Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN
VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
và sự bằng nhau của các khối đa diện
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Vi t thu ho ch sáng t oết thu hoạch sáng tạo ạch sáng tạo ạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận
được giải đáp
Trang 3Đ2 phép đối xứng qua mặt phẳng
và sự bằng nhau của các khối đa diện
bài giảng theo chơng trình chuẩn
Phép biến hình trong không gian đợc định nghĩa tơng tự nh trong mặt phẳng, cụ thể:
Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định đợc một điểm duy nhất M' của mặt phẳng, điểm M' gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F thì:
M'= F(M)
Nếu (H) là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M' = F(M), với M (H), tạo thành hình (H'), ta viết (H') = F(H).
1 Phép đối xứng qua mặt phẳng
Định nghĩa 1
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình
biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, và biến mỗi
điểm M không thuộc (P) thành M' sao cho (P) là mặt
phẳng trung trực của MM'.
Thí dụ 1: Dựng ảnh của đờng tròn (C) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P)
Giải
Ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu (C) nằm trên (P) thì ảnh của (C) là chính nó.
Trờng hợp 2: Nếu (C) không nằm trên (P) thì lấy ba điểm A,
B, C phân biệt trên (C), ta thực hiện:
Dựng (dA) qua A và vuông góc với (P), (dA) (P) = {HHA}
Trên (dA) lấy điểm A' sao cho HAA = HAA', suy ra:
Đ(P)(A) = A'
Thực hiện tơng tự, ta có:
Đ(P)(B) = B' và Đ(P)(C) = C'
Vẽ đờng tròn (C') ngoại tiếp A'B'C', ta đợc (C') = Đ(P)((C))
Hoạt động Chứng minh rằng phép đổi xứng qua mặt phẳng là phép
biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Thí dụ 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến mặt phẳng () thành mặt phẳng (') Xác định vị trí tơng đối của () và (') trong mỗi trờng hợp sau:
a () và (P) cắt nhau b () và (P) trùng nhau
c () và (P) song song với nhau d () và (P) vuông góc với nhau
Giải
a Nếu () và (P) cắt nhau thì () và (') cắt nhau
b Nếu () và (P) trùng nhau thì () và (') trùng nhau
c Nếu () và (P) song song với nhau thì () và (') song song với nhau
d Nếu () và (P) vuông góc với nhau thì () và (') trùng nhau
2 Mặt phẳng đối xứng của một hình
Định nghĩa 2
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H).
M
P)
M'
B
P)
B'
A
A'
C
C'
H
C
H
A H
B
Trang 4Thí dụ 3: Mọi mặt phẳng đi tâm của mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu.
Thí dụ 4: Tìm các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều
Giải
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD có bốn mặt đối xứng,
gồm:
Hai mặt chéo (SAC) và (SBD)
Hai mặt phẳng trung trực của AB và BC
3 Hình bát diện đều và mặt phẳng đối xứng của nó
Định nghĩa 3
Hình đa diện có 8 mặt là các tam giác đều gọi là hình
bát diện đều (hay hình tám mặt đều).
Tính chất: (Với hình bên): Bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một
mặt phẳng và đó là một mặt phẳng đối xứng của hình bát diện
đều ABCDEF.
Hoạt động 1 Chứng minh rằng tính chất trên.
diện đều.
4 Phép dời hình và sự bằng nhau của các hình
Định nghĩa phép dời hình
Một phép biến hình F trong không gian đợc gọi là phép dời hình nếu nó bảo
toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì (có nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kì
M, N lần lợt thành M', N' thì MN = M'N').
Định lí 1: Phép đối xứng qua mặt phẳng là một phép dời hình.
Thí dụ 5: Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M' trùng với M thì ta cũng có đợc một phép biến hình
Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất.
Câu hỏi đặt ra "Phép đồng nhất e có phải là một phép dời hình hay không ?", và
câu trả là có bởi:
Phép đồng nhất e biến hai điểm M, N bất kì lần lợt thành M và N Vì
MN = MN e là phép dời hình
Thí dụ 6: Giả sử phép dời hình F biến hai đờng thẳng a, b lần lợt thành hai đờng thẳng a', b' Chứng minh rằng:
a Nếu a, b cắt nhau thì a', b' cắt nhau
Nếu a, b song song thì a', b' song song
Nếu a, b chéo nhau thì a', b' chéo nhau
b Góc giữa hai đờng thẳng a và b bằng góc giữa hai đờng thẳng a' và b'
c Nếu a và b không có điểm chung thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách giữa a' và b'
Giải
a Lấy hai điểm A, B phân biệt thuộc a và gọi A', B' là ảnh của chúng qua F
Lấy hai điểm C, D phân biệt thuộc b và gọi C', D' là ảnh của chúng qua F
Nếu a, b cắt nhau: Gọi I là giao điểm của AB và CD và I' là ảnh của nó qua F.
Từ tính chất của phép dời hình, suy ra:
A', B' và I' thẳng hàng
A
F
C D B E
M
S
D B
A C
E F
Trang 5 C', D' và I' thẳng hàng.
Tức là, hai đờng thẳng a', b' cắt nhau tại I', đpcm
Nếu a, b song song vói nhau: Giả sử AB = CD thì ABCD là hình bình hành,
suy ra AD = BC
Từ tính chất của phép dời hình, suy ra:
A'B' = C'D' và A'D' = B'C' A'B'C'D' là hình bình hành
A'B' // C'D' a' // b', đpcm
Nếu a, b chéo nhau: Thì A, B, C, D không đồng phẳng, suy ra bốn điểm A',
B', C', D' không đồng phẳng, tức là a' và b' chéo nhau
b Từ điểm O dựng các tia Ox, Oy theo thứ tự song song với a và b
Gọi O'x'y' là ảnh của Oxy qua F, suy ra:
xOy x ' O' y '
O ' x '// a ' và O ' y '// b '
g(a, b) = xOy x ' O ' y ' = g(a', b')
c Gọi MN là đoạn vuông góc chung của a và b, M'N' là ảnh của MN qua F, suy ra:
EF E ' F '
E ' F ' a ' và E ' F ' b '
d(a, b) = EF = E'F' = d(a', b')
Một số ví dụ về phép dời hình
Phép tịnh tiến
Cho vectơ v Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho MM' =
v gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v
Thí dụ 7: Chứng minh rằng phép tịnh tiến là phép dời hình
Giải
Với phép tịnh tiến theo vectơ v, ta có:
v
T (MN) M ' N ' MM ' NN '
= v
MM'N'N là hình bình hành MN = M'N'
Vậy, phép tịnh tiến là một phép dời hình
Hoạt động Dựng ảnh của tứ diện ABCD qua phép tịnh tiến lần lợt
theo các vectơ AB
và BC .
Phép đối xứng qua đ ờng thẳng (gọi là phép đối xứng trục)
Phép đối xứng qua đờng thẳng () là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc () thành chính nó, và biến mỗi điểm M không thuộc () thành M' sao cho trong mặt phẳng (M, ()), () là đờng trung trực của MM'.
Thí dụ 8: Chứng minh rằng phép đối xứng trục là phép dời hình
Giải
Với phép đối xứng trục (), ta có:
Đ()(MN) = M'N' () là trung trực của MM' và NN'
Nhận xét rằng:
MN2 = MF2 + NF2 = M'F2 + N'F2 = M'N'2
MN = M'N'
Vậy, phép đối xứng trục là một phép dời hình
Hoạt động Dựng ảnh của hình hộp ABCD.A'B'C'D' qua phép đói xứng
trục AC'.
M'
u
M
N' N
M
N'
E
F
()
Trang 6Phép đối xứng qua một điểm (gọi là phép đối xứng tâm)
Phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho OM OM '0
Thí dụ 9: Chứng minh rằng phép đối xứng tâm là phép dời hình
Giải
Với phép đối xứng tâm O, ta có:
Đ(O)(MN) = M'N' OM OM ' 0
ON ON ' 0
ABCD là hình bình hành MN = M'N'
Vậy, phép đối xứng tâm là một phép dời hình
Hoạt động Dựng ảnh của hình chóp tứ giác đều S.ABCD qua phép đói
xứng tâm O với O là giao điểm của AC và BD.
Định nghĩa hai hình bằng nhau
Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Thí dụ 10: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng:
a Hai hình chóp A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau
b Hai hình lăng trụ ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau
Giải
a Ta lần lợt thực hiện:
Phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực (P) của
AA', ta đợc:
Đ(P)(A.A'B'C'D') = A'.ABCD
Phép đối xứng qua mặt phẳng (BDD'B'), ta đợc:
Đ(BDD'B')(A'.ABCD) = C'.CBAD
Vậy, ta đợc A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau
b Với phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC'B'), ta đợc:
Đ(ADC'B')(ABC.A'B'C') = AA'D'.BB'C'
Vậy, ta đợc ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau
Định lí 2: Hai hình tứ diện có các cạnh tơng ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Hệ quả 1: Hai tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hệ quả 2: Hai hình lập phơng có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hoạt động Chùng minh hai hệ quả trên.
bài tập lần 1
Bài tập 1: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đờng thẳng (d) thành đờng thẳng (d') Xác định vị trí tơng đối của (d) và (d') trong mỗi trờng hợp sau:
a (d) nằm trên (P)
b (d) vuông góc với (P)
c (d) song song với (P)
A'
A
D'
D
C' C
B' B
M' M
N'
Trang 7d (d) cắt (P) và không vuông góc với (P).
e (d) cắt (P) và góc giữa d và (P) bằng 450
Bài tập 2: Cho hai đờng thẳng song song (d) và (d')
a Tìm các phép tịnh tiến biến (d) thành (d')
b Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d')
c Tìm phép đối xứng tâm biến (d) thành (d')
d Tìm phép đối xứng trục biến (d) thành (d')
Bài tập 3: Cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tơng ứng bằng nhau
AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', DA = D'A', DB = D'B', AC = A'C' Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, C, D lần lợt thành các
điểm A', B', C', D'
Bài tập 4: Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD
Bài tập 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AB
và CD
a Chứng minh IJ là đoạn thẳng vuông góc chung của AB và CD Tính IJ
b Chứng tỏ rằng tứ diện đó có ba trục đối xứng
Bài tập 6: Cho tứ diện ABCD Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B,
C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất
Bài tập 7: Cho mặt phẳng (P) và cho phép dời hình F có tính chất F biến điểm M thành điểm M khi và chỉ khi M nằm trên (P) Chứng tỏ rằng F là phép đối xứng qua mặt phẳng (P)
Bài tập 8: Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của AB
và mặt phẳng trung trực của CD chia tứ diện ABCD thành bốn tứ diện bằng nhau
Bài tập 9: Chứng minh rằng hai tứ diện có các cạnh tơng ứng bằng nhau thì bằng nhau
Trang 8Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 850.000đ.
1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2 Bạn gửi tiền về:
Lấ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ
3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.
LUễN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY
bài giảng nâng cao
Bài toán 1:ảnh của một hình qua phép dời hình
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa của các phép dời hình trong không gian
Ví dụ 1: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đờng thẳng (d) thành đờng thẳng (d') Xác định vị trí tơng đối của (d) và (d') trong mỗi trờng hợp sau:
a (d) nằm trên (P)
b (d) vuông góc với (P)
c (d) song song với (P)
d (d) cắt (P) và không vuông góc với (P)
e (d) cắt (P) và góc giữa d và (P) bằng 450
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua mặt phẳng.
Giải
a Nếu (d) nằm trên (P) thì (d) trùng với (d')
b Nếu (d) vuông góc với (P) thì (d) trùng với (d')
c Nếu (d) song song với (P) thì (d) song song với (d')
d Nếu (d) cắt (P) và không vuông góc với (P) thì (d') cắt (d)
e Nếu (d) cắt (P) và góc giữa d và (P) bằng 450 thì (d') cắt (d) và vuông góc với d
Bài toán 2:Tìm phép dời hình biến hình (H1) thành hình (H2)
Trang 9Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của các dời hình
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng song song (d) và (d')
a Tìm các phép tịnh tiến biến (d) thành (d')
b Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d')
c Tìm phép đối xứng tâm biến (d) thành (d')
d Tìm phép đối xứng trục biến (d) thành (d')
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của các phép dời hình tơng ứng.
Giải
Lấy điểm A (d) và A' (d') và gọi I là trung điểm của AA'
a Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA' đều
biến đờng thẳng (d) thành (d')
Vì có vô số vectơ v nên có vô số phép tịnh tiến biến
(d) thành (d')
b Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng ((d), (d')), khi đó phép
đối xứng qua mặt phẳng (P) sẽ biến (d) thành (d')
Thật vậy, lấy M tuỳ ý thuộc (d) và gọi M' là
ảnh của M qua Đ(P), ta có:
MM' (P) MM' ((d), (d'))
Khi đó, trong mặt phẳng ((d), (d')) ta có:
0 0 0
M M
IA ' M M ' 2
AM // IM
A'M'//AM M' (d')
Vì mặt phẳng (P) là duy nhất nên có duy nhất một phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d')
c Phép đối xứng tâm I sẽ biến (d) thành (d')
Thật vậy, lấy M tuỳ ý thuộc (d) và gọi M' là ảnh của M
qua ĐI, ta có:
MAI = M'A'I (c.g.c) MAI M ' A ' I
A'M'//AM M' (d')
Vì có vô số điểm I nên có vô số phép đối xứng tâm biến (d) thành (d')
d Gọi (a) là đờng thẳng qua I và song song với ((a) ((d), (d')), khi đó phép đối xứng qua đờng thẳng (a) sẽ biến (d) thành (d')
Thật vậy, lấy M tuỳ ý thuộc (d) và gọi M' là
ảnh của M qua Đ(a), ta có:
MM' (P) MM' ((d), (d'))
Khi đó, trong mặt phẳng ((d), (d')) ta có:
0 0 0
M M
IA ' M M ' 2
AM // IM
A'M'//AM M' (d')
Vì đờng thẳng (a) là duy nhất nên có duy nhất một phép đối xứng trục biến (d) thành (d')
Ví dụ 2: Cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tơng ứng bằng nhau
AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', DA = D'A', DB = D'B', AC = A'C' Chứng minh
d )
A
' )
d )
A
' )
P
)
I M
M ' M
0
0
d )
A '
( d ' ) I
M ' M
A' (d') I
M
M'
M0
0
(a)
Trang 10rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, C, D lần lợt thành các
điểm A', B', C', D'
Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng cũng với tính chất về sự bảo
toàn khoảng cách của phép dời hình.
Giải
Giả sử có hai phép dời hình F1 và F2 đều biến các điểm A, B, C, D lần lợt thành các điểm A', B', C', D'
Nếu F1 và F2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho:
F (M) M
F (M) M
,
suy ra:
A'M1 = AM = A'M2
và tơng tự B'M1 = B'M2, C'M1 = C'M2, D'M1 = D'M2
Do đó, bốn điểm A', B', C', D' cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
M1M2, trái với giả thiết A'B'C'D' là hình tứ diện
Vậy, với mọi điểm M ta đều có F1(M) = F2(M), tức là hai phép dời hình F1 và F2
trùng nhau
Bài toán 3:Tìm mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng của khối
đa diện (H)
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng của khối đa diện
Ví dụ 1: Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD
Hớng dẫn: Với tứ diện đều ABCD thì các đỉnh có vai trò giống nhau, xét mặt phẳng
đối xứng (P) biến A thành B, ta thấy:
Trớng hợp 1: Nếu A, B thuộc (P) thì để C biến thành D mặt phẳng (P)
phải là mặt phẳng trung trực của CD.
Trớng hợp 2: Nếu (P) là mặt phẳng trung trực của AB thì (P) sẽ chứa CD
nên thoả mãn.
Từ đó, ta nhận thấy các mặt phẳng trung trực của các cạnh của tứ diện
đều là mặt phẳng đối xứng của nó.
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
Giả sử là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD, tức là phép đối xứng D
biến tập hợp {HA, B, C, D} thành chính nó
Vì D không thể biến đổi đỉnh thành chính nó (vì khi đó D là một phép đồng nhất) nên phải có một đỉnh (giả sử là A), biến thành một đỉnh khác (giả sử là đỉnh B) Khi đó, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ( đi qua C và D)
Nh vậy, tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực của các cạnh
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AB
và CD
a Chứng minh IJ là đoạn thẳng vuông góc chung của AB và CD Tính IJ
b Chứng tỏ rằng tứ diện đó có ba trục đối xứng
