Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG §3 Đường thẳng song song với mặt phẳng Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 chđ ®Ị đờng thẳng song song với mặt phẳng A Tóm tắt lí thuyết Vị trí tơng đối đờng thẳng mặt phẳng Cho đờng thẳng a mặt phẳng (P) Căn vào số điểm chung đờng thẳng mặt phẳng ta có ba trờng hợp sau: a Đờng thẳng a mặt phẳng (P) ®iĨm chung, tøc lµ: a (P) = a // (P) b Đờng thẳng a mặt phẳng (P) có điểm chung, tức là: a (P) = {A} A} } a cắt (P) A} c Đờng thẳng a mặt phẳng (P) có điểm chung phân biệt, tức là: a (P) = {A} A} , B} } a (P) a a A} A} a B} P P P a(P) = a // (P) a(P) = {A} A} } a c¾t (P) a(P)={A} A} , B} } a(P) Định nghĩa: Một đờng thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung điều kiện để đờng thẳng song song với mặt phẳng Định lí 1: Nếu đờng thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đờng thẳng (P) a song song với (P) Tức là, với a (P) th× nÕu: a // d (P) a // (P) a d P tÝnh chÊt Định lí 2: Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song víi a Q Tøc lµ, nÕu: a //( P ) a // d a (Q ) ( P ) d a HƯ qu¶ 1: Nếu đờng thẳng song song với mặt phẳng P nódsong song với đờng thẳng mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đờng thẳng giao tun (nÕu cã) cđa chóng song song víi ®êng thẳng Tức là: Q d // a Định lí 3: Nếu a b hai đờng thẳng chéo qua a dcó a mặt phẳng song song với b ( P ) ( Q ) ( P ) / / a ( Q ) // a d P B phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng Phơng pháp áp dụng Để chứng minh đờng thẳng d song song với mặt phẳng (P) ta chứng minh d không nằm (P) song song với đờng thẳng a chứa (P) Chú ý: Nếu a sẵn ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d nhËn a lµm giao tun cđa (P) vµ (Q) Cho tứ diện A} B} CD Gọi G trọng tâm A} B} D M điểm cạnh B} C cho MB} = 2MC Chøng minh MG song song với mặt phẳng (A} CD) C Giải M Gọi N trung điểm A} D, đó: VÝ dô 1: B} G = = B} M GN MC B} A} MG // CN (A} CD) G MG // (A} CD) N VÝ dô 2: Cho hai hình bình hành A} B} CD A} B} EF không nằm D mặt phẳng a Gọi O O lần lợt tâm cđa A} B} CD vµ A} B} EF Chøng minh OO song song với mặt phẳng (A} DF) (B} CE) b M, N theo thø tù lµ träng tâm tam giác A} B} D A} B} F Chøng minh MN song song víi (CDEF) Giải a Trong B} DF có OO' đờng trung bình nên: E OO' // DF (A} DF) OO' // (A} DF) E Trong A} CE cã OO' đờng trung bình nên: F OO' // CE (B} CE) OO' // (B} CE) b Gäi I trung điểm A} B} , ta có: O N ' IM IN ID IE I C B} O M A} D VÝ dô 3: Cho tø diƯn A} B} CD Gäi G1 vµ G2 theo thứ tự trọng tâm A} B} D A} CD Chứng minh G1G2 song song với mặt phẳng (A} B} C) (B} CD) Giải Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi M, N, I, K theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa A} B} , A} C, CD, B} D A} Trong A} B} D, ta cã ngay: DG1 A} G vµ N M A} K DM Trong A} CD, ta cã ngay: G G2 B} C MN // DF (CEF) MN // (CEF) K I D DG 2 A} G 2 A} I DN Từ đó, ta lần lợt có: A} G1 A} G 2 = G1G2 // KI (B} CD) G1G2 // (B} CD) A} K A} I DG DG 2 = G1G2 // MN (A} B} C) G1G2 // (A} B} C) DN DM Cách 2: Gọi E trung điểm A} D A} Trong A} B} D, ta cã ngay: B} G1 E G1 B} E Trong A} CD, ta cã ngay: B} G2 CG 2 CE Tõ ®ã, ta cã: C CG 2 B} G = G1G2 // B} C B} E CE V× B} C thuộc (B} CD) (A} B} C) nên G1G2 // (B} CD) vµ G1G2 // (A} B} C) VÝ dơ 4: D Cho chóp S.A} B} CD có đáy A} B} CD hình bình hành Gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh A} B} , CD Gọi P trung điểm SA} a Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SB} C) vµ (SA} D) b Chøng minh r»ng SB} song song víi (MNP) c Chøng minh r»ng SC song song víi (MNP) d Gäi G1 vµ G2 theo thø tù lµ trọng tâm A} B} C SB} C Chứng minh G1G2 song song víi (SA} D) Gi¶i a Trong hình bình hành A} B} CD, ta có MN ®êng trung b×nh, ®ã: MN // B} C (SB} C) MN // (SB} C) S MN // A} D (SA} D) MN // (SA} D) b Trong SA} B} , ta có MP đờng trung bình, đó: Q SB} // MP (MNP) SB} // (MNP) P D N C c Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: x C¸ch 1: Ta cã: O A} KxM// A} D B} // MN vµ A} D ( SA} D ) A} D // MN ( SA} D ) ( MN P ) MN ( MN P ) Px Giả sử Px cắt SD Q, suy Q trung điểm SD Trong SCD, ta có NQ đờng trung bình, ®ã: SC // NQ (MNP) SC // (MNP) Cách 2: Gọi O trung điểm MN, suy O trung điểm A} C Trong SA} C, ta có OP đờng trung bình, đó: SC // OP (MNP) SC // (MNP) d Gäi K trung điểm SB} Ta có: CG1 CG 2 vµ CK CM G1G2 // MK (1) Mặt khác, SA} B} , ta có MK đờng trung bình, đó: MK // SA} (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: G1G2 // SA} (SA} D) G1G2 // (SA} D) VÝ dô 5: S KG D G2 A} C B} M Cho tø diÖn A} B} CD Gọi I, J hai điểm di động lần lợt cạnh A} D, B} C cho cã IA} JB} ID JC a Chøng minh IJ song song với mặt phẳng cố định b Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tØ sè k cho tríc (tøc ®iĨm M tho¶ IM k MJ) Gi¶i a Dùng JH // A} B} , H A} C NhËn xÐt r»ng: HA} JB} IA} = HI // CD HC JC ID A} (1) I F (2) B} H P M K D Q E Gäi mặt phẳng chứa A} B} song song với J CD, suy mặt phẳng cố định (HIJ) // b Giải sử (HIJ) cắt B} D K, dễ thấy HIKJ hình bình hành.CQua M kỴ PQ song song víi A} B} (P HI vµ Q JK) Ta cã: A} P B} Q = E vµ EM A} B} = F NhËn xÐt r»ng: ED PI MI = k E điểm chia CD theo tỉ số k EC PH MJ FA} MP MI = k F điểm chia A} B} theo tỉ số k FB} MQ MJ Vậy, tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k đoạn EF với E, F lần l ợt điểm chia CD A} B} theo tỉ số k Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện song song với đờng thẳng cho trớc Phơng pháp áp dụng Tìm phơng giao tuyến định lí định lí Từ xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với hai đờng thẳng cho trớc theo phơng pháp đà biết Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) hai đờng thẳng song song a, b Chứng tỏ (P) cắt a (P) cắt b Giải Vì a song song với b nên a b đồng phẳng Giả sử: a (P) = {A} M} (a, b) (P) = Mx Trong mặt phẳng (a, b) a song song với b a cắt Mx M nên b cắt Mx N Vậy, ta đợc b (P) = {A} N} NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trên, đà sử dụng kết tính chất thừa nhận (Trong mặt phẳng, kết đà biết hình học phẳng đúng), cụ thể "Trong mặt phẳng cho a // b c c¾t a cịng sÏ c¾t b" VÝ dơ 2: (B} ài 28/tr 60 Sgk): Cho hình chóp S.A} B} CD có đáy hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua trung điểm M cạnh A} B} , song song với B} D SA} Giải S Thiết diện đợc xác cách: Trong mặt phẳng (A} B} CD) kỴ Mx song song víi Q R B} D, Mx cắt A} C A} D theo thứ tự I N P Trong mặt phẳng (SA} B} ) kẻ My song song với SA} , My cắt SB} R A} M B} N Trong mặt phẳng (SA} C) kẻ Iz song song với I O SA} , Iz cắt SC Q D C Trong mặt phẳng (SA} D) kẻ Nt song song với SA} , Nt cắt SD P Khi đó, ngũ giác MNPQR thiết diện cần dựng VÝ dơ 3: (B} µi 26/tr 59 Sgk): Cho tứ diện A} B} CD Có thể hay không cắt tứ diện mặt phẳng để: a Thiết diện hình thang ? b Thiết diện hình bình hành ? c Thiết diện hình thoi ? Giải a Thiết diện hình thang, cụ thể mặt phẳng chứa MN (với M A} B} vµ N A} C) vµ song song víi A} D A} Khi đó, thiết diện đợc xác định nh sau: Trong (A} B} D) kỴ Mx song song với A} D cắt M N B} D F Trong (A} CD) kẻ Ny song song với A} D cắt B} C B} D F Tõ ®ã, suy ra: E F NE // MF MNEF hình thang b Thiết diện hình bình hành, cụ thể mặt phẳng D M (víi M A} B} ) song song với A} D B} C Khi đó, thiết diện đợc xác định nh sau: A} Trong (A} B} C) kẻ Mt song song với B} C cắt A} C t¹i N N M Trong (A} B} D) kẻ Mx song song với A} D cắt B} D t¹i F B} C F E D Trong (A} CD) kỴ Ny song song víi A} D cắt CD E Khi đó, từ cách dựng ta suy MF // NE (1) Mặt khác, ba mặt phẳng (MNEF), (A} B} C) (B} CD) cắt theo ba giao tuyÕn MN, B} C, EF vµ MN // B} C nªn MN // EF (2) Tõ (1) (2) suy thiết diện MNEF hình bình hành c Thiết diện hình thoi, cụ thể với thiết diện đợc dựng nh câu b) Khi đó, để MNEF hình thoi điều kiện lµ: MN = MF (*) Ta cã: MN A} M A} M.B} C = MN = B} C A} B} A} B} MF B} M A} D.B} M = MF = A} D A} B} A} B} (3) (4) Khi ®ã, ®iỊu kiƯn (*) trë thµnh: A} M.B} C A} D.B} M A} M A} D = = A} B} A} B} B} M B} C Vậy, mặt phẳng (P) qua điểm M (víi M A} B} cho A} M A} D = ) song B} M B} C song với A} D B} C cắt tứ diện theo thiết diện hình thoi Ví dụ 4: Cho hình chóp S.A} B} CD đáy A} B} CD hình thang có đáy lớn B} C = 2a, A} D = a, A} B} = b Mặt bên SA} D tam giác mặt phẳng qua điểm M cạnh A} B} song song với SA} B} C, cắt CD, SC, S B} lần lợt N, P, Q a Chứng minh MNPQ hình thang cân b Tính diện tích thiết diƯn theo a, b vµ x = A} M, (0 < x < b) Tính giá trị lớn diện tích Giải a Ta lần lợt có: MQ // SA} MN // PQ // B} C S NhËn xÐt r»ng: MQ B} M B} Q CN CP NP Q P = = = SA} // SA} ( SA} B} ) MQ ( SA} B} ) B} C // MN ( A} B} CD ) PQ ( SB} C) SA} B} A} B} S CD CS SD SA} SD MQ = NP VËy, thiết diện MNPQ hình thang cân b Giả sử A} B} cắt CD I, ta có: A} D B} C M A} B} C A} D đờng trung bình IB} C // N D I MN IM = IA} A} M = b x MN = a( b x) B} C IB} IA} A} B} 2b b ®ã IA} = A} B} = b vµ: Trong SB} C, ta cã: Q P PQ SQ A} M x 2ax PQ = B} C SB} A} B} b b Trong SA} B} , ta cã: a(b x) MQ B} M b x = MQ = SA} A} B} b b N < XÐt h×nh thang cân MNPQ, hạ đờng cao QH, ta có: MN PQ MQ 3a ( b x) 2b QH = MQ MH SMNPQ = (MN + PQ).QH = 3a (b + 3x)(b x) 4b Ta biÕn ®ỉi: = M H = 2 3a 4b x b 3a b = a 3 4b 4b b a2 b Vậy (SMNPQ)Max = , đạt đợc x =0x= 3 SMNPQ = VÝ dơ 5: Cho h×nh chãp S.A} B} C Gäi K N lần lợt trung điểm SA} B} C, M điểm nằm S C a Chứng minh mặt phẳng qua K, song song với A} B} SC qua điểm N b Xác định thiết diện hình chóp S.A} B} C cắt mặt phẳng (KMN) Chứng tỏ KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích Giải a Gọi (P) mặt phẳng qua K, song song với A} B} SC, ta có: Mặt phẳng (Q) chứa A} B} song song với SC Mặt phẳng (R) chứa SC song song với A} B} Khi đó, ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với chắn hai cắt tuyến B} C SA} đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ, cụ thể: B} N CN B} C B} N A} K =1 A} K SK A} S CN SK B} N = CN N trung điểm B} C b Ta xÐt hai trêng hỵp: Trêng hỵp 1: Nếu M trung điểm SC thiết diện hình bình hành MNPK với P trung điểm A} B} Và hiển nhiên KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích Trờng hợp 2: Nếu M không trùng với trung điểm SC ta thực hiện: Nối KM cắt A} C D Nối ND cắt A} B} P Khi đó, tứ giác MNPK thiết diện cần dùng Goi {A} O} = KN MP, nhËn xÐt r»ng: S K M A} C P N B} S K M A} C O P N B} D d(M, (P)) = d(S, (P)), d(P, (P)) = d(A} , (P)), d(S, (P)) = d(A} , (P)), suy ra: d(P, (P)) = d(M, (P)) OP = OM ®ã KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích Bài tập tự giải Bài tập Cho hai đờng thẳng phân biệt a, b mặt phẳng a Giả sử a // b b // , kết luận vị trí tơng ®èi cđa a víi b Gi¶ sư a // b // , kết luận vị trí tơng đối a với b Bài tập Giả sử đờng thẳng a song song với mặt phẳng (P) HÃy nêu phơng pháp để xác định đợc đờng thẳng b thuộc (P) song song víi a Bµi tËp Cho tø diƯn A} B} CD gọi O, O lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác A} B} C A} B} D Chứng minh rằng: a Điều kiện cần ®đ ®Ĩ OO’ song song víi (B} CD) lµ: B} C A} B} A} C B} D A} B} A} D b Điều kiện cần đủ để OO song song với mặt phẳng (B} CD) vµ (A} CD) lµ B} C = B} D vµ A} C = A} D Bµi tËp Cho hình chóp S.A} B} CD, đáy A} B} CD hình bình hành tâm O M điểm di động SC, mặt phẳng qua A} M vµ song song víi B} D a Chøng minh chứa đờng thẳng cố định b Tìm giao điểm H K a với SB} , SD Chứng minh SB} SD SC có giá trị không đổi SH SK SM c Thiết diện hình chóp với hình thang đợc không? Bài tập Cho hình chóp S.A} B} CD có đáy tứ giác lồi, O giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo A} C vµ B} C Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua O, song song với A} B} SC Hỏi thiết diện hình ? Bài tËp Cho h×nh chãp S.A} B} CD M, N hai điểm SB} CD mặt phẳng qua MN song song với SC a Tìm giao tuyến với mặt phẳng (SB} C), (SCD) (SA} C) b Xác định thiết diện S.A} B} CD với mặt phẳng Bài tập Cho tứ diện A} B} CD Gọi E điểm nằm A} B} C Mặt phẳng qua E song song với đờng thẳng A} C B} D Xác định thiết diện A} B} CD với mặt phẳng Thiết diện hình ? Bài tập Cho hình chóp S.A} B} CD, đáy A} B} CD hình bình hành tâm O M trung điểm SB} Xác định thiết diện hình chóp S.A} B} CD cắt mặt phẳng trờng hợp sau: a qua M vµ song song víi SO vµ A} D b qua O vµ song song víi A} M SC Bài tập Cho tứ diện A} B} CD cạnh a M P điểm di động cạnh A} D B} C, cho A} M = CP = x, (0 < x < a) Một mặt phẳng qua MP song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét thiÕt diện a Chứng minh thiết diện thông thờng hình thang c©n b TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo a x Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhÊt Bµi tËp 10 Cho tø diƯn A} B} CD cã A} B} = CD = a, B} C = A} D = b, A} C = B} D = c (a > b > c) Một mặt phẳng song song với A} B} CD, cắt tứ diện theo mét thiÕt diƯn cã chu vi p vµ diƯn tích s a Định để p lớn nhất, nhỏ b Định để s lớn Tính diện tÝch Êy 10 Giáo án điện tử giảng giá: 600.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 11 ... Nếu đờng thẳng song song với mặt phẳng P nódsong song với đờng thẳng mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đờng thẳng giao tuyến (nếu có) chúng song song với đờng thẳng Tức... đờng thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung điều kiện để đờng thẳng song song với mặt phẳng Định lí 1: Nếu đờng thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đờng thẳng ®ã (P) th× a song. .. (P) mặt phẳng qua K, song song với A} B} SC, ta có: Mặt phẳng (Q) chứa A} B} song song với SC Mặt phẳng (R) chøa SC vµ song song víi A} B} Khi đó, ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với chắn