Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Hình học không gian"

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Hình học không gian"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 Hình học không gian Ví dụ 1: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD có: a. Diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2 . b. AC = 2 và ã ASB = 60 0 . Giải a. Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có: V = ABCD 1 S .SO 3 = 4 SO 3 . (1) Gọi M là trung điểm AB, ta lần lợt có: S ABCD = AB 2 = 4 AB = 2. S SAB = 1 SM.AB 2 SM = SAB 2S AB = 2 SO 2 = SM 2 OM 2 = 2 2 AB SM 2 ữ = 2 1 = 1. (2) Thay (2) vào (1) ta đợc V = 4 3 (đvdt). b. Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có: V = ABCD 1 S .SO 3 = 2 1 AB .SO 3 . (3) Gọi M là trung điểm AB, ta lần lợt: Trong ABC vuông cân tại B, ta có AC 2 AB 2 2 2 = = = . (4) Trong SMA vuông tại M, ta có: ã SM AM.cot ASM= 0 AB .cot30 2 = = 6 2 . Trong SOM vuông tại O, ta có: SO 2 = SM 2 OM 2 = 6 2 1 4 4 = SO = 1. (5) Thay (4), (5) vào (3) ta đợc V = 3 2 (đvtt). Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích của các khối chóp tứ giác đều trên chúng ta đã thực hiện đúng theo bốn bớc đợc nêu trong phần phơng pháp, với lu ý dạng hình chóp này luôn nhận SO làm đ- ờng cao. 2 S B D C A O M S B D C A O M Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đờng thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và BC theo a. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện 1. Thể tích khối chóp S.ABC đợc cho bởi: S.ABC ABC 1 V S .SH. 3 = (1) Trong đó: Vì ABC là tam giác đều cạnh a nên 2 ABC a 3 S . 4 = Độ dài của SH đợc bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông SHC, cụ thể: ã SH HC.tanSCH.= 2. Để tính khoảng cách giữa SA và BC, ta thấy: Việc tìm đoạn vuông góc chung của SA và BC khả thi nên cần chuyển nó về việc tính khoảng cách giữa B với mặt phẳng (P) chứa SA và song song với BC. Mặt phẳng (P) đợc xác định bằng cách dựng Ax // BC. Vì A, B, H thẳng hàng nên: d(B, (SAN)) BA d(H, (SAN)) HA = 3 . 2 = Từ đó, bài toán đợc chuyển về việc tính d(H, (P)). Gọi N và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN. Ta có nhận xét: d(H, (P)) = HK Để tính AH ta sử dụng công thức đờng cao trong tam giác vuông. lời giải chi tiết: Bạn đọc tự vẽ hình. a. Thể tích khối chóp S.ABC đợc cho bởi: S.ABC ABC 1 V S .SH. 3 = (1) Trong đó: 2 ABC a 3 S . 4 = (2) 3 Gọi D là trung điểm của AB, ta có: ã SH HC.tanSCH= 2 2 HD CD .tang(SC, (ABC))= + 2 2 0 a a a 3 .tan60 2 3 2 = + ữ ữ ữ a 21 . 3 = (3) Từ đó, bằng cách thay (2), (3) vào (1) ta đợc: 2 S.ABC 1 a 3 a 21 V . . 3 4 3 = 3 a 7 . 12 = b. Kẻ Ax // BC. Gọi N và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN. Ta có nhận xét: d(H, (SAN)) = HK. 2 2 2 1 1 1 HK SH HN = + ( ) 2 2 0 1 1 SH AH.sin 60 = + 2 24 7a = a 42 HK . 12 = Từ đó: BC // AN BC // (SAN) d(BC, SA) = d(B, (SAN); d(B, (SAN)) BA d(H, (SAN)) HA = BA d(BC, SA) .HK HA = 3 a 42 . 2 12 = a 42 . 8 = Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh SC. Chứng minh SC vông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện 1. Với hình chóp tam giác đều S.ABC, ta có thể: Sử dụng tính chất bằng nhau của các tam giác để có đợc SC BH. Sử dụng kết quả của sự vuông góc giữa đờng thẳng với mặt phẳng để có đợc SC BH. Từ đó, suy ra SC (ABH). 2. Với hình chóp S.ABH để tính thể tích của nó, ta có thể: Sử dụng công thức chuẩn: S.ABH ABH 1 V SH.S . 3 = Trong đó ABH cân tại H. Sử dụng công thức về tỉ số thể tích, cụ thể: 4 S.ABH S.ABC V SH V SC = S.ABH S.ABC SH V .V . SC = lời giải chi tiết: Sử dụng tính chất về tỉ số thể tích, ta đợc: S.ABH S.ABC V SH V SC = S.ABH S.ABC SH V .V . SC = (4) Trong SAC cân tại S, gọi D là trung điểm của AC, ta có: SAC 1 S AH.SC 2 = 1 SD.AC 2 = SD.AC AH SC = 2 2 SA AD .AC SC = 2 2 AC SA .AC 2 SC ữ = 2 2 a (2a) .a 2 2a ữ = a 15 . 4 = 2 2 SH SA AH= ( ) 2 2 a 15 2a 4 = ữ ữ 7a . 4 = (5) Gọi O là trọng tâm ABC, ta có: 2 2 SO SA AO= ( ) 2 2 a 3 2a 3 = ữ ữ a 33 . 3 = S.ABC ABC 1 V SO.S 3 = 2 1 a 33 a 3 . . 3 3 4 = 3 a 11 . 12 = (6) Thay (5), (6) vào (4), ta đợc: 3 S.ABH 7a 1 a 11 V . . 4 2a 12 = 3 7a 11 . 96 = Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác AAC vuông cân, AC = a. Tính thể tích khối tứ diện ABBC và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) theo a. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện 1. Tứ diện ABBC đợc coi là hình chóp C.ABB nên ta có ngay: ABB'C ' ABB' 1 V BC.S 3 = 1 BC.AB.BB'. 6 = 5 Trong đó, độ dài các đoạn thẳng BC, AB, BB đợc xác định bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông. 2. Ta nhận thấy: d(A, (BCD)) = d(A, (BCDA)) = d(A, AB) = h. Và h đợc xác định bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông. lời giải chi tiết: Bạn đọc tự vẽ hình. a. Tứ diện ABBC đợc coi là hình chóp C.ABB nên ta có ngay: ABB'C ' ABB' 1 V BC.S 3 = 1 BC.AB.BB'. 6 = Trong đó, ta lần lợt có: AC = a và AAC vuông cân chỉ có thể tại A nên: A'C A'A AC 2 = = a 2 = . ABC vuông cân tại B nên: AC AB BC 2 = = a a . 2 2 2 = = Từ đó, suy ra: ABB'C ' 1 a a a V . . . 6 2 2 2 = 3 a . 24 2 = b. Ta nhận thấy: d(A, (BCD)) = d(A, (BCDA)) = d(A, AB) = h. Trong AAB vuông tại A, ta đợc: 2 2 2 1 1 1 h A'A AB = + ( ) ( ) 2 2 1 1 a / 2 a / 2 = + 2 6 a = a 6 h . 6 = Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân AB = AC = a. Mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy (ABC), hai mặt bên còn lai đều tạo với đáy môt góc 45 0 . a. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S xuống đáy (ABC) là trung điểm cạnh BC. b. Tính thể tích hình chóp S.ABC. Giải a. Hạ SH vuông góc với BC thì cùng với các điều kiện: (ABC) (SBC) BC (ABC) (SBC) = SH (ABC). 6 S B C H A M N Hạ HM, HN theo thứ tự vuông góc với AB và AC (M, N theo thứ tự sẽ là trung điểm của AB, AC), ta có: SM AB ã 0 SMH 45= , SN AC ã 0 SNH 45= . Từ đó, ta đợc: SHM = SHN HM = HN BHM = CHN HB = HC. Vậy, hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) là trung điểm cạnh BC. b. Trong SHM vuông tại H, ta có: ã 0 SMH 45= SH = MH = 1 2 AC = a 2 . Từ đó, suy ra: V = 1 3 SH.S ABC = 1 3 . a 2 . 2 a 2 = 3 a 12 (đvtt). Nhận xét: a. Trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng kết quả: "Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đờng thẳng a nào thuộc mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q)" để xác định đờng cao của hình chóp. Các em học sinh cần nhớ thêm kết quả: "Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba" b. Do đặc thù của công thức tính thể tích một khối lăng trụ chúng ta cụ thể năm bớc trong dạng toán 1 ở phần mở đầu thành các bớc: Bớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (nh khoảng cách, góc giữa đờng thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng .) theo các phơng pháp đã biết. Bớc 2: Thiết lập công thức tính cho thể tích V thông qua biểu thức chứa những đoạn thẳng phải tính. (1) Bớc 3: Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lợng trong tam giác, tính chất đồng dạng . (2) Bớc 4: Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị của V. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và SN theo a. Giải 7 Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, chúng ta cần sử dụng giả thiết để thiết lập đợc: SA (ABC) Tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. ã 0 ((SBC), (ABC)) SBA 60= = Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. 1. Với khối chóp S.BCNM, ta có ngay: S.BCNM BCNM 1 V S .SA. 3 = Trong đó: Độ dài của SA đợc bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông SAB, cụ thể: ã SA AB.tanSBA.= Diện tích tứ giác BCNM (hình thang vuông) ta có thể lựa chọn một trong hai hớng: Hớng 1: Sử dụng công thức tính diện tích hình thang: BCNM 1 S (MN BC)MB 2 = + Hớng 2: Sử dụng công thức ghép: S BCNM = S ABC S ANM 1 1 AB.BC AM.MN. 2 2 = 2. Để tính khoảng cách giữa AB và SN, chúng ta chỉ cần thực hiện: Tìm đoạn vuông góc chung của AB và SN, cụ thể với các em học sinh có kiến thức hình học phẳng vững sẽ dễ nhận thấy rằng cần tạo dựng một mặt phẳng (P) chứa SN và song song với AB, từ đó: d(AB, SN) = d(AB, (P)) = d(A, (P)) = AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). d(DM, SC) = HK. Để tính AH ta sử dụng công thức đờng cao trong tam giác vuông. lời giải chi tiết: Từ giả thiết: (SAB) (ABC) (SAC) (ABC) SA (ABC) và ã 0 ((SBC), (ABC)) SBA 60 .= = Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N thì MN // BC và N là trung điểm của AC. a. Tính thể tích khối chóp S.BCNM: Ta có: S.BCNM BCNM 1 V S .SA. 3 = (1) Trong đó: ã 0 SA AB.tanSBA 2a.tan 60 2a 3.= = = (2) 8 S B C A M N D H S BCNM = 1 (MN BC)MB 2 + 1 1 1 BC BC . AB 2 2 2 = + ữ ( ) 2 2 2 3 3 3a AB . 2a . 8 8 2 = = = (3) Từ đó, bằng cách thay (2), (3) vào (1) ta đợc: 2 3 S.BCNM 1 3a V . .2a 3 a 3. 3 2 = = b. Tính khoảng cách giữa AB và SN: Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đờng thẳng (d) qua N và song song với AB và hạ AD vuông góc với (d) (D (d)), từ đó suy ra: AB // (SND) d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)) = AH trong đó H là hình chiếu vuông góc của A trên SD. Trong SAD, ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AD SA = + 2 2 1 1 MN SA = + ( ) 2 2 2 2 SA.MN 2a 3.a 2a 39 AH . 13 SA MN 2a 3 a = = = + + Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tính hình lập phơng có một mặt thuộc mặt đáy của hình chóp còn mặt đối diện có các đỉnh nằm trên cạnh của hình chóp. Giải Với hình chóp S.ABCD (hình bên), ta có AB = a, SO = h. Gọi x là độ dài cạnh của khối lập phơng nội tiếp hình chóp, ta có: M' N ' SM' SB BM' BM ' MM' 1 1 AB SB SB SB SO = = = = x x 1 a h = (a + h)x = ah ah x a h = + . Khi đó, thể tích của khối lập phơng đó là: V = x 3 = 3 ah a h ữ + (đvtt). Ví dụ 8: Cho lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD a 3.= Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B 1 đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a. 9 S B D C A O N M N M Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, chúng ta cần sử dụng giả thiết để thiết lập đợc: A 1 O (ABCD) với O là giao điểm của AC và BD. Với E là trung điểm của AD thì ã 0 1 1 1 ((ADD A ), (ABCD)) A EO 60= = . 1. Với khối lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 , ta có ngay: 1 1 1 1 ABCD.A B C D 1 ABCD 1 V A O.S A O.AB.AD.= = Trong đó: Độ dài của AB và AD đã có sẵn. Độ dài của A 1 O tính đợc bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông A 1 OE, cụ thể: ã 1 1 A O OE.tan A EO.= 2. Để tính khoảng cách từ B 1 đến mặt phẳng (A 1 BD), chúng ta sử dụng: B 1 C // A 1 D B 1 C // (A 1 BD) d(B 1 , (A 1 BD)) = d(C, (A 1 BD)) = CH với H là hình chiếu vuông góc của C trên BD. Để tính CH ta sử dụng công thức đờng cao trong tam giác vuông. lời giải chi tiết: Học sinh tự vẽ hình. Từ giả thiết ta đợc A 1 O (ABCD) với O là giao điểm của AC và BD. Với E là trung điểm của AD thì: 1 OE AD A E AD ã 0 1 1 1 ((ADD A ), (ABCD)) A EO 60= = . a. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 : Ta có: 1 1 1 1 ABCD.A B C D 1 ABCD 1 V A O.S A O.AB.AD.= = Trong đó: ã ã 1 1 1 AB A O OE.tan A EO .tan A EO 2 = = 0 a .tan 60 2 = a 3 . 2 = Từ đó: 1 1 1 1 3 ABCD.A B C D a 3 3a V .a.a 3 . 2 2 = = b. Tính khoảng cách từ B 1 đến mặt phẳng (A 1 BD): Hạ CH BD (HBD), ta có: CH (A 1 BD) d(C, (A 1 BD)) = CH. Nhận xét rằng: B 1 C // A 1 D B 1 C // (A 1 BD) d(B 1 , (A 1 BD)) = d(C, (A 1 BD)) = CH. Trong BCD, ta có: 2 2 2 1 1 1 CH BC CD = + ( ) 2 2 2 2 CD.BC a.a 3 a 3 CH . 2 CD BC a a 3 = = = + + 10 . 3a 5 IK . 5 (AB CD) AD = = + Trong SIK, ta có: ã 0 3a 5 3a 15 SI IK.tan SKI .tan 60 . 5 5 = = = (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc 3 S.ABCD 3a 15 V . 5. HC CD DN = + 2 2 2 a 2a . 5 a a 4 = = + (4) Từ đó, bằng cách thay (4) vào (3) ta đợc: ( ) 2 2 2a a 3. 2a 57 5 HK . 19 2a a 3 5 = = + ữ 14 S D B A