Bài giảng: Phép tịnh tiến và phép dời hình (Hình học 11 - Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG §2 Phép tịnh tiến phép dời hình Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết u cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhận gii ỏp Đ2 phép tịnh tiến phép dời hình giảng theo chơng trình chuẩn định nghĩa phép tịnh tiến r r Định nghĩa: Phép tịnh tiến vectơ v , kí hiệu Tv phép dời hình biến điểm M uuu r u ur thành M' cho MM ' = v Hoạt động r Nêu cách tìm ảnh điểm M qua phép tịnh tiến Tv Thí dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, ®ã ta thÊy: TAD (A) = D  uuur uu ur ⇒ TAD (AB) = DC  uuur TAD (B) = C Hoạt động C B A D Phép đồng có phải phép tịnh tiến không ? Các tính chất phép tịnh tiến Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N lần lợt thành hai điểm M' N' M'N' = MN Hoạt động HÃy chứng minh định lí ý nghĩa định lí "Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kì" Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Hoạt động HÃy chứng minh định lí Hệ quả: Phép tịnh tiến biến: Đờng thẳng thành đờng thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác Đờng tròn thành đờng tròn có bán kính Góc thành góc Hoạt động Nêu cách tìm ảnh đoạn thẳng AB, tia Ax, đờng r thẳng (d) qua phép tịnh tiến Tv r Nêu cách tìm ảnh ABC qua phép tịnh tiến Tv r Nêu cách tìm ảnh (O, R) qua phép tịnh tiến Tv Thí dụ 2: Cho hai đờng thẳng song song a a' Tìm tất phép tịnh tiến biến a thành a' Giải r u ur uu Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA ' víi A ∈ a vµ A' ∈ a' biến đờng thẳng a thành a' A' (a') (a) A biẻu thức toạ độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với: Hoạt động v (a; b) biến điểm x' = x + a   y' = y + b (CT) HÃy chứng minh kết Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M1 ảnh điểm r M0(2; 1) qua phép tịnh tiến vectơ v (2; 1)   Gi¶i Gi¶ sư M1(x; y), ta cã: u u ur uuu r x − = x = M M1 = v ⇔  ⇔ ⇒ M1(4; 0) y + = y = Vậy, ta đợc M1(4; 0) Nhận xét: Nh vậy, lời giải ví dụ đà sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến để tìm toạ độ điểm M1 Còn thực tế sử dụng công thức (CT) Hoạt động Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nêu cách tìm ảnh của: r Đờng thẳng (d) qua phép tịnh tiến Tv r Nêu cách tìm ảnh (O, R) qua phÐp tÞnh tiÕn Tv øng dụng phép tịnh tiến Bài toán 1: Cho hai điểm B C cố định đờng tròn (O, R) điểm A thay đổi đờng tròn Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm đờng tròn cố định Giải A Nếu BC đờng kính trực tâm H ABC B' A Vậy H nằm đờng tròn cố định (O, R) H Nếu BC ®êng kÝnh, vÏ ®êng kÝnh BB' cña O B C ®êng trßn u ur uu uu ur DƠ thÊy r»ng H trực tâm ABC AH = B'C u ur uu Nh vËy, phÐp tÞnh tiÕn theo vectơ cố định B'C biến điểm A thành điểm H Do đó, A thay đổi (O ; R) trực tâm H nằm đờng tròn cố định ảnh đờng tròn (O ; R) qua phép tịnh tiến nói Nhận xét: Nh vậy, đà thấy đợc cách sử dụng phép tịnh tiến để giải toán quĩ tích Bài toán 2: Hai thôn nằm hai vị trí A B cách sông (xem hai bờ sông hai đờng thẳng song song) A Ngời ta dự định xây cầu MN bắc qua sông M M' a M (tất nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) đắp hai đoạn thẳng từ A đến M từ B đến N HÃy xác định vị trí N0 N b B' cầu MN cho AM + BN ngắn B Giải Lấy điểm M0 a ta có ®iĨm N0∈ b cho M0N0 ⊥ a vµ M0N0 ⊥ b r Gäi B' = Tuuuuuuu vµ M = AB' a, với điểm M' thuộc a tơng ứng với N M điểm N' thuộc b (sao cho M'N' ⊥ a) Ta cã: M'A + N'B = M'A + M'B ≥ AB' = MA + MB' = MA + NB Tøc lµ AM + BN ng¾n nhÊt 0  NhËn xÐt: Nh vËy, chóng ta đà thấy đợc cách sử dụng phép tịnh tiến để giải toán cực trị hình học phép dời hình Hoạt động Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa phép tịnh tiến ý nghĩa định lí Lấy ví dụ phép biến hình phép tịnh tiến mà có tính chất "Bảo toàn khoảng cách hai điểm" Định nghĩa: Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm Định lí: Phép dời hình biến: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng Đờng thẳng thành đờng thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác Đờng tròn thành đờng tròn có bán kính Góc thành góc B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp r Bài toán 1: Tìm vectơ tịnh tiến v biến hình (H1) thành hình (H2) Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa tÝnh chÊt cđa phÐp tÞnh tiÕn r r r r VÝ dơ 1: Cho phÐp tÞnh tiÕn Tu theo u phép tịnh tiến Tv theo v Với điểm M bất r r kì, Tu biến M thành điểm M', Tv biÕn M' thµnh M'' Chøng tá r»ng phÐp biến hình biến điểm M thành M" phép tịnh tiến r Hớng dẫn: Đi tìm vectơ a biến điểm M thành điểm M Giảir r r §Ỉt a = u + v , ta cã nhËn xÐt: r r uuu u ur u u u u u u r r u ur uuu MM" = MM ' + M 'M" = u + v = a r Vậy, phép biến hình biến M thành M" phép tịnh tiến T theo vectơ a Ví dụ 2: Cho hai đờng tròn (C1) (C2) lần lợt có tâm O1, O2 có bán kính R Tìm phép tịnh tiến biến (C1) thành (C2) uuu u ur cố định nên vectơ O1O cố định, từ chứng minh "Với điểm M1(O1) có điểm M2(O2) thoả mÃn u r u TOuuuu (M1 ) = M ngợc lại" O Hớng dẫn: Vì hai điểm O , O 1 2  Gi¶i LÊy M1 tuú ý thuéc (C1) gọi M2 ảnh M M1 u r u qua TOuuuu , ta cã: O u u ur u u u uuu u ur uuu u uu u u ur r uuu M1 M = O1O2 ⇔ O1M1 = O2 M O1 ⇒ O2M2 = R M2(C2) Ngợc lại: lấy M2 điểm tuỳ ý thuéc (C2) (C1) u r u vµ gäi M1 tạo ảnh qua TOuuuu , ta có: O u u ur u u u uuu u ur uuu u uu u u ur r uuu M1 M = O1O2 ⇔ O1M1 = O2 M ⇒ O1M1 = R ⇔ M1∈(C1) u r u VËy (C2) ảnh (C1) qua TOuuuu O M2 2 O2 (C2) Bài toán 2: Giải toán định tính Phơng pháp áp dụng Ta thờng gặp dạng yêu cầu sau: r Dạng 1: Chứng minh (H1) ảnh (H2) qua phép tịnh tiến vectơ v , ta thực theo bớc: Bíc 1: LÊy ®iĨm M1 t ý thc (H1), ta ®i chøng minh: r M2 = T v (M1) ∈ (H2) Bớc 2: Ngợc lại, lấy điểm M2 tuỳ ý thuéc (H2), ta ®i chøng minh: r M1 = T v (M2) ∈ (H1) D¹ng 2: Chøng minh tÝnh chÊt K, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Xác định nhiều phép tịnh tiến để thiết lập mối liên kết yếu tố Bớc 2: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến để giải yêu cầu toán Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành vµ chØ khi: MP + NQ = ( AB + BC + CD + DA) (*)  Híng dÉn: Sư dơng phÐp tÞnh tiÕn T uu ur BC MP ≤ (D) = E ®Ĩ chøng minh bÊt ®¼ng thøc: (AD + BC) (AB + CD) Từ đó, để có (*) ABCD hình bình hành Tơng tự, chứng minh bất đẳng thức NQ Giải uu ur Thực phép tịnh tiến TBC : D a E Khi tứ giác BCED hình bình hành, P trung điểm CD nên P trung điểm BE Do ®ã, ta cã: 1 MP = AE ≤ (AD + DE) = (AD + BC) (1) 2 DÊu b»ng chØ x¶y khi: C A, D, E thẳng hàng AD//BC B Chứng minh tơng tù ta còng cã: P M NQ ≤ (AB + CD) (2) E DÊu b»ng chØ x¶y ⇔ AB//CD A D Céng theo vÕ (1), (2), ta ®ỵc: MP + NQ ≤ ( AB + BC + CD + DA) (3) VËy ®Ĩ cã (*) dấu = xảy (3) dấu = xảy (1) (2) AB // CD ABCD hình bình hành BC // AD Bài toán 3: Giải toán định lợng Phơng pháp áp dụng Bằng việc thiết lập đợc phép tịnh tiến thích hợp, việc chứng minh đợc tính chất hình học ta tính toán đợc yếu tố hình ) ) Ví dụ 1: Tứ giác ABCD cã AB = , BC = CD = , BAD = CDA = 600 T×m sè à à đo góc ABC BCD Hớng dẫn: Các em học sinh cần phác thảo tơng đổi hình vẽ với số đo giả thiết Từ đó, lựa chọn phép tịnh tiến để tạo đợc quan hệ song song (cụ thể hình bình hành trung gian) Giải A A uu ur Xét phép tịnh tiến TDC : A a A', tứ giác ADCA' ) hình bình hành BAA ' = 600 B Trong ∆ABA', ta cã: ) BAA ' = 60 , AA' = 2AB ) Do ®ã ∆ABA' vuông B BA 'A = 300, A'B = Vì A'B = BC = nên BCA' cân B, đó: ) ) ) ) D C BCA ' = BA 'C = AA 'C − BA 'C = 600 − 300 = 900 ) ) ) ) ABC = 3600 − ( BAD + CDA + BCD ) = 3600 − (600 + 600 + 900) = 1500 Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm M Phơng pháp áp dụng Ta thực theo bớc: r Bớc 1: Tìm phép tịnh tiến T v , biến điểm E di động thành điểm M Bớc 2: Tìm tập hợp (H) điểm E r Bớc 3: Vậy tập hợp điểm M ảnh cđa (H) phÐp tÞnh tiÕn T v VÝ dụ 1: Cho đờng tròn (O) hai điểm cố định A B Một điểm M thay đổi u u u u ur u u u ur u u u r đờng tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M' cho MM ' + MA = MB (*) Hớng dẫn: Với giả thiết rbài toán định hớng đợcuungay "Cần u u r u r tìm vectơ v biến điểm M thành điểm M' (tức MM ' = v )", quỹ tích điểm M' phụ thuộc vào di động điểm M Và công việc đợc thực đơn giản từ điều kiện (*)  M M' Gi¶i Tõ gi¶u u u ucã:u ur u u thiÕt, ta u ur u r u u u ur MM ' = MB − MA = AB A B Tức u u ảnh điểm M qua phép tịnh tiến M' ur theo vectơ AB Vậy, quỹr tích điểm M' đờng tròn (O') ảnh đờng tròn (O) qua phép tịnh tiÕn uu u theo vect¬ AB VÝ dơ 2: Cho hai đờng tròn (O) (O1) cắt hai điểm, gọi A giao điểm Đờng thẳng (d) di động qua A cắt hai đờng tròn đà cho M N Trên hai tia AM AN lấy hai điểm B C cho: u u u ur ur uu uu ur BA = AC = MN (*) T×m quü tích điểm B C I O1 O2 Hớng dẫn: Vì vai trò B, C nh biĨu B E O F   thøc ®iỊu kiện nên thực với M định hớng "Tìm quỹ tích điểm B" O2 A NC Giải Dựng OE O1F vuông góc với (d) Ta có E, F lần lợt trung điểm đoạn AM, AN vµ: ur uu uu uu ur ur u uu u u ur u ur u ur EF = ( MA + NA ) = MN = BA = AC 2 Dùng O1I vu«ng gãc víi OE, tứ giác O1IEG hình chữ nhật Từ đóur ra: suy uu ur u uu ur O1I = FE = AB O1ABI hình bình hành uu ur u ur u u u u ⇒ IB = O1A B = TOuur (I) A à Vì O'IO vuông nên tập hợp điểm I đờng tròn (O2) đờng kính OO1, từ suy tập hợp điểm B đờng tròn (O2) với u u u (O’2) = TOuur [(O2)] A uu uu r T¬ng tù ta có tập hợp điểm C đờng tròn (O3) với (O3) = TOA [(O2)] 1 Bài toán 5: Dựng hình Phơng pháp áp dụng Ta thực theo bớc đà biết Ví dụ 1: Dựng hình thang ABCD (AB//CD) biÕt hai ®êng chÐo AC = a, BD = b, góc à ABC = đờng trung bình MN = c Hớng dẫn: Trớc tiên, em học sinh hÃy phác thảo hình thang ABCD với số đo tơng ứng để thấy đợc dựng đợc hình thang ABCD cách thông thờng Và đây, sử dụng phép tịnh tiến bớc phân tích với kết "Mọi tam giác dựng đợc biết số đo uu ur ba c¹nh cđa nã", thĨ víi tia Dt cắt AB D ( TCA (D) = D ' ) BDD có đợc đầy đủ số đo độ dài ba cạnh bởi: BD = b, DD = CA = a, BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c Giải Phân tích: Giả sử đà dựng đợc hình thang ABCD thoả mÃn điều kiện đầu Thực phép tịnh tiÕn y uu ur TCA : D a D' D C x tứ giác ACDD' hình bình hành nên ta có: BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c N M ⇒ BDD' dựng đợc, (biết cạnh) Cách dựng: Ta lần lỵt thùc hiƯn: - Dùng ∆BDD' víi BD' = 2c, BD = b, DD' = a A D’ B - Dùng Dx // BD' - Dùng By hỵp víi BD' góc , By cắt Dx C - Dựng Cz // DD', Cz cắt BD" A Thì tứ giác ABCD hình thang cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng ta có: - CD//AB nên ABCD hình thang; BD = b, gãc ABC = α - AC = DD' = a (do ACDD' hình bình hành) và: 1 MN = (AB + DC) = (AB + AD') = BD' = c 2 BiÖn luận: Bài toán có nghiệm hình BDD' dựng đợc ⇔ a − b < 2c < a + b Bài toán 6: Hệ toạ độ phép tịnh tiến Phơng pháp áp dụng Ta trình bày phơng pháp thực hai dạng toán r Dạng 1: Xác định điểm M1 ảnh điểm M0(x0; y0) qua phép tịnh tiến vectơ v (a; b) Khi đó, toạ độ ®iĨm M1(x; y) ®ỵc cho bëi: x = a + x0   y = b + y0 D¹ng 2: Tìm phơng trình hình (H1) ảnh hình (H): f(x, y) = qua phép r tịnh tiến vectơ v (a; b) Khi đó, điểm M(x; y)(H1) ảnh điểm M0(x0; y0) (H) r qua phép tịnh tiến vectơ v (a; b), ta cã:  M (x , y0 ) ∈ (H) f (x , y0 ) =   ⇔ x0 = x − a x = x0 + a y = y + b y = y − b   ⇒ f(x − a, y b) = Phơng trình (*) phơng trình (H1) 10 (*) Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với , a, b số cho trớc, xét phép biến hình F biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y'), đó: a b c d  x ' = x cos α − ysin α + a (*)   y ' = x sin α + y cos α + b Cho hai điểm M(x1, y1), N(x2, y2) gọi M', N' lần lợt ảnh M, N qua phép F HÃy tìm toạ độ M' N' Tính khoảng cách d M N, khoảng cách d' M' N' Phép F có phải phép dời hình hay không ? Khi = 0, chứng tỏ F phép tịnh tiến Hớng dẫn: Chúng ta lần lợt: Với câu a), sử dụng công thức (*) Với câu b), sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm Với câu c), thực phép so sánh MN với MN để có lời kết luận Với câu d), ta chứng minh x, y, x, y thoả mÃn công thức (CT) Giải a Ta lần lợt cã: M'(x1.cosα − y1.sinα + a; x1.sinα + y1.cosα + b), N'(x2.cosα − y2.sinα + a; x2.sinα + y2.cosα + b) b Ta lần lợt có: d= (x x1 ) + (y − y1 ) (1) (d')2 = (M'N')2 = [(x2.cosα − y2.sinα) − (x1.cosα − y1.sinα)]2 + + [(x2.sinα + y2.cosα) − (x1.sinα + y1.cosα)]2 = [(x2 − x1).cosα − (y2 − y1).sinα]2 + [(x2 − x1).sinα + (y2 − y1).cosα]2 = (x2 − x1)2.cos2α + (y2 − y1) 2.sin2α + (x2 − x1) 2.sin2α + (y2 − y1) 2.cos2α = (x2 − x1)2.(cos2α + sin2α) + (y2 − y1) 2.(sin2α + cos2α) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1) ⇔ d' = (x − x1 ) + (y − y1 ) (2) c Tõ (1) vµ (2) suy d = d' (hay MN = M'N') Vậy, phép biến hình F bảo toàn khoảng cách hai điểm nên theo định nghĩa phép dời hình d Với = 0, ta thÊy:  x ' = x cos − ysin + a x ' = x + a F phép tịnh tiến y ' = x sin + y cos + b y ' = y + b VÝ dô 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình sau đây: 11 Phép biến hình F1 biến điểm M(x; y) thành điểm M'(y; x) Phép biến hình F2 biến điểm M(x; y) thành điểm M'(2x; y) Trong hai phép biến hình trên, phép phép dời hình Giải a Phép biến hình F1 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai ®iÓm M'(y1; −x1), N'(y2; −x2) Khi ®ã, ta cã: M'N' = (y − y1 ) + (− x + x1 ) = (x − x1 ) + (y − y1 ) = MN Vậy, F1 phép dời hình b Phép biến hình F2 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai điểm M'(2x1; y1), N'(2x2; y2) Khi đó, ta cã: M'N' = (2x − 2x1 ) + (y − y1 ) = 4(x − x1 ) + (y − y1 ) MN Vậy, F2 không phép dời hình Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh r đờng thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ v , biÕt: r a (d): x + 3y − = vµ v (1; 1) r b (d): 2x + y − 2011 = vµ v (1; −2)  Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình đờng thẳng chóng ta ®Ịu biÕt r»ng cã thĨ lùa chän mét ba cách: a Cách 1: Biết điểm mà đờng thẳng qua phơng Nh vËy, ta sÏ thùc hiƯn:  B»ng viƯc sư dơng công thức toạ độ phép tịnh tiến ta tìm điểm mà (d1) qua Sử dụng tính chất phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song trùng với nó, tức (d 1) song song với (d) b Cách 2: Biết hai điểm phân biệt mà đờng thẳng qua c Cách 3: Sử dụng phơng pháp quỹ tích r Trờng hợp đặc biệt, v vectơ phơng đờng thẳng (d) (d1) trùng với (d) Giải a Ta có ba cách trình bày sau: r Cách 1: Lấy điểm A(2; 0) (d) gọi A1 = Tv (A) , ta cã: x = + = A1:  ⇒ A1(3; 1) y = Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi: 12 qua A1 (3;1) qua A1 (3;1) (d1):  ⇔ (d1):  ⇔ (d1): x + 3y − = (d1 ) //(d) (d1 ) :x + 3y + C = C¸ch 2: LÊy hai ®iĨm A(2; 0) vµ B(−1; 1) thc (d) vµ gäi: x = + = r A1 = Tv (A) ⇒ A1:  ⇒ A1(3; 1) y =  x = −1 + = r B1 = Tv (B) ⇒ B1:  ⇒ B1(0; 2) y = + = Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi: qua A1 (3;1) x − y −1 = (d1): qua B (0; 2) ⇔ (d1): ⇔ (d1): x + 3y − = 0 − −1  Cách 3: Mỗi điểm M(x; y) (d1) ảnh điểm M0(x0, y0) (d) qua phép tịnh r tiÕn vect¬ v (1; 1), ta cã:  x + 3y − =  M (x ; y0 ) ∈ (d)   u ur u u u r ⇔ x − x0 = M M = v  y − y =  ⇒ (x − 1) + 3(y − 1) − = ⇔ x + 3y = (*) Phơng trình (*) phơng trình (d1) r b Nhận xét đờng thẳng (d) có vtcp v (1; 2) nên phép tịnh tiến theo r vectơ v biến (d) thành Do đó, ảnh (d) có phơng trình 2x + y 2011 = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng tròn (C1) ảnh đờng r tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biÕt: r a (C): (x + 2)2 + (y − 1)2 = vµ v (2; 1) r b (C): x2 + y2 − 4x + y − = v (1; 2) Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình đờng tròn biết r»ng cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch: a Cách 1: Biết toạ độ tâm độ dài bán kính Do đó, việc sử dụng công thức toạ độ phép tịnh tiến ta tìm đợc toạ độ tâm I1 đờng tròn (C1) ảnh tâm I đờng tròn (C) qua phép tịnh tiến r theo vectơ v Từ đó: Tâm I1 (C1 ) : , với R bán kính đờng tròn (C) Bkính R b Cách 2: Sử dụng phơng pháp quỹ tích Giải a Ta có hai cách trình bày sau: r Cách 1: Đờng tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = Gọi I1 = Tv (I) , ta cã: 13  x = −2 + = I1:  ⇒ I1(0; 2) y = + = Khi ®ã, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi: Tâm I1 (0; 2) (C1):  ⇔ (C1): x2 + (y − 2)2 = BkÝnh R =  C¸ch 2: Mỗi điểm M(x; y) (C1) ảnh điểm M0(x0; y0) (C) qua phép tịnh r tiÕn vect¬ v (2, 1), ta cã: (x + 2) + (y − 1) =  M (x ; y0 ) ∈ (C)   ⇔ x0 = x − x = x0 + y = y + y = y −1   ⇒ (x − + 2)2 + (y − − 1)2 = ⇔ x2 + (y − 2)2 = (*) Ph¬ng trình (*) phơng trình (C1) b Ta có hai cách trình bày sau: Cách 2: Mỗi điểm M(x; y) (C1) ảnh điểm M0(x0; y0) (C) qua phép tịnh r tiến vectơ v (1; −2), ta cã: 2  x + y − 4x + y0 − =  M (x ; y0 ) ∈ (C)   ⇔ x0 = x − x = x0 + y = y − y = y +   ⇒ (x − 1)2 + (y + 2)2 − 4(x − 1) + y + − = ⇔ x2 + y2 − 6x + 5y + 10 = Phơng trình (*) phơng trình (C1) 21 Cách 2: Đờng tròn (C) có tâm I 2; ữ bán kính R = 2  r Gäi I1 = Tv (I) , ta cã: x = + = 5   I1 :  ⇒ I1  3; − ÷ 2  y = − − = Khi đó, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi: Tâm I1 3; ữ 5 21  (C1):  (C1 ) : (x − 3) +  y + ÷ =  24  21   BkÝnh R =  14 (*) Giáo án điện tử giảng giá: 550.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY C bµi tập rèn luyện Bài tập Cho hai tam giác b»ng ABC vµ A’B’C’ (AB = A’B’, BC = BC, CA = CA) Chứng minh có không phép dời hình biến ABC thành ABC Bài tập Có hay không phép dời hình F cho đờng thẳng biến thành đờng thẳng song song víi nã Bµi tËp Chøng minh r»ng phÐp dời hình F biến đờng thẳng a thành đờng thẳng a vuông góc với a có điểm nhÊt biÕn thµnh chÝnh nã qua phÐp F Bµi tập Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Chứng tỏ phép dời hình biến điểm A, B, C thành phải phép đồng Bài tập Cho hai đờng tròn (O, R) (O', R'), R R' đờng thẳng () HÃy dựng đờng thẳng (d) song song với () cắt (O) (O') lần lợt điểm A, B, A', B' cho AB = A'B' Bµi tập Giả sử phép dời hình f biến ABC thành A'B'C' Chứng minh rằng: a Trọng tâm ABC biến thành trọng tâm A'B'C' b Trực tâm ABC biến thành trực tâm A'B'C' c Tâm đờng tròn ngoại tiếp (nội tiếp) ABC biến thành tâm đờng tròn ngoại tiếp (nội tiếp) A'B'C' 15 Bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O, R), AD = R Dựng hình bình hành DABM DACN Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm (O, R) Bài tập Tìm phơng trình đờng thẳng (d1) ảnh đờng thẳng (d) qua phép r tịnh tiến vectơ v , biết: r r a (d): x − 3y + = vµ v (−3; −2) b (d): 2x − 6y + = vµ v ( ; −3) Bài tập Tìm phơng trình đờng tròn (C1) ảnh đờng tròn (C) qua phép tịnh r tiÕn vect¬ v , biÕt: r a (C): (x − 2)2 + (y − 2)2 = vµ v (−2; 1) r b (C): x2 + y2 − 2x − 4y − = vµ v (0; 3) r r Bài tập 10 HÃy tìm vectơ v (a; b) cho tịnh tiến đồ thị y = f(x) theo v ta nhận đợc đồ thị hàm số y = g(x), biÕt: a f(x) = − x2 − x + vµ g(x) = − x2 + 2 x2 − x + x2 b f(x) = vµ g(x) = x −1 x +1 D hớng dẫn đáp số Bài tập Giả sử tồn hai phép dời hình khác F1, F2 cïng tho¶ m·n: F1(∆ABC) = ∆A’B’C’, F2(∆ABC) = ∆A’B’C’ Khi ®ã: ∃M: F1(M) = M1, F2(M) = M2 M1 M2 Vì F phép dời hình nên: AM = A 'M1 AM1 = AM2 A thuộc đờng trung đoạn M1M2  AM = A 'M T¬ng tù, ta cịng thấy B, C thuộc đờng trung đoạn M1M2, suy ra: A, B, C thẳng hàng mâu thuẫn Vậy, tồn phép dời hình biến ABC thành ABC Bài tập Giả sử tồn phép dời hình F thoả mÃn điều kiện đầu Khi đó, không tồn điểm M để F(M) = M trái lại với đờng thẳng a qua M ta có F(a) = a hai đờng thẳng song song qua điểm M Từ nhận xét với điểm A bất kì, giả sử: F(A) = A1 ⇒ F(AA1) = F(A1A2)   F(A1 ) = A tức F biến đờng thẳng a qua hai điểm phân biệt A, A1 thành đờng thẳng a' qua hai điểm phân biệt A1, A2 chúng cắt A1, vô lí Vậy, không tồn phép dời hình thoả mÃn điều kiện đầu Bài tập Trớc tiên, không tồn hai điểm phân biệt biến thành qua F a trùng với a Gọi I giao điểm cđa a víi a’, ta ®i chøng minh F(I) = I 16 Thật vậy, với A khác I giả sử:  F(A) = A1 ∈ a '  AA1A A hình vuông tâm I F(I) = I, ®pcm  F(A1 ) = A  F(AA )=A1A  F(A ) = A Bài tập Với phép dời hình F, tho¶ m·n F(A) = A, F(B) = B, F(C) = C Giả sử trái lại F phép đồng nhất, tức là: M: F(M) = M M M Vì F phép dời hình nên:  AM = AM '   BM = BM ' A, B, C thuộc đờng trung đoạn MM’ CM = CM '  ⇒ A, B, C thẳng hàng mâu thuẫn Vậy F phải phép đồng Bài tập Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng thẳng (d) song song với (), cắt (O) (O') lần lợt điểm A, B, A', B' cho AB = A'B' V× AB = A' B ' nªn AA ' = BB ' Thực phép tịnh tiến vectơ AA' (O, R) () K có ảnh (O1, R) qua A' B' với I gao điểm đờng thẳng Ox // () B A B A Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện: (d) O1 - Dựng Ox // (∆) O O - Dùng O'K ⊥ (∆), O'K cắt Ox I - Dựng (O , R) (O , R) cắt (O', R') A' B' 1 Khi đó, đờng thẳng A'B' đờng thẳng (d) phải dựng Chứng minh: Vì: - (d) O'K nên (d) // () - (d) cắt (O1, R) A', B' nên (d) cắt (O, R) A, B AB = A'B' Biện luận: Bài toán có nghiệm hình hai đờng tròn (I, R) (O', R') cắt Khi đó, toán chØ cã mét nghiƯm Bµi tËp a Gäi M trung điểm đoạn BC G trọng tâm ABC Giả sử: f(M) = M' f(G) = G' Từ tính chất không làm thay đổi khoảng cách hai điểm, ta suy ra: M' trung điểm cđa B'C' ⇒ A'M' lµ trung tun (1) AG A' G' = = AM A' M' (2) Từ (1) (2) suy G' trọng tâm A'B'C' b Gọi AA1, BB1 hai đờng cao ABC H trực tâm ABC Giả sử: 17 f(B1) = B1', f(A1) = A1' vµ f(H) = H' Tõ tÝnh chÊt cđa phÐp dêi h×nh, ta suy ra: H' = A1A1' ∩ B1B1'  Tõ tÝnh chÊt b¶o toàn độ lớn góc phép dời hình, ta suy ra: A1A1', B1B1' đờng cao A'B'C' Từ (3) (4) suy H' trực tâm A'B'C' c Ta lần lợt xét: (3) (4) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC Giả sử: f(O) = O' Từ tính chất không làm thay đổi khoảng cách hai điểm, ta suy ra: O'A' = O'B' = O'C' bëi OA = OB = OC VËy, điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp A'B'C' Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC Giả sử: f(I) = I' Từ tính chất bảo toàn độ lín gãc cđa phÐp dêi h×nh, ta suy ra: · · I 'A 'B' = I 'A 'C' ⇒ I thuộc đờng phân giác góc Â' (5) à à ˆ I 'B'A ' = I 'B'C' ⇒ I thuéc đờng phân giác góc B ' (6) Từ (3) (4) suy I tâm đờng tròn nội tiếp A'B'C' N D Bài tập Từ giả thiết, ta cã: uu uu uu ur uu ur r O C A uu ur AD = BM = CN ⇒ TAD ( ∆ABC) = ∆DMN ’ O uu ur TAD (O) = O ' tâm đờng tròn ngoại tiếp DMN suy M Mặt khác, ta có: u u u ur ur u u B AD = OO ' ⇒ OO’ = R ⇔ O’∈ (O, R), ®pcm Bµi tËp a x − 3y = b x − 3y + 14 = 2 Bµi tËp a x + (y − 3) = b (x − 1)2 + (y − 5)2 = r r Bµi tËp 10 a v (−2; −2) b v (−2; 3) 18 ... sử dụng phép tịnh tiến để giải toán cực trị hình học phép dời hình Hoạt động Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa phép tịnh tiến ý nghĩa ®Þnh lÝ LÊy vÝ dơ vỊ mét phÐp biến hình phép tịnh tiến mà... định nghĩa phép tịnh tiến r r Định nghĩa: Phép tịnh tiến vectơ v , kí hiệu Tv phép dời hình biến ®iĨm M uuu r u ur thµnh M'' cho MM '' = v Hoạt động r Nêu cách tìm ảnh điểm M qua phép tịnh tiến Tv... uu Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA '' với A a A'' a'' biến đờng thẳng a thành a'' A'' (a'') (a) A biẻu thức toạ độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, phép tịnh tiến theo