Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Phương pháp toạ độ trong không gian"

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Phương pháp toạ độ trong không gian"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

P hơng pháp toạ độ trong không gian

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng

(d) :

  và điểm I(0; 0; 3) Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm I

và cắt (d) tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán đợc chuyển về việc tìm bán kính R củamặt cầu (S) Ta có:

 Kết hợp với để IAB vuông tại I, suy ra:

RIA 2IH, với H là hình chiếu vông góc của I trên (d).

 Nh vậy, cần có đợc toạ độ điểm H Công việc này đợc thực hiện:

Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số theo t để có

đợc biểu diễn toạ độ của điểm H theo t

Bớc 2: Sử dụng điều kiện :

 Giá trị của t  Toạ độ H

lời giải chi tiết: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d), suy ra H là trung điểmcủa AB

Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số:

Viết phơng trình đờng thẳng () cắt (d) và (P) lần lợt tại M và N sao cho A làtrung điểm của đoạn thẳng MN.

Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số theo t để có đợc

biểu diễn toạ độ của điểm M theo t

Suy ra toạ độ của N theo t

Bớc 2: Sử dụng điều kiện:

N  (P)  Giá trị của t  Toạ độ của M

lời giải chi tiết:

Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số:

Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng đơn giản khi chỉ cần thực hiện:

 Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số theo t để có đợc toạ độcủa tâm I của mặt cầu (S) cần tìm theo t, cụ thể I(1 + 2t; t; 2t)

 Sử dụng điều kiện:

R = IA = IB  Giá trị t  Toạ độ tâm I và bán kính R

 Phơng trình chính tắc của mặt cầu (S)

lời giải chi tiết: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R

Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số:

 I thuộc (d) suy ra I(1 + 2t; t; 2t).

 A, B thuộc (S) suy ra:

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với mặt phẳng (P) qua A Oz và cắt các trục Ox,

Oy tại B, C ta nghĩ ngay tới việc sử dụng "Phơng trình mặt phẳng chắn", từ đó:

 Giả sử B(b; 0; 0) và C(0; c; 0) rồi suy ra toạ độ trọng tâm G

 Lập phơng trình đờng thẳng (AM)

 Vì G thuộc (AM) ta nhận đợc giá trị của b, c Từ đó, có đợc toạ độ của B,C

 Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, B, C theo "Phơng trình mặt phẳng chắn".

lời giải chi tiết: Từ giả thiết ta giả sử B(b; 0; 0) và C(0; c; 0), suy ra ABC cótrọng tâm G b c; ; 1

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng đơn giản khi chỉ cần thực hiện:

 Với H là hình chiếu vông góc của I trên (P), suy ra:

IH = d(I, (P))

 Gọi R là bán kính của mặt cầu, suy ra:

Đánh giá và định hớng thực hiện: Sử dụng phơng trình tham số của đờng thẳng (d)

để có đợc toạ độ điểm I(1 + 2t;  1  t; t)

Với điều kiện AMB vuông tại M, suy ra:

 Giá trị tham số t  Toạ độ M

lời giải chi tiết: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số:

B(0; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x  y  z + 4t + t = 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc(P) sao cho MA = MB = 3

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng "Tìm điểm thuộc mặt phẳng thoả mãn điều kiện K" nên ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử M(x; y; z) thuộc (P) thì 2x  y  z + 4t + t = 0

Bớc 2: Từ giả thiết tạo lập một hệ phơng trình với ba ẩn x, y, z rồi giải nó

Bớc 3: Kết luận về toạ độ của điểm M

lời giải chi tiết: Giả sử M(x; y; z) thuộc (P) thì 2x  y  z + 4t + t = 0

Kết hợp với giả thiết MA = MB = 3 ta có đợc hệ phơng trình:

  thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2  4t + t x 4t + t y  4t + t z = 0 và điểm A(4t + t ; 4t + t ; 0) Viết phơng trình mặt phẳng (OAB), biết điểm Bthuộc (S) và tam giác OAB đều

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Nhiều em học sinh sẽ định hớng đây thuộc dạng

toán "Tìm điểm thuộc mặt cầu thoả mãn điều kiện K" bởi nghĩ rằng muốn có phơng

trình mặt phẳng (OAB) cần tìm thêm toạ độ điểm B dựa theo giả thiết OAB đều vàkhi đó các bớc thực hiện sẽ là:

Cách giải trên không sai nhng đã bỏ qua các tính chất đặc biệt của giả thiết đó

là các điểm O, A đều thuộc mặt cầu (S) Do đó, bài toán này sẽ đợc giải tối u nhsau:

Bớc 1: Xác định thuộc tính của mặt cầu (S) với tâm I(2; 2; 2) và bán kính

R 2 3.

Bớc 2: Nhận thấy rằng các điểm O, A thuộc (S) và với giả thiết OAB đều

nên nó có bán kính đờng tròn ngoại tiếp OA

3



Bớc 5: Thay (1), (2) vào (*) ta nhận đợc phơng trình mặt phẳng (OAB).

lời giải chi tiết: Mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; 2) và bán kính R 2 3.

Nhận thấy rằng các điểm O, A thuộc (S) và với giả thiết OAB đều nên nó cóbán kính đờng tròn ngoại tiếp r đợc cho bởi:

 (OAB) đi qua O nên có dạng ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 > 0 (*)

 (OAB) đi qua A nên 4t + t a + 4t + t b = 0  b = a

Khi đó, khoảng cách từ I tới (OAB) đợc cho bởi:

Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (OAB) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng

Giải hệ tạo bới (1), (2), (3) để nhận đợc x, y, z

Bớc 6: Kết luận về toạ độ của điểm M

lời giải chi tiết: Giả sử M(x; y; z) thuộc (P) và đờng thẳng () có vtcp a (1; 2; 1).  

Toạ độ giao điểm I của đờng thẳng () với mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:

Ví dụ 10:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng

 và hai điểm A( 2; 1; 1), B( 3; 1; 2) Tìm toạ độ điểm

M thuộc đờng thẳng đờng thẳng () sao cho MAB có diện tích bằng 3 5

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với dạng toán "Tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K" các bớc thực hiện sẽ là:

Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số theo t để có đợc

biểu diễn toạ độ của điểm M theo t

Bớc 2: Từ giả thiết MAB có diện tích bằng 3 5 , suy ra:

1AM; AB 3 5

2  

 

 Giá trị của t  Toạ độ M

Bớc 3: Kết luận về toạ độ của điểm M

lời giải chi tiết: Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số:

x t 2( ) : y 3t 1 , (t )

1

( t 12) ( t 6) t 3 52

Ví dụ 11:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng

Bớc 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với (d)

Bớc 2: Tìm toạ độ giao điểm B của (P) với Ox

Bớc 3: Lập phơng trình đờng thẳng () đợc cho bởi:

Ví dụ 12:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán đợc chuyển về việc tìm điểm I thuộc ()sao cho d(I, (P)) = 1 nên ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số theo t để có đợc

biểu diễn toạ độ của điểm I theo t

Bớc 2: Từ điều kiện tiếp xúc của mặt cầu (S) với (P), suy ra:

d(I, (P)) = 1  Giá trị của t  Toạ độ tâm I

 Phơng trình mặt cầu (S)

lời giải chi tiết: Gọi I là tâm của mặt cầu

Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số:

x 2t 1( ) : y 4t 3, (t )

Vậy, tồn tại hai mặt cầu (S1), (S2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 13:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0),C(0; 0; c), trong đó b, c dơng và mặt phẳng (P): y  z  1 = 0 Xác định b và c,biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng các từ điểm O

- Từ điều kiện khoảng các từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bẳng 1

3 tanhận đợc phơng trình (2)

Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2) sẽ nhận đợc giá trị của b avf c

lời giải chi tiết: Sử dụng phơng trình mặt phẳng chắn, ta đợc :

2 1b4

  thoả mãn điều kiện đầu bài

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với yêu cầu đợc tổng quát là "Tìm điểm thuộc

Ox thoả mãn điều kiện K cho trớc", chúng ta thực hiện theo các bớc:

Với đờng thẳng () thì nó đi qua điểm A(0; 1; 0) và có vtpt n 2; 1; 2  

Khi đó:

d(M, ()) = OM n, AM

mn

Ví dụ 15:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này thòng có hai kiểu định hớng:

Hớng 1 (Thờng với học sinh lời vẽ hình và học thụ động theo dạng): Khi đó, sẽ định

dạng bài toán là "Tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K" và

với định hớng này các em học sinh cần thực hiện theo các bớc:

a Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số

b Tìm toạ độ giao điểm C của () và (P)

c Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng () thoả mãn

MC 6

d Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P)

Hớng 2 (Thờng với học sinh khá, giỏi): Vẽ hình mô phỏng (hình bên).

Khi đó, với H là hình chiếu vuông góc của M

trên (P), ta có ngay:

d(M, (M)) = MH MC.sin MCH.Vấn đề còn lại chỉ là tính:

sin MCH sin(( ), (P))   Đã có công thức.

lời giải chi tiết: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

()

Cách 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P), ta có:

sin((), (P)) sin MCH

2.1 1.( 2) 1.1 1

.6

Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán này đợc chi thành hai phần, cụ thể:

 Tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng (): Ta sử dụng công thức:

AM, ud(A, ( ))

 , với M() và u là vtcp của đờng thẳng ()

 Viết phơng trình mặt cầu (T): Ta chỉ cần tìm đợc bán kính R của nó, vàvới H là trung điểm của BC thì:

H

M

CP

()

lời giải chi tiết: Ta lần lợt:

a Tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng (): Đờng thẳng () đi qua điểm điểmM(3; 1; 1) và có vtcp u( 2; 1; 2)  nên:

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với hai mặt phẳng (P), (Q) cho trớc, suy ra đợccác vtpt n , n P Q

Chúng ta lần lợt sử dụng các giả thiết:

 Gọi nR là một vtpt của mặt phẳng (R), khi đó:

(R) (P)(R) (Q)

đ-Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (1) (nếu cần) về dạng tham số theo

t, từ đó suy ra toạ độ của điểm M theo tham số t

Bớc 2: Thiết lập điều kiện K, cụ thể với bài toán này là d(M, (2)) = 1 nên ta

lời giải chi tiết: Điểm M thuộc đờng thẳng (1) nên M 3 t; t; t   

Với đờng thẳng (2) thì nó đi qua điểm A(2; 1; 0) và có vtpt n 2; 1; 2 2 

22t 10t 17 3

Ví dụ 19:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnhA(1; 2; 1), B(2; 1; 3), C(2; 1; 1) và D(0; 3; 1) Viết phơng trình mặt phẳng (P) điqua A, B sao cho khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ D tới (P)

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với các em học sinh chỉ biết đánh giá tuần tự:

 Mặt phẳng (P) đi qua A, B

 Khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ D tới (P)

Chắc chắn sẽ thực hiện bài toán này theo các bớc:

Bớc 4: Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2), (3) để tìm cách biểu diễn ba trong

bốn ẩn số A, B, C, D theo một ẩn còn lại Từ đó, suy ra phơng trình mặtphẳng (P) cần tìm

Cách giải trên không sai và luôn là phơng pháp đợc lựa chọn trong trờng hợptổng quát d(C, (P)) = k.d(D, (P)) Tuy nhiên, vì d(C, (P)) = d(D, (P)) chúng ta sửdụng đánh giá:

Để mặt phẳng (P) cách đều hai điểm C, D chỉ có thể xảy ra hai trờng hợp:

 (P) song song với CD

 (P) đi qua trung điểm của CD

Từ nhận xét trên, ta lần lợt:

 (P) song song với CD, suy ra:

Qua A(P) :

tr- (P) song song với CD

 (P) đi qua trung điểm của CD

Từ nhận xét trên, ta lần lợt:

 (P) song song với CD, suy ra:

Qua A(P) :

Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (P) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 20:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 0; 1),B(1; 1; 3) và mặt phẳng (P) phơng trình:

(P): x  2y + 2z  5 = 0

Trong các đờng thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phơng trình

đờng thẳng mà khoảng cách từ B đến đờng thẳng đó là nhỏ nhất

lời giải chi tiết: Gọi (d) là đờng thẳng cần tìm Ta có:

 (d) nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P), suy ra:

Qua A(Q) :

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Đây thuộc dạng toán xét vị trí tơng đối của mặtphẳng với mặt cầu, và ở đây:

a Để chứng minh rằng mặt phẳng (P) (có vtpt np ) cắt mặt cầu (S) (có tâm Ibán kính R) theo một đờng tròn, chúng ta đi khẳng định:

Bớc 1: Viết phơng trình tham số (giả sử theo t) của đờng thẳng (d)

qua I và vuông góc với (P), tức:

Bớc 2: Thay phơng trình của (d) vào (P), ta đợc:

f(t) = 0  Giá trị t  Toạ độ điểm H

 Gọi (d) là đờng thẳng qua I và vuông góc với (P) (có vtpt (2; 2; 1)), ta có:

p

Qua I(1; 2;3)(d) :

Vậy, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn (C) có bán kính bằng 4t + t

từ một điểm tới một đờng thẳng

lời giải chi tiết: Ta lần lợt:

 Chuyển phơng trình đờng thẳng (1) về dạng tham số:

Khi đó, điểm M thuộc (1) thì M(t  1; t; 6t  9)

 Đờng thẳng (2) đi qua A(1; 3; 1) và có vtcp u (2; 1; 2)2 



(2; 1; 2).Khi đó, ta lần lợt có:

 Khoảng cách từ M tới đờng thẳng (2) đợc cho bởi:

vậy dễ thấy nó đợc tách thành hai phần:

 Điểm D thuộc đờng thẳng AB

 Đờng thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

Từ đó, dễ hình thành các bớc cần thực hiện là:

Bớc 1: Với mặt phẳng (P) cần chỉ ra đợc vtpt n  P

Bớc 2: Viết phơng trình tham số (giả sử là t) đờng thẳng (AB), đợc cho bởi:

Qua A(AB) :

Bớc 3: Vì D thuộc đờng thẳng (AB) nên toạ độ của D thoả mãn phơng

trình tham số của (AB)

Bớc 4: Khi đó, để đờng thẳng CD song song với mặt phẳng (P) điều kiện là:

lời giải chi tiết: Mặt phẳng (P) có vtpt n (1; 1; 1).P

Phơng trình đờng thẳng (AB) đợc cho bởi:

Qua A(2;1;0)(AB) :

Vì D thuộc đờng thẳng (AB) nên D(2  t; 1 + t; 2t)

Khi đó, để đờng thẳng CD song song với mặt phẳng (P) điều kiện là:

  thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 24:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng () và mặtphẳng (P) phơng trình:

Đánh giá và định hớng thực hiện: Nhận xét rằng đờng thẳng () cắt mặt phẳng (P)

tại điểm A Do đó, yêu cầu của bài toán đợc chuyển thành "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng ()",

Bớc 2: Khi đó, phơng trình đờng thẳng () đợc cho bởi:

(d): Qua Avtcp u

Bớc 1: Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với ()

Bớc 2: Khi đó, đờng thẳng (d) chính là giao tuyến của (P) và (R)

lời giải chi tiết: Ta lần lợt có:

Tới đây ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Gọi u là vtcp của đờng thẳng (d), ta đợc:

un, u  = (1; 2; 1)

Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi:

 

Qua A( 3;1;1)(d) :

1 Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

2 Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

Chú ý: Ngoài hai cách giải trên, để lập phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm

không đồng phẳng A, B, C, D (ngoại tiếp tứ diện ABCD) chúng tacòn có thể tận dụng đợc tính chất của tứ diện ABCD để nhận đợc lờigiải đơn giản hơn, cụ thể:

Trờng hợp 1: Nếu DA = DB = DC thì:

Bớc 1: Xác định tâm I bằng cách:

 Dựng đờng cao DH(ABC)

 Dựng mặt phẳng trung trực (P) của DA

 Khi đó {I} = (DH)  (P)

Bớc 2: Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

(S): Tâm IBán kính R IA

 Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

 Dựng đờng thẳng (d) qua K và song song với DA(hoặc (d)  (ABC)

 Dựng mặt phẳng trung trực (P) của DA

 Khi đó {I} = (d)  (P)

Bớc 2: Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

(S): Tâm IBán kính R IA

có tâm I là trung điểm AB và bán kính R = AB

2 .

Trờng hợp 4: Nếu AD và BC có đoạn trung trực chung EF thì:

Bớc 1: Ta lần lợt:

 Lập phơng trình tham số của đờng thẳng (EF) theo t

 Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I 

EF (thỏa mãn phơng trình tham số của EF)

 Từ điều kiện IA2 = IC2 = R2 suy ra giá trị tham số t,

từ đó nhận đợc tọa độ tâm I

Bớc 2: Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

(S): Tâm IBán kính R IA

2 Mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C nên sẽ cắt (ABC) theo giao tuyến chính là

đờng tròn (C) ngoại tiếp ABC, để xác định toạ độ tâm H và bán kính r của ờng tròn (C), ta lần lợt có:

Bớc 2: Viết phơng trình tham số (giả sử theo t) của đờng thẳng (d)

qua I và vuông góc với (ABC), tức:

Bớc 3: Thay phơng trình của (d) vào (ABC), ta đợc:

f(t) = 0  Giá trị t  Toạ độ điểm H

Bớc 4: Kết luận

lời giải chi tiết:

1 Ta có thể trình bày theo các cách sau:

2 2 2

27Bán kính R IA

Qua A(3;3;0)(Q) :

Đờng tròn (C) ngoại tiếp ABC có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (Q)

 Gọi (d) là đờng thẳng qua I và vuông góc với (Q), ta có:

3 3 3Qua I ; ;

2 2 2(d) :

   H(2; 2; 2)

Vậy, đờng tròn ngoại tiếp ABC có tâm H(2; 2; 2)

Ví dụ 26:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đờngthẳng:

1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đờng thẳng (d)

2 Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách

từ A đến (P) lớn nhất

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện:

1 Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh một lợng kiến thức tổng quát

là “Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện K", ta lựa chọn một

trong hai cách sau:

Bớc 2: Điểm M  (d), suy ra M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct)

Bớc 3: Thiết lập tính chất K cho điểm M

Cách 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đờng (L), khi đó:

(d)  (L) = {M}

Chúng thờng gặp:

1 Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(xM; yM; zM) sao cho xM+yM+zM nhỏ

nhất (hoặc đợc phát biểu dới dạng "Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc M của O trên (d)")

Khi đó, nếu sử dụng cách 1 thì bớc 3 có nội dung:

Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho độ dài AM ngắn nhất

Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua (d), cụ thể ta thực hiệntheo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d)

Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A1 từ điều kiện M là trung điểm của AA1.Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d)

Bớc 2: Suy ra đờng thẳng (AM) là đờng thẳng cần dựng

Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đờng

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d)

Bớc 2: Mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) đợc xác định bởi:

(S): TB

Bớc 1: Gọi R là bán kính mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) thì ta

có:

R = d(A, (d))

Bớc 2: Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi:

(S): TB

Viết phơng trình mặt cầu tâm A và cắt (d) tại hai điểm E, F sao cho

EF = l, cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d) Ta

có M là trung điểm của đoạn EF

2

2 2

Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên (d) (khi đó M là

trung điểm của đoạn EF) và R là bán kính mặt cầu (S) cầndựng thì ta có:

Do đó, khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi K  H Suy ra, mặtphẳng (P) cần dựng sẽ đi qua H, do đó:

Kết hợp hai câu 1), câu 2) chúng ta đa ra đợc lợc đồ để giải bài toán " Viết

ph-ơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất",

bằng cách thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên (d)

Bớc 2: Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P), ta có:

d(A, (P)) = AK < AHtính chất đờng vuông góc và đờng xiên

Bớc 3: Do đó, khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi K  H

Suy ra, mặt phẳng (P) cần dựng sẽ đi qua H, do đó:

Qua A(P) :

lời giải chi tiết: Đờng thẳng (d) có vtcp u(1; 2; 2) 

1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đờng thẳng (d), ta có thể trình bàytheo hai cách sau:

Cách 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số:

2 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P), ta có:

d(A, (P)) = AK < AH  tính chất đờng vuông góc và đờng xiên

Do đó, khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi K  H Suy ra, mặtphẳng (P) cần dựng sẽ đi qua H, do đó:

Ví dụ 27:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2),B(2; 2; 1), C(2; 0; 1).

1 Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

2 Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z  3 = 0 sao cho

(P): qua Mvtpt n

Cách 1: Sử dụng phơng trình ban đầu của mặt phẳng.

Cách 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đờng (L), khi đó:

Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua (P), cụ thể ta thực hiệntheo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A lên (P)

Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A1 từ điều kiện H là trung điểm của AA1.Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M(xM; yM; zM) sao cho x2M+y2M+z2M

nhỏ nhất bởi nó đợc phát biểu lại dới dạng "Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc M của O trên (P)").

Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P) Tìm trên (P) điểm M sao cho

MA MB

 

đạt giá trị nhỏ nhất, cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Gọi I là trung điểm của AB, suy ra toạ độ của I

đạt giá trị nhỏ nhất  MI nhỏ nhất

 M là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A lên (P)

Bớc 2: Mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (P) đợc xác định bởi:

(S): TB

Bớc 1: Gọi R là bán kính mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (P) thì ta

có:

R = d(A, (P))

Bớc 2: Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi:

(S): TB

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A lên (P) Ta

Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên (P) (khi đó M là

tâm đờng tròn (C)) và R là bán kính mặt cầu (S) cần dựngthì ta có:

2 Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho:

a MA  MB đạt giá trị lớn nhất

b MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Với yêu cầu của bài toán ở đây là " Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho

MA = MB = MC ", chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Để MA = MB = MC thì M thuộc trục đờng tròn (d) của ABC (là

đ-ờng thẳng đi qua tâm đđ-ờng tròn ngoại tiếp ABC và vuông góc vớimặt phẳng (ABC))

Bớc 2: Nhận xét rằng:



 AB.AC 0  ABC vuông tại A Suy ra, trung điểm I của BC là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

Bớc 3: Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi:

 

Qua I(d) :





  Toạ độ M

Cách 2: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử M(x; y; z), khi đó bằng việc thiết lập điều kiện M  (P) và

MA = MB = MC chúng ta sẽ nhận đợc một hệ ba phơng trình với

Bớc 2: Giải hệ (I), từ đó kết luận toạ độ điểm M

lời giải chi tiết:

1 Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A, B, C đợc cho bởi:

2 Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Để MA = MB = MC thì M thuộc trục đờng tròn (d) của ABC (là đờng

thẳng đi qua tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC)).Nhận xét rằng:



 

AB.AC 0  ABC vuông tại A

 Trung điểm I(0 ; 1; 1) của BC là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

Từ đó, suy ra M thuộc đờng thẳng (d) thoả mãn:

Cách 2: Giả sử M(x; y; z), để M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z  3 = 0 sao cho

Vậy, với điểm M(2; 3; 7) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 28: Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4t + t ), C(3; 0; 5)

a Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b Tính chu vi, diện tích của ABC

c Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tính côsingóc giữa hai vectơ AC

và BD

d Tính độ dài đờng cao hA của ABC kẻ từ A

e Tính các góc của ABC

f Xác định toạ độ trực tâm H của ABC

g Xác định toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

f Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Giả sử H(x; y; z) là trực tâm ABC, ta có điều kiện:

Cách 2: Vì ABC vuông tại A nên trực tâm H  A, tức là H(1; 2; 3).

g Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Giả sử I(x; y; z) là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC, ta có:

Cách 2: Vì ABC vuông tại A nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC chính là

trung điểm của BC, tức là I 3;5 9;

Nhận xét: Nh vậy, với bài toán trên (tam giác trong không gian) các em học

sinh có thể ôn tập đợc hầu hết kiến thức trong bài học "Hệ tọa

độ trong không gian", và trong đó với các câu f), g):

 ở cách 1, chúng ta nhận đợc phơng pháp chung để thựccác yêu cầu của bài toán

 ở cách 2, bằng việc đánh giá đợc dạng đặc biệt của ABCchúng ta nhận đợc lời giải đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 29: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(5; 3; 1), B(2; 3; 4t + t ), C(1;2; 0), D(3; 1; 2)

a Tìm tọa độ các điểm A1, A2 theo thứ tự là các điểm đối xứngvới điểm A qua mặt phẳng (Oxy) và trục Oy

b Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

c Tính thể tích khối tứ diện ABCD

d Chứng minh rằng hình chóp D.ABC là hình chóp đều

e Tìm tọa độ chân đờng cao H của hình chóp D.ABC

f Chứng minh rằng tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau

g Tìm tọa độ điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D

 Giải

a Ta lần lợt:

 Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm E(5; 3; 0)

Từ đó, vì E là trung điểm của AA1 nên A1(5; 3; 1)

 Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Oy là điểm F(0; 3; 0) Từ đó, vì

F là trung điểm của AA2 nên A2(5; 3; 1)

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ta sẽ đi chứng

minh ba vectơ DA

(2; 2; 1), DB

(1; 2; 2), DC (2; 1; 2) không đồng phẳng.Giả sử trái lại, tức là ba vectơ DA , DB , DC đồng phẳng, khi đó sẽ tồn tạicặp số thức ,  sao cho:

Vậy, bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

c Thể tích V của tứ diện ABCD đợc cho bởi V 1 DA, DB DC

Vậy, hình chóp D.ABC là hình chóp đều

e Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Giả sử H(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC), ta

có điều kiện:

Vậy, tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau.

g Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Giả sử I(x; y; z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện