Bài giảng: Phép đói xứng qua mặt phẳng (Hình học 12 - Chương I: KHỐI ĐA DIỆN)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG §2 Phép đối xứng qua mặt phẳng khối đa diện  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tơ Ngọc Vân  Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí Định hướng thực hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: Đọc  Hiểu  Ghi nhớ định nghĩa, định lí Chép lại ý, nhận xét Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạot thu hoạch sáng tạoch sáng tạch sáng tạoo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhận gii ỏp Đ2 phép đối xứng qua mặt phẳng khối đa diện giảng theo chơng chơng trình chuẩn Phép biến hình không gian đợc định nghĩa tơng tự nh mặt phẳng, cụ thể: Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định đợc điểm M' mặt phẳng, điểm M' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Nếu ta kí hiệu phép biến hình F thì: M' = F(M) Nếu (H) hình tập hợp điểm M' = F(M), với M (H), tạo thành hình (H'), ta viết (H') = F(H) Phép đối xứng qua mặt phẳng Định nghĩa Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành M' cho (P) mặt phẳng trung trực MM' M ) P M' Thí dụ 1: Dựng ảnh đờng tròn (C) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Giải Ta xÐt hai trêng hỵp: Trêng hỵp 1: NÕu (C) nằm (P) ảnh (C) Trờng hợp 2: Nếu (C) không nằm (P) lấy ba điểm A, B, C phân biệt (C), ta thực hiện: Dựng (dA) qua A vuông gãc víi (P), (dA)  (P) = {HHA} Trªn (dA) lÊy ®iĨm A' cho HAA = HAA', suy ra: §(P)(A) = A'  Thùc hiƯn t¬ng tù, ta cã: Đ(P)(B) = B' Đ(P)(C) = C' Vẽ đờng tròn (C') ngoại tiếp A'B'C', ta đợc (C') = Đ(P)((C)) Hoạt ®éng A B P ) H A H C H C B C' A' B' Chøng minh r»ng phÐp ®ỉi xứng qua mặt phẳng phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm Thí dụ 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến mặt phẳng () thành mặt phẳng (') Xác định vị trí tơng đối () (') trờng hợp sau: a () (P) cắt b () (P) trïng c () vµ (P) song song víi d () (P) vuông góc với Giải a Nếu () (P) cắt () (') cắt b Nếu () (P) trùng () (') trùng c Nếu () (P) song song với () (') song song với d Nếu () (P) vuông góc với () (') trùng Mặt phẳng đối xứng hình Định nghĩa Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng hình (H) Thí dụ 3: Mọi mặt phẳng tâm mặt cầu mặt phẳng đối xứng mặt cầu Thí dụ 4: Tìm mặt phẳng đối xứng hình chóp tứ giác Giải S Với hình chóp tứ giác S.ABCD có bốn mặt đối xứng, gồm: Hai mặt chéo (SAC) (SBD) Hai mặt phẳng trung trực AB BC B Hình bát diện mặt phẳng đối xứng Định nghĩa Hình đa diện có mặt tam giác gọi hình bát diện (hay hình tám mặt đều) Tính chất: (Với hình bên): Bốn đỉnh A, B, C, D nằm A mặt phẳng mặt phẳng đối xứng hình bát diện ®Ịu ABCDEF Ho¹t ®éng A F M D O N C E E C B D F Chøng minh tính chất Tìm thêm mặt phẳng đối xứng khác hình bát diện Phép dời hình hình Định nghÜa phÐp dêi h×nh Mét phÐp biÕn h×nh F không gian đợc gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm (có nghĩa F biến hai điểm M, N lần lợt thành M', N' MN = M'N') Định lí 1: Phép đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình Thí dụ 5: Với điểm M, ta xác định điểm M' trùng với M ta có đợc phép biến hình Phép biến hình gọi phép đồng Câu hỏi đặt "Phép đồng e có phải phép dời hình hay không ?", câu trả có bëi: PhÐp ®ång nhÊt e biÕn hai ®iĨm M, N lần lợt thành M N Vì MN = MN e phép dời hình Thí dụ 6: Giả sử phép dời hình F biến hai đờng thẳng a, b lần lợt thành hai đờng thẳng a', b' Chøng minh r»ng: a NÕu a, b c¾t a', b' cắt Nếu a, b song song th× a', b' song song NÕu a, b chÐo a', b' chéo b Góc hai đờng thẳng a b góc hai đờng thẳng a' b' c Nếu a b điểm chung khoảng cách a b khoảng cách a' b' Giải a Lấy hai điểm A, B phân biệt thuộc a gọi A', B' ảnh chúng qua F Lấy hai điểm C, D phân biệt thuộc b gọi C', D' ảnh chúng qua F Nếu a, b cắt nhau: Gọi I giao điểm AB CD I' ảnh qua F Tõ tÝnh chÊt cđa phÐp dêi h×nh, suy ra:  A', B' I' thẳng hàng C', D' I' thẳng hàng Tức là, hai đờng thẳng a', b' cắt I', đpcm Nếu a, b song song vói nhau: Giả sử AB = CD ABCD hình bình hành, suy AD = BC Tõ tÝnh chÊt cđa phÐp dêi h×nh, suy ra: A'B' = C'D' A'D' = B'C' A'B'C'D' hình bình hành A'B' // C'D' a' // b', ®pcm  NÕu a, b chÐo nhau: Th× A, B, C, D không đồng phẳng, suy bốn điểm A', B', C', D' không đồng phẳng, tức a' b' chéo b Từ điểm O dựng tia Ox, Oy theo thø tù song song víi a vµ b Gọi O'x'y' ảnh Oxy qua F, suy ra:   O' y ' xOy x'   g(a, b) = xOy  x 'O' y ' = g(a', b') O' x '// a ' vµ O' y '// b ' c Gọi MN đoạn vuông góc chung a b, M'N' ảnh MN qua F, suy ra: EF E ' F '  d(a, b) = EF = E'F' = d(a', b')  E ' F '  a ' vµ E ' F '  b ' Mét sè vÝ dô phép dời hình Phép tịnh tiến Cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành M' cho MM' = v gọi phép tịnh tiến theo vect¬ v ThÝ dơ 7: Chøng minh r»ng phép tịnh tiến phép dời hình Giải Với phép tịnh tiến theo vectơ v , ta có:  Tv (MN) M ' N '  MM ' NN ' = v MM'N'N hình bình hành MN = M'N' Vậy, phép tịnh tiến phép dời hình Hoạt động u M' M N' N Dựng ảnh tứ diện ABCD qua phép tịnh tiến lần lợt theo vectơ AB BC Phép đối xứng qua đờng thẳng (gọi phép ®èi xøng trơc) PhÐp ®èi xøng qua ®êng th¼ng () phép biến hình biến điểm thuộc () thành nó, biến điểm M không thuộc () thành M' cho mặt phẳng (M, ()), () đờng trung trực MM' Thí dụ 8: Chứng minh phép đối xứng trục phép dời hình Giải Với phép đối xứng trục (), ta có: §()(MN) = M'N'  () lµ trung trùc cđa MM' vµ NN' NhËn xÐt r»ng: MN2 = MF2 + NF2 = M'F2 + N'F2 = M'N'2  MN = M'N' Vậy, phép đối xứng trục phép dời hình Hoạt động M E N () M' F N' Dựng ảnh hình hộp ABCD.A'B'C'D' qua phép đói xứng trục AC' Phép đối xứng qua điểm (gọi phép đối xứng tâm) Phépđối xứng qua điểm O phép biến hình biến điểm M thành M' cho OM  OM ' 0 ThÝ dô 9: Chứng minh phép đối xứng tâm phép dời hình Giải Với phép đối xứng tâm O, ta cã:    OM  OM ' 0 §(O)(MN) = M'N'      ON  ON ' ABCD hình bình hành MN = M'N' Vậy, phép đối xứng tâm phép dời hình Hoạt động M M' O N N' Dựng ảnh hình chóp tứ giác S.ABCD qua phép đói xứng tâm O với O giao điểm AC BD Định nghĩa hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Thí dụ 10: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng: a Hai hình chóp A.A'B'C'D' C'.ABCD b Hai hình lăng trụ ABC.A'B'C' AA'D'.BB'C' Giải a Ta lần lợt thực hiện: D C Phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực (P) AA', ta đợc: B A Đ (A.A'B'C'D') = A'.ABCD (P) Phép đối xứng qua mặt phẳng (BDD'B'), ta đợc: Đ(BDD'B')(A'.ABCD) = C'.CBAD Vậy, ta đợc A.A'B'C'D' C'.ABCD b Với phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC'B'), ta đợc: Đ(ADC'B')(ABC.A'B'C') = AA'D'.BB'C' Vậy, ta đợc ABC.A'B'C' AA'D'.BB'C' D' A' C' B' Định lí 2: Hai hình tứ diện có cạnh tơng ứng Hệ 1: Hai tứ diện có cạnh Hệ 2: Hai hình lập phơng có cạnh Hoạt động Chùng minh hai hệ tập lần Bài tập 1: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đờng thẳng (d) thành đờng thẳng (d') Xác định vị trí tơng đối (d) (d') trờng hợp sau: a (d) nằm (P) b (d) vu«ng gãc víi (P) c (d) song song với (P) d (d) cắt (P) không vuông góc với (P) e (d) cắt (P) góc d vµ (P) b»ng 450 Bµi tËp 2: Cho hai đờng thẳng song song (d) (d') a Tìm phép tịnh tiến biến (d) thành (d') b Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d') c Tìm phép đối xứng tâm biến (d) thành (d') d Tìm phép đối xứng trục biến (d) thành (d') Bài tËp 3: Cho hai tø diƯn ABCD vµ A'B'C'D' cã cạnh tơng ứng AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', DA = D'A', DB = D'B', AC = A'C' Chứng minh có không phép dời hình biến điểm A, B, C, D lần lợt thành điểm A', B', C', D' Bài tập 4: Tìm tất mặt phẳng đối xứng hình tứ diện ABCD Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I J lần lợt trung điểm AB CD a Chứng minh IJ đoạn thẳng vuông góc chung cđa AB vµ CD TÝnh IJ b Chøng tá r»ng tứ diện có ba trục đối xứng Bài tập 6: Cho tø diÖn ABCD Chøng tá r»ng phÐp dêi hình biến điểm A, B, C, D thành phải phép đồng Bài tập 7: Cho mặt phẳng (P) cho phép dời hình F có tính chất F biến điểm M thành điểm M M nằm (P) Chứng tỏ F phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Bài tËp 8: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD Chøng minh r»ng mặt phẳng trung trực AB mặt phẳng trung trùc cđa CD chia tø diƯn ABCD thµnh tø diƯn b»ng Bµi tËp 9: Chøng minh r»ng hai tứ diện có cạnh tơng ứng b»ng Giáo án điện tử giảng giá: 850.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAT BN SNG TO TRONG TIT DY giảng nâng cao Bài toán 1: ảnh hình qua phép dời hình Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa phép dời hình không gian Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đờng thẳng (d) thành đờng thẳng (d') Xác định vị trí tơng đối (d) (d') trờng hợp sau: a (d) nằm (P) b (d) vuông góc với (P) c (d) song song víi (P) d (d) c¾t (P) không vuông góc với (P) e (d) cắt (P) góc d (P) 450 Hớng dÉn: Sư dơng tÝnh chÊt cđa phÐp ®èi xøng qua mặt phẳng Giải a Nếu (d) nằm (P) (d) trùng với (d') b Nếu (d) vuông góc víi (P) th× (d) trïng víi (d') c NÕu (d) song song víi (P) th× (d) song song víi (d') d Nếu (d) cắt (P) không vuông góc với (P) (d') cắt (d) e Nếu (d) cắt (P) góc d (P) 45 (d') cắt (d) vuông góc với d Ví dụ 1: Bài toán 2: Tìm phép dời hình biến hình (H1) thành hình (H2) Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa tính chất dời hình Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng song song (d) (d') a Tìm phép tịnh tiến biến (d) thành (d') b Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d') c Tìm phép đối xứng tâm biến (d) thành (d') d Tìm phép đối xứng trục biÕn (d) thµnh (d') Híng dÉn: Sư dơng tÝnh chÊt phép dời hình tơng ứng Giải Lấy ®iĨm A  (d) vµ A'  (d') vµ gäi I trung điểm AA' a Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA' A ( ' d biến đờng thẳng (d) thành (d') ' Vì có vô số vectơ v nên có vô số phép tịnh tiến biến () A (d) thành (d') d b Gọi (P) mặt phẳng qua I vuông góc với mặt phẳng ((d), (d')), phép ) đối xứng qua mặt phẳng (P) biến (d) thành (d') A M ( ThËt vËy, lÊy M tuú ý thuéc (d) gọi M' ' ' d ảnh M qua §(P), ta cã: I MM'  (P)  MM'  ((d), (d')) M ' P ) Khi ®ã, mặt phẳng ((d), (d')) ta có: ) IA M M A M0 (    d  IA ' M M '  A'M'//AM  M'  (d') ) AM // IM Vì mặt phẳng (P) nên có phép đối xứng qua mặt phẳng biến (d) thành (d') c Phép đối xứng tâm I sÏ biÕn (d) thµnh (d') ( A M ThËt vËy, lÊy M tuú ý thuéc (d) vµ gäi M' lµ ¶nh cđa M d ' ' qua §I, ta cã: I '   'A'I MAI = M'A'I (c.g.c)  MAI ) M (  A'M'//AM  M'  (d') M A d Vì có vô số điểm I nên có vô số phép đối xứng tâm biến (d) thành (d') d Gọi (a) đờng thẳng qua I song song víi ((a)  ((d), (d')), ®ã phÐp) đối xứng qua đờng thẳng (a) biến (d) thành (d') ThËt vËy, lÊy M tuú ý thuéc (d) vµ gọi M' A' M' (d') ảnh M qua §(a), ta cã: MM'  (P)  MM'  ((d), (d')) I (a) Khi đó, mặt phẳng ((d), (d')) ta cã: M0  IA M M A M0 (d)    IA ' M M '  A'M'//AM  M'  (d')  AM // IM Vì đờng thẳng (a) nên có phép đối xứng trục biÕn (d) thµnh (d')  Cho hai tø diƯn ABCD A'B'C'D' có cạnh tơng ứng AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', DA = D'A', DB = D'B', AC = A'C' Chøng minh VÝ dụ 2: có không phép dời hình biến điểm A, B, C, D lần lợt thành điểm A', B', C', D' Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng với tính chất bảo toàn khoảng cách phép dời hình Giải Giả sử có hai phép dời hình F1 F2 biến điểm A, B, C, D lần lợt thành điểm A', B', C', D' Nếu F1 F2 khác có nhÊt mét ®iĨm M cho: F1 (M) M1  F2 (M) M ,  M M  suy ra: A'M1 = AM = A'M2 tơng tù B'M1 = B'M2, C'M1 = C'M2, D'M1 = D'M2 Do ®ã, ®iĨm A', B', C', D' cïng n»m mặt phẳng trung trực đoạn thẳng M1M2, trái với giả thiết A'B'C'D' hình tứ diện Vậy, với mäi ®iĨm M ta ®Ịu cã F 1(M) = F2(M), tức hai phép dời hình F F2 trùng Bài toán 3: Tìm mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng khối đa diện (H) Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng khối đa diện Tìm tất mặt phẳng đối xứng hình tứ diện ABCD Hớng dẫn: Với tứ diện ABCD đỉnh có vai trò giống nhau, xét mặt phẳng Ví dụ 1: đối xứng (P) biến A thành B, ta thấy: Trớng hợp 1: Nếu A, B thuộc (P) để C biến thành D mặt phẳng (P) phải mặt phẳng trung trực CD Trớng hợp 2: Nếu (P) mặt phẳng trung trực AB (P) chứa CD nên thoả mÃn Từ đó, ta nhận thấy mặt phẳng trung trực cạnh tứ diện mặt phẳng đối xứng Giải Bạn đọc tự vẽ hình Giả sử mặt phẳng đối xứng tứ diện ABCD, tức phép đối xứng D biến tập hợp {HA, B, C, D} thành Vì D biến đổi đỉnh thành (vì D phép đồng nhất) nên phải có đỉnh (giả sử A), biến thành đỉnh khác (giả sử đỉnh B) Khi đó, mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB ( qua C D) Nh vậy, tứ diện ABCD có mặt phẳng đối xứng, mặt phẳng trung trực cạnh Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I J lần lợt trung ®iĨm cđa AB vµ CD a Chøng minh IJ lµ đoạn thẳng vuông góc chung AB CD Tính IJ b Chøng tá r»ng tø diƯn ®ã cã ba trục đối xứng 10 Hớng dẫn: Để chứng minh IJ đờng vuông góc chung AB CD ta lựa Giải chọn theo cách: Cách 1: (Sử dụng tính chất đờng trung tuyến tam giác cân): Cụ thể: a AJ BJ (1) JAB cân J AB IJ a CI DI  (2)  ICD cân I CD IJ Từ (1) (2) suy IJ đoạn vuông góc chung AB CD Cách 2: Sử dụng quan hệ vuông gãc kh«ng gian a Ta cã: AB  CI A   AB  (ICD)  AB  IJ (1) AB  DI I CD  AJ  D B (2) CD  BJ  CD  (JAB)  CD  IJ Tõ (1) vµ (2) suy IJ đoạn vuông góc chung AB CD J Trong AIJ, ta cã: C 2   a a a a   IJ2 = AJ2  AI2 =  =  IJ =      2   b NhËn xÐt r»ng víi phÐp ®èi xøng qua trơc IJ th×: D IJ (A) B  DIJ(ABCD) = BADC IJ trục đối xứng ABCD D IJ (C) D Tõ ®ã, suy tø diƯn có ba trục đối xứng đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện Bài toán 4: Chứng minh F phép dời hình Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa phép dời hình, phép đối xứng qua mặt phẳng, phép tịnh tiến, phép đối xứng qua đờng thẳng, phép đối xứng tâm Cho tø diƯn ABCD Chøng tá r»ng phÐp dêi h×nh biÕn điểm A, B, C, D thành phải phép đồng Hớng dẫn: Thiết lập phép biến hình F(ABCD) = ABCD để chứng minh F phép Ví dụ 1: Giải đồng sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng Giả sư phÐp dêi h×nh f tháa m·n: F(A) = A, F(B) = B, F(C) = C, F(D) = D ta chøng minh r»ng F(M) = M víi M bÊt k× ThËt vËy, gi¶ sư F(M) = M' ≠ M Khi đó, phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm nên: AM = AM', BM = BM', CM = CM', DM = DM'  A, B, C, D nằm mặt phẳng trung trực đoạn MM' tức A, B, C, D đồng phẳng, điều trái với giả thiết ABCD hình tứ diện Vậy, ta phải có M' M F phép đồng 11 Cho mặt phẳng (P) cho phép dời hình F có tính chất F biến điểm M thành điểm M M nằm (P) Chứng tỏ F phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Hớng dẫn: Sử dụng tính chất phép đối xứng qua mặt phẳng Giải Phép dời hình F biến điểm M nằm (P) thành M Với điểm M không nằm (P) ta gọi (a) đờng thẳng qua M vuông góc với (P), giả sử (a) cắt (P) H thì: F(H) = H F(a) = (a') đờng thẳng qua H vuông góc víi (P)  F(a) = (a) Tõ ®ã, suy điểm M biến thành điểm M' nằm (a), M' khác với M HM = HM' Tức (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MM' Suy ra, F phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Bài toán 5: Chứng minh hai đa diện Phơng pháp áp dụng Để chứng minh hình (H1) hình (H2), ta thêng lùa chän mét hai c¸ch: C¸ch 1: (Sử dụng định nghĩa): Tìm phép biến hình biến (H1) thành hình (H2) ngợc lại Cách 2: (Sử dụng định lí): Tìm hình (H) khẳng định: (H) = (H1) (H) = (H2) (H1) = (H2) VÝ dơ 1: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD Chứng minh mặt phẳng trung trực AB mặt phẳng trung trực CD chia tứ diện ABCD thµnh tø diƯn b»ng  Híng dÉn: Sư dụng định nghĩa để chứng minh Giải Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB CD (CDE) (ABF) theo thứ tự mặt phẳng trung trực AB CD, suy ra: EF trục đối xứng tứ diện A Từ đó, ta có nhận xét: ACEF ảnh ADEF qua phép đối xứng qua mặt E (ABF) nên: ACEF = ADEF (1) BCEF ảnh BDEF qua phép đối xứng qua mặt C B (ABF) nên: BCEF = BDEF (2) F ACEF ảnh BDEF qua phép đối xứng trục EF nên: ACEF = BDEF D(3) Tõ (1), (2) vµ (3) suy khèi tø diƯn b»ng VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng hai tứ diện có cạnh tơng ứng Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp vectow không gian Giải A' A Giả sử hai tứ diện ABCD M' M A'B'C'D' có cạnh tơng ứng nhau, tức là: AB = A'B', BC = B'C', B' D B D' CD = C'D', DA = D'A', DB = D'B', AC = A'C' C' C VÝ dơ 2: 12 Ta ®i chøng minh r»ng cã phép dới hình F biến điểm A, B, C, D lần l ợt thành điểm A', B', C', D'         Đặt DA a , DB b , DC c , D ' A ' a ' , D ' B ' b' , D 'C ' c' tồn sô (x; y; z) cho: Với điểm M DM xa yb zc Khi đó, ta xác định đợc phép biến hình F biến điểm M thành điểm M' cho: D ' M ' xa '  yb '  zc' Nhận thấy F biến điểm A, B, C, D lần lợt thành điểm A', B', C', D' Ta chứng F phép dời hình việc lấy điểm N giả sö:  minh DN x ' a  y ' b  z ' c Suy F biÕn N  thµnh  N' sao cho: D ' N ' x ' a '  y ' b '  z ' c' NhËn xÐt r»ng:       MN = DN  DM = (x ' x)a  (y ' y)b  (z '  z)c      MN2 = MN =  (x ' x)a  (y'  y)b  (z '  z)c    2 2 2 2 = (x'  x) a + (y'  y) b + (z'  z) c +   + 2(x'  x)(y'  y) a b + (y'  y)(z'  z) b c +  + 2(x'  x)(z'  z) a c (1) T¬ng tù, ta cịng cã:    M'N'2 = (x'  x)2 a ' + (y'  y)2 b ' + (z'  z)2 c' +     + 2(x'  x)(y'  y) a ' b ' + (y'  y)(z'  z) b ' c' +   + 2(x'  x)(z'  z) a ' c' (2) Hai tứ diện ABCD A'B'C'D' có cạnh tơng ứng nên:  2  = , = , = , a a' b b c c'          = , = ab a ' b ' b c b' c' , a c = a ' c' đó, từ (1) (2) suy ra: MN2 = M'N'2  MN = M'N' F phép dời hình C tập rèn luyện Bài tập 1: Chứng minh phép dời hình biến mặt cầu thành mặt cầu có bán kính Bài tập 2: Phép tịnh tiến T theo véctơ v biến mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P') Trong trờng hợp thì: a (P) trïng (P') b (P) song song víi (P') c (P) cắt (P') Bài tập 3: Phép đối xứng qua đờng thẳng () biến đờng thẳng (d) thành đờng thẳng (d') Xác định vị trí tơng đối (d) (d') trờng hợp sau: a (d) trùng với () b (d) song song víi () c (d) c¾t () không vuông góc với () d (d) cắt () vuông góc với () 13 Bài tập 4: Trong không gian cho mặt phẳng (), đờng thẳng (a) nằm () điểm I nằm đờng thẳng (a) XÐt phÐp dêi h×nh F cã tÝnh chÊt F() = , F(a) = a điểm M không gian M = F(M) M trïng víi I Chøng minh r»ng nÕu ®iĨm M khác I F biến M thành M' cho I trung điểm MM' Bài tập 5: Cho hai mặt phẳng song song (P) (P') a Tìm phép tịnh tiến biến (P) thành (P') b Tìm phép đối xứng qua mặt phẳng biến (P) thành (P') c Tìm phép đối xứng tâm biến (P) thành (P') d Tìm phép đối xứng trục biến (P) thành (P') Bài tập 6: Cho hai đờng tròn có bán kính nằm hai mặt phẳng song song HÃy phép tịnh tiến phép đối xứng tâm biến đờng tròn thành đờng tròn Trong trờng hợp có phép đối xứng qua mặt phẳng biến đờng tròn thành đờng tròn kia? Bài tập 7: Tìm mặt phẳng đối xứng hình sau đây: a Hình chóp tứ giác b Hình chóp cụt tam giác c Hình hộp chữ nhật mà mặt hình vuông Bài tập 8: Cho hai phép dời hình f g Với điểm M không gian ta gọi M ảnh M qua f gọi M' ảnh M qua g, tức M1 = f(M) M' = g(M1) Khi ta có phép biến hình h biến M thành M', phép biến hình gọi hợp thành phép dời f g, kí hiệu f g a Chứng tỏ hợp thành hai hay nhiều phép dời hình phép dời hình b Chứng minh f phép dời hình e phép đồng f e = e  f = f Bµi tËp 9: Chøng minh hợp thành nhiều phép tịnh tiến phép tịnh tiến Bài tập 10: Chứng minh rằng: a Chứng minh hợp thành hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) (Q) phép tịnh tiến b Chứng minh hợp thành hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với phép đối xứng trục Bài tập 11: Cho phép dời hình f thoả mÃn điều kiện f f = e, biÕt r»ng cã mét ®iĨm I nhÊt cho f biÕn I thµnh chÝnh nã Chøng minh r»ng f phép đối xứng tâm Bài tập 12: Chứng minh hợp thành hai phép đối xứng tâm phép tịnh tiến Ngợc lại phép tịnh tiến xem hợp thành hai phép đối xứng tâm vô số cách Bài tập 13: Cho mặt phẳng (P) đoạn thẳng AB điểm chung với (P) HÃy xác định điểm M n»m trªn (P) cho cã chu vi ABM bÐ nhÊt Bµi tËp 14: Cho tø diƯn ABCD néi tiÕp mặt cầu (S) bán kính R = AB, điểm M thay đổi mặt cầu Gọi C', D', M' điểm cho CC ' = DD ' = MM ' = AB Chøng minh r»ng BC'D'M' hình tứ diện tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nằm (S) Bài tập 15: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng: a Hai hình chóp A.A'B'C'D' C'.ABCD b Hai hình lăng trụ ABC.A'B'C' AA'D'.BB'C' D hớng hớng dẫn đáp sốp số Bài tập 1: Giả sử (S) mặt cầu tâm O bán kính R, F phép dời hình Gọi O' = F(O) (S') mặt cầu tâm O' bán kính R Với điểm M S, ta có: F(M) = M'  O'M' = OM = R  M' (S') Ngợc lại, với điểm M' (S'), ta cã: M' = F(M)  OM = O'M' = R  M  (S) Nh vËy, phÐp dêi hình biến F biến mặt cầu S thành mặt cầu S' có bán kính 14 Bài tập 2: a Để (P) trùng (P') đờng thẳng chứa vectơ v phải song song thuộc (P) b Để (P) song song với (P') đờng thẳng chứa vectơ v phải cắt (P) c Không thể xảy trờng hợp (P) cắt (P') Bài tập 3: a Nếu (d) trïng víi () th× (d) trïng víi (d') b NÕu (d) song song víi () th× (d) song song víi (d') c Nếu (d) cắt () không vuông góc với () (d') cắt (d) d Nếu (d) cắt () vuông góc với () (d) trùng với (d') Bài tập 4: Giả sử A điểm nằm đờng thẳng (a) khác điểm I và: F(A) = A' A' A (c) M F(a) = (a) nên A' (a) Ngoài IA = IA' nên I trung điểm ( C đoạn thẳng AA' B A' I (a) Gọi (b) đờng thẳng nằm mặt phẳng A B' (), qua I vuông góc với (a) Ta có: F() = ()  F(b)  , C' b ngoµi f(b) qua F(I) = I vuông góc với F(a) = a nªn F(b) = b M' LËp luËn tơng tự nh phần trên, suy B nằm (b) khác I thì: F(B) = B' cho I trung điểm BB' Gọi â đờng thẳng vuông góc với () I Ta có: F(c) = (c)  F(C) = C' víi C  (c) C I I trung điểm CC' Bây giả sử M điểm không gian Gọi A, B, C lần l ợt hình chiếu M đờng thẳng (a), (b), (c) Nói cách khác IM đờng chéo hình hộp chữ nhật có ba cạnh IA, IB, IC Khi đó, gọi A', B' C' lần lợt điểm đối xứng A, B, C qua điểm I theo nh trên, ta có: A' = F(A), B' = F(B), C' = F(C) NÕu gäi M' điểm cho hình hộp có ba cạnh IA', IB', IC' nhận IM' làm đờng chéo hiển nhiên F biến M thành M' I trung điểm MM' Bài tập 5: Lấy điểm A (P) A' (P') gọi I trung điểm AA' a Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA' biến mặt phẳng (P) thành (P') Vì có vô số vectơ v nên có vô số phép tịnh tiến biến mặt phẳng (P) thành (P') b Gọi (Q) mặt phẳng qua I song song với mặt phẳng (P), phép đối xứng qua mặt phẳng (Q) biến (P) thành (P') Thật vậy, lÊy M tuú ý thuéc (P) vµ gäi M' lµ ¶nh cđa M (P') qua §(Q), ta cã: A' M' MM' (Q) M0 trung điểm MM' I Khi ®ã, ta cã: M0 Q) IA M M   IA' M M ' A M (P)  A'M', AM, IM0 theo thø tự thuộc ba mặt phẳng song song M' (P') Vì mặt phẳng (Q) nên có phép đối xứng qua mặt phẳng biến (P) thành (P') c Phép đối xứng tâm I biÕn (P) thµnh (P') ( A M P ' ' I ' ) 15 ( A M ThËt vËy, lÊy M tuỳ ý thuộc (P) gọi M' ảnh cđa M qua §I, ta cã:   'A'I MAI = M'A'I (c.g.c)  MAI M  A'M'//AM  M' (P') Vì có vô số điểm I nên có vô số phép đối xứng tâm biến (P) thành (P') d Gọi (d) đờng thẳng qua I song song víi (P), ®ã phÐp ®èi xøng qua ®êng thẳng (d) biến (P) thành (P') Thật vậy, lấy M tuú ý thuéc (P) vµ gäi M' lµ (P') A' M' ảnh M qua Đ(a), ta có: MM' (d) M0 trung điểm MM' (d) I M0 Khi ®ã, ta cã: IA M M   (P) A M IA' M M '  A'M', AM, IM0 theo thø tù thuộc ba mặt phẳng song song M' (P') Vì có vô số đờng thẳng (d) (mọi đờng thẳng mặt phẳng (Q)) nên có vô số phép ®èi xøng trơc biÕn (d) thµnh (d') Bµi tËp 6: Gọi O, O' theo thứ tự tâm hai đờng tròn, đó: Phép tịnh tiến theo vectơ OO' biến đờng tròn thành đờng tròn Gọi I trung điểm OO' phép đối xứng tâm I biến đờng tròn thành đờng tròn Trong trờng hợp OO' vuông góc mặt phẳng chứa đờng tròn phép đổi xứng qua mặt phẳng trung trực OO' biến đờng tròn thành đờng tròn Bài tập 7: Bạn đọc tự vẽ hình a Với hình chóp tứ giác S.ABCD có bốn mặt đối xứng, gồm: Hai mặt chéo (SAC) (SBD) Hai mặt phẳng trung trực AB BC b Với hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C', giả sử: AA', BB' CC' đồng quy S M, N, P theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Khi ABC.A'B'C' có ba mặt phẳng đối xứng, gồm: (SAN), (SBP), (SCM) c Với hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba mặt phẳng đối xứng mặt phẳng trung trực cạnh AB, AD AA' Bài tập 8: a Giả sử f g phép dời hình Với hai điểm M, N bất kì, giả sử f(M) = M1, f(N) = N1, g(M1) = M', g(N1) = N' Nh vËy, theo định nghĩa, phép hợp thành g f biến hai điểm M, N lần lợt thành hai điểm M', N' Nhng f g phép dời hình nên M1N1 = MN M'N' = M1N1, M'N' = MN Vậy, ta đợc g f phép dời hình Tơng tự, ta có f g phép dời hình b Hiển nhiên Bài tập 9: Giả sử T1 T2 lần lợt phép tịnh tiến theo vectơ v1 v Nếu T1 biến điểm M thành M1 T2 biến M1 thành M2 hợp thành T2 T1 biến điểm M thành điểm M2 16 Vì MM1 v1 M1 M v nªn:      MM = MM1 + M1 M = v1 + v Vậy, ta đợc T2 T1 phép tịnh tiến theo vectơ v1 + v Một cách tổng quát: hợp thành n phép tịnh tiến đà cho phép tịnh tiến có vectơ tịnh tiến tổng vectơ phép tịnh tiến đà cho Bài tập 10: a Giả sử Đ(P) Đ(Q) phép đối xứng qua mặt phẳng (P) (Q) song song với Với điểm M bất kì, ta gọi: M1 = §(P)(M) vµ M' = §(Q)(M1)  [§(Q)  §(P)](M) = M' F E vµ E, F theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa MM 1, M1 M' M M' M1 Khi ®ã:      MM ' = MM1  M1 M ' = 2EM1  2M1 F Q P    = EM1  M1 F = 2EF không đổi Vậy, hợp thành hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) (Q) phép tịnh tiến theo vectơ 2EF b Giả sử Đ(P) Đ(Q) phép đối xứng qua mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với Gọi (d) giao tuyến (P) (Q) Với điểm M bất kì, ta gọi: M1 = Đ(P)(M) M' = Đ(Q)(M1) [Đ(Q) §(P)](M) = M' XÐt hai trêng hỵp: Trêng hỵp 1: Khi M nằm (P) (Q) dễ thấy M' đối xứng với M qua đ ờng thẳng (d) Trờng hợp 2: Khi M không nằm (P) không nằm (Q) Khi đó: MM1 (P) (MM1 M ')  (P) M1 M    M M '  (Q) (MM M ')  (Q)   I  (MM1M')  d Q Gọi I giao điểm (d) (MM1M') thì: (d) M' IM = IM1 = IM' P  I tâm đờng tròn ngoại tiếp MM1M' I trung điểm MM' Ngoài ra, MM' (d) nên (d) lµ trung trùc cđa MM' VËy, ta thÊy DQ DP phép đối xứng qua đờng thẳng (d) Bài tập 11: Với điểm M khác I, ta gọi M' ảnh M qua f, M M' không trùng Vì f f = e nên f biến M' thành M Vậy, f biến đoạn thẳng MM' thành đoạn thẳng M'M Từ suy f biến trung điểm đoạn thẳng MM' thành vậy, theo giả thiết trung điểm MM' điểm I Vậy f phép đối xứng qua tâm I Bài tập 12: Giả sử D1 D2 phép đối xứng tâm có tâm lần lợt O1 O2 Gọi M điểm bất kì, M1 = D1(M) M' = D2(M1) phép hợp thành D1 D2 biến M thµnh M'   17 Ta cã:       MM ' MM1  M1 M ' = 2O1 M1  2M1O2 = O1O2 Suy ra: D1 D2 phép tịnh tiến theo vectơ v = O1O2 Ngợc lại cho T phép tịnh tiến theo vectơ v Ta lấy hai điểm O1 O2 cho v (có vô số cặp điểm O1 O2 nh vậy) O1O2 = Khi hợp thành phép đối xứng tâm với tâm lần lợt O1 O2 phép tịnh tiến T Bài tập 13: Gọi A1 điểm đối xứng với A qua A (P) vµ {HN} = (A1B)  (P): M B Khi ®ã, víi ®iĨm M bÊt kú thc (P), ta cã: H CVABM = AB + MA + MB N = AB + MA1 + MB  AB + A1B = AB + NA + NB A VËy, chu vi ABM bÐ nhÊt  M  N  Bài tập 14: Phép tịnh tiến T theo vectơ v = AB , ta cã:  Tv (A) = B, Tv (C) = C', Tv (D) = D' vµ Tv (M) = M'  Tv (ACDM) = BC'D'M' Bëi vậy, T biến tâm O mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACDM thành tâm mặt cầu ngoại tiếp tø diÖn AC'D'M', tøc OO ' = v = AB Vì OO' = AB nên điểm O' nằm mặt cầu (S) Bài tập 15: a Ta lần lợt thực hiện: Phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực (P) D AA', ta đợc: Đ(P)(A.A'B'C'D') = A'.ABCD B A Phép đối xứng qua mặt phẳng (BDD'B'), ta đợc: Đ(BDD'B')(A'.ABCD) = C'.CBAD Vậy, ta đợc A.A'B'C'D' C'.ABCD b»ng D b Víi phÐp ®èi xøng qua mặt phẳng (ADC'B'), ta đợc: ' Đ(ADC'B')(ABC.A'B'C') = AA'D'.BB'C' B A Vậy, ta đợc ABC.A'B'C' AA'D'.BB'C' ' ' 18 C C ' ... trùng Mặt phẳng đối xứng hình Định nghĩa Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng hình (H) Thí dụ 3: Mọi mặt phẳng tâm mặt cầu mặt phẳng đối xứng mặt cầu... C B C'' A'' B'' Chøng minh phép đổi xứng qua mặt phẳng phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm Thí dụ 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến mặt phẳng () thành mặt phẳng ('') Xác định vị trí... đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng khối đa diện (H) Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng, tâm đối xứng khối đa diện Tìm tất mặt phẳng đối xứng hình tứ diện