Bài giảng: Phép vị tự (Hình học 12 - Chương I: KHỐI ĐA DIỆN)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG §3 Phép vị tự khối đa diện Các khối đa diện  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí Định hướng thực hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: Đọc  Hiểu  Ghi nhớ định nghĩa, định lí Chép lại ý, nhận xét Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com nhn c gii ỏp Đ3 phép vị tự đồng dạng khối đa diện khối đa diện A giảng Phép vị tự không gian Định nghĩa Cho điểm O cố định số k không đổi k Phép biến hình biến điểm M thành điểm M' cho OM' = k OM đợc gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Ký hiệu VOk V(O; k) Hoạt động Phép vị tự có phải phép dời hình không ? Thí dụ 1: Cho hình chóp cụt có hai đáy hai đa giác Đ Đ2 HÃy phép vị tự biến Đ1 thành Đ2 Giải Gọi S đỉnh hình chóp chứa hình chóp cụt Khi đó, phép vị tự tâm S tỉ số k (k độ dài cạnh Đ2 chia Đ1) biến Đ1 thành Đ2 Hoạt động Trong trờng hợp phép vị tự phép dời hình ? Các tính chất phép vị tù PhÐp vÞ tù tØ sè k biÕn hai điểm M, N thành hai điểm M', N' thì: M' N ' k MN vµ M'N' = kMN PhÐp vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng đó, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng Qua phép vị tự tâm O, đờng thẳng qua O biến thành nó, tỉ số vị tự k khác đờng thẳng không qua O biến thành đờng thẳng song song với đờng thẳng Qua phép vị tự tâm O, mặt phẳng qua O biến thành nó, tỉ số vị tự k khác mặt phẳng không qua O biến thành mặt phẳng song song với mặt phẳng Thí dụ 2: Chøng minh tÝnh chÊt cđa phÐp vÞ tù  Gi¶i Ta cã:         M ' N ' = M ' O  ON ' = kMO  kON = k(MO  ON) = kMN , đpcm Hoạt động Chứng minh tÝnh chÊt 2, 3, cđa phÐp vÞ tù Hai hình đồng dạng Định nghĩa Hình (H) gọi đồng dạng với hình (H') có phép vị tự biến hình (H) thành hình (H1) hình (H1) hình (H') Hoạt động Hai hình có phải hai hình đồng dạng với không ? ThÝ dơ 3: Chøng minh r»ng hai h×nh tø diện đồng dạng với nhau, hai hình lập phơng đồng dạng với Giải a Gọi a, b theo thứ tự độ dài cạnh hai hình tứ diện ABCD A'B'C'D', đặt k = b Ta xét phép vị tự tâm O tỉ số k thì: a b a O V (ABCD) A1B1C1 D1 tứ diện có cạnh b A1B1C1D1 = A'B'C'D' Từ đó, theo định nghĩa tứ diện ABCD đồng dạng với tứ diện A'B'C'D' b Gọi a, b theo thứ tự độ dài cạnh hai hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' b A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1, đặt k = Ta xét phép vị tự tâm O tỉ số k thì: a b VOa (ABCD.A ' B 'C ' D') A B C D A ' B ' C ' D' tứ diện có cạnh b»ng b, suy ra: A0B0C0D0.A'0B'0C'0D'0 = A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1 Tõ ®ã, theo định nghĩa hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' đồng dạng với hình lập phơng A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1 Khối đa diện đồng dạng khối đa diện Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau: a Các mặt đa giác có số cạnh b Mỗi đỉnh đỉnh chung số cạnh Khối đa diện mà mặt đa giác n cạnh đỉnh đỉnh chung p cạnh đợc gọi khối đa diện loại {n; p} Có năm loại khối đa diện ({3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5}) hai khối đa diện loại đồng dạng với Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Loại {3; 3} {4; 3} {3; 4} {5; 3} {3; 5} Tên gọi Tứ diện Lập phơng Bát diện Mời hai mặt Hai mặt Số đỉnh 20 12 Số cạnh 12 12 30 30 Số mặt 12 20 ThÝ dơ 4: Hai ®Ønh cđa khối mặt cho trớc gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đờng chéo khối mặt Chứng minh khối mặt đều: a Ba đờng chéo cắt trung điểm đờng b Ba đờng chéo đôi vuông góc với c Ba đờng chéo S Giải Giả sử SABCDS1 khối mặt B a Nhận xét rằng: A BA = BC B thuộc mặt phẳng trung trùc cña AC D DA = DC  D thuộc mặt phẳng trung trực AC SA = SC S thuộc mặt phẳng trung trực AC S1A = S1C S1 thuộc mặt phẳng trung trực AC Tõ ®ã, suy B, D, S, S1 ®ång phẳng tứ giác SBS1D hình thoi nên SS1 SBD cắt trung điểm đờng (giả sử O) Chứng minh tơng tự, ta có AC BD cắt trung điểm đờng Vậy ba đờng chéo khối mặt cắt trung điểm đờng b Từ kết câu a), SBS 1D ABCD hình thoi nên đờng chéo vuông góc với c Ta cã: SAC = BAC (c.c.c)  SO = BO (1) SBD = ABD (c.c.c)  SO = AO (2) Từ đó, suy AC = BD = SS1 tập lần Bài tập 1: Chứng minh phép vị tự biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song trùng với nó, biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song trùng với Bài tập 2: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k phép vị tự V' t©m O' tØ sè k' Chøng minh r»ng nÕu kk' = phép hợp thành V' V phép tịnh tiến Bài tập 3: Cho hai đờng tròn (C1) (C2) nằm hai mặt phẳng song song HÃy phép vị tự biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2) trờng hợp: a (C1) (C2) có bán kính b (C1) (C2) có bán kính khác Bài tập 4: Cho h×nh tø diƯn ABCD Gäi A', B', C', D' theo thứ tự tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chøng minh r»ng cã phÐp vÞ tù biÕn tø diƯn ABCD thµnh tø diƯn A'B'C'D' Bµi tập 5: Chứng minh hai hình đồng dạng với hình thứ ba đồng dạng với C Bài tập 6: Cho hai điểm A đờng thẳng (d) cố định M điểm di động (d), tìm tập hợp trung điểm đoạn AM Bài tập 7: Cho khối tứ diện đều, hÃy chứng minh rằng: a Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện b Các trung điểm cạnh đỉnh khối mặt Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao Giỏo ỏn in t giảng giá: 450.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DY giảng nâng cao Bài toán 1: ảnh hình qua phép vị tự Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa tính chất phép vị tù VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng phÐp vÞ tù biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song trùng với nó, biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song trùng với Hớng dẫn: Xét trờng hợp khác vị trí tơng đối tâm vị tự đờng Giải thẳng mặt phẳng a Với phép vị tự tâm O, tỉ số k đờng thẳng (d) (hai ®iĨm ph©n biƯt M, N thc (d)), ta cã:   OM ' kOM k k  VO (d) = (d'), VO (MN) = M'N'    ON ' kON Ta xÐt hai trêng hỵp: Trêng hỵp 1: Nếu O thuộc (d) thì: O, M, N thẳng hàng O, M', N' thẳng hàng M, N, M', N' thẳng hàng (d) (d') Trờng hợp 2: Nếu O không thuộc (d) thì: OM ON MN // M'N'  (d) // (d')  OM ' ON ' b Thực tơng tự câu a) Ví dụ 2: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k phép vị tự V' tâm O' tØ sè k' Chøng minh r»ng nÕu kk' = phép hợp thành V' V phÐp tÞnh tiÕn Híng dÉn: Víi V'V(M) = M’ ta chứng minh vectơ MM ' không đổi dựa theo tính chất phép vị tự V V Giải Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k, V' phép vị tự tâm O' thØ sè k'   Víi ®iĨm M ta lÊy M1 cho OM1 = k OM råi lÊy ®iÓm M' cho O' M ' = k'  O' M1 phép hợp thành V' V biến ®iĨm M thµnh ®iĨm M' Ta cã:        MM ' = MM1 + M1 M ' = OM1 – OM + O' M ' – O' M1     = OM1 – OM1 + k' O' M1 – O' M1 k    1     =    OM1 + (k' – 1) O' M1 =    OM1 + (1 – k') M1O ' k k   Chó ý kk' = nên k' = , đẳng thức trở thành: k 1 k   MM ' =    ( OM1 + M1O ' ) = OO ' k k Bài toán 2: Tìm phép vị tự biến hình (H1) thành hình (H2) Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa tính chất phép vị tự Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (C1) (C2) nằm hai mặt phẳng song song HÃy phép vị tự biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2) trờng hợp: c (C1) (C2) có bán kính d (C1) (C2) có bán kính khác Giải Gọi O1, O2 theo thứ tự tâm đờng tròn (C1) (C2) a Gọi I trung điểm O1O2 Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số k = biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2) R b Giả sử R1, R2 theo thứ tự bán kính đờng tròn (C1) (C2) Đặt k = R1 Trên O1O2 lấy hai điểm I I' cho IO2 kIO1 vµ I ' O2  kI ' O1 Nh vËy, cã hai phÐp vÞ tù tâm I tỉ số k tâm I' tỉ số k biến đờng tròn thành đờng tròn Ví dơ 2: Cho h×nh tø diƯn ABCD Gäi A', B', C', D' theo thứ tự tâm tam gi¸c BCD, ACD, ABD, ABC Chøng minh r»ng cã phÐp vị tự biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' Hớng dẫn: Lựa chọn tâm vị tự trọng t©m G cđa tø diƯn ABCD bëi nã cịng chÝnh trọng tâm tứ diện ABCD Công việc lại ta tìm đợc tỉ số vị tự Giải A Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, ta cã:  1   GA'  GA , GB '  GB , 3  1  1 GC '  GC , GD'  GD 3 VËy, ta thÊy:  D' C C' G B A' VG (ABCD) A ' B 'C ' D' VÝ dô 3: B' D Chøng minh hai hình đồng dạng với hình thứ ba đồng dạng với Hớng dẫn: Sử dụng tính chất phép đồng dạng để suy tỉ số đồng dạng tơng ứng Giải Giả sử (H1) đồng dạng với (H) theo tỉ số k1 (H2) đồng dạng với (H) theo tỉ số k k2, suy (H1) đồng dạng với (H2) theo tỉ sè k2 VÝ dơ 4: Cho hai ®iĨm A đờng thẳng (d) cố định M điểm di động (d), tìm tập hợp trung điểm đoạn AM Giải Gọi P trung điểm ®o¹n AM, ta cã M H(A, )  P Tập hợp điểm M đờng thẳng (d) tập hợp điểm P đờng thẳng (d') ảnh d H(A, ) Bài toán 3: Tính chất khối đa diện Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa khối đa diện ®Ịu VÝ dơ 1: Cho mét khèi tø diƯn ®Ịu, hÃy chứng minh rằng: a Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện b Các trung điểm cạnh đỉnh khối mặt Giải Bạn đọc tự vẽ hình a Với tø diƯn ®Ịu ABCD, gäi G1, G2, G3, G4, G theo thứ tự trọng tâm ABC, ABD, ACD, BCD tứ diện ABCD Khi đó, với phép vị tự tâm G tỉ số k , ta cã:  VG (ABCD) (G G G G1 ) Vì ABCD tứ diện nên G1G2G3G4 tứ diện ®Ịu b Víi tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, gäi M, M, P, Q, R, S theo thø tù lµ trung điểm cạnh AB, AC, AD, CD, BD vµ BC Ta cã ngay: a a MN = NP = PM = ; QR = RS = SQ = = ; 2 a a a SM = SN = MN = ; QP = QN = NP = ; RP = RM = MP = 2 Vậy, trung điểm cạnh tứ diện ABCD đỉnh khối mặt ®Ịu C bµi tËp rÌn lun Bµi tËp 1: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ? a Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với b Phép vị tự biến mặt phẳng qua tâm vị tự thành c Không có phép vị tự biến hai điểm phân biệt A B lần lợt thành A B d Phép đồng dạng biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song trùng với mặt phẳng e Phép vị tự tỉ số k = phép đối xứng tâm Bài tập 2: a Phép vị tự có phải phép dời hình không ? b Trong trờng hợp phép vị tự phép dời hình ? c Hai hình có phải hai hình đồng dạng với không ? Bài tËp 3: PhÐp vÞ tù tØ sè k biÕn hai ®iĨm M, N thµnh hai ®iĨm M', N' Chøng minh r»ng M' N ' k MN vµ M'N' = kMN Bài tập 4: Chứng minh rằng: a Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng đó, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng b Qua phép vị tự tâm O, đờng thẳng qua O biến thành nó, tỉ số vị tự k khác đờng thẳng không qua O biến thành đờng thẳng song song với đờng thẳng c Qua phép vị tự tâm O, mặt phẳng qua O biến thành nó, tỉ số vị tự k khác mặt phẳng không qua O biến thành mặt phẳng song song với mặt phẳng Bài tập 5: Cho phép vị tự tâm O biến A thành B, biết OA = 2OB Khi tỉ số vị tự ? Bài tập 6: Cho hai đờng thẳng song song (d), (d') điểm O không nằm chúng Có phép vị tự tâm O biÕn (d) thµnh (d') ?  Bµi tËp 7: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k phép tịnh tiến T theo vectơ v Đặt F = T V F' = V  T Chøng minh r»ng: a Cã mét ®iĨm I nhÊt cho F(I) = I vµ ®iÓm I' nhÊt cho F'(I') = I' b F phép vị tự tâm I tỉ số k, F' phép vị tự tâm I' tỉ số k Bài tập 8: Cho hai hình tứ diện ABCD A'B'C'D' có cạnh tơng ứng song song AB // A'B', AC // A'C', AD // A'D', CB // C'B', BD // B'D', DC // D'C' Chøng minh r»ng có phép tịnh tiến phép vị tự biÕn tø diƯn nµy thµnh tø diƯn Bµi tËp 9: Chứng minh rằng: a Tâm mặt khối lập phơng cho trớc đỉnh khối mặt b Tâm mặt khối mặt cho trớc đỉnh khối lập phơng Bài tập 10: Cho hai tứ diện ABCD A'B'C'D' có cách cạnh tơng ứng tỉ lƯ,nghÜa lµ A ' B ' B 'C ' C ' D' D' A ' A 'C ' B ' D'      k Chøng minh r»ng hai tø diƯn ®· AB BC CD DA AC BD cho đồng dạng D hớng hớng dẫn đáp sốp số Bài tập 5: Từ giả thiết OA = 2OB, suy ra:  1 1 O OB = OA  OB  OA  k =  2 Bài tập 6: Với giả thiết ta có hai trờng hợp là: H O ((d), (d')) O ((d), (d')) (d) M Trờng hợp 1: NÕu O  ((d), (d')), víi M  (d) ta cã:  VOk (M) = M'  (d')  OM ' = k OM (d') M' H' Gäi H, H' theo thứ tự hình chiếu vuông góc O lên (d) (d'), suy ra: OH ' = k OH k không đổi Vậy, trờng hợp có phép vị tự tâm O biến (d) thành (d') Trờng hợp 2: Nếu O ((d), (d')) phép vị tự tâm O biến (d) thành (d'), trái lại với M  (d) ta cã:  VOk (M) = M'  (d')  OM ' = k OM  O, M, M' thẳng O ((d), (d')), mâu thuẫn Vậy, trờng hợp phép vị tự tâm O biến (d) thành (d') Bài tập 7: a Giả sử F(I) = I Điều đóxảy rakhi vµ chØ nÕu V biÕn I thµnh I T biến I1 thành I, tức là: OI1 = k OI th× I1 I = v Tõ ®ã,   suy ra:     OI – OI1 = v , hay OI – k OI = v Do ®ã:   v OI = k Vậy, điểm I xác định Giả sử F(I') = I' Điều xảy  vµ chØ nÕu T biÕn I' thµnh I V biến I'1 thành I', tức là: I ' I '1 = v OI ' = k OI '1 Tõ ®ã    suy ra:   OI ' = k ( OI ' + I ' I '1 ) hay (k – 1) OI ' = k I ' I '1 10   kv Do ®ã OI ' = k Vậy, điểm I' xác định b Với điểm M ta lÊy ®iĨm M1 cho OM1 = k OM , råi lÊy ®iĨm M'   cho M1 M ' = v Khi phép hợp thành F = T  V biÕn M thµnh M'   Ta ®èi xøng ®iĨm O' cho OO ' = v O' điểm cố định (không phụ k thuéc vµo M) vµ:     + OM1 + M1 M ' IM ' = OI        = OI + k OM + v = IO + k( IM – IO ) + v     = (1 – k) IO + v + k IM = k IM Từ suy T V phép vị tự tâm I tỉ số k Chứng minh tơng tù ta cã F = V  T lµ phÐp vị tự I' tỉ số k Bài tập 8: Vì AB // A'B' nên có số k cho AB kA ' B '       Ta chøng minh r»ng ®ã ta còng cã AC kA ' C ' , AD kA ' D ' , CB kC ' B ' ,     BD kB ' D ' , CD kC ' D ' ThËt vËy, xét tam giác ABC tam giác A'B'C' có cạnh tơng ứng song song nên ta phải có số l m cho AC lA ' C ' , CB mC ' B ' Khi ®ã:       AB kA ' B '  AC – BC = k( A ' C ' – B ' C ' )      l A'C' – m B'C' = k A'C' – k B'C'    (l – k) A ' C ' = (m – k) B ' C ' Vì hai vectơ A ' C ' B ' C ' không phơng nên đẳng thức xảy chØ khi: l – k = m – k =  l = m = k     VËy, AC kA ' C ' vµ BC kB ' C ' Các đẳng thức lại chứng minh tơng tự Xét trờng hợp k =        Khi ®ã, AB A ' B ' , BC B ' C ' , nªn AA ' BB ' CC ' = Suy phép tịnh tiến theo vectơ v = AA ' biÕn tø diƯn ABCD thµnh tø diện A'B'C'D' Nếu k thi fhai đờng thẳng AA' BB' cắt điểm O Khi đó, rõ phép vị tự V tâm O tØ sè k biÕn tø diƯn ABCD thµnh tø diƯn A'B'C'D' Bài tập 9: a Giả sử khối lập phơng có cạnh a, suy đờng chéo mặt có độ dài a 11 Khi đó, tâm mặt khối lập phơng tạo thành khối đa diện có độ dài cạnh a Vậy, đỉnh khối mặt b Dựa vào hình vẽ ví dụ 1, ta có nhận xét: Tâm bốn tam giác SAB, SBC, SCD, SDA hình vuông Tâm bốn tam giác S1AB, S1BC, S1CD, S1DA hình vuông Tâm bốn tam giác ABS, ASD, ADS1, AS1B hình vuông Vậy, tâm mặt khối mặt cho trớc đỉnh khối lËp ph¬ng 12 ... A1B1C1D1.A''1B''1C''1D''1 Khối đa diện đồng dạng khối đa diện Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau: a Các mặt đa giác có số cạnh b Mỗi đỉnh đỉnh chung số cạnh Khối đa diện mà mặt đa giác... đỉnh khối mặt C tập rèn luyện Bài tập 1: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ? a Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với b Phép vị tự biến mặt phẳng qua tâm vị tự thành c Không có phép. .. theo tính chất phép vị tự V V Giải Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k, V'' phép vị tự tâm O'' thỉ số k'' Với điểm M ta lÊy M1 cho OM1 = k OM råi lÊy ®iĨm M'' cho O'' M '' = k'' O'' M1 phép hợp thành