Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Hàm số và các bài toán liên quan"

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Hàm số và các bài toán liên quan"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ

HÀM SỐ

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

h àm số và các bài toán liên quanHàm đa thức bậc ba

Với hàm số:

y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a  0

ta lần lợt có:

a Tập xác định D = 

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

x

lim

 y = x

x

O b/

3aI

y

x

O b/

3aI

Một số tính chất của hàm số đa thức bậc ba

Tích chất 1: Hàm số đồng biến trên R khi :

a 0' 0

Tích chất 2: Hàm số nghịch biến trên R khi :

a 0' 0

Tích chất 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi :

' = b23ac > 0

Để tìm giá trị cực trị của hàm số tại điểm x0 trong trờng hợp x0 là số

lẻ, thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc:

Tích chất 4: Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng

Thật vậy, dời trục bằng tịnh tiến về gốc U(x0, y0), trong đó:

0

bx3a

Y + y0 = a(X + x0)3 + b(X + x0)2 + c(X + x0) + d

 Y = aX3 + g(x0)X

Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận U làm tâm đối xứng

Tích chất 5: Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất

nếu a > 0 và hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp tuyến của



 Với a > 0, thì kMin =

23ac b3a

 đạt đợc khi x0 =  b

3a

 Với a < 0, thì kMax =

23ac b3a

 đạt đợc khi x0 =  b

3a

Mà y'' = 6ax + 2b nên x0 =  b

3a chính là hoành độ điểm uốn,

từ đó suy ra điều phải chứng minh

Tích chất 6: Nếu đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì điểm

uốn nằm trên trục hoành

Thật vậy, hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox là nghiệm của phơng trình:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1)

 Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm A, B, C cách đều nhau khi:

(1) có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 thoả mãn:

1 3

2

 = x2  x1 + x3 = 2x2 (2)

3a  0)Ox

 Chú ý: Kết quả trên cho ta điều kiện cần để đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành

tại ba điểm cách đều nhau (hoặc "đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân

biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng") Khi áp dụng điều kiện cần đã nêu trên,

ta cần thử lại để có điều kiện cần và đủ

Tích chất 7: Với phơng trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0, với a  0 (1)

a Dự đoán nghiệm và phân tích thành nhân tử

 Nếu a + b + c + d = 0 thì (1) có nghiệm x = 1

 Nếu ab + cd = 0 thì (1) có nghiệm x = 1

 Nếu a, b, c, d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỷ p

q thì p, qtheo thứ tự là ớc của d và a

 Nếu (1) có nghiệm x0, thì (1)  (xx0)(ax2 + b1x + c1) =0

b Các phơng pháp xác định điều kiện của tham số để phơng trìnhbậc ba có k nghiệm phân biệt

 đồ thị hàm số cắt Ox tại k điểm phân biệt

Phơng pháp 1 : Đại số

Đoán nghiệm x0 của (1)

Phân tích (1) thành :

(xx0)(ax2 + b1x + c1) = 0  0 2

x xg(x) ax b x c 0 (2)

 (1) có nghiệm duy nhất (khi đó, đồ thị hàm số cắt Ox tại 1 điểm)

g

0

00g(x ) 0

 (1) có ba nghiệm phân biệt (khi đó, đồ thị hàm số cắt Ox tại

ba điểm phân biệt) khi :

(2) có hai nghiệm phân biệt khác x0  g

0

0g(x ) 0

Lập bảng biến thiên của hàm số y = g(x)

Dựa vào bảng biến thiên biện luận vị trí tơng đối của đờng thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = g(x)

 (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi :

(C) cắt Ox tại hai điểm ((C) tiếp xúc với Ox)

 (1) có ba nghiệm phân biệt khi :

(C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt

 Hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT < 0

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Tuỳ theo giá trị của n hãy biện luận số nghiệm của phơng trình:

x3  3x2 + 4 + n = 0

c Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

d Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn

e Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó vớitrục hoành

f Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó vớitrục tung

g Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua

c Đạt cực đại tại điểm x = 4

d Cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

e Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

f Cắt trục hoành tại đúng một điểm

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

4

2 1

 Giao của đồ thị hàm số với trục tung là C(0; 4).

 Giao của đồ thị hàm số với trục hoành:

 Với n < 4 hoặc m > 0 phơng trình có nghiệm duy nhất

 Với n = 4 hoặc m = 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt

 Với 4 < n < 0 phơng trình có ba nghiệm phân biệt

c Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

Vậy, điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

d Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U có dạng:

(dU): y + 2 = y'(1)(x + 1)  (dU): y = 3x  5

e Đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm A(1; 0) và B(2; 0) và ta lần lợt có:

 Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A có dạng:

g Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp tuyến tạitiếp điểm có dạng

 Với x0 = 0, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d1): y = x1.

 Với x0 = 6, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d2): y = 1

4x + 7

2.Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tiếp xúc với đồ thị

Cách 2: Phơng trình tiếp tuyến đi qua A(6; 5) có dạng

 Với k1 = 1, thay vào (2) đợc tiếp tuyến (d1): y = x1

 Với k2 = 1

4 thay vào (2) đợc tiếp tuyến (d2): y = 1

4x + 7

2.Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tiếp xúc với đồ thị

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

x

lim

3 x



    



 (1) có hai nghiệm phân biệt.

Bớc 3: Tìm hai nghiệm của (1) và toạ độ hai điểm cực trị A, B của đồ thị

hàm số

Sử dụng điều kiện:

SOAB = 48  Giá trị của tham số

2m  0  m  0

Khi đó, toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; 3m3), B(m; m3)

Ta có SOAB = 48 khi:

41

2    m4 = 16  m = 2, thoả mãn điều kiện

Vậy, với m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ x1 và x2

sao cho x1x2 + 2(x1 + x2) = 1

2 Sù biÕn thiªn cña hµm sè:

 Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt cóhoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x12x22x23 4

a Với m = 1, hàm số có dạng:

y = x3  2x2 + 1

a Hàm số xác định trên D = 

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

x

lim

 y = 3

3 x

Từ đó, để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3

thoả mãn x12x22x23 4 điều kiện là:

y

xO

1 / 2

U

 5 / 2 7

4 / 3

1

(C)

2 / 3

1 1 / 2 7

f(x) = 0 có hai nghiệm x2, x3 khác 1 thoả mãn x22x23 3

m 14

Chú ý: Trong lời giải của bài toán trên chúng ta đã sử dụng tắt kết quả của

định lí Viét cho phơng trình f(x) = 0, cụ thể ta cần có trình bày:Nếu phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm x2, x3 thì:

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Đồ thị hàm số có hai điểm uốn I1(x1; f(x1)) và I2(x2; f(x2))

c Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị củahàm trùng phơng có bốn dạng sau đây:

Có một cực trị Có ba cực trị Có một cực trị Có ba cực trị

Một số tính chất của hàm trùng phơng

Tích chất 1: Hàm số có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho a  0.

Tích chất 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi:

Tích chất 4: Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu khi:

Tích chất 5: Hàm số có hai điểm uốn khi:

y

xO

y

xO

y

xO

y

xO

y'' = 0 có hai nghiệm phân biệt  b

2a < 0

Tích chất 6: Hàm số không có điểm uốn khi:

y'' = 0 có hai nghiệm phân biệt  b

 Nếu (2) có nghiệm t0  0 thì (1) có nghiệm x =  t0

 (1) có nghiệm duy nhất  (2) có nghiệm t1  0 = t2

 (1) có hai nghiệm phân biệt

 (2) có nghiệm t1 < 0 < t2 hoặc 0 < t1 = t2

 (1) có ba nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm 0 = t1 < t2

 (1) có bốn nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm 0 < t1 < t2

 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

 (2) có nghiệm 0 = t1 < t2 và t2 = 9t1

Tích chất 9: Phơng pháp tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số

y = ax4 + bx2 + c tiếp xúc với Ox tại hai điểm phân biệt

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

3 nên đồ thị hàm số có hai điểmuốn là U1 1 ; 5

93

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho

OA = BC, trong đó O là gốc toạ độ, A là điểm cực trị thuộctrục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

a Với m = 1, hàm số có dạng:

y = x4  4x2 + 1

1 Hàm số xác định trên D = 

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm  6

3 nên đồ thị hàm số có hai điểmuốn là   

Sử dụng điều kiện :

OA = BC  OA2 = BC2  Giá trị của tham số

Bớc 4: Kết luận

lời giải chi tiết: Miền xác định D = 

Đạo hàm:

y' = 4x34(m + 1)x = 4x(x2m  1), y' = 0  x(x2m  1) = 0 (1)Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông gócvới đờng thẳng 1

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

y'' = 12x2  2 < 0, xD  Đồ thị hàm số không có điểm uốn

3 Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A(1; 4) và B(1; 4)  Bạn đọc tự vẽ

đồ thị.

b Đánh giá và định hớng thực hiện

Bài toán đợc chuyển về dạng "Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k", ta có thể lựa chọn một trong

lời giải chi tiết: Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b Với giá trị nào của m phơng trình x2x2  2 = m có đúng 6 nghiệmphân biệt

a Ta lần lợt có:

a Hàm số xác định trên D = 

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

3 nên đồ thị hàm số có hai điểmuốn là U1 1 ; 10

93

c Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A(; 0), B(2; 0)

b Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ thấy phơng trình đợc viết lại dới dạng:

1 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

2 Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành

lời giải chi tiết: Viết lại phơng trình dới dạng:

2x4  4x2 = 2mphơng trình có đúng 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đờng thẳng y = 2m cắt đồ thịhàm số y = 2x4  4x2 tại 6 điểm phân biệt

Đồ thị y = 2x4  4x2 gồm:

Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị (C): y = 2x4  4x2

Đối xứng phần đồ thị (C) phía dới trục hoành qua trục hoành

y

xO

2

Từ đồ thị, yêu cầu của bài toán đợc thoả mãn khi và chỉ khi:

0 < 2m < 2  0 < m < 1

Ví dụ 9: Cho hàm số:

y = x4  (3m + 2)x2 + 3m, có đồ thị là (Cm), m là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

b Tìm m để đờng thẳng y = 1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

3 nên đồ thị hàm số có hai điểmuốn là U1 1 ; 5

93

c Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A( 2; 0), B( 2; 0)

b Phơng trình hoành độ giao điểm:

 x4  (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0

2 2

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

- Nếu D = adbc > 0  hàm số đồng biến trên D

- Nếu D = adbc < 0  hàm số nghịch biến trên D

c Đồ thị: Do có hai trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị củahàm số có hai dạng sau đây:

Với D > 0 Với D < 0

Một số tính chất của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

y= a/c

x=d/c

Iy= a/c

x=d/c

I

Tích chất 1: Đồ thị nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng.

Hớng dẫn chứng minh:

Bớc 1: Thật vậy, điểm I(x0, y0) là giao điểm của hai đờng tiệm

cận, ta dời trục bằng tịnh tiến về gốc I Công thức dờitrục là : 0

Y + y0 = 0

0

a(X x ) bc(X x ) d

Từ (2) suy ra điều mâu thuẫn

Bớc 3: Vậy không có bất cứ đờng tiếp tuyến nào của đồ thị hàm

số đi qua I

Tích chất 3: M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai

tiệm cận tại A, B thì :

a M là trung điểm AB ;

b IAB có diện tích không đổi ;

c Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số

(d) : yy0 = y’(x0)(xx0) (1)

Bớc 2: Xác định toạ độ của A, B theo thứ tự là giao điểm của

đ-ờng thẳng (d) với tiệm cận đứng (tcđ) x = d

c và tiệmcận ngang (tcn) y = a

d2 = d(I, tcn) = y0a

c

Khi đó: d1.d2 = const

Tích chất 4: Tam giác nội tiếp Hyperbol (H)

a Nếu ABC nội tiếp trong Hyperbol (H) (A, B, C không thẳng hàngthuộc đồ thị hàm số ) thì trực tâm H của ABC cũng thuộc (H)

b Nếu ABC vuông tại A nội tiếp trong (H) thì B, C thuộc hainhánh của Hyperbol (H)

c Nếu xét tập hợp các tam giác vuông có chung đỉnh góc vuông

và cùng nội tiếp trong một đờng Hyperbol (H) thì tất cả cáccạnh huyền của chúng song song với nhau (hay cùng vuông gócvới một tiếp tuyến )

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát, ta xét Hyperbol (H) có phơng trình (H) : y = 1

x.Với A, B, C(H), ta đợc: A(x1,

Tức là BC, B'C' cùng vuông góc với tiếp tuyến tại A của (H)

Tích chất 5: Tiếp tuyến của Hyperbol (H)

a Hai tiếp tuyến của (H) không bao giờ vuông góc với nhau.

b Hai tiếp tuyến song song của (H) có các tiếp điểm đối xứngnhau qua tâm của (H)

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, ta xét Hyperbol (H) có phơng trình (H) : y = 1

x.Với A(x1,

x =1 (MT).Vậy hai tiếp tuyến của (H) không bao giờ vuông góc với nhau

x )  A, B đối xứng qua tâm O của (H)

Tích chất 6: Hyperbol (H) và đờng tròn Nếu một đờng tròn (C) cắt (H) tại bốn

điểm sao cho hai điểm trong 4 điểm đó là các đầu mút đờng kínhcủa đờng tròn, thì hai điểm còn lại đối xứng nhau qua tâm của (H)

và ngợc lại

Hớng dẫn chứng minh :

Giả sử (C)(H) = {A, B, C, D} và AB là đờng kính của (C), khi đó :

 DAB vuông tại D  tiếp tuyến tại D là (dD) vuông góc với AB

 CAB vuông tại C  tiếp tuyến tại C là (dC) vuông góc với AB

 (dD)//(dC)  C, D đối xứng qua tâm O của (H)

Chú ý : Với phép dời trục bằng tịnh tiến về gốc I, theo công thức dời trục là :

d

x X

ca

b Chứng minh rằng giao điểm I của hai đờng tiệm cận của đồ thị

a Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D\ 2  

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

ra bằng cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox (đờng nét đứt)

b Bạn đọc tự thực hiện bằng phép tịnh tiến toạ độ.

c Phơng trình tiếp tuyến tại A có dạng:

1(d ) : y y' x

 Hoành độ tiếp điểm A’ của tiếp tuyến với đồ thị (H) là nghiệm của phơng trình:

2

4(x 2)

   A và A’ đối xứng với nhau qua I

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm A’ có dạng:

5(d ) : y y' (x 4)

Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng

pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, cụ thểvì các dạng hàm số này luôn đơn điệu trên miền xác định của

nó và luôn nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đốixứng nên để vẽ đúng đồ thị của nó các em học sinh hãy thựchiện nh sau:

a Trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta lấy hai điểm

A, B thuộc một nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơnhoặc nhỏ hơn giá trị của tiệm cận đứng)

b Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm

đối xứng I ở giữa hình

c Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận

d Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I,rồi thực hiện vẽ nhánh đồ thị chứa A’, B’

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Tìm k để đờng thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểmphân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoànhbằng nhau

a Ta lần lợt có:

a Hàm số xác định trên D\ 1

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

c Đồ thị của hàm số: Đồ thị hàm số nhận điểm I( 1; 2) làm tâm đối xứng.

Lấy thêm các điểm A(2; 3) và B(0; 1)  Bạn đọc tự vẽ hình.

b Đánh giá và định hớng thực hiện

Với bài toán này ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Thiết lập phơng trình hoàng độ giao điểm: