(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Đường kính và dây của đường tròn

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 9 CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN §2 Đường kính và dây của đường tròn  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn HOẠT ĐỘNG 1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2 Đọc lần 2 toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí Định hướng thực hiện các hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí Chép lại các chú ý, nhận xét Thực hiện các hoạt động vào vở 4 Thực hiện bài tập lần 1 5 Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1 Đọc lần 1 chậm và kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4 Thực hiện bài tập lần 2 5 Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: nhomcumon86@gmail.com để nhận Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm được Bài tập lần 1 chưa làm được Bài tập lần 2 chưa làm được Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ được giải đáp 2 §2 ®êng kÝnh vµ d©y cña ®êng trßn bµi gi¶ng theo ch¬ng tr×nh chuÈn 1 so s¸nh ®é dµi cña ®êng kÝnh vµ d©y ThÝ dô 1: (Bµi to¸n/tr 102  sgk): Gäi AB lµ d©y cung bÊt k× cña ®êng trßn (O; R) Chøng minh r»ng AB  2R  Gi¶i  Häc sinh tù vÏ h×nh Ta xÐt hai trêng hîp: Trêng hîp 1: NÕu AB lµ ®êng kÝnh th× AB = 2R (1) Trêng hîp 2: NÕu AB kh«ng lµ ®êng kÝnh th× trong OAB ta cã: AB < OA + OB = R + R = 2R (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra AB  2R Nh vËy lµ cã kÕt qu¶: §Þnh lÝ 1: §êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña ®êng trßn 2 quan hÖ vu«ng gãc gi÷a §êng kÝnh vµ d©y ThÝ dô 2: §êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB vu«ng gãc víi d©y CD Chøng minh r»ng AB ®i qua trung ®iÓm cña CD  Gi¶i  Häc sinh tù vÏ h×nh Ta xÐt hai trêng hîp: Trêng hîp 1: NÕu CD lµ ®êng kÝnh th× hiÓn nhiªn AB ®i qua trung ®iÓm O cña CD Trêng hîp 2: NÕu CD kh«ng lµ ®êng kÝnh th× gäi I lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD, trong OCD ta cã: OC = OD = R  OCD c©n t¹i O  OI lµ ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn  IC = ID, ®pcm Nh vËy lµ cã kÕt qu¶: §Þnh lÝ 2: Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× chia d©y Êy ra hai phÇn b»ng nhau (Nãi c¸ch kh¸c: §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy)  Yªu cÇu: TiÕp theo, chóng ta ®i xÐt bµi to¸n ngîc l¹i víi c©u hái "H·y ®a ra mét vÝ dô ®Ó chøng tá r»ng ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cã thÓ kh«ng vu«ng gãc víi d©y Êy" ThÝ dô 3: (H§ 1/tr 102  sgk): §êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB ®i qua trung ®iÓm I cña d©y CD Chøng minh r»ng AB vu«ng gãc víi CD  Gi¶i  Häc sinh tù vÏ h×nh Trong OCD ta cã: OC = OD = R  OCD c©n t¹i O  OI lµ ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn  OI  CD  AB  CD, ®pcm Nh vËy lµ cã kÕt qu¶: 3 §Þnh lÝ 3: Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y (kh«ng qua t©m) th× vu«ng gãc víi d©y Êy ThÝ dô 4: (H§ 2/tr 104  sgk): Cho h×nh 67 H·y tÝnh ®é dµi d©y AB, biÕt OA = 13cm, AM = BM, OM = 5cm  Gi¶i  Sö dông h×nh 67/tr 104  Sgk Tõ gi¶ thiÕt AM = BM, suy ra: OM  AB  OM  AM  OAM vu«ng t¹i M do ®ã, theo ®Þnh lÝ Pytago ta ®îc: AM2 = OA2  OM2 = 132  52 = 144  AM = 12  AB = 2AM = 2.12 = 24cm  Chó ý: ThÝ dô tiÕp theo sÏ minh ho¹ viÖc sö dông kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ trªn cho bµi to¸n cùc trÞ ThÝ dô 5: Cho mét ®êng trßn (O) vµ ®iÓm P ë bªn trong ®êng trßn Chøng minh r»ng trong tÊt c¶ c¸c d©y cung ®i qua P th× d©y cung vu«ng gãc víi b¸n kÝnh qua P lµ d©y cung ng¾n nhÊt  Gi¶i C B Gäi AB lµ d©y cung qua P vµ vu«ng gãc víi OP vµ A HP CD lµ d©y cung bÊt kú ®i qua P DO H¹ OH vu«ng gãc víi CD, ta cã ngay: OH  OP, v× trong tam gi¸c vu«ng c¹nh gãc vu«ng nhá h¬n c¹nh huyÒn  AB  CD  AB lµ d©y cung ng¾n nhÊt Bµi tËp 1: bµi tËp lÇn 1 Bµi tËp 2: Bµi tËp 3: Cho ABC, c¸c ®êng cao BD vµ CE Chøng minh r»ng: Bµi tËp 4: a C¸c ®iÓm B, E, D, C thuéc mét ®êng trßn Bµi tËp 5: b DE < BC Bµi tËp 6: Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, d©y CD kh«ng c¾t ®êng kÝnh AB Gäi H vµ K theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A vµ B ®Õn CD Chøng minh r»ng CH = DK Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét d©y cung AB = 2a (a < R) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB Tia OI c¾t cung A B t¹i M TÝnh ®é dµi cña d©y cung MA Cho ®êng trßn (O, R) vµ hai b¸n kÝnh OA, OB Trªn c¸c b¸n kÝnh OA, OB lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho OM = ON VÏ d©y CD ®i qua M vµ N (M n»m gi÷a C vµ N) a Chøng min b Gi¶ sö AOh r»ng CM = DN B = 900, h·y tÝnh OM, ON theo R sao cho: CM = MN = ND Cho ®êng trßn (O, R) ®êng kÝnh AB Gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña OA vµ OB Qua M vµ N lÇn lît vÏ c¸c d©y CD vµ EF song song víi nhau (C vµ E cïng n»m trªn mét nöa ®êng trßn ®- êng kÝnh AB) a Chøng minh tø gi¸c CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt b Gi¶ sö CD vµ EF cïng t¹o víi AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt CDFE Cho mét ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm P kh¸c O ë bªn trong ®êng trßn Dùng mét d©y cung AB ®i qua P sao cho PA = PB 4 Bµi tËp 7: Cho ®êng tr sao cho AOßn (O; R) T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña c¸c d©y AB B = 1200 bµi gi¶ng n©ng cao A Tãm t¾t lÝ thuyÕt 1 so s¸nh ®é dµi cña ®êng kÝnh vµ d©y §êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña ®êng trßn 2 quan hÖ vu«ng gãc gi÷a §êng kÝnh vµ d©y Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:  §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× chia d©y Êy ra hai phÇn b»ng nhau  §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y (kh«ng qua t©m) th× vu«ng gãc víi d©y Êy B ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n D¹ng to¸n 2: Gi¶i b¸i to¸n ®Þnh tÝnh vµ ®Þnh lîng VÝ dô 1: (Bµi 10/tr 104  Sgk): Cho ABC, c¸c ®êng cao BD vµ CE Chøng minh r»ng: a C¸c ®iÓm B, E, D, C thuéc mét ®êng trßn b DE < BC  Híng dÉn: Ta lÇn lît:  Víi c©u a), sö dông tÝnh chÊt tam gi¸c vu«ng  Víi c©u b), sö dông kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ 1  Gi¶i A a Trong ABC, ta cã: BD  AC  BPˆ C = 900 E D  D thuéc ®êng trßn cã ®êng kÝnh BC CE  AB  BMˆ C = 900 B OC  E thuéc ®êng trßn cã ®êng kÝnh BC VËy bèn ®iÓm B, D, E, C thuéc ®êng trßn cã ®êng kÝnh BC b V× BC lµ ®êng kÝnh cßn DE lµ mét d©y nªn lu«n cã DE < BC VÝ dô 2: (Bµi 11/tr 104  Sgk): Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, d©y CD kh«ng c¾t ®êng kÝnh AB Gäi H vµ K theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A vµ B ®Õn CD Chøng minh r»ng CH = DK  Híng dÉn: KÎ OM v«ng gãc víi CD  Gi¶i  Häc sinh tù vÏ h×nh KÎ OM vu«ng gãc víi CD, ta cã nhËn xÐt: MC = MD  TÝnh chÊt ®êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y.(1) OM // AH // BK  OM lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABDC  MH = MK (2) Trõ theo vÕ (2) cho (1) ta ®îc: MH  MC = MK  MD  CH = DK, ®pcm 5 VÝ dô 3: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét d©y cung AB = 2a (a < R) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB Tia OI c¾t cung A B t¹i M TÝnh ®é dµi cña d©y cung MA Híng dÉn: Sö dông ®Þnh lÝ Pytago cho c¸c tam gi¸c vu«ng t¬ng øng  Gi¶i Trong AMI, ta cã: AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2 (1) M MÆt kh¸c: A I B MI = OM – OI = R – OI Trong OAI, ta cã: O OI2 = OA2  AI2 = R2  a2  OI = R 2  a 2  MI = R  R2  a 2 (2) Thay (2) vµo (1), ta ®îc: AM2 = AI2 + MI2 = a2 + (R  R 2  a 2 )2 = a2 + R2 – 2R R 2  a 2 + R2  a2 = 2R2 – 2R R 2  a 2  AM = 2R 2  2R R 2  a 2 VËy, ®é dµi d©y cung AM = 2R2  2R R2  a 2 NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn ®Ó tÝnh ®é dµi d©y cung AM chóng ta lùa chän ph¬ng ph¸p tr×nh bµy theo híng ph¸t sinh yªu cÇu råi thùc hiÖn yªu cÇu nµy ®Ó ®¹t ®îc môc ®Ých cuèi cïng lµ AM, cô thÓ: AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2  cÇn x¸c ®Þnh MI MI = OM  OI = R  OI  cÇn x¸c ®Þnh OI OI ®îc x¸c ®Þnh dùa vµo OAI Tõ ®ã, thay ngîc l¹i kÕt qu¶ ®Ó nhËn ®îc AM C¸ch tr×nh bµy nh vËy sÏ rÊt dÔ hiÓu, tuy nhiªn nã l¹i tá ra dµi dßng, chÝnh v× lý do nµy mµ c¸c em häc sinh h·y lu trö nã trong suy nghÜ cßn khi tr×nh bµy lêi gi¶i th× tr×nh bµy theo kiÓu ngîc l¹i, cô thÓ: Suy nghÜ Tr×nh bµy 1 §Ó tÝnh AM cÇn x¸c ®Þnh MI Trong OAI, ta cã: 2 §Ó tÝnh MI cÇn x¸c ®Þnh OI OI2 = OA2  AI2 = R2  a2 3 OI ®îc x¸c ®Þnh dùa vµo  OI = R 2  a 2 R2  a2 OAI Suy ra MI = OM  OI = R  Trong AMI, ta cã: AM2 = AI2 + MI2 = a2 + (R  R2  a 2 )2  AM = 2R 2  2R R 2  a 2 C¸c em häc sinh cã thÓ luyÖn tËp b»ng viÖc gi¶i l¹i vÝ dô trªn trong trêng hîp R = 5cm vµ a = 3cm 6 VÝ dô 4: Cho ®êng trßn (O, R) vµ hai b¸n kÝnh OA, OB Trªn c¸c b¸n kÝnh OA, OB lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho OM = ON VÏ d©y CD ®i qua M vµ N (M n»m gi÷a C vµ N) a Chøng minh r»ng CM = DN  b = 900, h·y tÝnh OM, ON theo R sao cho: Gi¶ sö AOB CM = MN = ND  Híng dÉn: Ta lÇn lît:  Víi c©u a), sö dông ®Þnh lÝ TalÐt cïng mèi quan hÖ gi÷a v«ng gãc vµ song song ®Ó sö dông ®îc kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ 2  Víi c©u b), sö dông ®Þnh lÝ Pytago cho c¸c tam gi¸c vu«ng t¬ng øng  Gi¶i a H¹ OE vu«ng gãc víi AB c¾t CD t¹i F Trong OAB c©n t¹i O, ta cã: OM ON  MN // AB  OF  MN vµ MF = NF OA OB Ta cã nhËn xÐt thªm: OF  MN  OF  CD  CF = DF Khi ®ã: O CM = CF – MF = DF – NF = DN, ®pcm b §Æt MF = x, suy ra: CM FN D CF = CM + MF = MN + MF = 3MF = 3x A OF = x, v× OMF vu«ng c©n t¹i F E B Trong OCF, ta cã: OF2 = OC2 – CF2  x2 = R2 – 9x2  10x2 = R2  x = R 10 Khi ®ã, ta ®îc: ON = OM = OF 2 = R 2 = R 10 5 VËy, víi ON = OM = R tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 5 VÝ dô 5: Cho ®êng trßn (O, R) ®êng kÝnh AB Gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña OA vµ OB Qua M vµ N lÇn lît vÏ c¸c d©y CD vµ EF song song víi nhau (C vµ E cïng n»m trªn mét nöa ®êng trßn ®- êng kÝnh AB) c Chøng minh tø gi¸c CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt d Gi¶ sö CD vµ EF cïng t¹o víi AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt CDFE  Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dô 4  Gi¶i a H¹ OP vu«ng gãc víi CD c¾t EF t¹i Q, suy ra: CP = DP, tÝnh chÊt ®êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y cung OQ  EF, v× EF // CD  EQ = FQ, tÝnh chÊt ®êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y cung XÐt hai tam gi¸c vu«ng OPM vµ OQN, ta cã: 7 OM = 1 OA = 1 OB = ON 2 2 M¤P = N¤Q, v× ®èi ®Ønh do ®ã: OPM = OQN (c¹nh huyÒn vµ gãc nhän)  OP = OQ  CD = EF Khi ®ã, tø gi¸c CDFE cã: CD //EF  CDFE lµ h×nh b×nh hµnh Trong h×nh b×nh hµnh CDFE, ta cã: PQ lµ ®êng trung b×nh  PQ // CE  CD  CE  CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt b Ta cã: SCDFE = CE.CD (1) Trong OPM vu«ng t¹i P, víi OMˆ P = 300, suy ra: OP = 1 OM = 1 1 OA = R 2 22 4 CE = PQ = 2OP = R (2) 2 Trong OPC vu«ng t¹i P, ta cã: E CP = OC2  OP2 = R2  R2 = R 15 C 16 4 (3) AO Q NB CD = 2CP = R 15 M 2 P F Thay (2), (3) vµo (1), ta ®îc: D S R CDFE = R 15 = R 2 15 22 4 D¹ng to¸n 3: Gi¶i b¸i to¸n dùng h×nh VÝ dô 1: Cho mét ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm P kh¸c O ë bªn trong ®êng trßn Dùng mét d©y cung AB ®i qua P sao cho PA = PB  Híng dÉn: Sö dông kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ 3  Gi¶i Ph©n tÝch: Gi¶ sö ®· dùng ®îc d©y AB ®i qua P sao cho PA = PB, ta cã: PA = PB  OP  AB A P B C¸ch dùng: Dùng ®êng th¼ng (d) qua P vµ vu«ng gãc víi OP c¾t (O) t¹i hai ®iÓm A, B O Chøng minh: V×: OP  AB  PA = PB BiÖn luËn: Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh  Lu ý: NÕu P  O; bµi to¸n cã v« sè nghiÖm h×nh 8 D¹ng to¸n 4: Gi¶i b¸i to¸n quü tÝch VÝ dô 1: Cho ®êng trßn (O; R) T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña c¸c d©y AB  sao cho AOB = 1200 Híng dÉn: Víi AB kh«ng ®æi th× OM sÏ kh«ng ®æi B»ng viÖc tÝnh ®îc ®é dµi cña OM = R1 ta sÏ nhËn ®îc kÕt luËn M(O; R1)  Gi¶i PhÇn thuËn: Gi¶ sö cã ®iÓm M lµ trung ®iÓm cña d©y  cung AB sao cho AOB = 1200 A MB Trong OAM, ta cã:   AOM = 600  OAM = 300  OM = 1 OA = R  M(O; R ) O 2 2 2 PhÇn ®¶o: LÊy mét ®iÓm M bÊt kú trªn ®êng trßn (O; R ), dùng d©y cung AB  0 2 qua M vµ vu«ng gãc víi OM Ta ph¶i chøng minh AOB = 120 ThËt vËy, trong OAM vu«ng t¹i M, ta cã: OM = 1 OA  O¢M = 300   = 600 2 AOM    = 1200 AOB = 2 AOM KÕt luËn: Quü tÝch cña ®iÓm M lµ ®êng trßn (O; R ) 2 bµi tËp lÇn 2 Bµi 1: Cho ®êng trßn (O, R) ®êng kÝnh AB Gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña OA vµ OB Qua M vµ N lÇn lît vÏ c¸c d©y CD vµ EF song song víi nhau (C vµ E cïng n»m trªn mét nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB) a Chøng minh tø gi¸c CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt b Gi¶ sö CD vµ EF cïng t¹o víi AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt CDFE Bµi 2: Cho ABC cã ba gãc nhän ë phÝa ngoµi tam gi¸c vÏ c¸c nöa ®êng trßn cã ®- êng kÝnh theo thø tù lµ AB vµ AC Qua A vÏ ®êng th¼ng (d) c¾t c¸c nöa ®êng trßn trªn thø tù ë E vµ F Chøng minh r»ng a NÕu (d) song song víi BC th× BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt b NÕu (d) vu«ng gãc víi trung tuyÕn AM cña ABC th× AE = AF Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 550.000đ 1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC 9 Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 10 ... độ dài đờng kính dây Đờng kính dây cung lớn đờng tròn quan hệ vuông góc Đờng kính dây Ta có kết sau: Đờng kính vuông góc với dây chia dây hai phần Đờng kính qua trung điểm dây (không qua... đờng kính OAB ta có: AB < OA + OB = R + R = 2R (2) Tõ (1) vµ (2) suy AB  2R Nh có kết quả: Định lí 1: Đờng kính dây cung lớn đờng tròn quan hệ vuông góc Đờng kính dây Thí dụ 2: Đờng tròn. .. Thí dụ 5: Cho đờng tròn (O) điểm P bên đờng tròn Chứng minh tất dây cung qua P dây cung vuông góc với bán kính qua P dây cung ngắn Giải C B Gọi AB dây cung qua P vuông