Chủ đề: Phương trình mặt phẳng (Hình học 12 - Chương III)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §2 Phương trình mặt phẳng Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 chđ đề P hơng trình mặt phẳng A Tóm tắt lí thuyết Phơng trình mặt phẳng Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0; y0; z0) vµ cã r vtpt n (A; B; C) có phơng trình: (P): A(x x0) + B(y y0) + C(z − z0) = VËy, ta cã: Qua M (x ;y ;z )  r (P):  ⇔ (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) =  vtpt n(A;B;C) Phơng trình tổng quát mặt phẳng: Mặt phẳng (P) không gian Oxyz có phơng trình tỉng qu¸t: (P): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > (1) r Khi đó, nhận vectơ n (A; B; C) làm vtpt Các trờng hợp riêng Nếu D = 0, mặt phẳng (P) qua gốc täa ®é NÕu A = 0, B ≠ 0, C 0, mặt phẳng (P): By + Cz + D = chøa hc song song víi trơc Ox Tơng tự: Mặt phẳng (P): Ax + Cz + D = chøa hc song song víi trơc Oy Mặt phẳng (P): Ax + By + D = chøa hc song song víi trơc Oz NÕu A = 0, B = 0, C ≠ 0, mỈt phẳng (P): Cz + D = chứa song song với trục Ox Oy nên song song trùng với mặt phẳng xOy Tơng tự: Mặt phẳng (P): Ax + D = song song trùng với mặt phẳng yOz Mặt phẳng (P): By + D = song song hc trïng víi mỈt phẳng xOz Đặc biệt, phơng trình x = 0, y = 0, z = theo thø tù lµ phơng trình mặt phẳng tọa độ yOz, xOz, xOy NÕu A ≠ 0, B ≠ 0, C 0, D cách đặt: D D D x y z a = − , b = − , c = − ⇒ (P): + + = (2) A B C a b c Ph¬ng trình (2) gọi phơng trình đoạn chắn mặt phẳng (P) Mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz lần lợt điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) VËy, ta cã: Qua A(a;0;0)  x y z (P): Qua B(0;b;0) ⇔ (P): + + = a b c Qua C(0;0;c)  Vị trí tơng đối hai mặt phẳng Với hai mặt phẳng (P1) (P2) có phơng trình: 2 (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, ®iỊu kiƯn A1 + B1 + C1 > 0, 2 (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, ®iỊu kiƯn A1 + B1 + C1 > 0, r r vectơ n1 (A1; B1; C1), n (A2; B2; C2) theo thø tù vtpt (P1) (P2), đó: a Nếu A1 B1 C1 D1 = = = th× (P1) ≡ (P2) A2 B2 C2 D2 b NÕu A1 B1 C1 D1 = = ≠ th× (P1) // (P2) A2 B2 C2 D2 c NÕu A1: B1: C1 ≠ A2: B2: C2 (P1) (P2) = {(d)} khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M(xM; yM; zM) mặt phẳng (P) có phơng trình: (P): Ax + By + Cz + D = Kho¶ng cách từ M đến (P) đợc tính công thức: d(M, (P)) = Ax M + By M + Cz M + D A2 + B + C B phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Phơng trình mặt phẳng Phơng trình: Ax + By + Cz + D = phơng trình mặt phẳng A2 + B2 + C2 > Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thờng có thêm câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Chứng minh họ mặt phẳng (Pm) qua điểm cố định Câu hỏi 2: Cho điểm M cã tÝnh chÊt K, biƯn ln theo vÞ trÝ M số mặt phẳng họ (Pm) qua M Câu hỏi 3: Chứng minh họ mặt phẳng (P m) chứa đờng thẳng cố định Ví dụ 1: Cho phơng trình: (m2 + m)x + (m2 − m)y + (m2 + 1)z − 3m2 − = (1) a Chøng minh r»ng víi mäi m phơng trình (1) phơng trình mặt phẳng, gọi họ (Pm) b Tìm điểm cố định mà họ (Pm) qua Giải a Vì hƯ sè cđa z b»ng m2 + ≠ với m, phơng trình đà cho phơng trình mặt phẳng b Giả sử M(x0, y0, z0) điểm cố định mà họ (Pm) ®i qua ⇔ (m2 + m)x0 + (m2 − m)y0 + (m2 + 1)z0 − 3m2 − = 0, ∀m ⇔ m2(x0 + y0 + z0 − 3) + m(x0 − y0) + z0 − = 0, ∀m x + y + z − = x =   ⇔ x − y = ⇔ y = z − = z = Vậy, họ (Pm) qua ®iĨm cè ®Þnh M(1; 1; 1)  NhËn xÐt: Nh vậy, để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (P m) qua ta thực theo bớc: Bớc 1: Giả sử M(x0; y0; z0) điểm cố định họ (P m), đó: Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m Bíc 2: Nhãm theo bËc cđa m råi cho c¸c hƯ sè 0, từ nhận đợc (x0; y0; z0) Bớc 3: Kết luận Ví dụ 2: Cho phơng trình: (m + 1)3x − y + m3z − m(m + 1) = (1) a Chøng minh r»ng víi mäi m phơng trình (1) phơng trình mặt phẳng, gọi họ (Pm) b Giả sử (Pm) với m 0, cắt trục toạ độ A, B, C Chøng minh r»ng thĨ tÝch tø diƯn OABC có giá trị không phụ thuộc m Giải a V× hƯ sè cđa y b»ng −1víi mäi m, phơng trình đà cho phơng trình mặt phẳng b Ta có toạ độ ®iĨm A, B, C lµ: m +1  m   A ; 0; ÷ , B(0; −m(m + 1); 0), C  0; 0; m2 ÷    (m + 1)  Khi ®ã, thể tích tứ diện OABC đợc cho bởi: VOABC = VÝ dô 3: m +1 m 1 OA.OB.OC = = |−m(m + 1)| m 6 ( m + 1) Cho hä mỈt phẳng (Pa,b,c) có phơng trình: (Pa,b,c): bcx + cay + abz − abc = 0, víi a, b, c > vµ 1 + + = Chøng minh r»ng a, b, c a b c thay đổi họ mặt phẳng (Pa,b,c) qua điểm cố định Tìm điểm cố định Giải Viết lại phơng trình (Pa,b,c) dới dạng: x y z (Pa,b,c): + + =1 a b c 1 theo giải thiết + + = 1, suy ®iÓm M(1; 1; 1) ∈ (Pa,b,c) a b c VËy, mặt phẳng (Pa,b,c) qua điểm cố định M(1; 1; 1) Ví dụ 4: Cho họ mặt phẳng (Pa,b,c) có phơng trình: (Pa,b,c): ax + by + cz = 0, víi a, b, c > vµ 1 + + = T×m a, b, c để (Pa,b,c) cắt a 2b 3c trục toạ ®é t¹i A, B, C cho tø diƯn OABC cã thĨ tÝch lín nhÊt  Gi¶i Ta cã toạ độ điểm A, B, C là: 1 A( ; 0; 0), B(0; ; 0), C(0; 0; ) a b c Khi ®ã, thĨ tÝch tø diện OABC đợc cho bởi: 1 1 1 1 VOABC = OA.OB.OC = = 6 a b c a 2b 3c 1 + + ữ Côsi  a 2b 3c = ÷ ≤  ữ Vậy, ta đợc (VOABC)Max = 1, đạt đợc khi: 1 a = 2b = 3c 1  ⇔ a = 1, b = vµ c =  1 + + =  a 2b 3c Vấn đề 2: Lập phơng trình mặt phẳng Để lập phơng trình mặt phẳng (P) ta lựa chän mét c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo bớc: Bớc 1: Xác định điểm M0(x0; y0; z0) (P) r Xác định vtpt n (n1; n2; n3) cđa (P) Bíc 2: Khi ®ã:  qua M (x ;y ;z )  r (P):   vtpt n(n1 ; n ; n )  ⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) = C¸ch 2: Sử dụng phơng pháp quỹ tích Chú ý: Chúng ta có kết quả: Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0; y0; z0), có dạng: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = r Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3), có dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D = Để xác định (P), ta cần xác định D Mặt phẳng (P) song song víi (Q): Ax + By + Cz + D = 0, có dạng: (P): Ax + By + Cz + E = Để xác định (P), ta cần xác định E Phơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn, mặt phẳng (P) ®i qua ba ®iĨm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phơng trình: (P): x y z + + = a b c Víi phơng trình mặt phẳng (P) qua ba điểm không thẳng hàng M, N, P lựa chän mét hai c¸ch sau: r C¸ch 1: Gäi n vtpt mặt phẳng (P), ta có: uu r u ur u ur u u u u ur  n ⊥ MN r  u u ⇔ n =  MN, MP  ur r  n MP Khi đó, phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi: qua M r (P):   vtpt n  C¸ch 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phơng trình: Ax + By + Cz + D = 0, (1) 2 víi A + B + C > V× M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ ba phơng trình với bốn ẩn A, B, C, D Biểu diễn ba ẩn theo ẩn lại, thay vào (1) nhận đợc phơng trình mặt phẳng (P) Ví dụ 1: Viết phơng trình mặt phẳng (P), biết: r a (P) qua điểm A(3; 2; 1) vµ cã vtpt n (2; 1; −3) b (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB víi A(1; 2; 3) vµ B(3; −2; 5) r r c (P) qua điểm B(1; 2; 1) có cỈp vtcp a (1; −1, 1), b (1; −3; 2) Gi¶i a Ta cã thĨ lùa chän mét hai cách: Cách (Sử dụng công thức): Mặt phẳng (P) ®ỵc cho bëi: qua A(3;2;1)  r (P):  ⇔ (P): 2(x − 3) + (y − 2) − 3(z − 1) =  vtpt n(2;1; − 3)  ⇔ (P): 2x + y − 3z − = Cách (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (P) khi: u ur r uu u ur r uu r AM ⊥ n ⇔ AM ⊥ n ⇔ AM.n = 2(x − 3) + (y − 2) − 3(z − 1) = ⇔ 2x + y − 3z − = Đó phơng trình mặt phẳng (P) cần t×m b Ta cã thĨ lùa chän mét hai cách: Cách (Sử dụng công thức): Gọi I trung điểm đoạn AB, suy I(2; 0; 4) Khi đó, mặt phẳng (P) đợc cho bởi: qua I(2;0; 4) qua I  uu ur (P):  ⇔ (P):   vtpt AB(2; − 4; 2) chän (1; − 2; 1) (P) ⊥ AB  ⇔ (P): (x − 2) − 2y + (z − 4) = ⇔ (P): x − 2y + z − = Cách (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (P) khi: AM = BM ⇔ AM2 = BM2 ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z − 5)2 ⇔ x − 2y + z − = §ã phơng trình mặt phẳng (P) cần tìm r c Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta cã: r r n ⊥ a  −1 1 1 −1   r r r ; ; r r ⇔ n = [ a , b ] =  ÷ = (1; −1; −2) n ⊥ b  −3 2 1 −3   MỈt phẳng (P) đợc cho bởi: qua B(1;2;1) r (P):  ⇔ (P): (x + 1) − (y − 2) − 2(z − 1) =  vtpt n(1; − 1; − 2)  ⇔ (P): x − y − 2z + = VÝ dơ 2:  (Bµi 15.a 15.b/tr 89 Sgk): Viết phơng trình mặt phẳng trờng hợp sau: a Đi qua ba ®iÓm A(2; 0; −1), B(1; −2; 3), C(0; 1; 2) b Đi qua hai điểm A(1; 1; 1), B(5; 2; 1) song song với trục Oz Giải a Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch: r C¸ch 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta ®ỵc: uu uu ur ur r r n =  AB, AC  = (−10; −5; −5) chän n (2; 1; 1) Khi phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi: qua A(2;0; 1) (P):  ⇔ (P): 2(x − 2) + 1.(y − 0) + 1.(z + 1) = r  vtpt n(2;1;1) ⇔ (P): 2x + y + z − = Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phơng tr×nh: (P): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > V× A, B, C thuộc (P), ta đợc: 2A C + D =  A = 2B    A − 2B + 3C + D = ⇔ C = B  B + 2C + D =  D = −3B   Thay A, B, C vào (1), ta đợc: (P): 2Bx + By + Bz − 3B = ⇔ (P): 2x + y + z − = r b Gäi n lµ vtpt cđa (P), ta cã: (1) ur r uu  n ⊥ AB(4;1;2) uu r ur  r ⇔ n = [ AB , k ] = (1; −4; 0) r r  n ⊥ k(0;0;1) Mặt phẳng (P) đợc cho bởi: qua A(1;1; − 1) (P):  ⇔ (P): x − 4y + = r  vtpt n(1; − 4;0) VÝ dơ 3: (Bµi 15.c, 15.d vµ 15.e/tr 89 − Sgk): Viết phơng trình mặt phẳng trờng hợp sau: a Đi qua điểm C(3; 2; 1) song song với mặt phẳng (Q) có phơng trình x 5y + z = b Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; 2) vuông góc với mặt ph¼ng (Q): x − y + z + = c Đi qua điểm M(a; b; c) (abc 0) song song với mặt phẳng tọa độ  Gi¶i a Ta cã thĨ lùa chän mét hai cách: Cách 1: Mặt phẳng (P) đợc cho bởi:  qua C (P):  ⇔ (P): (P) //(Q)  qua C(3;2; − 1)  ur u   vtpt n Q (1; − 5;1)  ⇔ (P): (x − 3) − 5(y − 2) + (z + 1) = ⇔ (P): x − 5y + z + = Cách 2: Ta lần lợt sử dụng giả thiÕt: (P) song song víi (Q): x − 5y + z = nên có phơng trình: (P): x 5y + z + D =  §iĨm C thuéc (P), suy ra: − 5.2 − + D = D = Vậy, phơng trình mặt phẳng (P): x 5y + z + = u ur u r ur b Gäi n , n Q theo thø tù lµ vtpt cđa (P) (Q), ta đợc n Q (1; 1; 1) Ta cã: ur r uu  n ⊥ AB( −1; − 1;1) u u ur ur u  r r u ⇔ n = [ AB , n Q ] = (0; 2; 2) chän n (0; 1; 1)  r ur  n ⊥ n Q (1; − 1;1) Mặt phẳng (P) đợc cho bởi: qua A(0;1;1) (P):  ⇔ (P): y + z − = r vtpt n(0;1;1) c Ta lần lợt:    10 (P1) song song víi (Oxy) vµ qua điểm M(a; b; c) nênn có phơng trình: (P1): z − c = (P2) song song víi (Oyz) qua điểm M(a; b; c) nênn có phơng trình: (P2): x a = (P3) song song với (Oxz) qua điểm M(a; b; c) nênn có phơng trình: (P3): y b =  2a + 2b + − a  ÷ ⇔ a + a + (3 − a) − (2a − 1) = +    (I) 2 a = ⇔ a2 − 5a + = ⇔  a = Khi ®ã:  Víi a = 1, ta đợc b = 1, c = d = 1, suy ra: (S1): x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 4z + =  Với a = 4, ta đợc b = 4, c = −1 vµ d = 7, suy ra: (S2): x2 + y2 + z2 − 8x − 8y + 2z + = Vậy, tồn hai mặt cầu (S1) (S2) thoả mÃn điều kiện đầu Cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phơng trình: (S): (x − 5)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 37, (P): 2x + y + 2z − = Chøng tá r»ng (P) c¾t (S) theo giao tuyến đờng tròn (C) Xác định toạ độ tâm bán kính (C) Lập phơng trình mặt cầu chứa đờng tròn (C) và: a Có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x + y + z + = b Đi qua điểm A(4; 2; 2) c Tiếp xúc với mặt phẳng (R): 3x + y − = VÝ dô 15: Giải Mặt cầu (S) có tâm I(5; 3; 3) bán kính R = 37 Ta có: | 2.5 + + 2.3 − | d = d(I, (P)) = =6 Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: 2B + C = d(M, (P)) = ⇔ 4(B2 + C2) = (2B + C)2 B2 + C2 3C ⇔ 4BC − 3C2 = ⇔ C = hc B = Khi ®ã:  Víi C = 0, thay vµo (1) ta ®ỵc (P1): By = ⇔ (P1): y = 3C  Víi B = , thay vµo (1) ta ®ỵc: (1) 53 3C y + Cz = ⇔ (P2): 3y + 4z = VËy, tån hai mặt phẳng (P1) (P2) thoả mÃn điều kiện đầu b Mặt phẳng (Q) qua hai ®iÓm A(1; 0; 0) ∈ Ox, B(0; 2; 0) ∈ Oy cách điểm N(3; 3; 1) khoảng nên cắt trục Oz điểm C(0; 0; c), với c Suy phơng trình (Q) cã d¹ng: x y z (Q): + + = ⇔ (Q): 2cx + cy + 2z − 2c = (2) c Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: 6c + 3c + − 2c = d(N, (Q)) = ⇔ 9(5c2 + 4) = (7c + 2)2 2 4c + c + ⇔ 4c + 28c − 32 = ⇔ c = c = Khi đó: Với c = 1, thay vào (2) ta đợc: (Q1): 2x + y + 2z − =  Víi c = 8, thay vào (2) ta đợc: (P2): (Q2): 16x − 8y + 2z + 16 = ⇔ (Q2): 8x + 4y − z − = VËy, tồn hai mặt phẳng (Q1) (Q2) thoả mÃn điều kiện đầu Ví dụ 8: a Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (): 2x + y z = góc 600 b Viết phơng trình mặt phẳng (Q) ®i qua hai ®iĨm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1) tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 600 Giải a Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có phơng trình: (P): Ax + By = 0, với A2 + B2 > ur ur u u Gäi n P , n α theo thø tù lµ vtpt mặt phẳng (P), (), ta có: ur u ur u n P (A; B; 0), n α 2; 1; − ( ) Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: ur ur u u | n P n α | u u cos((P), (α)) = ur ur ⇔ cos600 = | nP | | nα | ⇔ = 2A + B A + B 10 2A + B A + B2 + + ⇔ 4(2A + B)2 = 10(A2 + B2)  B = 3A ⇔ 3A2 + 8AB − 3B2 = ⇔ (3A − B)(A + 3B) = ⇔   A = −3B Khi ®ã: 54 (1)  Víi B = 3A, thay vào (1) ta đợc: (P1): Ax + 3Ay = ⇔ (P1): x + 3y =  Víi A = 3B, thay vào (1) ta đợc: (P2): 3Bx + By = ⇔ (P2): 3x − y = Vậy, tồn hai mặt phẳng (P1) (P2) thoả mÃn điều kiện đầu b Mặt phẳng (Q) qua hai ®iĨm A(3; 0; 0) ∈ Ox, C(0; 0; 1) Oz tạo với mặt phẳng tọa độ (Oxy) góc 600 nên cắt trục Oy ®iĨm B(0; b; 0), víi b ≠ Suy phơng trình (Q) có dạng: x y z (Q): + + = ⇔ (Q): bx + 3y + 3bz − 3b = (2) b Hai mặt phẳng (Oxy) (Q) theo thứ tự vtpt lµ: ur u r n Q ( b; 3; 3b ) k(0; 0; 1) Từ giả thiết, ta cã: ur r u | n Q k | 3b u cos((Q), (Oxy)) = ur r ⇔ cos600 = | nQ | | k | b + + 9b ⇔ 3b = ⇔ 36b2 = 10b2 + ⇔ b = ± 26 10b + Khi ®ã:  Víi b = 26 (Q1): , thay vào (2) ta đợc: x + 3y + z− =0 26 26 26 ⇔ (Q1): x + y 26 + 3z − =  Víi b = − , thay vào (2) ta đợc: 26 9 (Q2): − x + 3y − z+ =0 26 26 26 ⇔ (Q2): x − y 26 + 3z − = Vậy, tồn hai mặt phẳng (Q1) (Q2) thoả mÃn điều kiện đầu Vấn đề 7: Phơng pháp toạ độ hóa Sử dụng kiến thức thiết lập hệ tọa độ đà đợc trình bày chủ đề Ví dụ 1: (Bài 22/tr 90 − Sgk): Cho tø diƯn OABC cã c¸c tam gi¸c OAB, OBC, z OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi , , lần lợt góc C mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a Tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän N M A O B y x P 55 b cos2α + cos2β + cos2γ =  Gi¶i Chän hƯ trục toạ độ Oxyz với A Ox, B Oy C Oz, đó: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) a Trong ∆ABC, ta cã: uu uu ur ur a2 ) ) AB.AC ur ur cos A = u u u u = > ⇒ A nhän 2 2 a +b a +c | AB | | AC | uu uu ur ur b2 ) ) BA.BC ur ur cos B = u u u u = > ⇒ B nhän 2 2 a +b b +c | BA | | BC | uu uu ur ur c2 ) ) CA.CB ur ur cos C = u u u u = > ⇒ C nhän 2 2 a +b a +c | CA | | CB | b Ph¬ng trình (ABC) đợc cho bởi: (ABC): x y z + + = ⇔ (ABC): bcx + acy + abz − abc = a b c r cã vtpt n (bc; ac; ab) Ta lần lợt có: r uu ur bc | n.OA | ur cosα = r u u = , 2 b c + a c2 + a b | n | | OA | r uu ur ac | n.OB | ur cosβ = r u u = , 2 b c + a c2 + a b | n | | OB | r uu ur ab | n.OC | ur cosγ = r u u = , 2 b c + a c2 + a b | n | | OC | Tõ ®ã, suy ra: cos2α + cos2β + cos2 = 1, đpcm Ví dụ 2: 56 (ĐHSP I Khối A 2000): Trong không gian cho ®iĨm A, B, C theo thø tù thc c¸c tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi cho OA = a, OB = a , OC = c víi a, c > 0) Gäi D đỉnh đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm đoạn BC (P) mặt phẳng qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo đờng thẳng vuông góc với AM a Gọi E giao điểm (P) với OC, tính độ dài đoạn OE b Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đợc tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P) c Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz, đó: z A(a; 0; 0), B(0; a ; 0), C(0; 0; c), C a c D(a; a ; 0), M(0; ; ) 2 E M a Gi¶ sư (P) ∩ (OCD) = EF ⊥ AM (1) NhËn xÐt r»ng: A O F u ur uu uu ur x c a B ; ), OD (a; a ; 0) AM (−a; D 2 y u ur u u u u ur ⇒ AM OD = AM OD (2) Vì EF, OD đồng phẳng nên từ (1), (2) suy EF // OD Khi phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi:   qua A qua A(a;0;0) u ur u u ⇔ (P):  uu ur r (P):  cỈp vtcp AM & OD  vtpt n(2c; − c 2;6a)   ⇔ (P): 2cx − cy + 6az − 2ac = Toạ độ điểm E nghiệm hÖ: 2cx − cy + 6az − 2ac = x =  c c  ⇔  y = ⇔ E(0; 0; ) ⇒ OE = x = 3 y = z = c /   b Ta cã: VC.AEMF V + VC.MEF V + VC.MEF = C.AEF = C.AEF VC.AOBD VC.AOD + VC.BOD 2VC.AOD  VC.AEF VC.MEF   CA.CE.CF CM.CE.CF  + +  ÷=  ÷  VC.AOD VC.BOD   CA.CO.CD CB.CO.CD  = = 3 VËy tØ sè thĨ tÝch cđa hai khèi ®a diện đợc tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P) (hoặc 2) c Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) đợc cho bởi: 4ac 6ac − 2ac d= = 6(6a + c2 ) 4c2 + 2c2 + 36a = 57 Ví dụ 3: (ĐHNT Cơ sở II): Cho góc tam diện vuông Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C a HÃy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c b Giả sử A cố định B, C thay đổi nhng thoả mÃn OA = OB + OC HÃy xác định vị trí B vµ C cho thĨ tÝch tø diƯn OABC lớn Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz, ®ã A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) a Phơng trình (ABC) đợc cho bởi: z x y z (ABC): + + =1 C a b c ⇔ (ABC): bcx + cay + abz − abc = Khi ®ã: O abc d(O, (ABC)) = B b c + c2 a + a b y b Ta cã: A x VOABC = a3 C «si b+c abc ≤ a  = 6  ÷ 24  ®ã Max(VOABC) = VÝ dơ 4:  a a3 , đạt đợc b = c = 24 (Bài 10/tr 111): Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh Trên tia AA', AB, AD (có chung gốc A) lần lợt lấy điểm M, N, P kh¸c A cho AM = m, AN = n AP = p a Tìm liên hệ m, n p cho mặt phẳng (MNP) qua điểm C' hình lập phơng b Trong trờng hợp mặt phẳng (MNP) qua C', hÃy t×m thĨ tÝch bÐ nhÊt cđa tø diƯn AMNP Khi tứ diện AMNP có tính chất ? Giải Bạn đọc tự vẽ hình Chọn hệ tọa độ Axyz víi B, D, A’ theo thø tù thc c¸c tia Ox, Oy, Oz, ta đợc: A(0; 0; 0), B(n; 0; 0), D(0; p; 0), A'(0; 0; m) vµ C'(1; 1; 1) a Phơng trình mặt phẳng (MNP) đợc cho bëi: x y z (MNP) : + + = n p m 58 1 + + =1 n p m b ThĨ tÝch tø diƯn AMNP đợc xác định bởi: 1 VAMNP = AM.AN.AP = mnp 6 Từ (*), sử dụng bất đẳng thức C«si ta cã: 1 1= + + ≥ ⇔ mnp ≥ 27 n p m mnp Để C' (MNP) điều kiện tức (VAMNP)Min = VÝ dô 5:  (*) 1 1 27 , đạt đợc = = = m = n = p = n p m Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a vuông góc với đáy a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b Tính khoảng cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC) c Tính khoảng cách từ trọng tâm SAB đến mặt phẳng (SAC) Giải z Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B ∈ Ax, D ∈ Ay S vµ S ∈ Az, ®ã: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), a a G S(0; 0; a ), O( ; ; 0) 2 A a Phơng trình (SBC) đợc cho bởi: O D qua B  y ur u ur u (SBC):  cỈp vtcp SB vµ SC  qua B(a, 0, 0)  r ⇔ (SBC):  ⇔ (SBC): x + z − a =  vtpt n( 3, 0,1) Khoảng cách d1 từ A đến (SBC) đợc cho bëi: −a a d1 = = 3+1 M B x C b Khoảng cách d2 từ O đến (SBC) đợc cho bởi: a a a d2 = = +1 c Gọi M trung điểm SB G träng t©m cđa ∆SAB, ta cã: 59 ur u ur uu a a a uu a M( ; 0; ), AG = AM ⇒ G( ; 0; ) 3 Phơng trình (SAC) đợc cho bëi:  qua A(0;0;0) qua A  uu u r ⇔ (SAC):  u r u r (SAC):  ⇔ (SAC): x + y = cỈp vtcp SA & SC vtpt n(1;1;0) Khoảng cách d3 từ G đến mặt phẳng (SAC) đợc cho bởi: a/3 a d3 = = 1+1 VÝ dô 6: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC = a Từ trung điểm H c¹nh AB dùng SH ⊥ (ABCD) víi SH = a a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) z S Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với A, C ∈ Ox, B, D ∈ Oy Khi ®ã: a a a A( ; 0; 0), B(0; − ; 0), C(− ; 0; 0), 2 B H O C D y a a a a a D(0; ; 0), H( ; − ; 0), S( ; − ; a) 4 4 a Phơng trình (SCD) đợc cho bởi: a qua C  qua C( − ;0;0) u r uu ⇔ (SCD):  u u r (SCD):  r cỈp vtcp SC & SD   vtpt n( 3; − 1; − 3)  a = Khoảng cách d1 từ O đến (SCD) đợc cho bởi: ⇔ (SCD): x − y − z + d1 = a = a 21 14 +1+ b Phơng trình (SBC) đợc cho bởi: a  qua C(− ;0;0)  ur u  vtpt n (2 3;2; − 3)  ⇔ (SBC): 2x + 2y − z + a = qua C  ur u ur ⇔ (SBC): u (SBC): cặp vtcp SC SB 60 A x Khoảng cách d2 từ A đến mặt phẳng (SBC) đợc cho bởi: a +a 2a 57 d2 = = 19 12 + + Vấn đề 8: số phơng pháp giải câu hỏi trắc nghiệm Câu Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) C(0; 0; 3) Phơng trình sau phơng trình mặt phẳng (ABC): y z + =1 B 6x + 3y + 2z = Đáp số trắc nghiệm C A x +  C 6x + 3y + 2z + = D 12x + 6y + 4z 12 = Lời giải tự luận: Phơng trình mp (ABC) đợc cho : y z (ABC): x + + = , suy đáp án A bị loại biến đổi tiếp (ABC): 6x + 3y + 2z − = 0, suy đáp án B bị loại Tời đây, ta khẳng định đáp án C đắn Câu Cho hai điểm A(1; 3; 4) B(1; 2; 2) Phơng trình mặt phẳng trung trực đoạn AB là: A 4x + 2y − 12z − 17 = C 4x − 2y − 12z − 17 = B 4x + 2y + 12z − 17 = D 4x 2y + 12z + 17 = Đáp số trắc nghiệm A Lời giải tự luận: Mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB đợc cho bëi:     qua I lµ trung ®iĨm AB   qua I  0; ; − ÷ uu ur   (P):  ⇔ (P):  uu ur  vtpt AB    vtpt BA(2;1; − 6) ⇔ (P): 4x + 2y 12z 17 = 0, ứng với đáp án A Lựa chọn đáp án phép thử: Ta lần lợt đánh giá: uu ur Với hai điểm A B ta có BA (2; 1; 6) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB phải có vtpt phơng với vectơ uu ur BA , nên đáp án B, C D bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án A đắn Câu Cho ba điểm A(1; 1; 3), B(1; 3; 2) C(1; 2; 3) Mặt phẳng (ABC) có phơng trình là: A x + 2y + 2z − = C x + 2y + 2x − = D x2 + 2y + 2x + = B x − 2y + 3z − = Đáp số trắc nghiệm C 61 r Lời giải tự luận 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta đợc: uu uu ur ur uu ur uu ur r AB (−2; 2; −1) vµ AC (−2; 1; 0) ⇒ n = [ AB, AC ] = (1; 2; 2) Phơng trình mặt phẳng (ABC) đợc cho bởi: qua A(1;1;3) (ABC):  ⇔ (ABC): x + 2y + 2x = 0, ứng với đáp án C r  vtpt n(1;2;2) r  Lêi gi¶i tù luËn kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx 570MS: Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta có: uu uu ur ur uu ur uu ur r AB (−2; 2; −1) vµ AC (−2; 1; 0) ⇒ n = [ AB, AC ] = (1; 2; 2) b»ng cách thực theo thứ tự: Thiết lập môi trờng làm việc với vectơ cho máy tính cách Ên: MODE MODE MODE uu ur uu ur  Để nhập toạ độ cho vectơ AB vectơ AC ta Ên: SHIFT VCT 1 = (−) = = (−) = SHIFT VCT = (−) = = =  Để tính toạ độ n ta ấn: SHIFT VCT × SHIFT VCT = Phơng trình mặt phẳng (ABC) đợc cho bëi:  qua A(1;1;3) (ABC):  r  vtpt n(1;2;2)  ⇔ (ABC): x + 2y + 2x − = 0, ứng với đáp án C Lời giải tự luận 2: Giả sử mặt phẳng (ABC) có phơng trình: (ABC): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > Vì A, B, C thuộc (P), ta đợc: A + B + 3C + D =  B = 2A    − A + 3B + 2C + D = ⇔ C = 2A  − A + 2B + 3C + D =  D = −9A   Tõ ®ã, ta ®ỵc: (ABC): Ax + 2Ay + 2Ax − 9A = ⇔ (ABC): x + 2y + 2x − = 0, ứng với đáp án C 62 Lựa chọn đáp án phép thử 1: (Từ trái qua phải): Ta lần lợt đánh giá: Với (ABC) cho đáp án A ta nhận thấy: + + − = ⇔ = A (ABC) Đáp án A bị loại Với (ABC) cho đáp án B ta nhận thÊy: ... dạng: ã Với mặt phẳng (P1) "Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M song song với trục Ox Oy" ã Với mặt phẳng (P2) "Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M song song với trục Oy Oz" ã Với mặt phẳng (P3)... tiếp xúc mặt cầu với mặt phẳng để lập đợc phơng trình mặt phẳng, mặt cầu Tiếp theo, khai thác tính chất đờng tròn (C) đợc tạo mặt cầu mặt phẳng Ta phát biểu toán dới dạng: "Lập phơng trình mặt cầu... (II) ta có đợc phơng trình mặt phẳng (P2) Ví dụ 1: (II) Cho điểm điểm M0(1; 2; 0) mặt phẳng (P) có phơng trình: (P): 3x + 4y + z + = Lập phơng trình mặt phẳng cách mặt phẳng (P) khoảng thoả