Bài giảng: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Đại số 9)

Bài giảng có phần ngâng cao. Trình bày theo hướng "Lấy học trò làm trung tâm".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA §5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết u cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com nhn c gii ỏp Đ5 b iến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai giảng theo chơng trình chuẩn đa thừa số dấu Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 24 − sgk): Víi a ≥ 0, b ≥ 0, h·y chøng tá  a b = a b Gi¶i Sư dơng phÐp khai ph¬ng, ta cã: b≥0 a 2b = a b = a  a ≥0 b = a b NhËn xÐt: Nh vËy:    §¼ng thøc a b = a b cho phÐp ta thùc hiƯn phÐp biÕn ®ỉi a b = a b Phép biến đổi đợc gọi phép đa thừa số dấu Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dới dấu dạng thích hợp thực đợc phép đa thừa số dấu Có thể thực đợc phép đa thừa số dấu để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Thí dụ 2: (H§ 2/tr 25 − sgk): Rót gän biĨu thøc: a + + 50 b + 27 − 45 +  Gi¶i a Ta cã biÕn ®ỉi: + + 50 = + 4.2 + 25.2 = + 2 + = 2(1 + + 5) = b Ta cã biÕn ®ỉi: + 27 − 45 + = + 9.3 − 9.5 + = + 3 − + = − Mét c¸ch tỉng qu¸t: Ta cã: A B = A Tøc lµ: B , víi B ≥  A B A ≥ 0, B ≥  A2B =   − A B A < 0, B ≥  ThÝ dơ 3: (H§ 3/tr 25 sgk): Đa thừa số dấu căn: a 28a b , víi b ≥ b 72a b , víi a < Giải a Ta có biến đổi: 28a b = 4.7 ( a ) b = a b = 7a b b≥ b Ta cã biÕn ®ỉi: 72a b = 36.2.a b = a b = −6 2.ab đa thừa số vào dấu Phép đa thừa số dấu có phép biến đổi ngợc với phép đa thừa số vào dấu Ta có: A B = A B , víi B ≥ Ta cã hai trêng hợp: Nếu A A B = A B , víi B ≥ NÕu A < th× A B = −A B = − A B , víi B ≥ ThÝ dơ 4: (H§ 4/tr 26 − sgk): §a thõa sè vào dấu căn: a c ab a , víi a ≥  b 1, d − 2ab 5a , víi a ≥ Gi¶i a Ta cã = 32.5 = 45 b Ta cã 1, = 1, 22.5 = 7, c Ta cã biÕn ®ỉi: ab a = ( ab ) a = a b8 a = a b8 d Ta cã biÕn ®ỉi: −2ab 5a = −  ( 2ab ) 2 5a = − 4a b 5a = − 20a b Chó ý: Cã thĨ sư dơng phÐp ®a thõa số vào (hoặc ngoài) dấu để so sánh bậc hai Thí dụ 5: (Bài 45/tr 27 Sgk): So sánh: a 3 12 c 1 51 vµ 150 b vµ d 1 2 Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta cã biÕn ®ỉi: 3 = 32.3 = 27 > 12 ⇒ 3 > 12 C¸ch 1: Ta cã biÕn ®ỉi: 12 = 4.3 = < 3 ⇒ 12 < 3 b Ta cã biÕn ®ỉi: = 32.5 = 45 < 49 = ⇒ < c Ta lÇn lợt biến đổi: 17 1 ; 51 = 51 =  ÷ 51 = 3 3 18 1 150 = = 150 =  ÷ 150 = 25 5 18 17 1 > 150 > 51 V× nên 3 d Ta lần lợt biến ®æi: 1 ; = = ữ = 2 Vì 1 36 = 62 = 36 = 2 2 36 1 > nªn > 2 2 khư mẫu biểu thức lấy Khi biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai, ngời ta sử dụng phép khử mẫu biểu thức lấy Thí dụ sau minh hoạ số trờng hợp đơn giản Thí dụ 6: (HĐ 1/tr 28 sgk): Khử mẫu biểu thức lấy căn: a b Giải a Ta có biến đổi: 20 4.5 20 = = = 2 5 5 b Ta cã biÕn ®ỉi: 125 c , víi a > 2a 3.5 3 3.5 15 15 = = = = = 4 125 5 25 c Ta cã biÕn ®ỉi: 6a 3.2a = = 2a 4a ( 2a ) 2 = 6a 6a = 2a 2a Mét c¸ch tỉng qu¸t: Ta cã: A.B = B B A = B , víi A.B 0, B A.B trục thức mẫu Trục thức mẫu phép biến đổi đơn giản thờng gặp Thí dụ sau minh hoạ số trờng hợp đơn giản Thí dụ 7: (HĐ 2/tr 29 sgk): Trục thức ë mÉu: a , b 5−2 c 7+ , víi b > b 2a , , víi ≤ a ≠ 1− a 6a , , víi a > b > a− b  Gi¶i a Ta cã biÕn ®ỉi: = 5 = = 4.2 3.2 3.2 ( ) b Ta cã biÕn ®ỉi: ( ) = ( ; 12 ) 2 b b = = b b b ( ) ( ) ( ) = 2( ) 7− 5+2 5+2 5 5+ 5+2 = = = = 5−2 5−2 5+2 − 25 − 12 13 ( ( )( ) ) ( ( ) ) 2a + a 2a 2a + a = = 1− a 1− a 1+ a 1− a ( )( c Ta cã biÕn ®ỉi: = 7+ ( ( ) 7− 7+ )( ) 7− ) = ( 7− 7−5 ) ( ) ( ) 6a a + b 6a 6a a + b = = a− b a− b a+ b 4a − b ( )( ) Mét c¸ch tổng quát: Để trục thức mẫu, ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1:Phân tích tử mẫu thừa số chung chứa rút gọn thừa số Cách 2: Nhân tử mẫu với thừa số thích hợp để làm thức mẫu Có dạng sau: Với biểu thức A, B mà B > 0, ta cã: A B = A B B Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ vµ A ≠ B2, ta cã: C Am B C = A − B2 A ±B Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ 0,B ≥ vµ A ≠ B, ta cã: C Am B C = AB A B Hai phép biến đổi dạng dạng gọi phép nhân liên hợp ( ) ( ) tập lần Bài tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau: a A = 25.90 b B = Bµi tËp 2: Rót gän biÓu thøc sau: A= a (a − a + ) a −2 Bµi tËp 3: Chøng minh r»ng: 75.54 a −b a2b4 = |a|, víi a > b b2 a 2ab + b Bài tập 4: Sắp xếp số sau theo thứ thự giảm dần: , , 13 , Bài tập 5: Khử mẫu số biểu thức dới dấu căn: 1 a b 12 a a2 Bài tập 6: Trục thøc ë mÉu: a a +1 a −1 b a −1 +1 a −1 −1 c a2 − b2 a+ b −a d 1+ a Bµi tËp 7: Cho a, b, c, d lµ số dơng thoả mÃn biểu thức: P= a+ b+ c+ d a c = H·y trục thức mẫu b d Bài tập 8: Rót gän biĨu thøc: A= Bµi tËp 9: Chøng minh r»ng: 7− a a +b b a+ b + 5+ − ab = ( a − b )2, víi a, b > Bµi tËp 10: Chøng minh r»ng: 1 + +… + = 2008 + 2009 1+ 2+ Bµi tËp 11: Cho biÓu thøc:     : 1 + A =  1− x +    1+ x   − x2 a Tìm điều kiện để A có nghĩa b Rút gọn A c Tính giá trị A x = 2+ 2009 −   d Tìm x để A > A Bµi tËp 12: Cho biĨu thøc: A = (x − 3) x x2 a Tìm điều kiện ®Ĩ A cã nghÜa b Rót gän råi tÝnh gi¸ trị biểu thức A x = Bài tập 13: Với giá trị x ta có: a a (1 −3x ) = (3x−1) a b 3x = x x −2 = 4x − − 81 Bµi tập 15: Giải phơng trình sau: 1 a − + = 2 x +1 + x x +1 − x b 2x − 5a x − a + 2a2 − 2a = 0, víi a > Bài tập 14: Giải phơng trình Giỏo án điện tử giảng giá: 850.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TO TRONG TIT DY 10 giảng nâng cao A Tóm tắt lí thuyết đa thừa số dấu Ta có: A B = A B , víi B ≥ ®a mét thõa số vào dấu Ta có: A B = A B , víi B ≥ Ta cã hai trờng hợp: Nếu A A B = A B , víi B ≥ NÕu A < th× A B = −A B = − A B , víi B ≥ khử mẫu biểu thức lấy Ta cã: A.B = B B A = B A.B , víi A.B ≥ 0, B ≠ trục thức mẫu Để trục thức mÉu, ta lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 3: Phân tích tử mẫu thừa số chung chứa rút gọn thừa số Cách 4: Nhân tử mẫu với thừa số thích hợp để làm thức mẫu Có dạng b¶n sau: A = A B (B > 0) B B A+ B = A− B ( A + B )( A − B ) = A− B , A −B = A+ B , A −B víi A > 0, B > 0, A ≠ B A− B = A+ B ( A + B )( A − B ) víi A > 0, B > 0, A ≠ B Hai phÐp biÕn ®ỉi dạng dạng gọi phép nhân liên hợp B phơng pháp giải toán 11 Dạng toán 1: Đa thừa số vào dấu Ví dụ 2: (Bài 43/tr 27 Sgk): Viết số biểu thức dới dấu thành dạng tích đa thừa số dấu căn: a 54 b 108 d − 0,05 28800 e c 0,1 20000 7.63.a  Gi¶i a Ta cã biÕn ®æi: 54 = 9.6 = = 32 = b Ta cã biÕn ®ỉi: 108 = 36.3 = 36 = 62 = c Ta cã biÕn ®ỉi: 0,1 20000 = 0,1 10000.2 = 0,1 1002 = 0,1.100 = 10 d Ta cã biÕn ®ỉi: −0,05 28800 = −0,05 14400.2 = −0,05 1202 = −0,05.120 = −0,6 e Ta cã biÕn ®ỉi: 7.63.a = 7.7.9.a = 212.a = 212 a = 21a VÝ dơ 3: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau: a A = 25.90 b B = 75.54  Híng dÉn: Thùc hiƯn ®a thõa sè dấu Giải a Ta có: A = 25.90 = b Ta cã: B = 75.54 = 25.9.10 25.3.9.6 = 5.3 10 =15 10 = 5.3 3.2.3 = 45 VÝ dơ 4: (Bµi 44/tr 27 Sgk): Đa thừa số vào dấu căn: 2 c − xy d x a b − , x > vµ y ≥ x  Gi¶i a Ta cã biÕn ®æi: = 32.5 = 9.5 = 45 b Ta cã biÕn ®ỉi: −5 = − 52.2 = − 25.2 = − 50 12 c Ta cã biÕn ®ỉi: − d Ta cã biÕn ®ỉi: x 4xy 2 xy = −  ÷ xy = − xy = − 9 3 2 = x = 2x x x VÝ dụ 5: (Bài 46/tr 27 Sgk): Rút gọn biĨu thøc sau víi x ≥ 0: a 3x − 3x + 27 − 3x b 2x − 8x + 18x + 28  Giải a Ta có biến đổi: 3x 3x + 27 − 3x = 27 + (2 − − 3) 3x = 27 − 3x b Ta cã biÕn ®ỉi: 2x − 8x + 18x + 28 = 2x − 4.2x + 9.2x + 28 = 2x − 10 2x + 21 2x + 28 = (3 − 10 + 21) 2x + 28 = 14 2x + 28 VÝ dơ 6: Rót gän biĨu thøc sau: A= 2a (a − 4a + 4) a−2  Híng dÉn: Thùc hiƯn phÐp ®a thõa số dấu Giải Ta biến đổi A vỊ d¹ng: 2 2a | a − | A= 2a (a − 2) = a−2 a−2  2a (a − 2) neu a − >   2a neu a >   a −2 = = 4  −2 2a neu a <  − 2a (a − 2) neu a − <   a−2   NhËn xét: Nh vậy, A đa đợc a8 (a2)2 dấu Tuy nhiên, ta thÊy r»ng: a8 = (a ) = a4, bëi a4 ≥ víi mäi a (a − 2)2 = |a 2|, ta cha xác định đợc dÊu cđa a − VÝ dơ 7: Chøng minh r»ng: 13 a −b b2 a2b4 = |a|, víi a > b a − 2ab + b  Hớng dẫn: Lựa chọn việc đa thừa số vào dấu Giải Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Sư dụng quy tắc đa thừa số vào dấu căn): Vì: a b a>b > 0, b2 đó: a −b a2b4 a2b4 = (a − b ) = a = |a| b2 a − 2ab + b b a − 2ab + b Cách 2: (Sử dụng quy tắc đa thừa số dấu căn): Ta có: a b b2 a −b a2b4 = 2 b2 a − 2ab + b a b = a − b | a | b b2 | a − b | (a − b ) a − b | a | b = |a|, ®pcm = b (a − b ) a >b  NhËn xÐt: Nh vËy, phÐp biÕn ®ỉi ®a thõa sè vào dấu đà giúp chứng minh đợc đẳng thức Ngoài ra, cần thiết phép tính toán, thí dụ: Để so sánh 31 , ta biến ®æi: = 2 = 28 < 31 Khi tÝnh :  NÕu ta tÝnh ≈ 1,41 (sai cha ®Õn 0,01) råi nhân sai số gấp lần sai số giá trị gần mà ta ®· lÊy  Cßn nÕu ta thùc hiƯn = 2 = 18 , råi dïng b¶ng tìm giá trị gần 18 sai số không bị nhân lên lần nh cách làm VÝ dơ 8: (Bµi 46/tr 27 − Sgk): Rót gän: a b 3(x + y) , víi x ≥ 0, y ≥ vµ x ≠ y x − y2 2 5a (1 − 4a + 4a ) , víi a > 0,5 2a −  Híng dÉn: Lùa chän viƯc ®a thõa số vào dấu 14 Giải a Ta có biến đổi: 3(x + y) = x − y2 2 x − y2 = x+y x, y ≥ = 22 (x + y) (x − y)(x + y) 2.3 = x−y x−y b Ta cã biÕn ®ỉi: 2 5a (1 − 4a + 4a ) = 5a (2a − 1) = a 2a − 2a − 2a − 2a − = 5.a ( 2a − 1) = 5.a 2a Ví dụ 9: Sắp xếp số sau theo thứ thự giảm dần: , , 13 ,  Híng dẫn: Sử dụng quy tắc đa thừa số vào dấu Giải Sử dụng quy tắc đa thừa số vào dấu căn, ta viết lại d·y sè díi d¹ng: = 80 , = 72 , 13 = 52 , = 63 , đó, ta có xếp , , , 13 VÝ dơ 10: (Bµi 56/tr 27 − Sgk): Sắp xếp số sau theo thứ thự tăng dần: a 5, 6, 29, b 2, 38, 7, 14  Híng dÉn: Sư dụng quy tắc đa thừa số vào dấu Giải a Sử dụng quy tắc đa thừa số vào dấu căn, ta viết lại dÃy sè díi d¹ng: = 32.5 = 45, Víi thø tù: 24 < 29 < 32 < 45 ⇔ = 2.2 = 24, = 2 = 32 24 < 29 < 32 < 45 ⇔ < 29 < < b Sử dụng quy tắc đa thừa số vào dấu căn, ta viết lại dÃy sè díi d¹ng: = 62.2 = 72, Víi thø tù: = 32.7 = 63, 14 = 22.14 = 56 15 38 < 56 < 63 < 72 ⇔ 38 < 56 < 63 < 72 ⇔ 38 < 14 < < Dạng toán 2: Khử mẫu biểu thức dới dấu Phép nhân liên hợp Ví dụ 2: (Bài 48/tr 29 Sgk): Khử mẫu số biểu thức dới dấu căn: ; 600 11 ; 540 ; 50 (1− 3) ; 98 27 ; Hớng dẫn: Sử dụng quy tắc đa thừa số dấu Giải Ta lần lợt biến đổi: 1 1 6 = = = = 600 100 100 10 60 11 11 11 11.15 165 = = = = 540 15.36 15 36 15 90 3 3.2 = = = = 50 2.25 25 10 5 5.2 01 = = = = 98 2.49 49 14 (1− 3) 27 = (1− 3) = ( ) −1 = 3− VÝ dơ 3: (Bµi 49/tr 29 − Sgk): Khư mÉu sè cđa c¸c biĨu thøc díi dấu (giả thiết biểu thức có nghĩa): ab a ; b a b ; b a 1 + ; b b2 9a ; 36b 3ab ; ab Hớng dẫn: Sử dụng quy tắc đa thừa số vào dấu Giải Ta lần lợt biến đổi: a ab0 a ab = ( ab ) = a b; b b 16  ab b >  a ab ab =  b a b = =   ÷ = b b2 b b a  − ab b <  b  a b ab≥ = b a  b +1 b >  b +1  b = |b|  − b + b <  b  b +1 = b2 1 = + b b2 ab ≥ a ab 9a a 3b  a  =  ÷ ab = ; = 2b 36b 4b  2b  3ab ab≥ = ab ( ab ) = 2ab ab Ví dụ 4: (Bài 50/tr 29 Sgk): Trục thức mẫu với giả thiết biểu thức có nghÜa: ; 10  5 ; 20 ; 2+2 ; y+b y b y Giải Ta lần lợt biến đổi: 5 10 10 = = ; 10 10 5 = 5 5 = ; 2.5 10 20 20 = = ; 60 20 3.20 ( 2+2 2+2 = 5.2 ) = ( 2.2 + 2 + = ; 10 ) 2+ 2+ hc 2 + = = ; 5 y+b y b y = ( y+b y) by y = y y + by by VÝ dơ 5: (Bµi 51/tr 30 − Sgk): Trơc thức mẫu với giả thiết biểu thức cã nghÜa: 17 ; +1  Gi¶i Ta lần lợt biến đổi: = +1 = −1 ( ( ) −1 )( +1 ( 2+ ; 2− ; −1 ( ) −1 ) = +1 ( ) −1 −1 ( ) +1 = ( ); −1 = + 1; ) ( + 1) − + ( + 3) ( + 3) ( + 3) = =5+4 − ( − 3) ( + 3) = − b( − b ) b b( − b ) = = ; 3+ b (3+ b) (3− b) 9−b p ( p + 1) p ( p + 1) p = = p − ( p − 1) ( p + 1) 4p − = −1 p p −1 b ; 3+ b 3; VÝ dơ 6: (Bµi 52/tr 30 − Sgk): Trơc thức mẫu với giả thiết biểu thức có nghĩa: ; Giải Ta lần lợt biến đổi: = ( = 10 + = x− y 18 ( ( 6+ 6− ( ; x− y ; 10 + ( )( ) 6+ 10 − 10 + )( ) ) 10 − x+ y x− y )( = x+ y ) ( 6+ 6−5 ) = = ( 2ab a− b ) = 2( 10 − 10 − x+ y ; x−y )= ) 6+ ; 10 − 7; 2ab = a− b 2ab ( ( a+ b a− b )( ) a+ b ) = 2ab ( a−b VÝ dô 7: Trục thức mẫu: a +1 a a a2 − b2 c a+ b  a+ b a −1 +1 b ) d a −1 −1 −a 1+ a Gi¶i a Ta biÕn ®ỉi: a +1 a −1 = b Ta biÕn ®ỉi: (a + 1) a − = a2 −1 a −1 +1 a −1 −1 c Ta biÕn ®ỉi: a2 − b2 = = a −1 a −1 ( a − + 1) ( a − − 1)( a − + 1) (a − b )(a + b ) = = ( a − + 1) ( a − + 1) = a −1 −1 a −2 ( a − b )( a + b )(a + b ) a+ b a+ b = ( a b )(a + b) biến đổi: a2 − b2 (a − b )( a − b ) (a − b )( a − b ) = = a+ b ( a + b )( a − b ) a −b = (a + b)( a − b ) d Ta biÕn ®ỉi: a+ b −a 1+ a = (1 − a ) + a 1+ a = (1 − a ) + a (1 − a ) (1 + a )(1 − a ) = (1 − a ) + a (1 − a ) =  −a + a (1 − a ) NhËn xét: Trong lời giải câu b), phải trục thức hai lần Các em học sinh thực theo chiều ngợc lại a c Ví dụ 8: Cho a, b, c, d số dơng thoả mÃn = HÃy trục thức b d mÉu cđa biĨu thøc: P= a+ b+ c+ d 19  Gi¶i a c = , ta đợc a = bt c = dt b d Khi đó, biểu thức đợc viết lại dới dạng: 1 ( b − d )( t − 1) P= = = (b − d)(t − 1) bt + b + dt + d ( b + d)( t + 1) Đặt t = a ( b − d) − 1÷  b  = = a  (b − d)  − 1÷ b   b( b − d ) ( a− b (b − d) ( a − b ) ) NhËn xÐt: Trong Toán nâng cao đà thấy khẳng định Pôlia yếu tố phụ nh nhịp cầu để nối toán cần tìm cách giải với toán đà biết cách giải khẳng định thêm việc đa yếu tố phụ có tác dụng nh đòn bẩy, giúp ta giải toán nhẹ nhàng Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai cho toán rút gọn chứng minh đẳng thøc VÝ dơ 1: (Bµi 54/tr 30 − Sgk): Rót gän biÓu thøc: 2+ 15 − − a − a p − p ; ; ; ; p −2 1+ 1− a Dạng toán 3: Hớng dẫn: Sử dụng nhân tử chung Giải Ta lần lợt biÕn ®ỉi: 2 +1 2+ = 2; = 1+ 1+ ( ) ( ) −1 15 − 3.5 − = = − 5; = 1− 1− 1− ( ) 3− 2.3 − = − = = ; 2 −1 −2 4.2 − ( ) a a −1 a− a = − a; = 1− a 1− a 20 ( ) p−2 p p −2 = p ( p −2 p −2 )= p VÝ dơ 2: Rót gän biÓu thøc: A= + 7− 5+ Hớng dẫn: Sử dụng phép nhân liên hợp Giải Ta có: A= = 4( + 3) 2( − 3) + = + 7− + ( − 3)( + 3) ( + 3)( − 3) 4( + 3) 2( − 3) + = 7−3 5−3 + + − = + Chó ý: NÕu thùc hiƯn theo ph¬ng pháp " quy đồng mẫu số ", ta đợc: A= 4( + 3) + 2( − 3) 5+2 3+2 = ( − 3)( + 3) ( − 3)( + 3) bµi toán dừng lại Ví dụ 3: (Bài 55/tr 30 Sgk): Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y số không âm): a ab + b a + a + x − y3 + x y − xy b  Híng dÉn: Sư dơng nh©n tư chung  Giải a Ta biến đổi: ab + b a + a + = ( ) a +1 b a + ( ) ( a +1 = )( ) a +1 b a +1 b Ta biÕn ®ỉi: x − y3 + x y − xy = x x − y y + x y − y x ( ) ( ) = x x +x y − y y+y x =x = ( x − y) ( ( ) ( x + y −y y+ x ) ) x+ y VÝ dơ 4: (H§ 2/tr 31 − sgk): Chøng minh r»ng: a a +b b − ab = ( a − b )2, víi a, b > a+ b  Híng dÉn: Sư dụng nhân tử chung trục thức mẫu 21  Gi¶i NhËn xÐt r»ng: a a + b b = ( a )3 + ( b )3 = ( a + Tõ ®ã, suy ra: b )(a − ab + b) a a +b b ( a + b)(a − ab + b) − ab = − ab a+ b a+ b =a− ab + b − ab = a − ab + b = ( a ) − ab + ( b )2 = ( a − b )2, ®pcm  NhËn xÐt: Trong lời giải trên, dựa đẳng thức ®Ĩ ph©n tÝch tư sè thõa sè chung tõ rút gọn đợc thức mẫu Tất nhiên, lựa chọn phép nhân liên hợp xong cách giải phức tạp Ví dụ 5: Chøng minh r»ng: 1 + +… + = 1+ 2+ 2008 + 2009 2009 − Hớng dẫn: Sử dụng trục thức mẫu  Gi¶i NhËn xÐt r»ng: 1 −1 = = = 1+ 1+ (1 + 2)( − 1) − 1 3− 3− = = = 2+ ( + 3)( − 2) 3−2 − … = 2009 − 2008 2008 + 2009 Thùc hiÖn phÐp céng theo vế rút gọn, ta đợc: 1 + +… + = 2009 − 1, ®pcm 1+ 2+ 2008 + 2009  22 NhËn xÐt: Trong lêi giải trên, để chứng minh đẳng thức lựa chọn phép nhân liên hợp để khử thức mẫu cho phân số Và sử dụng phép biến đổi cục Dạng toán 4: Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai giải phơng trình Ví dụ 1: (Bài 55/tr 30 Sgk): T×m x, biÕt 25x − 16x =  Hớng dẫn: Sử dụng phép đa thừa số dấu để có nhân tử chung Giải Với điều kiện x 0, ta biến đổi phơng trình vỊ d¹ng: 25 x − 16 x = ⇔ x − x = ⇔ VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = 81 x = ⇔ x = = 81 VÝ dơ 2: Víi giá trị x ta có: a 3x = x  Híng dÉn: Sư dơng định nghĩa Giải b a(1 3x) = (3x1) a a = a định nghĩa trị tuyệt dối a Ta biến đổi tơng đơng: 3x = x ⇔ |x| = x ⇔ |x| = x ⇔ x ≥ VËy, víi x ta có đợc đẳng thức đà cho b Ta biến đổi tơng đơng: a(1 3x) = (3x−1) a ⇔ |1 − 3x| a = (3x−1) a ⇔ |1 − 3x| = 3x − ⇔ − 3x ≤ ⇔ x ≥ VËy, víi x ta có đợc đẳng thức đà cho Ví dụ 3: Giải phơng trình: 4x − − x−2 = 81  Híng dÉn: Sư dơng phÐp ®a thõa sè dấu để có nhân tử chung Giải Biến đổi phơng trình dạng: 3 x−2 4(x − 2) − = ⇔ x − − 2 9 ⇔3 x−2 − x−2 =6⇔2 x−2 =6⇔ ⇔ x − = x = 11 Vậy, phơng trình cã nghiÖm x = 11 x−2 =6 x−2 =3 23 Nhận xét: Nh vậy, với phơng trình câu a), sử dụng quy tắc đa thừa số dấu để biến đổi dạmg f = g Tất nhiên, sử dụng quy tắc đa thừa số vào dấu để giải, cụ thể: (4x − 8) = x − 4x − = x−2 81(x − 2) = = x2 81 81 Tuy nhiên, cách biến đổi kiểu thụ động Ví dụ 4: Giải phơng trình sau: a x +1 + x − x +1 − x + = b 2x − 5a x − a + 2a2 − 2a = 0, víi a >  Hớng dẫn: Ta lần lợt: Với câu a), sử dụng phép trục thức mẫu Với câu b), sử dụng phép đặt ẩn phụ Giải a Biến đổi phơng trình dạng: x + − x − ( x + + x) ( x + + x)( x + − x) 2 +2=0⇔ −2x +2=0 x + − x2 ⇔ −2x + = ⇔ 2x = x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = b Đặt t = x a , ®iỊu kiƯn t ≥ Suy ra: t2 = x − a ⇔ x = t2 + a Khi đó, phơng trình có dạng: 2(t2 + a) 5at + 2a2 − 2a = ⇔ 2t2 − 5at + 2a2 =  t = 2a  t − 2a = ⇔ (t − 2a)(2t − a) = ⇔  ⇔ a t =  2t − a =  2  x − a = 4a  x = 4a + a  x − a = 2a a >0    ⇔ a ⇔  a2 ⇔  a + 4a x −a = x−a = x=       a + 4a Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 4a2 + a vµ x = 24 Nhận xét: Nh vậy: Với phơng trình câu a), sử dụng phép quy đồng cục nhận thấy mẫu số phân số thứ liên hợp mẫu số phân số thứ hai Với phơng trình câu b), sử dụng phép đặt ẩn phụ để nhận đợc phơng trình bậc hai, từ sử dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi dạng a tích nhận đợc hai nghiƯm t = 2a vµ t = (lu ý hai nghiệm thoả mÃn t giả thiết a > 0) tập lần Bài 1: So sánh cặp số sau: a vµ 13 b 11 vµ 21 c d vµ vµ 7− 6− Bài 2: So sánh cặp số sau: 15 12 A= + vµ B = + 6 +1 6 Bài 3: Trục thức mÉu: 1− a a a +3 + a −3 a A = c C = 1− a a +3 − a −3 b B = d D = 18 + − 2 1+ − Bµi 4: Rót gän biĨu thøc: 1 +1 −2 a A = + b B = − −2 +2 1 Bài 5: Với giá trị x ta có: a b 7x = − x a(x − 2) = (2 − x) a Bµi 6: Chøng minh r»ng: a b a+b a − = , víi a, b ≥ vµ a ≠ b a−b a− b a+ b b (a b + b)( a + b) a−b ab + b − ab3 = b, víi a > b > a(a + b) + b 25 Bài 7: Giải phơng trình sau: a 4x − 16 + x − − 9x − 36 = b 9x − − 4x − + 16x − 16 − x = 16 Bài 8: Giải phơng tr×nh sau: 1 a − + = x +1 +1 x +1 −1 2x 2x b − = + 5− 3 +1 Bµi 9: Giải phơng trình sau: a 2x x + = b x − x − − 10 = Bµi 10: Cho biĨu thøc: x2 + x 2x + x A= − + x x +1 x a Tìm điều kiện để A cã nghÜa b Rót gän A c H·y so sánh |A| với A, biết x > d Tìm x để A = e Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña A 26 ... Đ5 b iến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai giảng theo chơng trình chuẩn đa thừa số dấu ThÝ dơ 1: (H§ 1/tr 24 − sgk): Víi a ≥ 0, b ≥ 0, h·y chøng tá  a b = a b Gi¶i Sư dơng phÐp khai ph¬ng,... lợt biến đổi: 1 ; = =  ÷ = 2 2 V× 1 36 = 62 = 36 = 2 2 36 1 > nªn > 2 2 khư mÉu cđa biĨu thøc lấy Khi biến đổi biểu thức chứa thức bËc hai, ngêi ta cã thĨ sư dơng phÐp khư mẫu biểu thức. .. chứng minh đẳng thức lựa chọn phép nhân liên hợp để khử thức mẫu cho phân số Và sử dụng phép biến đổi cục Dạng toán 4: Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai giải phơng trình Ví dụ 1: (Bài 55/tr 30