Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán Phương trình và hệ lượng giác

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Phương trình và hệ lượng giác"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liờn h 0936546689 Phơng trình hệ phơng trình lợng giác Các phơng trình lợng giác đa dạng có công thức chung để giải phơng trình lợng giác, cần thiết sử dụng phép biến đổi lợng giác thông thờng để đa phơng trình ban đầu dạng Chúng ta đa nguyên tắc chung thờng dùng giải phơng trình lợng giác Thông thờng phải thực việc sau: Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác biến đổi tơng đơng phơng trình chứa hàm Nếu phơng trình chứa hàm lợng giác nhiều cung khác biến đổi tơng đơng phơng trình chứa hàm lợng giác cung Sau biến đổi nh phơng trình nhận đợc dạng quen thuộc theo hai hớng: Hớng thứ nhất: Biến đổi phơng trình đà cho để đa việc giải phơng trình đơn giản quen thuộc Các phơng pháp biến đổi theo hớng gồm có: Phơng pháp đặt ẩn phụ Để đa phơng trình việc giải phơng trình đại số Thí dụ: Giải phơng trình 2sin22x = 5cos2x + Lời giải Biến đổi phơng trình dạng: 2cos22x + 5cos2x + = Đặt t = cos2x, ®iỊu kiƯn t  1, ta ®ỵc  t  2t2 + 5t + =   t / 2(loại) Phơng pháp hạ bậc Nếu phơng trình cần giải có bậc cao dùng công thực hạ bậc để biến đổi bậc thấp Thí dụ: Giải phơng trình sin6x + cos6x = Lời giải Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng: (sin2x)3 + (cos2x)3 =  cos4x = Phơng pháp biến đổi thành phơng trình tích Thí dụ: Giải phơng trình sin2x + sin4x = 2cosx Lời giải Biến đổi phơng trình dạng: cosx 0 2sin3x.cosx = 2cosx  2cosx(sin3x1) =   sin 3x Phơng pháp tổng số hạng không âm Thí dụ: Giải phơng trình 2sin2x2 sinx + 3tan22x2 tan2x + = Lời giải Biến đổi phơng trình dạng: sin x   ( sinx1)2 + ( tan2x1)2 =   tan 2x  Phơng pháp đánh giá dùng để giải phơng trình không mẫu mực Thí dụ: Giải phơng trình 3x = cosx Lời giải Ta có x2   3x2  30 =  cosx Suy phơng trình đà cho tơng đơng với hệ: 3x 1 x 0   x = cosx cosx Vậy, phơng trình có nghiệm x = Phơng pháp hàm số: Sử dụng tính chất hàm số để giải phơng trình Thí dụ: Giải phơng trình 2cosx2sinx = sinxcosx Lời giải Biến đổi phơng trình dạng: 2cosx + cosx = 2sinx + sinx XÐt hµm sè f(t) = 2t + t đồng biến R Vậy, phơng trình đợc viết díi d¹ng:  f(cosx) = f(sinx)  cosx = sinx  x = + k, k  Z Híng thứ hai: Dùng lập luận khẳng định phơng trình cần giải vô nghiệm Thí dụ: Giải phơng trình sinx + cosx = tanx + cotx (1) Lêi gi¶i VÕ tr¸i cđa (1) ta cã:   sin  x    4  VÕ ph¶i cña (1) ta cã tanx + cotx   Vậy, phơng trình (1) vô nghiệm sinx + cosx = Ví dụ 1: Giải phơng trình: (sin 2x  cos 2x)cos x  2cos 2x  sin x = Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc giải cách chuyển dạng tích, với định hớng cần tạo đợc nhân tử chung Nhận xÐt r»ng : 2cos 2x  sin x kh«ng thĨ cã nh©n tư chung víi (sin 2x  cos 2x)cos x Do đó, cần tổ hợp lại toán tử phơng trình, cụ thể: (cos 2x.cos x 2cos 2x) + (sin2x.cosx  sin x) =  (cos 2x.cos x  2cos 2x) + (2cos2x.sinx  sin x) =  (cosx + 2)cos2x + (2cos2x – 1)sinx = Tới đây, ta đà có đợc nhân tư chung lµ cos2x bëi 2cos2x – = cos2x lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình dạng: (cos 2x.cos x  2cos 2x) + (sin2x.cosx  sin x) =  (cosx + 2)cos2x + (2cos2x – 1)sinx =  (cosx + 2)cos2x + sinx.cos2x =  (cosx + sinx + 2)cos2x =  cosx  sin x  0 (v« nghiƯm)   cos2x =  2x   k    cos2x 0    x   k , k   VËy, ph¬ng trình có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng tr×nh:    sin x  cos2x  sin  x   4   cosx tan x Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu nµy (chøa tanx vµ chøa Èn ë mÉu) ta thùc thông qua bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể: cosx cosx 0 (*)    1  tan x tan x Tới đây, em học sinh dừng lại giải tiếp hệ điều kiện tuỳ thuộc vào biến đổi nháp bớc Bớc 2: Lựa chọn phép biến đổi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình ban đầu dạng phơng trình lợng giác bản, từ nhận đợc nghiệm cho phơng trình theo k Cụ thể, với phơng trình cần khử mẫu số công việc đợc bắt đầu đánh giá sau: Với phơng trình hỗn hợp chứa sin, cos tan (hoặc cot) thông thờng ta cần chuyển đổi tan (hoặc cot) dạng sin vµ cos, ta cã: si n x cosx  si n x  tan x 1   cosx cosx Với phơng trình chứa hàm lợng giác nhiều cung khác biến đổi tơng đơng phơng trình chứa hàm lợng giác cña mét cung, ta cã:   sin  x     sin x  cosx  4   Nh vËy, chóng ta ®· nhận đợc phơng trình dạng: (1) sin x co s2x Và tới đây, em học sinh có thĨ tiÕp tơc theo mét hai híng biÕn ®ỉi: Hớng 1: Sử dụng công thức góc nhân đôi biến đổi (1) dạng phơng trình bậc hai theo hàm số lợng giác, cụ thể: 2sin x  sin x  0 Híng 2: Sư dơng phơng trình lợng giác bản, cụ thể: co s2x  sin x  co s2x cos  x   2  C¸c em häc sinh cần lựa chọn hớng biến đổi để tối u cho bíc Bíc 3: KiĨm tra ®iỊu kiƯn, tõ ®ã kết luận nghiệm phơng trình lời giải chi tiÕt: §iỊu kiƯn: cosx 0 cosx 0    1  tan x 0 tan x  Biến đổi phơng trình dạng: (*) sin  x     sin x  co s2x  4  cosx si n x 1 cosx  sin x  cosx    sin x  cos2x    sin x  cos2x 1  1 cosx  sin x  sin x  co s2x 0 (1)  sin x   2sin x 0  2sin x  sin x  0    sin x 1 (lo¹i)  x   k2      , k    sin x  7  x   k2 Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Chú ý: Một vài em học sinh biến đổi phơng trình (1) nh sau:  cos2x  sin x  co s2x cos  x   2       2x x   k2   x   k2       2x  x    k2  x    k    Nh vậy, vô tình phải thực thêm việc kiểm tra điều kiện (*) cho trờng hợp k = 0, k = 1, k = VÝ dô 3: Giải phơng trình: sin2x cos2x + 3sinx cosx = Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc giải cách chuyển dạng tích, với định hớng cần tạo đợc nhân tử chung Nhận thấy phơng trình cha có nhân tử chung đơn nên cần sử dụng vài phép biến đỏi dựa kinh nghiệm: "Nếu phơng trình chứa hàm lợng giác nhiều cung khác biến đổi tơng đơng phơng trình chứa hàm lợng giác cung" Ta có: 2sinx.cosx  (2cos2x  1) + 3sinx  cosx  =  2sinx.cosx  2cos2x + 3sinx  cosx = Không khả thi hoặc: 2sinx.cosx (1  2sin2x) + 3sinx  cosx  =  2sinx.cosx + 2sin2x + 3sinx  cosx  =  (2sinx.cosx  cosx) + 2sin2x + 3sinx  =  (2sinx  1)cosx + (2sinx 1)(sinx + 2) = Tới đây, ta đà có đợc nhân tử chung 2sinx lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình dạng: 2sinx.cosx  (1  2sin2x) + 3sinx  cosx  =  (2sinx.cosx  cosx) + 2sin2x + 3sinx  =  (2sinx  1)cosx + (2sinx  1)(sinx + 2) =  (2sinx  1)(cosx + sinx + 2) =     x   k2  sin x      , k    5  x   k2  cosx  sin x (vô nghiệm) Vậy, phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh:   2sin x  cosx    2sin x    sin x Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Chúng ta có đánh giá TS MS nhân tử chung, hớng nhân chéo hai vế để nhận đợc:  2sin x  cosx    2sin x    sin x    cosx  2sin x.cosx   2sin x  sin x   cosx  sin 2x   cos2x  sin x  Tới đây, dễ dàng đánh giá đợc cần chia hai cung x 2x hai vế để nhận đợc phơng trình có dạng tổng quát: a.sin(kx) + b.cos(kx) = c.sin(lx) + d.cos(lx), víi a + b2 = c2 + d2 phơng pháp giải tơng tự cách để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c Tham khảo định hớng câu II.1 đề toán khối D 2007 Nh vậy, trình bày toán em học sinh cần thực theo bớc: a Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình (*) b Sử dụng biến đổi để giải phơng trình c Kết hợp với điều kiƯn (*) ®Ĩ ®a kÕt ln vỊ nghiƯm cđa phơng trình lời giải chi tiết: Điều kiện: sin x  (*)   2sin x    sin x  0  sin x Với điều kiện (*) biến đổi tơng đơng phơng trình dạng: 2sin x cosx    2sin x    sin x    cosx  2sin x.cosx   2sin x  sin x   cosx  sin 2x   cos2x  sin x   cosx   sin x  cos 2x  sin 2x     3 cosx  sin x  cos 2x  sin 2x  co s  x   co s  2x   3 6   2 2   2x     2x       x   2k x   2k  , k        2   x   2k x  k  18 KÕt hỵp với (*), ta đợc nghiệm phơng trình x  VÝ dô 5:  2 , k   k 18 Giải phơng trình: sin x cos x.sin 2x  cos3x 2(cos 4x  sin x) Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc cho dới dạng hỗn tạp, tức cần phép biến đổi dần, với định hớng là: Chuyển phơng trình dạng chứa sinx (bởi phơng trình có chứa sin3x), hớng không khả thi phức tạp với cos4x Nh vậy, cần hạ bậc sin3x không đợc cung cấp công thức hậc bậc bậc ba nên cần ghép với toán tử tơng ứng, ta có: sin x 2sin x   cosx.sin 2x  cos3x 2 cos 4x    2sin x  sin x  cosx.sin 2x  cos3x 2 cos 4x  B»ng viƯc sư dơng c«ng thøc gãc nhân đôi, ta biến đổi đợc: cos2x.sin x cosx.sin 2x  cos3x 2 cos 4x TiÕp theo, việc sử dụng công thức cộng, ta đợc: sin 3x cos3x cos 4x Tới đây, gặp dạng phơng trình đợc tỉng qu¸t: a.sin x  b cosx  a  b cos kx hc a.sin x  b cosx  a  b sin kx phơng pháp giải tơng tự cách để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c Tham khảo định hớng câu II.1 đề toán khối D  2007 Cơ thĨ, ta biÕn ®ỉi tiÕp:   sin 3x  cos3x cos 4x  co s  3x   co s 4x 6 2 lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình dạng: sin x 2sin3 x  cosx.sin 2x  cos3x 2 cos 4x     2sin x sin x  cosx.sin 2x  cos3x 2 cos 4x  cos2x.sin x  cosx.sin 2x  cos3x 2cos 4x  sin3x  cos3x 2 cos 4x  sin 3x  cos3x cos 4x 2    co s  3x   co s 4x 6       4x 3x   2k  x   2k , k        4x  3x    2k  x    k 42 Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 6: Giải phơng trình: cos5x  2sin 3x.cos2x  sin x 0  Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc cho dới dạng hỗn tạp, tức cần phép biến đổi dần, với định hớng là: Có hai toán tử đơn cos5x sinx nhng hệ số nên kết hợp chúng lại đợc Từ đó, dẫn tới việc cần biến đổi tích 2sin3x.cos2x thành tổng, cụ thể phơng trình đợc đổi phơng trình dạng: cos5x  (sin 5x  sin x)  sin x 0   cos5x  sin 5x 2sin x Tới đây, gặp dạng phơng trình đợc tổng quát: a.sin x b cosx  a  b cos kx hc a.sin x  b cosx  a  b sin kx phơng pháp giải tơng tự cách để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c Tham khảo định hớng câu II.1 đề toán khối D 2007 Cụ thể, ta biến đổi tiÕp:    cos5x  sin 5x sin x  sin   5x  sin x 3  2 lêi gi¶i chi tiÕt: BiÕn đổi phơng trình dạng: cos5x (sin 5x  sin x)  sin x 0   cos5x  sin 5x 2sin x   cos5x  sin 5x sin x  sin   5x  sin x   2       5x x  2k  x 18  k , k          5x   x  2k  x    k  Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 7: Giải phơng trình: sin 2x  co s2x  sin x.sin 2x co t x Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiĨu nµy (chøa tanx vµ chøa Èn ë mÉu) ta thực thông qua bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể: sin x 0  x k, k   (*)  co t x Tới đây, em học sinh dừng lại giải tiếp hệ điều kiện tuỳ thuộc vào biến đổi nháp cđa bíc Bíc 2: Lùa chän phÐp biÕn ®ỉi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình ban đầu dạng phơng trình lợng giác bản, từ nhận đợc nghiệm cho phơng trình theo k Cụ thể, với phơng trình cần khử mẫu số công việc đợc bắt đầu việc sử dụng công thức bản: 1  cot x  sin x  Khi đó, việc sử dụng thêm công thức sin2x = 2sinx.cosx cho VP ta nhận đợc phơng trình dạng:   sin 2x  cos2x  sin x 2 sin x.cosx Và điều kiện sinx 0, nhận đợc phơng trình d¹ng: (1)  sin 2x  cos2x 2 2cos x Tới đây, em học sinh tiếp tơc theo mét hai híng biÕn ®ỉi dùa theo công thức góc nhân đôi: Hớng 1: Ta có: (sin x  cosx)2  cos2 x  sin x 2 2cosx  (sin x  cosx)(sin x  cosx  cosx  sin x) 2 2cosx  2(sin x  cosx)cosx 2 2cosx   cosx  sin x   cosx 0 Híng 2: Ta cã: cos2 x  2sin x.cosx 2 2cosx  cosx  sin x  cosx 0 Bíc 3: KiĨm tra ®iỊu kiƯn, tõ ®ã kÕt ln vỊ nghiƯm cđa phơng trình lời giải chi tiết: Điều kiện: sin x 0  x k, k    1 co t x Biến đổi phơng trình d¹ng:  sin 2x  co s2x  sin x.sin 2x sin x   (*)    cos2x  sin 2x  sin x 2 sin x.cosx  sin x 0  cos2 x  2sin x.cosx 2 2cosx  cosx  sin x   cosx  sin x     cosx 0 0  cosx 0       sin  x    sin  x   1        4 4   cosx 0  cosx 0       x    k2   x   k2      , k    x    k  x    k 2 Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 8: Giải phơng trình: sin 2x 2cosx  sin x  tan x  Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác dạng u(x) ta v(x) thực theo bớc: Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể ta cÇn cã: co sx 0 (*)  tan x Bớc 2: Biến đổi phơng trình d¹ng: u(x) =  sin2x + 2cosx  sinx = 10 Phơng trình đợc giải việc sử dụng công thức góc nhân đôi (sin2x = 2sinx.cosx) để chuyển dạng tích Cụ thể: 2sinx.cosx + 2cosx  sinx  =  2(sinx + 1)cosx  (sinx + 1) =  (sinx + 1)(2cosx  1) = Bíc 3: KiĨm tra ®iỊu kiƯn (*) råi kÕt ln vỊ nghiƯm phơng trình lời giải chi tiết: Điều kiện:  x   k co sx 0 (*)   , k    tan x  0 x    k  BiÕn đổi phơng trình dạng: sin2x + 2cosx sinx  =  2sinx.cosx + 2cosx  sinx  =  2(sinx + 1)cosx  (sinx + 1) =  (sinx + 1)(2cosx  1) =  sin x  loai (*)  sin x  0       x   k2 , k    cosx   2cosx  0   KÐt hỵp víi (*) suy nghiƯm phơng trình x k2 , k Ví dụ 9: Giải phơng trình sin2x.cosx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx  Gi¶i Đánh giá định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu ta thực việc biến đổi dạng phơng trình tích phép thử dần, thĨ: sin2x.cosx = 2sinx.cosx.cosx = 2cos2x.sinx = (1 + cos2x)sinx = sinx + cos2x.sinx Khi đó, đơn giản đợc sinx hai vế phơng trình ta ®ỵc: cos2x.sinx + sinx.cosx = cos2x + cosx  (sinx  1)cos2x + (sinx  1)cosx =  (sinx  1)(cos2x + cosx) = lêi gi¶i chi tiÕt: Biến đổi phơng trình dạng: 2sinx.cos2x + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx  (1 + cos2x)sinx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx  (sinx  1)cos2x + (sinx  1)cosx =  (sinx  1)(cos2x + cosx) =  sin x  0  sin x 1      cos2x  cosx 0  cos2x  cosx cos(   x) 11      x   k2  x   k2      x   k2     2   , k     2x   x  k2    x   k  3  x    k 2  2x    x  k2     3  x    k2    VÝ dô 10: Giải phơng trình: sin 2x cos 2x 2cosx Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu ta định hớng biến đổi dạng tích Và với hai cung góc 2x x nên ta sử dụng công thức góc nhân đôi để chuyển phơng trình dạng chứa cung x, cụ thể: sin2x = 2sinx.cosx; cos2x = 2cos2x  = 2sin2x = cos2x sin2x Từ đặc thù phơng trình VP có chứa nên ta chọn cos2x = 2cos2x  1, suy ra: sin x.cosx  2cos x  2cosx   sin x.cos x  2co s2 x  2cosx 0   sin x  cosx  cosx 0   sin x  cosx  cosx 0  sin x  co sx 1    cosx 0 lêi giải chi tiết: Biến đổi phơng trình dạng: sin 2x   cos2x  1  2cosx 0  sin x.cos x  2co s2 x  2cosx 0    1  sin x  co sx 1 sin x  cosx      2   cosx 0  cosx 0    2   x    k2   x   k2       cos  x   cos      3   x    k2    x k2  , k     3   cosx 0    x   k  x  k Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 11: 12 Giải phơng tr×nh:   cosx  sin x cosx cosx sin x Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu ta định hớng biến đổi dạng phơng trình tích, cụ thể với phơng pháp luận hÖ sè: cos2 x  sin x.cosx cosx  sin x   cos x  cosx   sin x.cosx  sin x 0  (cosx  1)(2cosx  1)  3(2 cosx  1)sin x 0 Ta có đợc nhân tử chung (2cosx + 1) Chú ý: Với việc sử dụng công thức góc nhân đôi, ta biÕn ®ỉi: cos2 x  sin x.cosx cosx  sin x   cos x   sin x.cosx cosx   cos2x  sin 2x cosx  sin x sin x 3 cos2x  sin 2x  cosx  sin x 2 2 Đó dạng mở rộng phơng trình a.sinx + b.cosx = c thành phơng trình: a.sinu + b.cosu = c.sinv + d.cosv, víi ®iỊu kiƯn a + b2 = c2 + d2 lêi gi¶i chi tiết: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình dạng: cos2 x  sin x.cosx cosx  sin x   cos2 x  cosx   sin x.cosx  sin x 0  (cosx  1)(2cosx  1)  3(2 cosx  1)sin x 0  (cosx  sin x  1)(2 cosx  1) 0  1 sin x   co sx   cosx  sin x 1 2     2 2cosx      cosx      x k2   x  3  k2     , k    x 2   k2   x 2  k2  Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm Chú ý: Cũng biến đổi cách thêm bớt nh sau:   cosx  sin x cosx  cos x  cosx     cosx  sin x  cosx  cosx      cos  x         cosx   sin x  sin x  13  (cosx  sin x  1)(2cosx  1) 0 C¸ch 2: Biến đổi phơng trình dạng: cos2 x sin x.cosx cosx  sin x   cos x   sin x.cosx cosx   cos2x  sin 2x cosx  sin x sin x 3 cos2x  sin 2x  cosx  sin x 2 2      cos  2x   cos  x   3 3      2    2x  x   k2  x   k2      , k    2x    x    k2   x k 2 3 Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 12: Giải phơng trình: sin x  7  4sin   x       sin  x Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Chúng ta đánh giá lần lợt:    VP 4sin   x  4sin  2   x  4sin    x   4sin   x        4   2  sin x  cos x  ,  1 sin x  cos x   co s x  VT  sin x co s x sin x.cos x 3   sin  x     Tøc c¶ hai vế có nhân tử chung (sinx + cosx), điều khẳng định phơng trình đợc chuyển dạng tích để giải Và cụ thể sÏ thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình (*) Bớc 2: Sử dụng phép biến đổi nh để chuyển phơng trình dạng tích: (sinx + cosx).f(x) = Nghiệm Bớc 3: Kết hợp với (*) để đa kết luận nghiệm cho phơng trình lời giải chi tiết: Điều kiện: 14 sin x sin x 0    3    cos x 0 sin  x   0     sin2x   2x k  x k  , k   BiÕn ®ỉi phơng trình dạng: 1 sin x cos x     4sin    x    2  sin x  cos x  sin x co s x sin x.cos x       sin x  cos x    2  0  sin 2x     x   k  sin x  cos x 0  ta n x          x   k , k   1  sin 2x   sin 2x      2   x   k  VËy, ph¬ng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 13: Giải phơng tr×nh: sin3x  cos3x  sin x  cosx  2cos 2x Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu ta định hớng sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích dó có hai cách nhóm: Ta có đợc nhân tử chung (2cosx + 1) Cách 1: Với công thức sin a cosa sin  a   ta nhãm: 4  sin 3x  cos3x   sin x  cosx   2co s2x     sin  3x    sin  x    2cos 2x 4         sin  3x    sin  x   cos2x 4     Tới việc sử dụng công thức sin a  sin b 2cos xt hiƯn nh©n tư chung cos2x cho phơng trình, cụ thể: 2cos2x.sin x   co s2x 4  C¸ch 2: Víi c¸c c«ng thøc: a b a b sÏ thÊy sin 2 15 sin a  sin b 2co s ta nhãm: ab a b ab a b sin & cosa  cos b 2cos cos 2 2  sin 3x  sin x    cos3x  cosx   2cos2x  cos2x.sin x  2cos2x.cosx 2cos2x Với nhân tử chung cos2x phơng trình đợc biến đổi dạng tích, cụ thể: 2(sin x  cosx)  1 cos2x 0   lêi gi¶i chi tiết: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình dạng: sin 3x  cos3x   sin x  cosx   2co s2x    sin  3x    4    sin  x    2cos 2x 4       sin  3x    sin  x   cos2x 4 4         2cos 2x.sin  x   cos2x   2sin  x    4 4     1 co s2x 0        x    k2   x  12  k2       sin  x     5 7        x    k2   x   k2  , k     12  cos2x 0    2x    k  x   k    VËy, phơng trình có ba họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng: sin 3x sin x    cos3x  cosx   2cos2x  cos2x.sin x  2cos2x.cosx  2cos2x  2(sin x  cosx)cos2x  2cos2x       2 sin  x   co s2x  2cos2x   2sin  x    4 4    16  1 co s2x 0        x    k2   x  12  k2       sin  x     5 7        x    k2   x   k2  , k     12    cos2x 0   2x   k  x   k    VËy, phơng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 14: Giải phơng trình: sin x cos3 x sin x.cos x  sin x.cos x  Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Chúng ta lựa chọn hai hớng đánh giá sau: Hớng 1: Dựa vào phơng pháp luận hệ số, chia toán tử phơng trình thành hai phần, cụ thể: cos3 x  sin x.cos x   sin x.cos x sin x Tới đây, việc đạt nhân tử chung cho nhóm, cụ thÓ: cos x(cos x  sin x)  sin x(cos x  sin x) 0, thấy xuất nhân tử chung cho phơng trình (cos x sin x) = cos2x, ta đợc: cos x sin x cos 2x Cách đánh giá trên, khẳng định phơng trình đợc chuyển dạng tích để giải Hớng 2: Dế thấy toán tử phơng trình ®Ĩ cã bËc ba ®èi víi sinx vµ cosx, đợc tổng quát: a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x = (1) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:  Bíc 1: Víi cosx =  x = + k, k Z Khi phơng trình (1) có dạng: a = - Nếu a = 0, th× (1) nhËn x = + k làm nghiệm - Nếu a 0, (1) không nhận x = + k làm nghiệm  Bíc 2: Víi cosx   x  + k, k  Z Chia hai vÕ cña phơng trình (1) cho cos3x 0, ta đợc a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = Đặt t = tanx, phơng trình có dạng: a.t3 + b.t2 + c.t + d = (2) Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t 17 Mở rộng: Phơng pháp giải đợc mở rộng cho phơng trình đẳng cấp bậc n sin cos, phơng trình có dạng: n a k sin n k x.cos k x = k 0 Tuy nhiªn để linh hoạt, em học sinh cần nhớ sin 2x + cos2x = nên với nhân tử có bậc k đợc coi có bËc k + 2l, vËy chóng ta cã d¹ng mở rộng phơng trình bậc ba nh sau: a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x + (e.sinx + f.cosx) = phơng trình bậc bèn: a.sin4x + b.sin3x.cosx + c.sin2x.cos2x + d.sinx.cos3x + e.cos4x + + f1sin2x + f2cos2x + g = lêi giải chi tiết: Ta trính bày theo hai cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình dạng: cos3 x  sin x.cos x  sin x.cos x  sin x 0 cos x(cos x  sin x)  sin x(cos x  sin x) 0   cos x  sin x 0 cos x  sin x cos 2x 0    co s 2x 0      x   k  x   k  tan x  , k            co s 2x     2x   k x k Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Cách 2: Vì cosx = nghiệm phơng trình nên chia hai vế phơng trình cho cos3x 0, ta ®ỵc:    ta n x  ta n x Đặt t = tanx, ta đợc: t  3t  t  3ta n x 0    t(t  1)  3(t  1) 0  (t  1) t  0    x 4  k  t 1  tan x 1 , k          t  tan x    x k Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 15: Giải phơng trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx  Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Chúng ta đánh giá lần lợt: 18 VT = 4sinx.cos2x + sin2x = (2cosx + 1)sin2x = VP.sin2x Tõ ®ã, suy phơng trình đợc giải cách chuyển dạng tích lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình d¹ng: 4sinx.cos2x + sin2x = + 2cosx  2cosx(2sinx.cosx  1) + sin2x  =  2cosx(sin2x  1) + sin2x  =  (2cosx + 1)(sin2x  1) = 2 2   x   k x   k    cos x  3 , k              x   2k x   k  si n 2x 1   Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 16: Giải phơng trình: sin x cos x    co s x sin x sin 2x Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Chúng ta đánh giá lần lợt: VP = sin2x + cos2x + 2sinx.cosx = (sinx + cosx)2, VT = (sinx + cosx) + sinx.cosx.(sinx + cosx), tức hai vế có nhân tử chung (sinx + cosx), điều khẳng định phơng trình đợc chuyển dạng tích để giải lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình d¹ng: (sinx + cosx) + (sin2x.cosx + sinx.cos2x) = sin2x + cos2x + 2sinx.cosx  (sinx + cosx) + sinx.cosx.(sinx + cosx) = (sinx + cosx) 2,  (sinx + cosx)(1 + sinx.cosx  sinx  cosx) =  (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) =    x   k  sin x  cos x 0  ta n x        sin x 0   sin x 1   x   2k , k      co s x 0  co s x 1 x 2k Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 17: Giải phơng trình: 2sin22x + sin7x = sinx Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Chúng ta đánh giá lần lỵt:  2sin22x = cos4x, sin7x  sinx = 2cos4x.sin3x, tức hai vế có nhân tử chung cos4x, điều khẳng định phơng trình đợc chuyển dạng tích để giải lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình dạng: 19 2sin22x + sin7x  sinx =  cos4x + 2cos4x.sin3x  cos4x(2sin3x  1) =  k     x 8   4x   k    cos 4x 0   2k   , k     3x   2k  x      sin 3x  18     x  5  2k  3x     2k 18   Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm 20 ...Phơng trình hệ phơng trình lợng giác Các phơng trình lợng giác đa dạng có công thức chung để giải phơng trình lợng giác, cần thi? ??t sử dụng phép biến đổi lợng giác thông thờng để đa phơng trình. .. Tới đây, em học sinh dừng lại giải tiếp hệ điều kiện tuỳ thuộc vào biến đổi nháp bớc Bớc 2: Lựa chọn phép biến đổi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình ban đầu dạng phơng trình lợng giác bản,... hàm số để giải phơng trình Thí dụ: Giải phơng trình 2cosx2sinx = sinxcosx Lời giải Biến đổi phơng trình dạng: 2cosx + cosx = 2sinx + sinx XÐt hµm sè f(t) = 2t + t đồng biến R Vậy, phơng trình đợc