Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG §3 Phép đối xứng trục Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí Định hướng thực hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: Đọc Hiểu Ghi nhớ định nghĩa, định lí Chép lại ý, nhận xét Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhn c gii ỏp Đ3 phép đối xứng trục giảng theo chơng chơng trình chuẩn định nghĩa phép đối xứng trục (a) Nhắc lại: Điểm M' đợc gọi đối xứng với điểm M qua đờng thẳng a a đờng trung trực đoạn M' M thẳng MM' Trờng hợp đặc biệt, M nằm a ta xem M đối xứng với qua a Định nghĩa 1: Phép đối xứng qua đờng thẳng a phép biến hình biến điểm M thành M' đối xứng với M qua đờng thẳng a Phép đối xứng qua đờng thẳng a thờng đợc kí hiệu Đa Vậy, ta thấy: M' = Đa(M) a trung trực đoạn MM' Hoạt động: Nêu cách dựng điểm M' ảnh điểm M qua phép đối xứng trục a Thí dụ 1: Hình bên ảnh ABC qua phép đối xứng với trục đờng trung trực cạnh BC A A' Ta thÊy: A' = §a(A); C = §a(B); B = §a(C) N A'CB = §a(ABC) M = §a(M); N = Đa(N) M (a) B C Hoạt động: Qua phép đối xứng trục Đa điểm biến thành Nếu phép đối xứng trục Đ a biến điểm M thành điểm M' biến điểm M' thành điểm ? Nếu phép đối xứng trục Đa biến hình (H) thành hình (H') biến hình (H') thành hình ? Định lí Định lí: Phép đối xứng trục phép dời hình Hoạt ®éng: H·y chøng minh ®Þnh lÝ.y chøng minh ®Þnh lÝ Thí dụ 2: Qua phép đối xứng trục Đa (a trục đối xứng), đờng thẳng d biến thành đờng thẳng d' HÃy trả lời câu hỏi sau: a Khi d song song với d'? b Khi d trùng với d'? c Khi d cắt với d'? Giao điểm d d' có tính chất gì? d Khi d vuông góc víi d'? Gi¶i a d // a b d a d a c d cắt a không vuông góc với a Khi giao điểm d d' nằm đ ờng thẳng a d g(d, a) = 450 biẻu thức toạ độ phép đối xứng trục Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với: x ' x y ' y PhÐp ®èi xøng qua trơc Oy biÕn ®iĨm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với: x ' x y ' y Hoạt động: HÃy chứng minh định lí.y chứng minh kết Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(1; 2) thành điểm ? Phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(3; 1) thành điểm ? Nêu cách tìm toạ độ điểm M1 ¶nh cđa ®iĨm M qua phÐp ®èi xøng trơc () trờng hợp () không trùng với Ox, Oy Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d) có phơng trình: (d): x + 5y + = Viết phơng trình ảnh (d) qua phép đối xứng có trục là: a Ox b Oy Giải a Bằng cách thay y thành y, ta nhận đợc phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh (d) qua phÐp ®èi xøng trơc Ox, thĨ: (d1): x 5y + = b B»ng c¸ch thay x thành x, ta nhận đợc phơng trình đờng thẳng (d2) ảnh (d) qua phép đối xứng trục Oy, thĨ: (d2): x + 5y + = (d2): x 5y = Hoạt động: Nêu cách tìm phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh đờng thẳng (d) qua phép đối xứng trục () trờng hợp () không trùng với Ox, Oy Thí dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C1) có phơng trình: (C1): x2 + y2 – 4x + 5y + = Viết phơng trình ảnh đờng tròn qua phép ®èi xøng cã trơc Oy Gi¶i Ta cã thĨ lùa chọn hai cách sau: Cách 1: Mỗi điểm M(x, y)(C1') ảnh điểm M0(x0, y0) (C1) qua phÐp ®èi xøng cã trơc Oy, ta cã: M (x ; y ) (C1 ) Oy lµ trung trùc cđa M M x x y y 0 x y 4x 5y 0 (x)2 + y2 – 4(x) + 5y + = x2 + y2 + 4x + 5y + = Phơng trình (*) phơng trình (C1') Cách 2: Đờng tròn (C1) có tâm I1(2; ) bán kính R1 = Đờng tròn (C1') ®èi xøng víi ®êng trßn (C1) qua Oy cã: tam I1 '( 2; / 2) 2 ) = 37 (C1'): (x + 2) + (y + b¸n kÝnh R1 ' (C1'): x2 + y2 + 4x + 5y + = (*) 37 37 Hoạt động: Nêu cách tìm phơng trình đờng tròn (C1) ảnh đờng tròn (C) qua phép đối xứng trục () trờng hợp () không trùng với Ox, Oy trục đối xứng hình Định nghĩa 2: Đờng thẳng d đợc gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng trục Đd biến H thành nó, tức Đd(H) = H Thí dụ 5: Qua phép đối xứng trục Đa a Những tam giác biến thành ? b Những đờng tròn biến thành ? Giải a Với ABC cân A a đờng trung trực BC Đa(ABC) = ACB b Mọi đờng tròn biến thành a qua tâm đờng tròn Thí dụ 6: a Chỉ trục đối xứng (nếu có) hình sau (mỗi hình từ bao gồm số chữ cái): MÂM, HOC, NHANH, HE, SHE, COACH, IS, IT, SOS, CHEO b Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng Giải a Ta có trục đối xứng: mâm, he, hoc, cheo nhanh, b Giả sử hàm số y = f(x) hàm số chẵn, ta có: f(x) = f(x) đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng tập lần Bài tập Cho ABC cã BC = a, CA = b, AB = c, p nửa chu vi, h a độ dài ®êng cao tõ A Chøng minh r»ng p( p a ) Bµi tËp Cho hai điểm B C cố định nằm đờng tròn (O; R) điểm A thay đổi đờng tròn ®ã H·y dïng phÐp ®èi xøng trơc ®Ĩ chøng minh trực tâm H tam giác ABC nằm đờng tròn cố định Bài tập Cho đờng thẳng (d) hai điểm A, B phía với (d) Tìm điểm M (d) cho MA + MB nhá nhÊt Bµi tËp Cho ABC nhän, D điểm cố định BC Tìm hai điểm E, F theo thø tù thuéc AB vµ AC cho DEF cã chu vi nhá nhÊt Bµi tËp Cho ABC cân A Một đờng thẳng di động () qua A Gọi D điểm đối xứng C qua () Đờng thẳng BD cắt () M Tìm quỹ tích điểm D M Bài tập Cho đờng thẳng xx hai điểm P, Q n»m mét phÝa ®èi víi xx’ Dùng ®iĨm Axx’ cho PAx = QAx ' Bµi tËp Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(5; 2) Tìm toạ độ điểm M1 ảnh điểm M qua phÐp ®èi xøng trơc (d), biÕt: a (d) Ox b (d) Oy c (d): x y = Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (C1) có phơng trình: (C2): x2 + y2 + 10y – = ViÕt phơng trình ảnh đờng tròn qua phép đối xøng cã trơc Oy Bµi tËp Cho ABC biÕt A(2; 1) hai đờng phân giác góc B, C có phơng trình (dB): x2y + = vµ (dC): x + y + = Lập phơng trình cạnh BC Bài tập 10 Cho hàm sè y = x Chøng minh r»ng ®êng thẳng y = x + trục x đối xứng đồ thị hàm số Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao Giỏo ỏn in t ca giảng giá: 800.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY giảng nâng cao A Tóm tắt lí thuyết định nghĩa phép đối xứng trục (a) Nhắc lại: Điểm M' đợc gọi đối xứng với điểm M qua M' đờng thẳng a a đờng trung trực đoạn thẳng M MM' Trờng hợp đặc biệt: M nằm a ta xem M đối xứng với qua a Định nghĩa 1: Phép đối xứng qua đờng thẳng a phép biến hình biến điểm M thành M' đối xứng với M qua ®êng th¼ng a PhÐp ®èi xøng qua ®êng th¼ng a thờng đợc kí hiệu Đa Vậy, ta đợc: M' = Đa(M) a trung trực đoạn MM' Định lí Định lí: Phép đối xứng trục phép dời hình 6 biẻu thức toạ độ phép đối xứng trục Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ®é Oxy, PhÐp ®èi xøng qua trôc Ox biÕn ®iĨm M(x; y) thµnh ®iĨm M'(x'; y') víi: x ' x y ' y PhÐp ®èi xøng qua trơc Oy biÕn ®iĨm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với: x ' x y ' y trơc ®èi xøng hình Định nghĩa 2: Đờng thẳng d đợc gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng trục Đd biến H thành nó, tức Đd(H) = H B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Tìm phép đối xứng trục biến hình (H1) thành hình (H2) Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa tính chất phép đối xứng trục Ví dụ 1: Cho hai hình vuông ABCD AMNP có cạnh a Tìm phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thành AMNP Hớng dẫn: Với hai hình vuông ABCD AMNP có chung đỉnh A CD MN Giải có ®iĨm chung E, tõ ®ã dƠ nhËn thÊy ®êng th¼ng AE trục đối xứng hình phức hợp ABCD.AMNP P Giả sử CD cắt MN E, ta ®i chøng minh: S(AE)(ABCD) = APNM ThËt v©y: AED = AEM M = S(AE)(D) A D N AEC = AEN N = S(AE)(C) AEB = AEP P = S(AE)(B) (d) E M VÝ dô 2: Cho hai đờng tròn (C1) (C2) lần lợt có tâm O1, O2 Bđều có bánCkính R Chứng minh (C 2) ảnh (C1) qua phép đối xứng trục (d), với (d) trung trực đoạn O1O2 Hớng dẫn: HÃy tìm trục đối xứng biến điểm O thành điểm O dễ thấy đờng trung trực đoạn thẳng O O Giải M M 2 LÊy M1 tuú ý thuộc (C1) gọi M2 ảnh M qua Sd Vì O2M2 O1M1 đối xứng qua (d), nªn ta cã: O1 O2 O2M2 = O1M1 Ta cã: (C2) (C1) M1(C1) O1M1 = R O2M2 = R M2(C2) (d) Ngợc lại: lấy M2 điểm tuỳ ý thuộc (C 2) gọi M1 tạo ảnh qua Sd Ta có: M2(C2) O2M2 = R O1M1 = R M1(C1) Vậy (C2) ảnh (C1) qua Sd Bài toán 2: Giải toán định tính Phơng pháp áp dụng Ta thờng gặp dạng yêu cầu sau: Dạng 1: Chứng minh (H1) ảnh (H2) qua phép đối xứng trục Đ a, ta thực theo bớc: Bớc 1: Lấy điểm M1 tuỳ ý thuộc (H1), ta chứng minh M2 = Đa(M1) (H2) Bớc 2: Ngợc lại, lấy điểm M2 tuỳ ý thuộc (H2), ta chứng minh M1 = Đa(M2) (H1) D¹ng 2: Chøng minh tÝnh chÊt K, ta thùc hiƯn theo bớc: Bớc 1: Xác định nhiều phép đối xứng trục để thiết lập mối liên kết yếu tố Bớc 2: Sử dụng tính chất phép đối xứng trục để giải yêu cầu toán Ví dụ 1: Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p nửa chu vi, h a độ dài đờng cao tõ A Chøng minh r»ng p( p a ) Híng dÉn: §Ĩ chøng minh tÝnh chÊt h p(p a) chóng ta ®· sư dơng mét a phÐp ®èi xøng trơc (d), nhiên cần phải trả lời " Chọn trục (d) nh nào? Điều đợc lý giải sơ lợc nh sau: Liên quan tới đờng cao AH = nên cần lựa chọn trục ®èi xøng trơc (d) ®i qua A hc H ë đây, chọn (d) qua A vuông góc với AH để nhận đợc phần tử trung gian quan trọng B1C, phần tử có đợc biểu diễn thông qua b c qua a , từ nhận đợc mối liên hệ a, b, c Công việc lại sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác kết hợp với định lý Pitago Các em học sinh hÃy trả lời thêm câu hỏi " Có tồn phép đối xứng trục khác (d) không có tính chất phép đối xứng ? " Giải Dựng đờng thẳng (d) qua A song song cíi BC Gäi B1, C1 lÇn lợt điểm đối xứng B, C qua đờng th¼ng B1 (d) Ta cã: (d) AC1 = AC = b, AB1 = AB = c, BB1 = CC1 = 2AH = 2ha, BB'BC B XÐt AB1C, ta cã: AB1 + AC B1C = BC BB 12 b + c a h 2a ha2 [(b + c) 2a 2] = p(pa) p( p a ) C1 A C H , ®pcm VÝ dơ 2: Cho hai điểm B C cố định nằm đờng tròn (O; R) điểm A thay đổi ®êng trßn ®ã H·y dïng phÐp ®èi xøng trơc ®Ĩ chứng minh trực tâm H tam giác ABC nằm đờng tròn cố định Hớng dẫn: Chúng ta đà sử dụng phép tịnh tiến để thực toán quỹ tích trên, để tận dụng kết đà biết em cần tìm trục đối xứng cho hai đờng tròn (O) (O') A Giải Giả sử AH cắt đờng tròn t¹i H' Ta cã: H B C H' H'CB = H'AB = HCB H'CH cân C BC đờng trung trực H'H H = ĐBC(H') Và H' (O) nên H ĐBC((O)) Bài toán 3: Giải toán định lợng Phơng pháp áp dụng Bằng việc thiết lập đợc phép tịnh tiến thích hợp, việc chứng minh đợc tính chất hình học ta tính toán đợc yếu tố hình Bằng việc lựa chọn phép đối xứng trục thích hợp cho điểm M, ta đa toàn giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức độ dài, ta cần nhớ kết quả: MA + MB AB; MAMB AB Ví dụ 1: Cho đờng thẳng (d) hai điểm A, B phía với (d) Tìm ®iĨm M trªn (d) cho MA + MB nhá Hớng dẫn: Với yêu cầu tìm giá trị nhỏ biểu thức tổng hai đoạn thẳng sử dụng kiến thức hình học phẳng thờng chuyển dạng ¸p dơng tÝnh chÊt tỉng hai c¹nh mét tam giác Và trờng hợp với điểm M thuộc đờng thẳng (d) nên lựa chọn phép ®èi xøng trơc (d) ®Ĩ chun biĨu thøc MA + MB thành biểu thức tơng đơng gắn với điểm M0 đặc biệt (d) Giải Gọi A1 ®iĨm ®èi xøng víi A qua (d) Ta cã: MA + MB = MA1 + MB A1B VËy, ta đợc: (MA + MB)Min = A1B, đạt đợc A1, M, B thẳng hàng B A (d) M H M A1 phép Chú ý: Chúng ta gặp lại dạng toán toán hệ toạ độ cđa ®èi xøng trơc VÝ dơ 2: Cho ABC nhän, D điểm cố định BC Tìm hai điểm E, F theo thø tù thuéc AB vµ AC cho DEF cã chu vi nhá nhÊt Híng dÉn: Với yêu cầu tìm giá trị nhỏ chu vi (là biểu thức tổng ba đoạn thẳng) sử dụng kiến thức hình học phẳng thờng chuyển dạng áp dụng tính chất thẳng hàng đờng gấp khúc Và trờng hợp với hai điểm E, F theo thø tù thc AB, AC nªn chóng ta sÏ lùa chọn phép đối xứng trục AB, AC để chuyển biĨu thøc DE + DF + EF thµnh mét biĨu thức tơng đơng gắn với điểm D1, D2 theo thứ tự ảnh D qua phép đối xứng trục AB, AC Giải Gọi D1 điểm đối xứng với D qua AB Gọi D2 điểm đối xøng víi D qua AC E Ta cã chu vi DEF đợc cho bởi: D1 CVDEF = DE + DF + EF = D1E + D2F + EF B VËy DEF cã chu vi nhá nhÊt D1E + D2F + EF nhỏ EF thuộc đờng thẳng D1D2 A F D2 D C E, F theo thứ tự giao điểm D1D2 với AB, AC Khi (CVDEF)Min = D1D2 Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm M Phơng pháp áp dụng Ta thực theo bớc: Bớc 1: Tìm phép đối xứng trục Đa, biến điểm E di động thành điểm M Bớc 2: Tìm tập hợp (H) điểm E Bớc 3: Kết luận tập hợp điểm M ảnh (H) phép đối xứng trục Đa Ví dụ 1: Cho ABC cân A Một đờng thẳng di động () qua A Gọi D điểm đối xứng C qua () Đờng thẳng BD cắt () M Tìm quỹ tích điểm D M Giải a Tìm tập hợp điểm D: Từ giả thiết suy AD = AC không đổi, quỹ tích điểm D thuộc đờng tròn D A tâm A, bán kính AC M b Tìm tập hợp điểm M: Ta có: () = MCD + MDC = MDC = BDC BMC B C = BAC không đổi Vậy, quỹ tích điểm M thuộc cung tròn chứa góc A đờng tròn ngoại tiếp ABC Bài toán 5: Dựng hình Phơng pháp áp dụng Ta thực theo bớc đà biết Ví dụ 1: Cho đờng thẳng xx hai điểm P, Q nằm phía ®èi víi xx’ Dùng ®iĨm Axx’ cho PAx = QAx ' Híng dÉn: Sư dơng phÐp tịnh tiến để biến góc PAx thành P Ax để tËn dơng tÝnh chÊt ®èi ®Ønh cđa hai gãc, tõ uy P , A, Q thẳng hàng Giải 1 Phân tích: Giả sử đà dựng đợc ®iÓm Axx’ cho Q P = QAx ' PAx Thùc hiƯn phÐp ®èi xøng trơc (xx’) S(xx’): P P1, A H x x’ Khi ®ã PAx = P1 Ax = QAx' P1, A, Q thẳng hàng P1 Cách dựng: Ta lần lợt thùc hiƯn: Dùng ®iĨm P1 víi P1 = S(xx’)(P) Lấy điểm chung A (xx) (P1Q) Khi A điểm phải dựng Chứng minh: Theo cách dùng, ta cã: QAx' = P1 Ax = PAx Biện luận: Số nghiệm toán b»ng sè nghiƯm chung cđa (xx’) vµ (P 1Q) tồn điểm A 10 Bài toán 6: Hệ toạ độ phép đối xứng trục Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(5; 2) Tìm toạ độ điểm M1 ảnh điểm M qua phép đối xứng trục (d), biÕt: a (d) Ox b (d) Oy c (d): x y = Hớng dẫn: Ta lần lợt: Với câu a), b) thùc hiƯn t¬ng tù thÝ dơ Víi câu c) ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Đi tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H điểm M (d), từ suy toạ độ M dựa tính chất H trung điểm MM1 Cách 2: Sử dụng lập luËn: MM1 u d Trung ®iĨm H cđa MM1 thc (d) Gi¶i a Sư dơng c«ng thøc ta cã M1(5; 2) b Sư dơng c«ng thøc ta cã M1(5; 2) c Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta lần lợt: Gọi () đờng thẳng thoả m·n: Qua M Qua M(5; 2) (): x + y = ( ) : () : vtpt n(1; 1) ( ) (d) Gọi H hình chiếu vuông góc M lên (d) (d) () = {H} đóH} toạ độ H nghiệm hệ phơng trình: x y 0 x 4 H(4; 3) x y 0 y 3 Vì H trung điểm MM1 nên ta đợc M1(3; 4) Cách 2: Giả sử M1(x; y), ta có: 1.(x 5) 1.(y 2) 0 MM1 u d (1; 1) x y Trung ®iĨm H cđa MM1 thc (d) 0 x y 0 x 3 M1(3; 4) x y y Vậy, ta đợc M1(3; 4) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (C1) có phơng trình: (C2): x2 + y2 + 10y = Viết phơng trình ảnh đờng tròn qua phép đối xứng có trục Oy Híng dÉn: Thùc hiƯn t¬ng tù thÝ dơ Giải Ta lựa chọn hai cách sau: 11 Cách 1: Mỗi điểm M(x, y)(C2') ảnh điểm M0(x0, y0) (C2) qua phÐp ®èi xøng cã trơc Oy, ta cã: M ( x , y ) (C ) Oy lµ trung trùc cđa M M (x)2 + y2 + 10y = x2 + y2 + 10y = (*) Phơng trình (*) phơng trình (C2') 0 x x y y y 10 y x Cách 2: Đờng tròn (C2) có tâm I2(0; 5) bán kính R2 = 30 Đờng tròn (C2') đối xứng với đờng tròn (C2) qua Oy cã: ' ( 0; 5) tam I (C2'): x2 + (y + 5)2 = ( 30 )2 ' 30 b ¸ n kÝnh R (C2'): x2 + y2 + 10y – = VÝ dô 3: Cho ABC biÕt A(2; 1) hai đờng phân giác góc B, C có phơng trình (dB): x2y + = vµ (dC): x + y + = Lập phơng trình cạnh BC Giải Nhận xét rằng: lấy A 1, A2 theo thứ tự điểm đối xứng A qua (d B) (dC) A1, A2BC Vậy, phơng trình đờng thẳng (A1A2) phơng trình đờng thẳng (BC) Ta lần lợt xác định A1, A2: a Xác định A1: Gọi (d1) đờng thẳng thoả mÃn: qua A ( 2, 1) (d1): (d1): ( 2,1) vtpt a A (d1): 2x + y3 = (dB) Gọi E = (d1)(dB), toạ độ điểm E nghiÖm hÖ: (dC) 2 x y E(1; 1) x y EF Vì E tung điểm AA1, ®ã: 2 x x 0 x B C A1(0; 3) 2 y y 3 y A1 A2 b Xác định A2: Gọi (d2) đờng thẳng thoả mÃn: qua A ( 2, 1) (d2): (d2): (1, 1) (d2): xy3 = vtpt a Gäi F = (d2)(dC), toạ độ điểm F nghiệm hệ: x y 0 F(0;3) x y Vì F tung ®iÓm AA2, ®ã: 2 x x 0 x A2(2;5) 2 y y 3 y Vậy, phơng trình (BC) đợc xác định bởi: qua A ( 0,3) (BC): (BC): 4xy + = ( 2, 5) qua A 2 qua A ( d ) ( d B ) B A1 E A A1 E A qua A ( d ) ( d C ) C A2 F A A2 F A VÝ dơ 4: Cho hµm sè y = x Chứng minh đờng thẳng y = x + trục x đối xứng đồ thị hàm số Giải Đờng thẳng y = x + trục đối xứng đồ thị hàm số đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng y = x + (có dạng y = x + m) cắt đồ thị A B trung điểm I AB phải thuộc đờng thẳng y = x + Hoành độ giao điểm A, B nghiệm phơng trình: x x = x + m x (m2)x1m = (1) Giả sử xA, xB nghiệm (1) thì: x m x x m x A A 12 B B Gọi I trung điểm AB, ta cã: I: xA xB x I y x m I I I: x y I I m 2 m 2 Thay toạ độ I vào phơng trình đờng thẳng y = x + 2, ta đợc: m 2 m = + = (luôn đúng) I thuộc đờng thẳng y = x + 2 Vậy, đờng thẳng y = x + trục đối xứng đồ thị hàm số tập lần Bài tập Cho hai điểm phân biệt A, B Có phép dời hình biến A thành A, biến B thành B Bài tập Cho hai đoạn thẳng AB = A’B’ Chøng minh r»ng cã thĨ t×m thÊy mét phép đối xứng trục hợp thành hai phép ®èi xøng trơc biÕn A thµnh A’, biÕn B thµnh B Bài tập Cho hai điểm phân biệt A, B phép dời hình f khác với phép đồng nhÊt cho f(A) = A, f(B) = B Chøng minh rằng: a Nếu điểm M nằm đờng thẳng AB f(M) = M b f phép đối xứng qua đờng thẳng AB Bài tập Chứng minh rằng: a Hợp thành hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song phép tịnh tiến b Mỗi phép tịnh tiến xem hợp thành hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song nhiều cách Bài tập Gọi a phân giác A ABC Chứng minh với điểm M a chu vi MBC không nhỏ chu vi ABC Bài tập Cho elíp (E) với hai tiêu điểm F1, F2 Gọi M điểm nằm (E) nhng không nằm đờng thẳng F1F2 a phân giác M MF1F2 Chứng minh a cắt (E) điểm M (đờng thẳng a nh đợc gọi tiếp tuyến (E) ®iĨm M) Bµi tËp Cho ABC víi I lµ tâm đờng tròn nội tiếp P điểm nằm tam giác Gọi A, B, C lần lợt điểm đối xứng với P qua đờng thẳng IA, IB, IC Chứng minh đờng thẳng AA, BB CC đồng quy Bài tập Trong tam giác có cạnh đáy a, chiều cao h, hÃy tìm tam giác có bán kính đờng tròn nội tiếp nhỏ Bài tập Cho ABC nhọn a Tìm ba điểm D, E, F theo thứ tù thuéc BC, AB vµ AC cho DEF cã chu vi nhỏ b Tìm giá trị nhỏ chu vi DEF theo cạnh a, b, c ABC Bài tập 10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M1 điểm đối xứng víi ®iĨm M qua (d), biÕt: a (d) Ox vµ M(1; 2) b (d) Oy vµ M(2; 3) c (d): x = vµ M(1; 1) d (d): y + = vµ M(1; 3) Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M1 điểm đối xứng với điểm M qua (d), biÕt: x 4 t a (d): x + y2 = vµ M(1; 1) b (d): vµ M(3; 1) y 3 3t Bµi tËp 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh đờng thẳng (d): xy + = qua phÐp ®èi xøng víi trơc (), biÕt: a () Ox b () Oy c (): x + y + = Bµi tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh đờng thẳng (d) qua phÐp ®èi xøng víi trơc (), biÕt: 13 a (d): 4xy + = vµ (): xy = b (d): 6x3y + = vµ (): 4x2y + = Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C) có phơng tr×nh: (C): x2 + y2 2x 4y + = Viết phơng trình ảnh đờng tròn qua phép đối xứng có trục: a (d): x = b (d): y = c (d): x + y = Bµi tËp 15 Cho hµm sè y = x44x32x2 + 12x1 Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng thẳng đứng hớng dẫn đáp sốp số Bài tập Gọi f phép dời hình thoả mÃn điều kiện đầu (tức f(A) = A f(B) = B) Lấy điểm C không thẳng hàng với A, B giả sử f(C) = C, ®ã chØ cã thĨ x¶y mét hai trêng hợp: Trờng hợp 1: Nếu C C f phép đồng Trờng hợp 2: Nếu C C ABC = ABC C C đối xứng đờng thẳng AB Tức f phép đối xứng qua đờng thẳng AB Bài tập Ta xét trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu A A B B phép đối xứng trục AB thoả mÃn điều kiện đầu Trờng hợp 2: Nếu A A gọi a trung trực đoạn AA, ta có ngay: Đa(A) = A Đa(B) = B1 Khi đó: Nếu B B1 phép đối xứng trục Đa thoả mÃn điều kiện đầu Nếu B B1 gọi b trung trực đoạn B1B, ta có ngay: Đb(A) = A Đb(B1) = B Tức hợp thành hai phép đối xứng trục Đa Đb thoả mÃn điều kiện đầu Bài tập a Với điểm M nằm đờng thẳng AB f(M) = M, ta có: f(AB) = AB giữ nguyên thức tự ba điểm (A, B, M), (A, B, M) Ngoài ra: AM AM ' M M’ BM BM ' b Với điểm N không nằm đờng thẳng AB vµ f(N) = N’, ta cã: N N, trái lại f phép đồng nhất, mâu thuẫn ABN = ABN N N đối xứng đờng thẳng AB Vậy f phép đối xứng qua đờng thẳng AB Bài tập a Gọi Đa, Đb theo thứ tự phép đối xøng trơc a, b cã a // b vµ f hợp thành Đa Đb Với hai điểm A, B theo thø tù thuéc a, b cho AB vuông góc với a Với điểm M bất kì, giả sử Đa(M) = M1 Đb(M1) = M2 a b Ta cã nhËn xÐt: MM = MM1 + M1M = O1M1 + M1O M O1 M O2 M = 2( O1M1 + M1O ) = O1O = AB A B VËy, phÐp biÕn hình biến M thành M2 phép tịnh tiến T theo vect¬ v = AB 14 b Với phép tịnh tiến T theo vectơ v , lấy đờng thẳng a vuông góc với v gäi b T1 (a) , ta cã ngay: v Tv Đ b ( Đa ) Và có nhiều cách chọn đờng thẳng a nên có nhiều phép đối xứng trục Đ a Đb có hợp thµnh lµ Tv Bµi tËp Gäi C1 lµ điểm đối xứng với C qua M C phân giác ngoµi AM cđa gãc A, ta cã: MB + MC = MB + MC1 H BC1 = AB + AC1 = AB + AC MB + MC + BC AB + AC + BC, ®pcm B A C1 Chú ý: Trong nhiều tài liệu tham khảo, ví dụ đợc phát biểu dới dạng thu gọn: Lấy điểm M đờng phân giác góc A cña ABC Chøng minh r»ng MB + MC > AB + AC Và kết ví dụ đợc sử dụng cho toán khác Bài tập Giả sử elíp (E) có độ dài trục lớn b»ng 2a, ®ã: (a) M MF1 + MF2 = 2a (theo định nghĩa elíp) M Khi đó, với điểm M nằm a thì: MF1 + M’F2 MF1 + MF2 = 2a DÊu “=” chØ x¶y M M’ F1 F2 Nh vËy, với điểm M khác M a ta cã: M’F1 + M’F2 > = 2a M' (E) a cắt (E) điểm M Bài tập Bạn đọc tự vẽ hình Ta xét trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu P trùng I đờng thẳng AA, BB CC đồng quy I Trờng hợp 2: Nếu P nằm góc AIB ta gọi PA, PB, PC điểm đối xứng với P theo thứ tự qua cạnh BC, CA, AB, ta có nhận xét với cách đặt PAB PAI : AA ' P AP PAA P ' 2 2 C C 'AP A 'AC CAP 'AC CAP A A 2 2 2 B (1) (2) B 'AP , kÕt hỵp víi APC = APB suy AA đTừ (1) (2) suy PC AA ' A B êng trung trùc đoạn PBPC Chứng minh tiếp tuyến ta có: BB đờng trung trực đoạn PAPC CC đờng trung trực đoạn PAPB Từ đó, suy đờng thẳng AA, BB CC đồng quy I Các trờng hợp P nằm góc BIC, đợc chứng minh tơng tự AIC Bài tập Không tính tổng quát ta giả sử ABC có đáy BC = a cố định độ dài đờng cao AH = h Từ suy đỉnh A chạy đờng thẳng (d) song song cách BC khoảng h C' Ta có: SABC = ah ah = pr r = p A B (d) C15 Tõ ®ã, suy ra: r nhá nhÊt ABC cã chu vi nhá nhÊt AB + AC nhá nhÊt A, B, C' thẳng hàng, với C' điểm đối xứng với C qua (d) Bài tập Bạn đọc tự vẽ hình a Chúng ta đà biết kết với điểm D cố định thì: (CVDEF)Min = D1D2 Do đó, D di động BC, chu vi DEF nhỏ nhÊt D1D2 nhá nhÊt Trong AD1D2, ta cã: AD1 = AD2 = AD, D AD = A không đổi, D1D2 nhỏ AD nhá nhÊt AD BC D chân đờng cao đỉnh A ABC Vì vai trò D, E, F nh nên ta kết luận đợc chu vi DEF nhỏ D, E, F theo thứ tự chân đờng cao ABC b Gọi K trung ®iĨm cđa D1D2, ta cã: D1D2 = 2D1K = 2AD1.sin D AK = 2AD.sin A (1) Mặt khác ta có: SABC = 1 AD.BC = AB.AC.sin A = 2 p( p a )( p b )( p c) suy ra: AD = p(p a )(p b )(p c) (2) a sin A = p( p a )(p b )(p c) bc Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: 8p( p a )(p b )(p c) D1D2 = = (CVDEF)Min abc Bµi tËp 10 a M1(1; 2) b M1(2; 3) c Gi¶ sư M1(x; y), ta cã: x 1 2 x 3 M1(3; 1) y y Vậy, ta đợc M1(3; 1) d Giả sö M1(x; y), ta cã: x x M1(1; 5) y 3 y VËy, ta đợc M1(1; 5) Bài tập 11 a Nhận xét M (d) nên M1 M b Giả sö M1(x; y), ta cã: 16 (3) 4(x 3) 3(y 1) 0 x MM1 u d (4;3) x 3 4t Trung ®iĨm H cđa MM1 thuéc (d) y 7 y 3t Vậy, ta đợc M1(3; 7) Bµi tËp 12 a (d1): x + y + = b (d1): x + y = c NhËn xÐt r»ng (d) vu«ng gãc víi () nên phép đối xứng qua trục () biến đờng thẳng (d) thành nó, tức (d1): xy + = Bµi tËp 13 a NhËn xÐt r»ng (d)() = {H} đóI}, toạ độ điểm I lµ nghiƯm cđa hƯ: x y 0 I(1;1) x y 0 Lấy điểm A(0; 3)(d), gọi H hình chiếu vuông gãc cđa A lªn (), ta cã: (AH) ( ) (AH): x + y + C = A (AH) + C = C = 3 VËy (AH): x + y3 = Khi toạ độ điểm H nghiệm cđa hƯ: x y 0 x y 0 H( ; ) 2 Gọi A1 điểm đối xứng với A qua () H trung điểm AA1 A1(3; 0) Đờng thẳng (d1) đợc cho bởi: (d1): qua qua I ( 1, 1) A (3, ) (d1): y 1 x 1 = (d1): x4y3 1 =0 b NhËn xÐt r»ng (d)//(), viết lại phơng trình hai đờng thẳng dới dạng: (d): 2xy + = (): 2xy + = Khi ®ã (d1): 2xy + C = 0, với C đợc xác định bởi: C = (Cd + C) = ( + C) C = Vậy, phơng trình đờng thẳng (d1): 2xy + = 2 Bài tập 14 Đờng tròn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = đợc viết lại dới dạng: (C): (x 1)2 + (y2)2 = a Ta cã thÓ lùa chọn cách sau: Cách 1: Với M0(x0; y0)(C’) sÏ: M(x; y)(C) cho M ®èi xøng với M0 qua đờng thẳng x = x, y tho¶ m·n: (x 1) (y 2) 2 (4 x 1) (y 2) 2 x 4 x x x 4 y y y y (x3)2 + (y2)2 = VËy phơng trình đờng tròn (C): (x3)2 + (y2)2 = 17 Cách 2: Đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua (d) có bán kính R = tâm I(x; y) thoả mÃn: x x 3 I’(3; ) y y Vậy, ta đợc: t©m I '(3;2) (C’): (C'): (x3)2 + (y2)2 = b¸n kÝnh R b Ta cã thĨ lùa chän mét c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Với M0(x0; y0)(C) sẽ: M(x; y)(C) cho M đối xứng với M0 qua đờng thẳng y = x, y tho¶ m·n: (x 1) (y 2) 2 (x 1) (2 y 2) 2 x x x x y y 2 y y 2 2 (x1) + y = Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x1)2 + y2 = Cách 2: Đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua (d) có bán kính R = tâm I(x; y) thoả mÃn: x 1 x 1 I’(1; ) y 2 y 0 1 Vậy, ta đợc: tâm I '(1;0) (C): (C'): (x1)2 + y2 = b¸n kÝnh R c Đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua (d) có bán kính R = tâm I(x; y) thoả mÃn: 1(x 1) 1(y 2) 0 II' u d (1; 1) x y Trung ®iĨm H cđa II ' thuéc(d) 0 x y 0 x 3 I’(3; 4) x y 0 y Vậy, ta đợc: tâm I '(3;4) (C’): (C'): (x3)2 + (y 4)2 = bán kính R Bài tập 15 x = 18 ... Định lí: Phép đối xứng trục phép dời hình 6 biẻu thức toạ độ phép đối xứng trục Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M''(x''; y'') v? ?i: x... ảnh đờng tròn (C) qua phép đối xứng trục () trờng hợp () không trùng với Ox, Oy trục đối xứng hình Định nghĩa 2: Đờng thẳng d đợc gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng trục Đd biến H thành nó,... đối xứng trục Đa điểm biến thành Nếu phép đối xứng trục Đ a biến điểm M thành điểm M'' biến điểm M'' thành điểm ? Nếu phép đối xứng trục Đa biến hình (H) thành hình (H'') biến hình (H'') thành hình