

 ở câu a), biểu thức điều kiện đợc chuyển ngay về phơng dạng cơbản cos[f(x)] = cos[g(x)] Tuy nhiên, cũng có thể thực hiện bằngcách biến đổi:

cos2x  cosx  0  2cos2x  cosx  1  0

1 x cos

140 77

 Chú ý: Nếu các em học sinh không biết cách đánh giá nh (*) thì chỉ cần thực hiện

thiết lập điều kiện có nghiệm của phơng trình cos[f(x)] = m là m  1,



, k  .Vậy, phơng trình có một họ nghiệm

Bài tập 8:

a Đặt 5 = tan, ta có biến đổi:

tan(x  150) = tan  x  150 =  + k1800  x = 150 +  + k1800, với k  .Vậy, phơng trình có một họ nghiệm

Bài tập 9: Điều kiện để hàm số xác định là:

1 4k

12

b Ta có biến đổi:

cot x 0

204

Bài tập 13: Điều kiện để hàm số xác định là:

1 4k

12

3 4 x

l 2 4 4

l 2 x

, l  Z thoả

(*)

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm

Bài tập 15: Trớc tiên, ta đi giải phơng trình bằng phép biến đổi:

Vậy, phơng trình có hai nghiệm x1 = 11

 Nhận xét: Nh vậy, việc sử dụng phơng pháp so sánh trong lời giải trên khá dễ hiểu.

Tuy nhiên, với phơng trình chứa tham số thì do đặc tính tuần hoàn củahàm số lợng giác phơng pháp này sẽ không thể thực hiện đợc

Bài tập 16: Đồ thị hàm số y = cosx đợc cho bởi hình vẽ (trang bên)

a Nghiệm của phơng trình cosx = 1 trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độgiao điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đờng thẳng y = 1 trên khoảng đó,

cụ thể là các điểm A1, A2 Từ đó, ta có nghiệm:



, x4 = 73



Vậy, phơng trình có hai nghiệm x1 = 5 

116



và x2 = 5 

136

xO

a Nghiệm của phơng trình tanx = 1 trên khoảng (; ) chính là hoành độ giao điểmcủa đồ thị hàm số y = tanx với đờng thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm

b Nghiệm của phơng trình tanx = 0 trên khoảng (; ) chính là hoành độ giao

điểm của đồ thị hàm số y = tanx với trục hoành trên khoảng đó, cụ thể là A1

Từ đó, ta có nghiệm x'1 = 0

Bài tập 19: Đồ thị hàm số y = cotx đợc cho bởi hình vẽ sau:

a Nghiệm của phơng trình cotx =

3

3 trên khoảng (; ) chính là hoành độ giao

điểm của đồ thị hàm số y = cotx với đờng thẳng y =

b Nghiệm của phơng trình cotx = 1 trên khoảng (; ) chính là hoành độ giao

điểm của đồ thị hàm số y = cotx với đờng thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể làcác điểm B1, B2 Từ đó, ta có nghiệm x'1 = 



< 0  7

6 < k <

34

k Z 



1 2

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta biến đổi:

2sin 2x

8

85

b Biến đổi phơng trình về dạng:

tanx +

4tan.xtan1

4tanxtan

1xtan

VËy, ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm.