Chủ đề: Hệ toạ độ trong không gian (Hình học 12 - Chương III)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §1 Hệ toạ độ trong không gian Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chơng III phơng pháp tọa độ trong không gian chủ đề 1 Hệ tọa độ trong không gian A. Tóm tắt lí thuyết 1. Hệ tọa độ trong không gian Định nghĩa 1 Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc đợc gọi là hệ trục tọa độ trong không gian. Kí hiệu Oxyz hoặc (O, i r , j r , k r ) với i r , j r , k r là các vectơ đơn vị lần lợt nằm trên ba trục đó. Điểm O đợc gọi là gốc tọa độ. Trục Ox đợc gọi là trục hoành, trục Oy đợc gọi là trục tung, trục Oz đợc gọi là trục cao. Ta chú ý rằng: 2 i r = 2 j r = 2 k r = 1 và i r . j r = j r . k r = k r . i r = 0. 2. Tọa độ của vectơ Ta có v r (x; y; z) v r = x i r + y j r + z k r . Chú ý: 1. Cho vectơ v r khi đó tồn tại duy nhất điểmA sao cho v r = OA uuur . Gọi A 1 , A 2 , A 3 , A' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz và mặt phẳng (Oxy). Ta có: OA uuur = OA' uuuur + A'A uuuur = 1 OA uuuur + 2 OA uuuur + 3 OA uuuur suy ra x, y, z là các tọa độ tơng ứng của các điểm A 1 , A 2 , A 3 trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. 2 z O y i r j r x k z O y x A A' A 1 A 2 A 3 2. Nếu v r (x; y; z) thì x = v r . i r , y = v r . j r , z = v r . k r . (*) Các tính chất: Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ 1 v r (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và 2 v r (x 2 ; y 2 ; z 2 ) ta có các kết quả sau: 1). 1 v r = 2 v r 1 2 1 2 1 2 x x y y z z = = = . 2). 1 v r = (x 1 ; y 1 ; z 1 ), với Ă . 3). 1 v r 2 v r = (x 1 x 2 ; y 1 y 2 ; z 1 z 2 ), với , Ă . 4). 1 v r . 2 v r = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 . 5). | 1 v r | = 2 1 v r = 2 2 2 1 1 1 x y z+ + . 6). cos( 1 v r , 2 v r ) = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x x y y z z x y z . x y z + + + + + + . 7). 1 v r 2 v r 1 v r . 2 v r = 0 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0. 3. Tọa độ của điểm Ta có M(x; y; z) OM uuuur = x i r + y j r + z k r . Chú ý: Ta có các kết quả: M O x = y = z = 0. M (Oxy) z = 0, tức là M(x; y; 0). M (Oyz) x = 0, tức là M(0; y; z). M (Oxz) y = 0, tức là M(x; 0; z). M Ox y = 0 và z = 0, tức là M(x; 0; 0). M Oy x = 0 và z = 0, tức là M(0; y; 0). M Oz x = 0 và y = 0, tức là M(0; 0; z). 4. liên hệ giữa Tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x A ; y A ; z A ) và B(x B ; y B ; z B ) ta có các kết quả sau: a. AB uuur = (x B x A ; y B y A ; z B z A ). b. AB = | AB uuur | = 2 2 2 B A B A B A (x x ) (y y ) (z z ) + + . c. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số k (tức là MA uuuur = k MB uuur ) có tọa độ là A B A B A B x kx y ky z kz ; ; 1 k 1 k 1 k ữ . 3 d. Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ A B A B A B x x y y z z ; ; 2 2 2 + + + ữ . 5. Tích có hớng (hay tích vectơ) của hai vectơ Định nghĩa 2 Tích có hớng (hay tích vectơ) của hai vectơ 1 v r (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và 2 v r (x 2 ; y 2 ; z 2 ) kí hiệu 1 2 v , v uur uur là một vectơ v r đợc xác định bởi: 1 2 v , v uur uur = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 y z z x x y ; ; y z z x x y ữ ữ . Các tính chất của tích có hớng: Ta có: a. Vectơ 1 2 v , v uur uur vuông góc với hai vectơ 1 v r và 2 v r , tức là: 1 2 v , v uur uur . 1 v r = 1 2 v , v uur uur . 2 v r = 0. b. 1 2 v , v uur uur = 1 v r . 2 v r .sin( 1 v r , 2 v r ), trong đó là góc giữa hai vectơ 1 v r và 2 v r . c. 1 2 v , v uur uur = 0 r khi và chỉ khi hai vectơ 1 v r và 2 v r cùng phơng. ứ ng dụng của của tích có h ớng Diện tích hình bình hành: Diện tích của hình bình hành ABCD đợc cho bởi công thức: S ABCD = AB, AD uuur uuur = AB uuur . AD uuur .sin( AB, AD uuur uuur ), Nhận xét: Nh vậy để tính đợc diện tích hình bình hành ABCD chúng ta chỉ cần biết tọa độ của ba trong bốn đỉnh của hình bình hành đó. Diện tích tam giác: Diện tích của ABC đợc cho bởi công thức: S ABC = 1 2 AB, AC uuur uuur = 1 2 AB uuur . AC uuur .sin( AB, AC uuur uuur ), Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ Định lí: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ 1 v r , 2 v r và 3 v r đồng phẳng là: 1 2 v , v uur uur . 3 v r = 0. Nh vậy, với 1 v r (x 1 ; y 1 ; z 1 ), 2 v r (x 2 ; y 2 ; z 2 ) và 3 v r (x 3 ; y 3 ; z 3 ) thì 1 v r , 2 v r và 3 v r đồng phẳng khi và chỉ khi: 1 1 2 2 y z y z x 3 + 1 1 2 2 z x z x y 3 + 1 1 2 2 x y x y z 3 = 0. 4 Thể tích hình hộp: Thể tích V của hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 đợc cho bởi công thức: V = 1 AB, AD .AA uuur uuur uuuur . Thể tích tứ diện: Thể tích V của tứ diện ABCD đợc cho bởi công thức: V = 1 6 AB, AC .AD uuur uuur uuur . 6. phơng trình mặt cầu Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có ph- ơng trình: (S): (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 . (*) Phơng trình (1) gọi là phơng trình chính tắc của mặt cầu. Vậy, ta đợc: (S): Tâm I(a;b;c) Bán kính R (C): (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 . Chú ý: Ta có: Mặt cầu tâm O bán kính R có phơng trình x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . Mặt cầu đơn vị có phơng trình x 2 + y 2 + z 2 = 1. Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt (S) có phơng trình: (S): x 2 + y 2 + z 2 2ax 2by 2cz + d = 0, (**) với a 2 + b 2 + c 2 d > 0 là phơng trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = 2 2 2 a b c d+ + . Phơng trình (2) gọi là phơng trình tổng quát của mặt cầu. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Tọa độ của điểm, vectơ và các yếu tố liên quan Sử dụng các kết quả trong phần: Tọa độ của vectơ. Tọa độ của điểm. Ví dụ 1: (Bài 5/tr 81 Sgk): Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm M(a; b; c). a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ. b. Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ. c. Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ, các trục toạ độ và qua điểm O. 5 Giải a. Hình chiếu vuông góc của M trên: Mặt phẳng (Oxy) là điểm M 1 (a; b; 0). Mặt phẳng (Oyz) là điểm M 2 (0; b; c). Mặt phẳng (Oxz) là điểm M 3 (a; 0; c). Trục Ox là điểm M 4 (a; 0; 0). Trục Oy là điểm M 5 (0; b; 0). Trục Oz là điểm M 6 (0; 0; c). b. Khoảng cách từ điểm M đến: Mặt phẳng (Oxy) bằng MM 1 = |c|. Mặt phẳng (Oyz) bằng MM 2 = |a|. Mặt phẳng (Oxz) bằng MM 3 = |b|. Trục Ox bằng MM 4 = 2 2 b c+ . Trục Oy bằng MM 5 = 2 2 a c+ . Trục Oz bằng MM 6 = 2 2 a b+ . c. Điểm đối xứng với M qua: Mặt phẳng (Oxy) là điểm M 1 ' nhận điểm M 1 (a; b; 0) làm trung điểm nên M 1 (a; b; c). Mặt phẳng (Oyz) là điểm M 2 ' nhận điểm M 2 (0; b; c) làm trung điểm nên M 2 (a; b; c). Mặt phẳng (Oxz) là điểm M 3 ' nhận điểm M 3 (a; 0; c) làm trung điểm nên M 3 (a; b; c). Trục Ox là điểm M 4 ' nhận điểm M 4 (a; 0; 0) làm trung điểm nên M 4 (a; b; c). Trục Oy là điểm M 5 ' nhận điểm M 5 (0; b; 0) làm trung điểm nên M 5 (a; b; c). Trục Oz là điểm M 6 ' nhận điểm M 6 (0; 0; c) làm trung điểm nên M 6 (a; b; c). Gốc O là điểm M 7 nhận gốc làm trung điểm nên M 7 (a; b; c). Ví dụ 2: (Bài 6/tr 81 Sgk): Cho hai điểm A(x A ; y A ; z A ) và B(x B ; y B ; z B ). Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là MA uuuur = k MB uuur ), trong đó k 1. Giải Điểm M(x; y; z) chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số k, tức là: MA uuuur = k MB uuur (x A x; y A y; z A z) = k(x B x; y B y; z B z) A B A B A B x x k(x x) y y k(y y) z z k(z y) = = = A B A B A B x kx x 1 k y ky y 1 k z kz z 1 k = = = M A B A B A B x kx y ky z kz ; ; 1 k 1 k 1 k ữ . 6 Chú ý: Để chứng minh ba vectơ a r , b r , c r đồng phẳng, ta đi chứng minh tồn tại cặp số thực , , sao cho: c r = a r + b r . (*) Trong trờng hợp: Bài toán yêu cầu xác định điều kiện của tham số để ba vectơ a r , b r , c r đồng phẳng ta sẽ xuất phát từ điều kiện (*). Bài toán yêu cầu chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ta đi chứng minh không tồn tại cặp số , , sao cho: AB uuur = AC uuur + AD uuur . Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC và vectơ v r = 5 OA uuur + 10 OB uuur 15 OC uuur . Ba điểm M, N, P trong không gian thoả mãn: OM uuuur = OA uuur + t OB uuur 2 OC uuur , ON uuur = (t + 1) OA uuur + 2 OB uuur + OC uuur , OP uuur = (t 2) OB uuur + 2 OC uuur , t Ă . a. Xác định t để ba vectơ OM uuuur , ON uuur , OP uuur đồng phẳng. b. Cho t = 0, hãy biểu diễn vectơ v r theo ba vectơ OM uuuur , ON uuur , OP uuur . Giải a. Để OM uuuur , ON uuur , OP uuur đồng phẳng điều kiện là tồn tại cặp số thực , , sao cho: OM uuuur = ON uuur + OP uuur OA uuur + t OB uuur 2 OC uuur = [(t + 1) OA uuur + 2 OB uuur + OC uuur ] + + [(t 2) OB uuur + 2 OC uuur ] = (t + 1) OA uuur + [2 + (t 2)] OB uuur + ( + 2) OC uuur 1 (t 1) t 2 (t 2) 2 2 = + = + = + 4t 2 + t 10 = 0 t = 1 161 8 . Vậy, với t = 1 161 8 thì OM uuuur , ON uuur , OP uuur đồng phẳng. b. Với t = 0, ta đợc: OM uuuur = OA uuur 2 OC uuur , (1) ON uuur = OA uuur + 2 OB uuur + OC uuur , (2) OP uuur = 2 OB uuur + 2 OC uuur . (3) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2), (3) theo các ẩn OA uuur , OB uuur , OC uuur , ta đợc: 7 OA uuur = 1 5 (3 OM uuuur + 2 ON uuur + 2 OP uuur ), OB uuur = 1 10 ( 2 OM uuuur + 2 ON uuur 3 OP uuur ), OC uuur = 1 5 ( OM uuuur + ON uuur + OP uuur ), suy ra: v r = (3 OM uuuur + 2 ON uuur + 2 OP uuur ) + + (2 OM uuuur + 2 ON uuur 3 OP uuur ) 3( OM uuuur + ON uuur + OP uuur ) = 4 OM uuuur + ON uuur 4 OP uuur . Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(5; 3; 1), B(2; 3; 4), C(1; 2; 0), D(3; 1; 2). 1. Chứng minh rằng: a. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. b. Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau. c. Hình chóp D.ABC là hình chóp đều. 2. Tìm tọa độ chân đờng cao H của hình chóp D.ABC. Giải 1. Ta lần lựơt: a. Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ta sẽ đi chứng minh ba vectơ DA uuur (2; 2; 1), DB uuur (1; 2; 2), DC uuur (2; 1; 2) không đồng phẳng. Giả sử trái lại, tức là ba vectơ DA uuur , DB uuur , DC uuur đồng phẳng, khi đó sẽ tồn tại cặp số thức b, c sao cho: DA uuur = b DB uuur + c DC uuur 2 b 2c 2 2b c 1 2b 2c = = + = + , vô nghiệm Ba vectơ DA uuur , DB uuur , DC uuur không đồng phẳng, đpcm. b. Với cặp cạnh AD và BC, ta có: DA uuur (2; 2; 1), BC uuur (1; 1; 4) DA uuur . BC uuur = 0 AD BC. Chứng minh tơng tự, ta cũng có AB CD và AC BD. Vậy, tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau. c. Ta lần lợt có: DA = DB = DC = 3 và AB = BC = CA = 3 2 . Vậy, hình chóp D.ABC là hình chóp đều. 2. Từ kết quả 1.c), ta suy ra chân đờng cao H của hình chóp D.ABC chính là trọng tâm của ABC, do đó 8 8 5 H ; ; 3 3 3 ữ . 8 Chú ý: Sang vấn đề 4 chúng ta sẽ đợc một phơng pháp ngắn gọn hơn để chứng minh bốn điểm (ba vectơ) không đồng phẳng. Vấn đề 2: Tích vô hớng và các ứng dụng Ta sử dụng định nghĩa cùng các tính chất của tích vô hớng kết hợp với biểu thức tọa độ của chúng trong không gian để thực hiện các yêu cầu đặt ra, bao gồm: Tính tích vô hớng và chứng minh đẳng thức về tích vô hớng. Điều kiện để hai vectơ vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai vectơ. . Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c. a. Tính AB uuur . AC uuur theo a, b, c, từ đó suy ra giá trị của biểu thức AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uuur + CA uuur AB uuur . b. Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC, tính độ dài AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC. Giải a. Ta có: BC uuur = AC uuur AB uuur . (1) Bình phơng vô hớng hai vế của (1), ta đợc: BC uuur 2 = ( AC uuur AB uuur ) 2 BC 2 = AC 2 + AB 2 2 AC uuur . AB uuur theo tính giao hoán, ta có AC uuur . AB uuur = AB uuur . AC uuur , suy ra: AB uuur . AC uuur = 1 2 (AB 2 + AC 2 BC 2 ) = 1 2 (b 2 + c 2 a 2 ). Bằng cách tính tơng tự, ta đợc: BA uuur . BC uuur = 1 2 (a 2 + c 2 b 2 ) & CA uuur . CB uuur = 1 2 (a 2 + b 2 c 2 ). Từ đó: AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uuur + CA uuur AB uuur = BA uuur . BC uuur CA uuur . CB uuur AB uuur . AC uuur = 1 2 (a 2 + c 2 b 2 ) 1 2 (a 2 + b 2 c 2 ) 1 2 (b 2 + c 2 a 2 ) = 1 2 (a 2 + c 2 + b 2 ). Chú ý: Ta cũng có thể tính: AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uuur + CA uuur AB uuur bằng cách: AB uuur + BC uuur + CA uuur = 0 r . (2) Bình phơng hai vế của (2), ta đợc: 9 ( AB uuur + BC uuur + CA uuur ) 2 = 0 AB 2 + BC 2 + CA 2 + 2 AB uuur . BC uuur + 2 BC uuur . CA uuur + 2 CA uuur . AB uuur AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uuur + CA uuur AB uuur = 1 2 (a 2 + c 2 + b 2 ). b. Ta có: AM uuuur = 1 2 ( AB uuur + AC uuur ). (3) Bình phơng vô hớng hai vế của (3), ta đợc: AM 2 = 1 4 ( AB uuur + AC uuur ) 2 = 1 4 (AB 2 + AC 2 + 2 AB uuur . AC uuur ) = 1 4 [c 2 + b 2 + 2. 1 2 (b 2 + c 2 a 2 )] = 1 4 (2c 2 + 2b 2 a 2 ) AM = 1 2 2 2 2 2c 2b a+ . (*) Suy ra AG = 2 3 AM = 2 3 . 1 2 2 2 2 2c 2b a+ = 1 3 2 2 2 2c 2b a+ . c. Gọi là góc nhọn tạo bởi AG và BC, khi đó: | AG uuur . BC uuur | = | AG uuur |.| BC uuur |.cos cos = | AG.BC | | AG | . | BC | uuur uuur uuur uuur . (4) Ta đi tính AG uuur . BC uuur , bằng cách: AG uuur . BC uuur = 1 3 ( AB uuur + AC uuur )( AC uuur AB uuur ) = 1 3 (AC 2 AB 2 ) = 1 3 (b 2 c 2 ). (5) Thay (5) vào (4), ta đợc: cos = 2 2 2 2 2 1 | b c | 3 1 2c 2b a .a 3 + = 2 2 2 2 2 | b c | a. 2c 2b a + . Ví dụ 2: (Bài 1/tr 80 Sgk): Đối với hệ toạ độ (O; i r , j r , k r ) cho các véctơ: u r = i r 2 j r ; v r = 3 i r + 5( j r k r ); w ur = 2 i r k r + 3 j r . a. Tìm toạ độ của các vectơ . b. Tìm côsin của các góc ( u r ; i r ); ( v r ; j r ) và ( w ur ; k r ). c. Tính các tích vô hớng u r . v r , u r . w ur , v r . w ur . Giải a. Ta lần lợt có: u r (1; 2; 0), v r (3; 5; 5), w ur (2; 3; 1). b. Ta lần lợt có: 10 . HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 Hệ toạ độ trong không gian Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10 , 11 , 12 Giáo. liên hệ 0936546689 1 chơng III phơng pháp tọa độ trong không gian chủ đề 1 Hệ tọa độ trong không gian A. Tóm tắt lí thuyết 1. Hệ tọa độ trong không gian