(Hình học 9  Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Sự xác định đường tròn tính chất đối xứng của đường tròn

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRỊN §1 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường tròn  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Môn theo địa nhomcumon86@gmail.com để nhận giải ỏp chơng II đờng tròn Chơng này, bao gồm học: Sự xác định đờng tròn Tính chất đối xứng đờng tròn Đờng kính dây đờng tròn Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn Tính chất hai tiếp tuyến cắt Vị trí tơng đối hai đờng tròn Đ1 s ự xác định ®êng trßn t Ýnh chÊt ®èi xøng cđa ®êng trßn giảng theo chơng trình chuẩn nhắc lại đờng tròn lớp 6, ta đà biết: Định nghĩa: Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách O khoảng R O M R Đờng tròn nh đợc kí hiệu (O; R), trờng hợp không cần ý đến bán kính sử dụng kí hiệu (O) Cho đờng tròn (O; R) điểm M, ta cã:  NÕu OM < R ⇔ M n»m ®êng trßn  NÕu OM = R ⇔ M n»m đờng tròn Nếu OM > R M nằm đờng tròn M O R M M Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 98 sgk): Trong hình 53, điểm H nằm bên đờng tròn (O), điểm K nằm bên đờng tròn (O) HÃy so sánh số ®o · · cđa hai gãc OKH vµ OHK  Giải Sử dụng hình 53/tr 98 Sgk Từ giải thiết: H nằm đờng thẳng (O), suy OH > R K nằm đờng thẳng (O), suy OK < R Khi ®ã, ∆OHK víi: · · OK < OH ⇔ OHK < OKH cách xác định đờng tròn Theo định nghĩa đờng tròn hoàn toàn đợc xác định biết tâm bán kính đờng tròn đó, biết đoạn thẳng đờng kính đờng tròn Thí dụ 2: HÃy xác định tâm O đờng tròn, biết qua điểm A có bán kính R Giải Khi đó: AO = R O(A; R) Đờng tròn tâm A, bán kính R ThÝ dơ 3: (H§ 2/tr 98 − sgk): Cho hai điểm A B O O R A O a HÃy vẽ đờng tròn qua hai điểm b Có đờng tròn nh ? Tâm chúng nằm đờng thẳng ? Giải B a Ta có đờng tròn qua A B Hình bên b Có vô số đờng tròn qua hai điểm A B Thật vậy, dờng tròn qua hai điểm A B thì: OA = OB O thuộc trung trực đoạn thẳng AB O O A Thí dụ 4: (HĐ 3/tr 98 sgk): Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng HÃy vẽ đờng tròn ®i qua ba ®iĨm ®ã  Gi¶i Ta cã nhËn xÐt: OA = OB ⇔ O thuéc ®êng trung trùc đoạn thẳng AB OA = OC O thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AC OB = OC O thuộc đờng trung trực đoạn thẳng BC Vậy, tâm O giao điểm ba đờng trung trùc cña ∆ABC A B O B A A O C O C B C Trờng hợp đặc biệt: Nếu ABC vuông tâm của đờng tròn ngoại tiếp ABC trung điểm cạnh huyền Ta có kết quả: Một điểm O cho trớc số thực R > cho trớc xác định đờng tròn (O: R) Một đoạn thẳng AB cho trớc xác định đờng tròn đờng kính AB (tâm O trung điểm AB), kí hiệu (O; AB ) Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định đờng tròn qua ba điểm đó, kí hiệu (ABC) Đờng tròn đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp ABC ABC gọi tam giác nội tiếp đờng tròn Thí dụ 5: (Bài 3/tr 100 Sgk): Chứng minh định lí sau: a Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền b Nếu tam giác có cạnh đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông Giải a Ta biết "Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền" (Kiến thức Hình học Toán Tập 2), với ABC vuông A D trung điểm BC thì: DA = DB = DC = BC B ⇔ D tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC D b Giả sử đờng tròn đờng kính BC (D trung điểm BC) ngo¹i tiÕp ∆ABC, suy ra: 1 A C DA = DB = DC ⇒ DA = BC ABC vuông A Chú ý: Nh vậy, toán đợc đặt cách tự nhiên " Chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn", để minh hoạ phơng pháp thực dạng toán chúng xét thí dụ sau: Thí dụ 6: Cho ABC cân A, đờng cao AH = 1cm, BC = 4cm Đờng vuông góc với AC C cắt đờng thẳng AH D a Chứng minh điểm B, C thuộc đờng tròn đờng kính AD b Tính độ dài AD Giải a Xét hai tam giác ADC ADB, ta có: AD chung Â1 = Â2, ABC cân nên AH phân giác AC = AB, , ABC cân A đó: ADC = ∆ADB ⇒ ABD = ACD = 900 ⇔ B, C thuộc đờng tròn đờng kính AD b Trong ABD vuông D, ta có: AH.AD = AB2 = AH2 + BH2 ⇔ AD = A B BC = 5cm AH AH + 21 H C D Vậy, ta đợc AD = 5cm Tâm đối xứng Thí dụ 7: (HĐ 4/tr 98 sgk): Cho đờng tròn (O), A điểm thuộc đờng tròn VÏ A' ®èi xøng víi A qua ®iĨm O (h.56/tr 99 − Sgk) Chøng minh r»ng ®iĨm A' cịng thc đờng tròn (O) Giải Sử dụng hình 56/tr 99 − Sgk Tõ gi¶i thiÕt, ta cã ngay: OA' = OA = R A' (O) theo định nghĩa Trong trờng hợp AA' đờng kính (O) Ta có kết quả: Đờng tròn hình có tâm đối xứng Tâm đờng tròn tâm đối xứng đờng tròn Trục đối xøng ThÝ dơ 8: (H§ 5/tr 98 − sgk): Cho đờng tròn (O), AB đờng kính C điểm thuộc đờng tròn Vẽ C' đối xøng víi C qua AB (h.57/tr 99 − Sgk) Chøng minh điểm C' thuộc đờng tròn (O) Giải Sử dụng hình 57/tr 99 Sgk Từ giải thiết, ta có ngay: OCC cân O có trung tuyến đờng cao OC' = OC = R C' (O) theo định nghĩa Trong trờng hợp AB đờng trung trực CC' Ta có kết quả: Đờng tròn hình có trục đối xứng Bất kì đờng kính trục đối xứng đờng tròn Thí dụ 9: (Bài 6/tr 100 Sgk): Trong biển thông báo (Bài 6/tr 100 Sgk), biển có tâm đối xứng, biển có trục đối xứng ? a Biển cấm ngợc chiều (h.58/tr 100_Sgk) b Biển cấm ôtô (h.59/tr 100_Sgk) Giải Sử dụng hình 58, 59/tr 100 Sgk Ta thấy ngay: Biển cấm ngợc chiều (h.58/tr 100_Sgk) có tâm đối xứng tâm đờng tròn Biển cấm ôtô (h.59/tr 100_Sgk) có trục đối xứng đờng thẳng qua tâm đờng tròn vuông góc với ôtô tập lần Bài tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm Chøng minh r»ng ®iĨm A, B, C, D thuộc đờng tròn Tính bán kính đờng tròn Bài tập 2: Chứng minh qua ba điểm thẳng hàng có đờng tròn Bài tập 3: Cho ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh điểm B, M, P, C thuộc đờng tròn Bài tập 4: Cho ABC M trung điểm BC Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc với AB AC Trên tia BD CE lần lợt lấy điểm I, K cho D trung ®iĨm cđa BI, E lµ trung ®iĨm cđa CK Chøng minh r»ng ®iĨm B, I, K, C cïng n»m đờng tròn Bài tập 5: Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp điểm M cho AMB = 900 Bài tập 6: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = R C điểm chạy đ- ờng tròn Trên tia BC lấy điểm M cho C trung điểm BM Tìm quỹ tích điểm M Bài tập 7: Đố: Một bìa hình tròn dấu vết tâm HÃy tìm lại tâm đờng tròn Bài tập 8: Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định Điểm A di chuyển đờng tròn, D trung điểm BC Gọi M hình chiếu B đờng thẳng AD a Tìm tập hợp điểm M A di chuyển (O) b Tìm vị trí điểm A (O) để BM có độ dài lớn Bài tập 9: a HÃy dựng đoạn thẳng AB = 6cm ba đờng tròn phân biệt nhận AB làm dây cung b Trong tất đờng tròn nhận AB làm dây cung đờng tròn có đờng kính nhỏ ? Giải thích ? Bài tập 10: Dựng đờng tròn (O) có bán kính R cho trớc qua hai điểm A B cho tríc Bµi tËp 11: Cho gãc nhän xAy vµ hai điểm B, C thuộc tia Ax Dựng đờng tròn (O) qua B C cho tâm O nằm tia Ay Bài tập 12: Dựng đờng tròn (O) qua hai điểm A B cho trớc có tâm đờng thẳng d cho trớc (A, B không thuộc d) giảng nâng cao A Tóm tắt lí thuyết nhắc lại đờng tròn Định nghĩa: Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách O khoảng R Đờng tròn nh đợc kí hiệu (O; R), trờng hợp không cần ý đến bán kính sử dụng kí hiệu (O) Cho đờng tròn (O; R) điểm M, ta cã:  NÕu OM < R ⇔ M n»m ®êng trßn  NÕu OM = R ⇔ M n»m đờng tròn Nếu OM > R M nằm đờng tròn O R M M O R M M cách xác định đờng tròn Theo định nghĩa đờng tròn hoàn toàn đợc xác định biết tâm bán kính, với câu hỏi " HÃy xác định tâm O đờng tròn, biết: O R a Đờng tròn qua điểm A có bán kính R O A Khi đó: O AO = R O(A; R) Đờng tròn tâm A, bán kính R b Đờng tròn qua hai điểm A B B Khi đó: OA = OB O O ⇔ O thc ®êng trung trùc cđa đoạn thẳng AB A c Đờng tròn qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng Khi đó: OA = OB O thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AB OA = OC O thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AC OB = OC O thuộc đờng trung trực đoạn thẳng BC Vậy, tâm O giao điểm ba đờng trung trực ∆ABC A B O B A A O C O C B C Trờng hợp đặc biệt: Nếu ABC vuông tâm của đờng tròn ngoại tiếp ABC trung điểm cạnh huyền Ta có kết quả: Một điểm O cho trớc số thực R > cho trớc xác định đờng tròn (O: R) Một đoạn thẳng AB cho trớc xác định đờng tròn đờng kính AB (tâm O trung ®iĨm cđa AB), kÝ hiƯu (O;  AB ) Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định đờng tròn qua ba ®iĨm ®ã, kÝ hiƯu (ABC) T©m ®èi xøng − Trục đối xứng Ta có kết quả: Tâm đờng tròn tâm đối xứng đờng tròn Bất kỳ đờng kính trục đối xứng đờng tròn 10 B phơng pháp giải toán Dạng toán 1: Chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn Phơng pháp Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta chứng minh điểm cách điểm Lu ý đờng tròn (O) qua hai điểm A, B tâm O thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AB Cách 2: Sử dụng kết "Nếu ABC = 900 B thuộc đờng tròn đờng kÝnh AC" VÝ dơ 1: (Bµi 1/tr 99 − Sgk): Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm Chøng minh r»ng ®iĨm A, B, C, D thuộc đờng tròn Tính bán kính ®êng trßn ®ã  Híng dÉn:  Sư dơng hai tam giác vuông với cạnh huyền AC (hoặc BD), từ 1 suy bán kính đờng tròn AC (hoặc BD ) độ dài đ2 ợc tính nhờ định lí Pytago Giải Häc sinh tù vÏ h×nh NhËn xÐt r»ng:  ∆ABC vuông B nên B thuộc đờng tròn đờng kính AC ADC vuông D nên B thuộc đờng tròn đờng kính AC Vậy, bốn điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn đờng kính AC và: 1 1 13 R = AC = AB2 + BC = 122 + 52 = 144 + 25 = 2 2 VÝ dơ 2: (Chó ý/tr 98 − sgk): Chøng minh r»ng qua ba ®iĨm thẳng hàng có đờng tròn Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng, tức giả sử "Tồn đờng tròn qua ba điểm thẳng hàng A, B, C suy mâu thuẫn hai đờng thẳng song song cắt Giải Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn đờng tròn (O) qua ba điểm thẳng hàng A, B, C Ta có: A, B ∈ (O) ⇒ OA = OB ⇒ O thuéc trung trùc Ex cña AB B, C ∈ (O) ⇒ OB = OC ⇒ O thuéc trung trùc Fy cña BC suy {O} = Ex ∩ Fy (*) 11 Mặt khác, A, B, C thẳng hàng nên: Ex // Fy, điều mâu thuẫn với (*) Vậy, qua ba điểm thẳng hàng có đờng tròn Chú ý: Từ kết "Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định ®êng trßn ®i qua ba ®iĨm ®ã ", chóng ta khai thác thêm nh sau: Nếu điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn (O) A, B, C, E thuộc đờng tròn (O') (O) (O'), hay nói cách khác " Năm điểm A, B, C, D, E thuộc đờng tròn " Më réng h¬n " NÕu ta cã A, B, C, D thuộc đờng tròn (O ) A, B, C, E thuộc đờng tròn (O ) A, B, C, F thuộc đờng tròn (O ) " (O1) (O2) (O3) (O) (O) đờng tròn ngoại tiếp DEF Ví dụ 3: (Bài 2/tr 100 Sgk): HÃy nối ô cột trái với ô cột phải để đợc khẳng định Giải Sử dụng bẳng tr 100 − Sgk Ta cã: (1) ⇒ (5); (2) ⇒ (6); (3) ⇒ (4) VÝ dơ 4: Cho ∆ABC ®Ịu Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh điểm B, M, P, C thuộc đờng tròn Hớng dẫn: Sử dụng hai cách đà đợc trình bày phần phơng pháp giải toán Giải Ta lựa chọn ba cách trình bày sau: Cách 1: Vì ABC nên trung tuyến đờng cao, đó: CM ⊥ AB ⇔ BMC = 900 M ⇒ M thuéc ®êng trßn cã ®êng kÝnh BC ˆ  BP ⊥ AC ⇔ BPC = 900 B ⇒ P thuéc ®êng tròn có đờng kính BC Vậy bốn điểm B, C, M, P thuộc đờng tròn có đờng kính BC Cách 2: Ta có: BMD vuông M có MN trung tuyến, nên: MN = NB = NC BPC vuông P có PN trung tuyÕn, nªn: PN = NB = NC Tõ (1), (2) suy ra: NB = NC = NM = NP ⇔ B, C, M, P thuộc đờng tròn (N; NB) 12 A P N (1) (2) C C¸ch 3: Víi ∆ABC có cạnh a nên NB = NC = a (3) a AC = (4) 2 a PN đờng trung bình nªn PN = AB = (5) 2 Tõ (3), (4), (5) suy ra: a a NB = NC = NM = NP = ⇔ B, C, M, P thuộc đờng tròn (N; ) 2 MN đờng trung bình nên MN = Ví dụ 5: Cho ABC M trung điểm BC Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc với AB AC Trên tia BD CE lần lợt lấy điểm I, K cho D trung điểm BI, E trung điểm CK Chứng minh bốn ®iĨm B, I, K, C cïng n»m trªn mét ®êng tròn Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ Giải Ta lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: (Sử dụng định nghĩa) Ta có: M trung điểm BC nên MB = MC = BC (1)  MD lµ trung trùc cđa BI nªn: MI = MB (2)  ME trung trực CK nên MK = MC (3) Tõ (1), (2), (3) suy MB = MC = MI = MK = BC I A D B VËy ®iĨm B, I, K, C cïng n»m đờng tròn tâm M, bán kính K E C M BC C¸ch 2: Ta cã:  MD trung trực BI nên: MI = MB = BC BCI vuông I I thuộc đờng tròn đờng kính BC (4) ME trung trùc cđa CK nªn: MK = MC = BC BCK vuông K K thuộc đờng tròn đờng kính BC (5) Vậy, bốn điểm B, I, K, C nằm đờng tròn đờng kính BC 13 Nhận xét: Trong lời giải trên, để chøng minh ®iĨm B, I, K, C cïng thc đờng tròn, ta sử dụng hai cách và: cách 1, ta khẳng định điểm M (đà cho sẵn) cách bốn điểm B, I, K, C dựa tính chất đờng trung trực   ë c¸ch 2, ta khÐo lÐo chøng minh B I C = BKC = 900 dùa trªn kÕt "Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ngợc lại " Tuy nhiên, cách đợc đề xuất thông qua kết cách Dạng toán 2: Quỹ tích điểm đờng tròn Phơng pháp Với yêu cầu " Tìm tập hợp điểm M thoả mÃn tính chất K ", ta cần trình bày lời giải gồm ba phần: Phần thuận: Giả sử có điểm M thoả m·n ®iỊu kiƯn K, ta khÐo lÐo suy r»ng M thuộc đờng tròn (O), thí dụ: Chứng minh OM = r không đổi Chứng minh AMB = 900, với O trung điểm AB Phần đảo: Lấy M (O) chứng minh M cã tÝnh chÊt K  KÕt luËn VÝ dô 1: (Bài 7/tr 101 Sgk): HÃy nối ô cột trái với ô cột phải để đợc khẳng định Hớng dẫn: Sử dụng định nghĩa đờng tròn hình tròn Giải Sử dơng b¼ng tr 100 − Sgk Ta cã: (1) ⇒ (4); (2) ⇒ (6); (3) ⇒ (5)  VÝ dô 2: Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp điểm M cho AMB = 900  Híng dÉn: Sư dụng kết định lí thí dụ Giải Gọi O trung điểm AB, với điểm M thoả mÃn AMB = 900, ta đợc: ABM vuông M OM = AB M thuộc đờng tròn (O, AB) 14 M A O B  Chó ý: C¸ch trình bày có tính minh hoạ, để có đợc lời giải toán quỹ cÇn thùc hiƯn theo ba bíc  Tõ nay, đợc quyền sử dụng kết "Nếu AMB = 900 M thuộc đờng tròn đờng kính AB " Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = R C điểm chạy đ- ờng tròn Trên tia BC lấy điểm M cho C trung điểm BM Tìm quỹ tích điểm M Hớng dẫn: Tìm cách chứng minh AM = AB Không đổi Từ đó, suy M thuộc đờng tròn tâm A bán kính AB M Giải C Phần thuận: Giả sử có điểm M cho C trung điểm A BM O B Vì C thuộc đờng tròn đờng kính AB ⇒ ACB = 900 ⇔ AC ⊥ BM ⇒ ∆ABM cân có AC vừa đờng cao, vừa trung tuyÕn ⇒ AM = AB = R ⇔ M∈(A, R) Phần đảo: Lấy điểm M đờng tròn (A, R), BM cắt (O) C Ta phải chứng minh C trung điểm BM Thật vËy:  AM = AB = R ⇒ ∆ABM c©n t¹i A   C∈(O) ⇒ ACB = 900 ⇔ ACBM suy AC đờng cao ứng với cạnh đáy nên đồng thời trung tuyến Vậy C trung ®iĨm cđa BM  KÕt ln: Q tÝch cđa điểm M đờng tròn (A, R) Nhận xét: Trong lời giải trên, để tìm tập hợp điểm M đà tuân thủ lợc đồ toán quỹ tích, cụ thể: Phần thuận: Ta giả sử có điểm M cho C trung điểm BM, từ suy đợc M(A, R) Phần đảo: Ta lấy điểm M(A, R) chứng minh M thoả mÃn điều kiện C trung điểm BM Kết luận Sử dụng phơng pháp đợc trình bày ví dụ giải đợc toán tơng tự: Bài toán 1: Cho đờng tròn (O, R), điểm A cố định đờng tròn, điểm B di chuyển đờng tròn Tìm quỹ tích trung điểm M AB 15 Thật vậy: Phần thuận: Giả sử có điểm M trung điểm AB XÐt ∆OAB, ta cã: OA = OB = R OAB cân O OM vừa đờng cao, võa lµ trung tuyÕn ˆ ⇒ AMO = 900 M thuộc đờng tròn đờng kính OA Phần đảo: Lấy điểm M đờng tròn (OA), AM cắt (O) B Ta phải chứng A minh M trung điểm AB Thật vậy: M ∈ (OA) ⇔ AMO = 900 ⇔ OM ⊥ AB Khi đó, OAB cân O ta có ngay: OM lµ trung tuyÕn ⇔ MA = MB KÕt luËn: Quỹ tích điểm M đờng tròn (OA) B M O Bài toán 2: Cho đờng tròn (O, R) Hai điểm A, B di chuyển đờng tròn cho độ dài AB = 2l không đổi (l < R) Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn AB Thật vậy: Phần thuận: Giả sử có điểm M trung điểm AB Xét OMA vuông M, ta cã: OM2 = OA2 − MA2 = R2 − l2 ⇔ OM = R − l2 ⇔ M thuéc ®êng trßn (O, R − l2 ) B M Phần đảo: Lấy điểm M đờng tròn (O, R l2 ), đờng thẳng qua M vuông A O góc với OM cắt (O, R) A B Ta phải chứng minh M trung điểm AB AB = 2l Thật vậy, ta thấy M trung điểm AB, ra: AB = 2AM = OA − OM = R − (R − l2 ) = 2l KÕt ln: Q tÝch cđa ®iĨm M đờng tròn (O, R l2 ) Ví dụ 6: (Bài 5/tr 100 Sgk): Đố: Một bìa hình tròn dấu vết tâm HÃy tìm lại tâm đờng tròn Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Lấy ba điểm A, B, C đờng tròn, từ đó: Vẽ trung trực AB lµ d1  VÏ trung trùc AC lµ d2 Khi đó, giao điểm d1 với d2 tâm đờng tròn 16 à Cách 2: Vẽ góc vuông BAC thuộc đờng tròn Khi đó, trung điểm BC tâm đờng tròn Nhận xét: Cách lời giải đà giải thích cho em học sinh hiểu nội dung mơc "Cã thĨ em cha biÕt tr 102 − Sgk" Ví dụ 4: Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định Điểm A di chuyển đờng tròn, D trung điểm BC Gọi M hình chiếu B đờng thẳng AD a Tìm tập hợp điểm M A di chuyển (O) b Tìm vị trí điểm A (O) để BM có độ dài lớn Hớng dẫn: Sử dụng tính chất M nhìn đoạn thẳng dới góc vuông A O Giải M a Ta có: B D ˆ BM ⊥ DM ⇔ BMD = 900 ⇔ M di chuyển đờng tròn có đờng kính BD, trừ điểm B b Ta có, đờng tròn có đờng kính BD BM BD (đờng kính dây lớn nhất) Do đó, BM có độ dài lớn BD, đạt đợc M D AD BC ABC cân A A giao điểm đờng tròn tâm O với đờng trung trùc cña BC   C NhËn xÐt: Trong lời giải b), để đợc vị trí cần tìm điểm A cho BM lớn đà bắt đầu bất đẳng thức: BM BD, BD độ dài không đổi BMmax = BD, đặt đợc M D vị trí A Nh vậy, lập luận dựa tính chất " Đờng kính dây cung lớn đờng tròn ", nhiên, muốn, cã thĨ lËp ln theo c¸ch kh¸c nh sau: BD2 = BM2 + DM2 ⇒ BMmax DMmin Tõ đó, suy BMmax = BD đặt đợc khi: DMmin = M D Mở rộng phơng pháp giải ví dụ thực đợc yêu cầu "Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, đờng chéo AC = 2cm Tìm quỹ tích ®iĨm D" ThËt vËy: Gäi O lµ giao ®iĨm cđa AC BD Phần thuận: Giả sử có điểm D cho ABCD hình bình hành 17 Ta có: B O1 OA = AC = 1cm ⇔ O (A, 1) B1 Giả sử (A, 1) cắt đờng thẳng AB O1 A O C O2 (cố định) Gọi B1 B2 theo thứ tự ®iĨm ®èi xøng víi B qua O vµ O2 Ta có O2 ngay: D O1ÔO2 = 90 , góc chắn nửa đờng tròn DB1 // OO1, tính chất ®êng trung b×nh DB2 // OO2, tÝnh chÊt ®êng trung b×nh suy ra: B2 ˆ B1DB2 = 900 ⇔ D thuộc đờng tròn đờng kính B1B2 Phần đảo: Lấy điểm D đờng tròn (B1B2), BD cắt (A, 1) O, lấy C đối xứng với A qua O Ta phải chứng minh ABCD hình bình hµnh cã AC = 2cm ThËt vËy, ta cã ngay: AC = 2AO = 2cm Mặt khác, dựa hình vẽ với nhận xét: O1ÔO2 = 900 B1DB2 = 900 ⇒ DB1 // OO1 Trong ∆BB1D, ta có: BO1 = B1O1 OO1 đờng trung b×nh ⇒ OB = OD   DB1 // OO1 Khi đó, tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng nên hình bình hành Dạng toán 3: Dựng đờng tròn Phơng pháp Để dựng đờng tròn ta cần biết tâm bán kính hÃy nhớ lại "Tâm đờng tròn ®i qua hai ®iĨm A vµ B cho tríc n»m đờng trung trực AB " Để trình bày lời giải toán dựng hình, ta cần thực hiên bốn phần: Phần tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O), từ suy vị trí tâm độ dài bán kính Cách dựng: Dựa vào kết bớc phân tích suy phÐp dùng h×nh  Chøng minh: Chøng minh đờng tròn đợc dựng bớc dựng hình thoả mÃn điều kiện đầu Biện luận: Số đờng tròn thoả mÃn điều kiện đầu 18 Ví dụ 1: a HÃy dựng đoạn thẳng AB = 6cm ba đờng tròn phân biệt nhận AB làm dây cung b Trong tất đờng tròn nhận AB làm dây cung đờng tròn có đờng kính nhỏ ? Giải thích ? Hớng dẫn: Sử dụng kết "Đờng tròn nhận AB làm dây cung tâm thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AB" Giải a Ta lần lợt thực hiện: Dựng đoạn thẳng AB = 6cm  Dùng trung trùc d cña AB Trên d lấy bốn điểm O1, O2, O3, I (I trung điểm AB) A Dựng bốn đờng tròn (O1, O1A), (O2, O2A), (O3, O3A) vµ (I, IA) b Gọi (O) đờng tròn nhận AB làm dây cung Vẽ đờng kính AC, ta có: AC AB với AB số Do ACmin = AB, đạt đợc C B Vậy, đờng tròn có đờng kính nhỏ đờng tròn đờng kính AB d I B VÝ dơ 2: Dùng mét ®êng tròn (O) có bán kính R cho trớc qua hai điểm A B cho trớc Hớng dẫn: Sử dụng lần lợt điều kiện: OA = R ⇒ O∈(A, R) OB = R ⇒ O∈(B, R) Giải Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O) thoả mÃn điều kiện đầu bài, ta có:  A∈ (O; R) ⇒ OA = R ⇒ O ∈ (A, R) B  B∈ (O; R) ⇒ OB = R ⇒ O ∈ (B, R) R VËy, t©m O giao hai đờng tròn (A, R) (B, R) O' O Cách dựng: Ta lần lợt: R Dựng đờng tròn (A, R) (B, R) gọi O giao A điểm hai đờng tròn Dựng đờng tròn (O; R) Chứng minh: Theo c¸ch dùng ta cã: OA = OB = R ⇒ A, B ∈ (O; R) BiÖn luËn: Sè nghiÖm hình toán phụ thuộc vào số giao điểm hai đờng tròn (A, R) (B, R), ta có: Nếu 2R > AB toán có hai nghiƯm h×nh 19   NÕu 2R = AB toán có nghiệm hình Nếu 2R < AB toán nghiệm hình Nếu 2R > AB NÕu 2R = AB R O A R B A R R O B NÕu 2R < AB A R R B O' VÝ dơ 3: (Bµi 8/tr 101 Sgk): Cho góc nhọn xAy hai điểm B, C thuộc tia Ax Dựng đờng tròn (O) qua B C cho tâm O nằm tia Ay Hớng dẫn: Việc xác định tâm sử dụng tơng giao hai đờng thẳng Giải Học sinh tự vẽ hình Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O) thoả mÃn điều kiện đầu bµi, ta cã:  B, C ∈ (O; R) ⇒ OB = OC = R ⇒ O thuéc trung trùc d cđa BC  Theo gi¶i thiÕt O ∈ Ay Vậy, tâm O giao d với Ay Cách dựng: Ta lần lợt: Dựng trung trực d BC Xác định giao điểm O d với Ay Dựng đờng tròn (O; OB) Chứng minh: Theo c¸ch dùng ta cã: O ∈ Ay; OB = OC = R ⇒ B, C ∈ (O; OB) BiÖn luËn: toán có nghiệm hình Ví dụ 4: Dựng đờng tròn (O) qua hai điểm A B cho trớc có tâm đờng thẳng d cho trớc (A, B không thuộc d) Giải Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O) thoả mÃn điều kiện đầu Ta có: a A, B(O) O nằm đờng trung trực a AB Vậy, tâm O giao a d Cách đựng: Ta lần lợt: Dựng đờng trung trực a AB d cắt a O Dựng đờng tròn (O , OA) 20 O d A B Chøng minh: Ta thÊy (O, OA) tho¶ m·n điều kiện đầu Biện luận: Vì với hai đờng thẳng d a ta có ba trờng hợp vị trí tơng đối nên: Nếu a d d trung trực AB toán có vô số nghiệm hình Nếu a // d AB d (d không ttrung trực AB) toán vô nghiệm Nếu a cắt d toán có nghiệm hình Nếu d trung trực Nếu AB d không Nếu AB không vuông AB góc với d trung trùc cña AB a a d O A a O B A B d A B d bµi tËp lần Bài 1: Cho ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh điểm B, M, P, C thuộc đờng tròn Bài 2: Cho ABC cân A, đờng cao AH = 3cm, BC = 4cm Đờng vuông góc với AC C cắt đờng thẳng AH D a Chứng minh ®iĨm B, C thc ®êng trßn ®êng kÝnh AD b Tính độ dài AD Bài 3: Cho tứ gi¸c ABCD cã C + D = 900 Gäi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm cđa AB, BD, DC vµ CA Chøng minh r»ng ®iĨm M, N, P, Q cïng n»m trªn mét ®êng tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC BD vuông góc với Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD DA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đờng tròn µ µ Bµi 5: Cho tø gi¸c ABCD cã A = C = 900 a Chøng minh r»ng đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn b Chøng minh r»ng AC ≤ BD Tø gi¸c ABCD cã thêm điều kiện để BD = AC Bài 6: Cho đờng tròn (O, R), điểm A cố định đờng tròn, điểm B di chuyển đờng tròn Tìm quỹ tích trung điểm M AB Bài 7: Cho đờng tròn (O, R) Hai điểm A, B di chuyển đờng tròn cho độ dài AB = 2l không đổi (l < R) Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn AB Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, đờng chéo AC = 2cm Tìm quỹ tích điểm D Bài 9: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính BC Điểm A di động (O), gọi P, Q theo thứ tự trung điểm AB AC a Chứng minh PQ có độ dài không đổi A di động (O) b Tìm quỹ tích trung điểm M cđa PQ 21 Bµi 10: Cho ∆ABC cã ba gãc nhọn, đờng cao AD Dựng điểm M thuộc đờng thẳng ˆ AD cho BMC = 900 Bµi 11: Cho đờng thẳng d điểm A cách đờng thẳng d 1cm Dựng đờng tròn (O) có bán kính 1,5cm qua A có tâm nằm đờng thẳng d Bài 12: Dựng đờng tròn (O) qua hai điểm A B cho trớc có tâm đờng thẳng d cho trớc (A, B không thuộc d) Bài 13: Cho năm điểm A, B, C, D, E BiÕt r»ng qua ®iĨm A, B, C, D vẽ đợc đờng tròn, qua bốn điểm B, C, D, E vẽ đợc đờng tròn Hỏi qua năm điểm A, B, C, D, E vẽ đợc đờng tròn không ? Giáo án điện tử giảng giá: 1050.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 22 ... định đờng tròn Tính chất đối xứng đờng tròn Đờng kính dây đờng tròn Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn Tính chất hai... < OKH cách xác định đờng tròn Theo định nghĩa đờng tròn hoàn toàn đợc xác định biết tâm bán kính đờng tròn đó, biết đoạn thẳng đờng kính đờng tròn Thí dụ 2: HÃy xác định tâm O đờng tròn, biết... đờng tròn Nếu OM > R M nằm đờng tròn O R M M O R M M cách xác định đờng tròn Theo định nghĩa đờng tròn hoàn toàn đợc xác định biết tâm bán kính, với câu hỏi " HÃy xác định tâm O đờng tròn,