NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
PHẫP DỜI HèNH Vá PHẫP DONG DANG TRONG MAT PHANG
Nguyen Minh Tiờn
1/ Phờp Doi Hinh trang 2
Trang 2PHẫP DỜI HèNH Vá PHẫP DONG DANG TRONG MAT PHANG - - Vần đề I : PHẫP DỜI HèNH A KIEN THỨC CƠ BẢN 1/ Phờp biến hớnh, a - - -
DN: Phờp biờn hinh la một quy tặc đề với mỗi điểm ẵ⁄ của mặt phăng, xõc định được một diờm
duy nhót đởm M của mặt phăng Điởm A⁄” gọi lỏ ảnh của A⁄Z qua phờp biởn hớnh đụ -
" Kợ hiệu: ƒ lỏ một phờp biởn hớnh nỏo đụ, vỏ AM” lỏ ảnh của ẵ⁄ qua phờp ƒ Ta viết:
M'=ƒ(M)hay ƒ(M)= M' hay ƒ: MEÍ M' hay M——>M'
Lưu ý : + Điểm M gọi lỏ tạo ảnh, AM” lỏ ảnh
+ ƒ lỏ phờp biến hớnh đồng nhất Ẫ / (M) = M⁄ VM e#ủ Điểm AM gọi lỏ điểm bất động,
điểm kờp, bắt biến
+ /j, /; lỏ cõc phờp biến hớnh thớ /; s ƒ lỏ phờp biến hớnh
" Nếu H lỏ một hớnh nỏo đụ thớ tập hợp cõc điểm A'= ƒ (AM) với M e !ủ, tạo thỏnh hớnh #7 được gọi lỏ ảnh của H qua phờp biến hớnh ƒ, vỏ ta viết: ủ'= /(H)
2/ Phờp dời hớnh „ | È
- Phờp dời hớnh lỏ phờp biởn hớnh khừng lỏm thay đừi khoảng cõch giữa hai điởm bót kỳ, tức lỏ với hai điởm bót kớ A⁄, N vỏ ảnh ẵ⁄', N“của chỷng, ta luừn cụ: 4“ = MN (Bảo toỏn khoảng cõch)
3/ Tợnh chất (của phờp dời hớnh) S
" ĐL: Phờp dời hớnh biởn ba điởm thăng hỏng thỏnh ba điềm thăng hỏng, ba điởm khừng thăng hỏng thỏnh ba điểm khừng thăng hỏng
" HQ: Phờp dời hớnh biởn: -
+ Đường thăng thỏnh đường thăng
+ Tia thanh tia ‹ + Đoạn thăng thỏnh đoạn thăng băng nụ
+ Tam giõc thỏnh tam giõc băng nụ (Trực tóm —> trực tóm, trọng tóm — trong tam, ) + Đường trún thỏnh đường trún băng nụ (Tóm biởn thỏnh tóm: 7 —> /,ˆ= R) + Gục thỏnh gục bằng nụ B BáI TẬP Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y)——> M' =f(M) = ỵ = È“ y=y Tớm anh ctia cờc diờm sau: a) A(1;2) b)B(-1;2) c)C(2;-4) Giải : a) A’= f(A) = (1:5) b) B’ = f(B) = (-7;6) c) C’ = f(C) = (3;-1)
Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y)L——> M' =f(M) = Ƒ =ox-yt 1 y =x-2y+3
Trang 3NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Giải : Lấy hai điểm bất kớ M(xâ;y),N(X;;Y2)
Khi đụ f : M(x,;y,) ——> M' =f(M) = (3xị; Vị)
f:Nẹ(x;;y;)——> N' =f(N) = x;;y;)
Ta cụ :MN = 4; -x,) +Ớì; -y,)° ,M'N’= /9(x, -x,)° +; -y)Ÿ
Nếu xị #x; thớ MN'#MN Vậy : f khừng phải lỏ phờp dời hớnh (Vớ cụ 1 số điểm f khừng bảo toỏn khoảng cõch)
Trong mpOxy cho 2 phờp biến hớnh :
a) f : M(x;y) H—> M'= f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x:y) h—> M'= g(M) =( 2x; y+l) Phờp biến hớnh nỏo trởn đóy lỏ phờp dời hớnh ?
HD:
a) f lỏ phờp dời hớnh b) g khừng phải lỏ phờp dời hớnh ( vi x, # x, thi MN#MN) Trong mpOxy cho 2 phờp biến hớnh :
a)f: M(x;y)——> M'=f(M)=(y+l; —x) b)g:M(x;:y)——> M'=g(M)=(x;3y) Phờp biến hớnh nỏo trởn đóy lỏ phờp đời hớnh ?
Giải :
a) f lỏ phờp dời hớnh b) g khừng phải lỏ phờp dời hớnh ( vớ yâ # y„ thớ MN'#MN)
|6| Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y) ——> M' = f(M) = (—-2x;y +1) Tớm ảnh của đường
thẳng (A): x—3y—2 = 0 qua phờp biến hớnh f Giải : Cõch 1: Dỳng biểu thức toạ độ ' x=-2x x= , - =y+#l ; ue y=y-] 5 )—3(yˆ—1)-2=0 Ẫ x'+6y'—-2=0<> M(x;y)e(A):x+6y—2=0 Ta cụ f: M(x;y)——> M“=f(M)= | Vớ M(x;y) e(A)< ( Cõch 2: Lấy 2 điểm bất kớ M,N e(A):M+#N +Me(A):M(;0) —> Mˆ=f(M)=(-4;l) +Nc(A):N(-I;-1) —>N'=f(N)=(;0) Qua M'(-4;1) ->PTClấc (A?): xt4_y-] = PTTQ (A):x+6y-2=0 VTCP : M'N’=(6;-1) 6 -l „5 y a9=0MN0:] Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y)——> M' =f(M) = (x+3;y+]) a) CMR f lỏ phờp dời hớnh
b) Tớm ảnh của đường trún (C) : (x + 1)” +(y-2)ˆ =4 E—>(C):(x-2)” +(y-3)” =4
Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y)——> M' =f(M) = (x—3;y+l) a) CMR f 1a phờp dời hớnh
b) Tớm ảnh của đường thẳng (A) : x +2y—5 =0
c) Tớm ảnh của đường trún (C) : (x + 1)? + (y-2)° =2
2 2
Trang 4Giải : a) Lấy hai điểm bất kớ MŒx;;y4),ẹ(X;; Y2)
Khi d6 f : M(x,;;y,) —— M’=f(M)= (x, -3; y,+D f:N(x;;y;)E——> N'=f(N) = (xÒ =3: y„ +) Ta cụ: MIN’ =4(x,~-x,)+(y,-y,)°= MN Vậy : f lỏ phờp dời hớnh b) Cõch I: Dỳng biểu thức toạ độ Ta cụ f: M(@x;y) ——> M' =f(M) = [erste fet y=yrl y=y'-l
Vớ M(x;y) e(A) Ẫ (x'+3)+2(y'—1)—5 =0 Ẫ x'+2y'—4=0ẬẪMf(x;y)e(A'):x+2y—4=0 Cõch 2: Lấy 2 điểm bất kớ M,N e(A):M+zN +Meờ(A): M(5 ;0) —> M'=f(M)=(2:I) +Nec(A):N(3; 1) E—> ẹ =f(N)=(0;2) M@:I : (A)=@MWN›;) Qua MG:), ~—> PTCtợc (A'): VTCP : M'N' =(-2;1) —2
Cõch 3: Vớ f lỏ phờp dời hớnh nởn f biến đường thẳng (A) thỏnh đường thẳng (A') // (A)
+ Lấy Me(A) :MG ;0) E—> M'=f(M)=(2:1)
+ Vớ (A)//(A)>(A):x+ 2y+m =0(m #-5) Do : (A')› Mf(2;I1)—=m=—4—(A'):x+2y-4=0 c) Cõch I: Dỳng biểu thức toa dờ X=2 _Y~é_ PTTQ(A'):x+2y~4=0 Ta cụ f: M@&;y) ——> M' =f(M) = J App +3 y=y+L |y=y-l Vớ M@Ò;y) e(C) : (x + Ÿ +(y—2)” =2Ẫ(x'+4)?Ẽ+(y'—3)”=2Ẫ ẪM(x;y)e(C): (x44) +(y-3)7 =2 +Tam I(-1;2) đ — Cõch 2: (C Ẫ Ứng ——>(Œ 1 BK: R=R= V2 — (C2: (x+4)“+(y—3)” =2 È đ) Dỳng biểu thức toạ độ Ta cụ f: M(x;y) ——> M' =f(M) = ph y =y#*l y=y-l 2 2 1,22 142
ViM(xy) eB): 2 + Fat SE 4 OOO 3 2 _ =1ẪSM(y)e(Œ): „ung, (+3) +> = @-D _
lo| Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y) ——> M' = f(M) = (x+1;y—2)
a) CMR f lỏ phờp dời hớnh
b) Tớm ảnh của đường thẳng (A) : x—2y+3 =0
c) Tim ảnh của đường trún (C) : (x + 3) +(y -1) =2 đ) Tớm ảnh của parabol (P) : y? =4x
ĐS: b)x-2y-2=0 c) (x +2)" + (y+)? =2 d) (y +2)" =4(x-1)
Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y)L——> M“ =f(M) = (—x;y) Khẳng định nỏo sau đóy sai ?
A flỏ I phờp đời hớnh B Nếu A(0; a) thớ f(A) = A
C M vỏ f(M) đối xứng nhau qua trục hoỏnh D f[M(2:3)]e đường thẳng 2x + y+ =0
Trang 5NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
DS: Chon C ViM va f(M) dời xtfng nhau qua truc tung > C sai Trong mpOxy cho 2 phờp biờn hinh :
f :M(x;y)——>M'= fâ(M) =(x+2;y-4); f, :M(x;y)——> M'= f,(M) =(-x;-y)
Tim toa d6 anh ctia A(4;—1) qua f, rồi f; , nghĩa lỏ tớm f;[f(A)]
DS : A(4;-1) 115 A(6;-5) 2 yA*(—6 35)
Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y) —>M' = f(M) = ễ ;-3y) Khang dinh nao sau day sai ? A f(O)=O (O lỏ điểm bất biến) B Ảnh của A eOx thớ ảnh A'=f(A)eOx
C Anh ctia Be Oy thi anh B’= f(B) € Oy D M=f[M( ;-3)] = (1:—9) DS : Chon D Vi M’= f[ M(2 ;—3)] = (1; 9) „ - Vấn đề 2 : PHẫP TỊNH TIỀN A KIEN THUC CO BAN
1/ DN: Phờp tinh tiờn theo vờcto ii 1a một phờp dời hớnh biến điểm 4 thỏnh điểm A⁄' sao cho MM'=ii
Kợ hiệu : T hay Tụ Khi đụ : Tg(M) = M'ẪMM'=ủ
['Phờp tịnh tiến hoỏn toỏn được xõc định khi biết vectơ tịnh tiến của nụ
âNếu T5(M) =M ,VM thớ Tạ; lỏ phờp đồng nhất 2/ Biểu thức tọa độ: Cho ũ = (a;b) vỏ phờp tịnh tiến Tụ
M(x: (X;y)——> M'=Tz(M) =(x':y') thớ x=x+a u(M)=Œœ yỏm | th
3/ Tợnh chất:
ODL: Phờp tinh tiến bảo toỏn khoảng cõch giữa hai điểm bất kớ
LIHQ:
1 Bảo toỏn tợnh thẳng hỏng vỏ thứ tự của cõc điểm tương ứng 2 Biến một tia thỏnh tia
3 Bảo toỏn tợnh thẳng hỏng vỏ thứ tự của cõc điểm tương ứng
5 Biến một đoạn thẳng thỏnh đoạn thẳng bằng nụ
Trang 6+Tam I +bk:R=R +Tóm I +bk:R Cõch 2 : Dỳng biểu thức tọa độ Tim x theo x’, tim y theo y' rồi thay vỏo biểu thức tọa độ â(H)= Ẫ| ——>(H)= Ẫ (can tim’) Cõch 3 : Lấy hai điểm phón biệt :M, Ne(H)——>M',N'e(H?) B BáI TẬP Trong mpOxy Tớm ảnh của M' của điểm M(3;—2) qua phờp tịnh tiến theo vectơ ủ = (2;1) Giải Theo định nghĩa ta cụ : M' = T(M) Ẫ MM” = ũ Ẫ (x'~3;y' +2) = (2;1) Ẫ pang =5 y'+2= y=-l =>M;~—1) Tớm ảnh cõc điểm chỉ ra qua phờp tịnh tiến theo vectơ ii : 4) AC-1;),=@;1) = A'(2:3) b) B(2;1) , i= (—3:2) => B(-1;3) c) C(3;—-2),u=(-1;3) =>C(2;1)
Trong mpOxy Tớm ảnh A',B' lần lượt của điểm A(2:3), B(1:1) qua phờp tịnh tiến theo vectơ = (3;1)
Tợnh độ dỏi AB, AT
Giải
Ta c6 : A'= Ty (A) = (5:4) , B'= T(B) =(4;2) , AB = |ABI= 1/5 , A’B! =IA’B'I= V5
Cho 2 vecto ty; tig Ga sử MỊ =Th, (M),My =Th, (Mj) Tim V dờ MÒ =Ty(M) Giải
Theo đề : MỊ = Tạ (M) MM, = iiy ÍMy = Ty, (MỊ) Ẫ MỊM; = iy
Nờu : Mj =Ty(M) MM) = ơ>ơ= MM) =MM,+M\Mp =i) +i) Vay: ơ=t) 405
Đường thẳng A cắt Ox tại A(—1;0) , cắt Oy tại B(0;2) Họy viết phương trớnh đường thẳng A' lỏ ảnh
của A qua phờp tịnh tiến theo vectơ ủ = (2;—1) Giải Vớ: A'=T(A)=(;—=D), B.=Tg(B) =(2;1) x=l+t qua A(1;—Il) y=-l+2t 7 => ptts A’: JVTCP: A'B= (1:2)
Mặt khõc : A'= Tg(A)= AT đi qua AB“ Do đụ : x|
[6| Đường thẳng A cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) Họy viết phương trớnh đường thẳng A' lỏ ảnh
của A qua phờp tịnh tiến theo vectơ ủ = (—1;—2) Giải
Vớ:A'= Tụ(A) =(0;—2), B= Tg(B)=(-1;1)
ũ A0:;-2 =—
Mặt khõc : A'= Tụ(A) = A' đi qua A',B' Do đụ : A’) 8 (@;—2) JVTCP: A'B'=(-1;3) = ptts af t y=-2+3t
[7] Tương tự : a) A :x—2y—4=0,ữ= (0;3) SA :x-2y+2=0
Trang 7NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Tớm ảnh của đường trún (C) : (x + 12 +(y _2)2 =4 qua phờp tịnh tiến theo vectơ ti = (1;—3) Giải
Biểu thức toạ độ của phờp tịnh tiến Tụ lỏ : fe xtl ey Ƒ axl
y=y-3 y=y+3
+ : : 2 _9)2 _ 2 ru1y2— tếv!sv" " v2 2_
Vớ : M(x;y) ce(C) : (x + 1)“ +(y—2)“ =4Ẫ x“ +(y'+l)“ =4Ẫ M(x;y)e(C): x“ +(y+l)“ =4
Vậy : Ảnh của (C) lỏ (C):x2+ (y+l)ˆ =4
lo| Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y)——> M' = f(M) = (x+1:y—2) a) CMR f la phờp dời hớnh
b) Tớm ảnh của đường thẳng (A) : x—-2y+3 =0
c) Tim anh của đường trún (C) : (x + 3) + (y-1) =2 đ) Tớm ảnh của parabol (P) : y? =4x
ĐS: b)x-2y-2=0 c) (x +2)° +(y+1)? =2 d) (y +2)? =4(x-1)
Trong mpOxy cho phờp biến hớnh f: M(x;y)——> M' = f(M) = (—x;y) Khẳng định nỏo sau đóy sai 2
A flỏ I phờp dời hớnh B Nếu A(0;a) thớ f(A)= A
C M vỏ f(M) đối xứng nhau qua trục hoỏnh D f[M(2:3)] đường thẳng 2x + y+ =0 ĐS : Chọn C Vớ M vỏ f(M) đối xứng nhau qua trục tung > C sai
[9| Tim ảnh của đường trún (C) : (x -3)2 +(y+ 2/2 =1 qua phờp tịnh tiến theo vectơ ti = (—2;4) say : Biểu thức toạ độ 2 hờp tịnh tiến T; lỏ : JŠ È a =x-2 x=x+2
Giải : Biểu thức toạ độ của phờp tịnh tiến Tj lỏ v=y+4 y=y~4
hs Mục: 2 2_ a otc cra cot pd cpor and — Vi: MGcy) €(C) : (x3)? +(y +2)? =16 (x' 1? H(y'- 2)? =1 6 M(xry')e(C) 2-2 + (y'—2)? = 1
Vậy : Ảnh cita (C) 1a (C’) : (x-1)2 +(y-2)? =1
BT Tương tự : a) (C) : (x—2)” +(y+3)ˆ =1, ũ = 4:1) => (C): (x-1)? +(y-2)* =1 b) (C) x2 +y? -2x +4y-4=0, i =(—2:3) (C):x?+yˆ+2x~2y~7=0 Trong hệ trục toạ độ Oxy „ xõc định toạ độ cõc đỉnh C vỏ D của hớnh bớnh hỏnh ABCD biết đỉnh
A(—2;0), đỉnh B(— 1;0) vỏ giao điểm cõc đường chờo lỏ I(1;2)
Giải
Goi C(x:y) Ta cụ : IC=(x—l;y —2),AI= (3;2),BI= (2;—1) 6
[]Vớ Ilỏ trung điểm của AC nởn : B
TA x-l=3 x=4
C=Tz;Œ)<ẪIC= AI< x0 frot3 [t-te oS >C(4,4 |
OViT1a trung diờm ctia AC nờn : A
Xp -1=2
D=Tz;)Ẫ>ID=BIẪ> BI) ae S xp=3 => D(3;4)
Yp=4
Bỏi tập tương tự : A(—1:0),B(0:4),1(1;1) => C(3;2),D(2;—2)
[11]Cho 2 đường thẳng song song nhau d va a’ Họy chỉ ra một phờp tịnh tiến biến đ thỏnh đ” Hỏi cụ bao
Trang 82 ‹ d/ Giải : Chọn 2 điểm cố định A ed, A'ed' đ S2 T n B Lấy điểm tuỳ ý M ed Gỉa sử : M'=T~z(M)<MM'=AB —_ AB A h vt = MA = M'B= M'B//MA = M'ed’= d'= Tx (d)
Nhận xờt : Cụ vừ số phờp tịnh tiến biến d thanh d’
(12| 2| Cho 2 đường trún (I,R) va (I',R’) -Hay chi ra mot re? tịnh tiến biến (I,R) thỏnh Œ' RD
—>xhl
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trờn (LR) Gia sti : M’= wow) = MM’ =I’ `—7 > IM = I'M’ =>IM =lM=R>M c(.R)>(Œ R y= TyplGR)]
Cho hinh binh hanh ABCD , hai dinh A,B cờ dinh , tam I thay đổi đi động
trởn đường trún (C) Tớm quỹ tợch trung điểm M của cạnh BC
Giải
Gọi J lỏ trung điểm cạnh AB Khi đụ dễ thấy J cố định vỏ IM =JB
Vậy M lỏ ảnh của I qua phờp tịnh tiến TR Suy ra : Quỹ tợch của M lỏ ảnh của đường trún (C) trong phờp tịnh tiến theo vectơ JB
Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax? Gọi T lỏ phờp tịnh tiến theo vectơ ti = (m,n) vỏ (P' lỏ ảnh của (P) qua phờp tịnh tiến đụ Họy viết phương trớnh của (P)
Giải :
= T —— | eer
ZM(x;y)—#—> M((x';y'), ta cụ : MM'=, với MM'=(x'—x;yˆ—y)
"` y-y=n y=y-a
Mỏ : M(x;y) e (P): y =ax2 ey-n= a(x’ —m)* ey= a(x'~m)^ +nẬẪM(x;y)e(P):y= a(x —m)* +n Vay: Ảnh của (P) qua phờp tịnh tiến Tạ lỏ (P): y= a(x -m)2 +neẪy= ax? —2amx +am2 +n
[15] Cho dt A : 6x + 2y-1=0 Tim vects ũ #Ũ để A = Tạ(A)
Gidi : VTCP ctia A la 4 = (2;—6) Để : A = Tj(A) = t cỳng phương a Khi đụ : ồ = (2;—6) =2(1;—3) => chon t = (1;-3)
Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A(—5:2) , C(—1;0) Biết : B = Tụ(A) ,C= Tụ(B) Tớm 1 vỏ ở
để cụ thể thực hiện phờp biến đổi A thỏnh C ?
Giải
Tạ Ts — —
A(—5:2) 2B HY > C(-1;0) Ta cờ : AB=ii, BC = ơ > AC = AB+ BC =1+ 0 =(4;-2) Tụ + ý
Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3;—1),Nẹ(2;~3) vỏ 2 vectơ = (2;3) ,ỵ = (—1;2) Tớm ảnh của K,M,N qua phờp tịnh tiến Tụ rỗi Tụ 1S Sá Tụ Tụ hor 2 HD: Gỉa sử : A(x;y) H—# > BH —* > C(x y’) Tac 6: AB=U,BC=V > AC= AB+ BC = u+v=(1;5) 2 Yl, Pe’ a: x’-1=1 x=2 2 Do đụ : K=Tp ,y(K) œ KK ceo [NaN 52K QD Tương tự : M(4;4), N:2)
Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho AABC: AG:0), B(—2;4) , C(—4;5) G lỏ trọng tóm AABC vỏ phờp
Trang 9NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai Giải Tụ Tụ t +, " A@:0)—*—›>G(-1;3)—t—>G(x;y') =G(-5:6) Vớ AG=(-4:3)= 1 Theo dờ : GG'= 0 {* vet =È y-3=3 y =6
Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường trún (C) : (x-1)? +(y +3)" =2,(C’):x2 ty? —10x+4y+25=0
Cụ hay khừng phờp tịnh tiến vectơ ỷ biến (C) thỏnh (C')
HD: (C) cụ tóm I(1;— 3), bõn kợnh R = 2 ; (C) cụ tóm I(5;— 2), bõn kợnh R= 2
Ta thấy : R = R'= 2 nởn cụ phờp tịnh tiến theo vectơ ủ = (4;1) biến (C) thỏnh (C')
Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hớnh bớnh hỏnh OABC với A(—-2;1) vỏ BeA :2x—y—5 =0 Tớm tập hợp đỉnh C ?
Giải
Vi OABC 1a hinh bớnh hỏnh nởn : BC = AO =(2;-1) > C=T,(B) vai t = (2;-1)
JBGy)E—E ÍC(?y) „Do: a oft
y-y=- y=y+*l
LIB(x;y)e A Ẫ 2x—-y—5 =0 Ẫ2x'—yˆ—10=0 ẪC(x;y')e A”:2x—y—I0=0
Cho AABC Gọi Ai›Bi.CI lần lượt lỏ trung điểm cõc cạnh BC,CA,AB Gọi O1.O2.O3 vỏ 112,13
tương ứng lỏ cõc tóm đường trún ngoại tiếp vỏ cõc tóm đường trún nội tiếp của ba tam giõc AB,Cy, BCâAâ, vỏ CAâBâ Chứng minh rằng : AO) 0703 = AT I5I3 Ậ HD: + Xờt phờp tịnh tiến : Tj; — biờn AH—>C, Cị ——>B,BỊ ——>AI AB 2 TỊ 1B TỊ TỊ_ JApB JAB = AAB,Cy 2 AC BA] 0, H2— 9 0:1, H 2 ly => 0,09 =Tly = 0,0) =o * Lý luận tương tự : Xờt cõc phờp tịnh tiến Tị Tị — suy ra: —BC —CA Le, 2 2
0703 = 15g va 030) =Igly > 0703 =151z,030, = [gly > A010703 = ALyIgIy (c.c.) |22è Trong tứ giõc ABCD cụ AB = 63cm ,CD=12cm , A=60°,B=150°va D=90° Tợnh độ dỏi cõc cạnh BC vỏ DA HD: Tye *xờt: AK BO ›M<> AM = BC Ta cụ : ABCM lỏ hớnh bớnh hỏnh vỏ BCM = 307(vớ B= 1507) Lại cụ : BCD =3609 —(90° +60° +150°)=60° => MCD =30° A Dinh ly ham cos trong AMCD : 6/3 MD2 = MC2+ DC2-2MC.DC.cos30° = (6V3)2+ (12)2 — 2.63 ne -3 |” 5 =>MD=6cm Si
Ta cụ : MD =;CD vỏ MC =MDA/3 => AMDC lỏ tam giõc đều 207 \
Trang 106x3
Dựng MK L AD > K lỏ trung điểm của AD = KD=MDcos30” = > em = AD = 6V3cm
Tụm lại : BC = AM = MD = 6cm, AD = AB= 6x/3em
- „ - Vấn để 3 : PHẫP ĐểI XỨNG TRỤC
A KIEN THUC CO BAN
1/ĐNI:Điểm M" goi la dời ximg voi diờm A⁄Z qua đường thăng a nếu a lỏ đường trung trực của đoạn MM”
Phờp đối xứng qua đường thẳng cún gọi lỏ phờp đối xứng trục Đường thẳng a gọi lỏ trục đối xứng ĐN2 : Phờp đối xứng qua đường thẳng a lỏ phờp biến hớnh biến mỗi điểm M thỏnh điểm Mợ đối xứng
với M qua đường thẳng a
Kợ hiệu : Ð,(M)=M'ẪM,M'=-M,M, với M, lỏ hớnh chiếu của M trởn đường thẳng a Khi đụ :
“Nếu Ma thớ Đ,(M)=M :xemM lỏ đối xứng với chợnh nụ qua a (M cún gọi lỏ điểm bất động ) LIMza thớ Ð,(M)=M Ẫa lỏ đường trung trực của MM’
IĐa(M) =M' thớ Đạ(M)=M
LIÐ;(H)=H' thớ Đạ(H)=H, H lỏ ảnh của hớnh H —— MP Tờ
[IĐN : dlỏ trục đối xứng của hớnh HẪ Đạ(H)=H " `
[iPhờp đối xứng trục hoỏn toỏn xõc định khi biết trục đối xứng của nụ
Chỷ ý : Một hớnh cụ thể khừng cụ trục đối xứng ,cụ thể cụ một hay nhiều trục đối xứng a 2/ Biờu thire toa dờ: M(x:y) > M’ = Dy (M) =(xxy’) mason: {ơo* Min y=y 3/ĐL: Phờp đối xứng trục lỏ một phờp doi hớnh LIHQ : 1.Phờp đối xứng trục biến ba điểm thẳng hỏng thỏnh ba điểm thẳng hỏng vỏ bảo toỏn thứ tự của cõc điểm tương ứng 2 Đường thẳng thỏnh đường thẳng 3 Tia thỏnh tia 4 Đoạn thẳng thỏnh đoạn thẳng bằng nụ
5 Tam giõc thỏnh tam giõc bằng nụ (Trực tómI———>trực tóm, trọng tóm —> trọng tóm )
6 Đường trún thỏnh đường trún bằng nụ (Tóm biến thỏnh tóm : I——>I',R'=R)
7 Gục thỏnh gục bằng nụ
[-PP:limanhM'=D,M) ~~ ————StCS~S~StSttS
1.()2M,dLa
2.H=dna
3 H lỏ trung diờm cia MM’ > M’?
Trang 11-10-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai + TH2:A }^ a 1 Tớm K=A“a 2 Lay Pe A: P#K Tim Q =D, (P) “ , B 3 A'=(KQ) ữ i = PP:TimMe(A): (MA + MB), ,- M At
Tớm Me(A) : (MA+ MB) nui,
* Loại I : A, B nằm cỳng phợa đối với (A) : 1) gọi A' lỏ đối xứng của A qua (A)
2) VM e(A), th MA + MB= MA+ MB> A'B
Do đụ: (MA+MB),.â.= A'BM.= (A'B)^(A)
* Loại 2 : A, B nằm khõc phợa đối với (A) : VM(A), thớ MA + MB> AB Ta cụ: MA+MB) min =AB<M=(AB)“(A) B BáI TẬP Trong mpOxy Tớm ảnh của M@;1) đối xứng qua Ox, rồi đối xứng qua Oy D HD : M(2:1)H- 20x 5M '(2;—1) 22 9 M"(-2:-1) Trong mpOxy Tớm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy, rồi đối xứng qua Ox Đ,
HD : M(a:b) 22 M'(—a;b) 20-5 M"(-a;~b)
[3] Cho 2 dudng thing (a) :x-2=0, (b): y +1 =0 va diờm M(-1;2) Tim: Mr_22 5M’, 5M", HD : M(—1;2)-2a->M'(5;2) Pb > M"(5;—4) [ vẽ hớnh ]
[4| Cho 2 đường thẳng (a) : x—m =0 (m >0), (b): y+n=0(n>0)
Tim M": M@;y)—P# >Mx;y)—PB_>M“(x";y")
HD:MG:y)L—P3—ÍM" x’=2m—x Đụ, M” x =2m=x
tđ(m;y) y=y td(2m—x;-n) y =-2n-y
Cho điểm M(~1;2) vỏ đường thẳng (a) :x +2y+2=0
HD: (đ): 2x—y +4=0,H=da-> H(—2;0), H lỏ trung điểm của MM' -> M'(-3;—2)
[6| Cho điểm M(~—4;1) vỏ đường thẳng (a) : x + y=0 =M=Ð,(M)=(-1;4)
[7] Cho 2 đường thẳng (A) :4x—y+9=0,(a):x—y +3 =0 Tớm ảnh A=Ð,(A)
HD :
OVi fetes cit a> K=Ana—> K(-2;1)
Trang 12-ll-HD: JanOx = K(3;0) OP =0(0;0) € Ox 2A Qua O(0;0) —>A:3x—y=0 +ia 3.9 2 3.9 JE= an AEC ii) lỏ trung điểm 0Q QC ;2) - Jb=KQ:3x+4y-9=0 Tim b = Do, (a) voi duong thang (a):x+3y-3=0 Giải : Cõch I: Dỳng biểu thức toạ độ (rất hay) Cõch 2: LlK=aÈOx > K(3;0) UP(O;1)ea > Q=Do, (P) = (05-1) Ub=KQ:x - 3y- 3=0 Cho 2 đường thẳng (A) : x—2y +2=0,(a):x—2y—3 =0 Tớm ảnh A'= Đ,(A) PP:A//a Cõch I: Tớm A,BeA->AˆBe<A SA '=AE Cõch 2 : Tớm AeA->A'eA'>A//A,A'3A“ Giải: LIA(0;1)cA => A'=Ð,(A)=(2;-3) TAT3ASA!//ASA':x-2y—8=0 Cho đường trún (C) : (x+3)ˆ +(y-2)Ÿ =1, đường thẳng (a) : 3x—y + I= 0 Tớm (C) = Đ,[(Ẫ] HD: (C) :(x—3)“+y? =1 Trong mpOxy cho AABC : A(—1;6),B(0;1) va C(1;6) Khang dinh nao sau day sai ?
A AABC cin 6 B B AABC cụ I trục đối xứng C AABC = Do, (AABC) D Trong tim: G= Boy (G)
HD : ChonD
Trong mpOxy cho điểm M(—3:2), đường thẳng (A) : x + 3y —8 = 0, đường trún (C) : (x+3)”+(y +2)^= 4
Tớm ảnh của M, (A) vỏ (C) qua phờp đối xứng trục (a) :x—2y +2=0 Giải : Gọi MỊ, (A') vỏ (C) lỏ ảnh của M, (A) vỏ (C) qua phờp đối xứng trục a Qua M(—3;2) Ola + (d) L(a) > (d): 2x+y+m=0 Vi(d) > M(—3;2) > m=4> (d):2x+y+4=0 a) Tớm ảnh M“: Gọi đường thẳng (d) J 1 ; Xh = =(XM +XM + H=(d)^(a)= H(-2;0)—= H lỏ trung điểm cửaM,M'ẪH 2 1 YH= 3M tym") 1 ~2=~(-3+XM') a Ẫ 2 = {™ => M'(-1;-2) 0= tym) YM’ =
b) Tim anh (A’):
Trang 13-12-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
OLay P#K= Q=Đ,[P(—1:3)] = (:—1) (Lỏm tương tự như cau a) )
L' Qua P(—I;3)
Ulta
+(b) L (a) > (b): 2x+y+m=0 Vi(b) > P(-1;3) > m=-1> (b):2x+y-1=0 + E=(b)A(a) > E(0;1)=> E lỏ trung điểm của P,Q Ẫ Gọi đường thẳng (b) : { 1 1 XE ==(Xp +Xo) E 2P Q ) 0=-Cl+xa) 2 Q ={% =] =: =(I:-I) =! I=14+ yọ=-l YE = 20p +yQ) =2t YQ) n K(2;2 — —
+(A)=(KQ); J_ 9ua KG2) -VTCP : KQ = (-l:~3) = ~(;3) =(A):Š—^~Ÿ“Z 1 3 Ò33 x~y~4=0
c) + Tim ảnh của tóm I(—3;2) như cóu a)
Ậnh đốt xứ 3 nhờn đời hớnh nề [ITómI_ Pa an [UTam I’ Da vy
+ Vớ phờp đối xứng trục lỏ phờp dời hớnh nởn (C): JR=2 E——>(C): JR'=R=2 RmIi——I 22 a cy [+ Tam 3:2), Pa cn J+ Tam I’=D,[(—3;-2)] =(-=3~) vay (Ẫ fe Rms Ẫ) BK: RR =? 35 , 242 22 —(Œ): (C) a+) + > = -=)y =4
Trong mpOxy cho điểm M(3;~5), đường thẳng (A) : 3x + 2y —6 = 0, đường trún (C) : (x+1)”+(y~2)?=9
Tớm ảnh của M, (A) vỏ (C) qua phờp đối xứng trục (a) : 2x—y +1=0 HD: a) M(3;—5) Poy MSD (dx 2y +7 =0.taiờm H-2-3) b) + K=an(a) 9 KE) + Pe(A): P(2;0)#K, Q=D,[P(2;0)] =(-2:2) => (A) =(KQ):x—lI8y+38=0 e)+1I(l;—2) Pag 2:5).R=R=3 SC): (x+ 2 +0” =9
Cho điểm M(2;~3), đường thẳng (A) : 2x + y—4= 0, đường trún (C) : x“+y“~2x+4y+2 =0
Tớm ảnh của M, (A) vỏ (C) qua phờp đối xứng qua Ox ,()> ữ ~* @ y'=-y dD, =x’ HD: Taco: Mixiy) P09 x y=- D
UThay vao (2): M(2;~3)——OX—ÍM'(2;3)
OM(x;y) e(A) Ẫ2x'— y'—4=0<> M(x:y)e(A'):2x—- y-4=0
UMGxuy)€(C): x2+y? -2x +4y +2 =0 x+y —2x'—4y’+2 =0
Ẫ (x'-1)? +(y'-2)? =3 M(xsy')]e (CI): (K-1)? +(y-2)? =3
Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x— y+3 = 0 Tớm ảnh của a qua Dox:
Đ '= =x’ Giải : Ta cụ : Moy)i-POX sMYDY Xi b x
y ="y y=—y
Vớ M(x:y) e(a) : 2x— y+3 =0 Ẫ 2(x')—(-y')43 = 0 2x'+y'+3 =O M'(xy)e(a’): 2x+y+3=0
ay: Poy an
Vay :(a)———— (a):2x+y+3=0
Trang 14-13-Trong mpOxy cho đường trún (C) : x? +y? —4y—5 =0 Tớm ảnh của a qua Đọy
y=y y=yV
Vi M(x:y) €(C): x7 +y* -4y-5=006 (-x'? ty” -4(y)-5 =0 x +y” —4y-5 =0 ẪM(x;y)e(C): x+y? —4y-5=0
Dp, ro y!
Giải : Ta số:MGgy) OP yM-|XC Xo {k= x
D,
Vay : (C) 28> (C): x? +? -4y-5=0
Trong mpOxy cho dthang (a) : 2x -y-3 =0, (A) :x—3y +11 =0, (C): x7 +y* -10x —4y +27=0
a) Viết biểu thức giải tợch của phờp đối xứng trục Ð, b) Tớm ảnh của điểm M(4;~ L) qua D,
c) Tim anh : (A’) = D,(A),(C’) =D, (C) Giải a) Tổng quat (a): Ax + By + C=0, A7 +B? #0 D — — Gọi M(x;:y)——Ẽ—>M((x';y'), ta cụ : MM'=(x'—x:y'— y) cỳng phương VTPT ii = (A;B) > MM’ = ta
= fers erst Mote ) Gọi y-y=Bt y =y+Bt I lỏ trung điểm của MM' nởn I(Š “X;Ÿ** ) = (a) 2 @ ACT) BOL) 40=06 ACS BPE ec =0 -2(Ax +B > (A24B2)t=-2(Ax + By + Ceo t= AX * BY FO) A? +B =2 T9, ,_v_2B(Ax+By+C) A?+Bf A7+BŸ / xxx -4ŒX-Y-3 fr 3 4 BP Ap dụng kết quả trởn ta cụ : 5 ° 3 5 5 v=y+ 2S y3) | 4 3y_ 8 5 5” 5” 5 b) Mđi=1)E—”Ẽ-3MF-S:2) D €)AE—Ẽ~>A':3x+y-17=0 Đạ nỏ 2 2_ đ)(C)———>(C):(x—-l)“ +(y—4)“ =2
Trong mpOxy cho đường thẳng (A) : x—5y +7 = 0 vỏ (A'): 5x—y—13 = 0 Tớm phờp đối xứng qua
trục biến (A) thỏnh (A') Giải
Vớ 5? = = (A) vỏ (A') cắt nhau Do đụ trục đối xứng (a) của phờp đối xứng biến (A) thỏnh (A') chợnh
lỏ đường phón giõc của gục tạo bởi (A) va (A’)
Ix—5y+7I = Se og (a)
Vi+25 V25+1 x-y-1=0 (a2)
Vậy cụ 2 phờp đối xứng qua cõc trục (AI):x+y—5=0,(A2):x-y—I=0
Qua phờp đối xứng trục Ð, :
1 Những tam giõc nỏo biến thỏnh chợnh nụ ? 2 Những đường trún nỏo biến thỏnh chợnh nụ ?
Từ đụ suy ra (a) :
Trang 15
-14-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
HD:
1 Tam giõc cụ I đỉnh e trục a, hai đỉnh cún lại đối xứng qua trục a
2 Đường trún cụ tóm ca
Tớm ảnh của đường trún (C) : (x-1)?+ (y -2)7= 4 qua phờp đối xứng trục Oy
PP : Dỳng biểu thức toạ độ —> ĐS : (C):(x+1)“+(y—2) =4
Hai AABC vỏ AA'B'C' cỳng nằm trong mặt phẳng toạ độ vỏ đối xứng nhau qua truc Oy Biết A(- I;5),B(-4;6),C'(;1) Họy tớm toạ độ cõc đỉnh A', B' vỏ C
ĐS: A(1;5), B(4;6) vỏ C(—3;1)
Xờt cõc hớnh vuừng , ngũ giõc đều vỏ lục giõc đều Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi loại đa giõc đều đụ vỏ chỉ ra cõch vẽ cõc trục đối xứng đụ
ĐS:
:iHớnh vuừng cụ 4 trục đối xứng , đụ lỏ cõc đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện vỏ cõc đường thẳng đi qua trung điểm của cõc cặp cạnh đối diện
['Ngũ giõc đều cụ 5 trục đối xứng ,đụ lỏ cõc đường thẳng đi qua đỉnh đối diện vỏ tóm của ngũ giõc đều [Lục giõc đều cụ 6 trục đối xứng , đụ lỏ cõc đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện vỏ cõc đường thẳng đi
qua trung điểm của cõc cặp cạnh đối diện
Gọi d lỏ phón giõc trong tại A của AABC, B' lỏ ảnh của B qua phờp đối xứng trục Đạ Khẳng định nỏo sau đóy sai ?
A Nếu AB < AC thớ B' ở trởn cạnh AC
B B’ la trung điểm cạnh AC B
C Nờu AB = AC thi B’=C
D Nếu B' lỏ trung điểm cạnh AC thi AC = 2AB
DS : Nờu B’= Dg (B) thớ B'e AC
UA dting Vi AB < AC ma AB’= AB nờn AB’< AC = B ở trởn cạnh AC
|B sai Vớ giả thiết bỏi toõn khừng đủ khẳng định AB = SẠC
CC đỷng Vớ AB'= AB mỏ AB = AC nởn AB' = AC = B'=C
ê1ID đỷng Vớ Nếu B' lỏ trung điểm cạnh AC thớ AC=2AB' mỏ AB=AB nởn AC=2AB
Cho 2 đường thẳng a va b cắt nhau tại O Xờt2 phờp đối xứng trục Ð, vỏ ĐÐạ : A Pa ,p Po, C Khẳng định nỏo sau đóy khừng sai ?
A A,B,C e đường trún (O, R = OC)
B Tứ giõc OABC nội tiếp
C AABC cón ở B ms
D AABC vuừng ở B
HD: “'A Khừng sai Vớ dị lỏ trung trực của AB= OA = OB, d; lỏ trung trực
của BC > OB = OC => OA = OB = OC=> A,B,C € dung tron (O, R= OC)
:iCõc cóu B,C,D cụ thờ sai
Cho AABC cụ hai trục đối xứng Khẳng định nỏo sau đóy đỷng ?
A AABC lỏ A vuừng B AABC lỏ A vuừng cón C AABC lỏ A đều D AABC lỏ A cón
HD: Gỉa sử AABC cụ 2trục đối xứng lỏ AC vỏ BC A
{he =AC => AB=AB=BC= AABC đều
BC=BA
Trang 16
-15-Cho AABC cụ ẵ =1109 Tợnh B vỏ € để AABC
cụ trục đối xứng
A.B=509° vỏC=209 B.B=4592vỏC=252 C.B=40°vỏaC=309 D.B=C=359
HD : Chọn D Vớ : AABC cụ trục đối xứng khi AABC cón hoặc đều
Vớ Ả =1109 >909 — AABC cón tại A., khi đụ : A
‘0 0 1499
pe _180°-A -A_ 180° -110° _ 350
2) 2 B Cc
Trong cõc hớnh sau , hớnh nỏo cụ nhiều trục đối xứng nhất 2
A Hớnh chữ nhật B Hớnh vuừng C Hớnh thoi D Hớnh thang cón DS : Chọn B Vớ : Hớnh vuừng cụ 4 trục đối xứng
Trong cõc hớnh sau , hớnh nỏo cụ ợt trục đối xứng nhất ?
A Hớnh chữ nhật B Hớnh vuừng C Hinh thoi D Hinh thang can ĐS : Chọn D Vớ : Hớnh thang cón cụ 1 trục đối xứng
Trong cõc hớnh sau , hớnh nỏo cụ 3 trục đối xứng ?
A Hớnh thoi B Hớnh vuừng C A đều D A vuừng cón
ĐS : Chọn C Vớ : A đều cụ 3 trục đối xứng
Trong cõc hớnh sau , hớnh nỏo cụ nhiều hơn 4 trục đối xứng ?
A Hớnh vuừng B Hớnh thoi C Hớnh trún D Hớnh thang cón
DS : Chọn C Vớ : Hớnh trún cụ vừ số trục đối xứng
Trong cõc hớnh sau , hớnh nỏo khừng cụ trục đối xứng ?
A Hớnh bớnh hỏnh B.A đều C A cón D Hớnh thoi
ĐS : Chọn A Vớ : Hớnh bớnh hỏnh khừng cụ trục đối xứng
Cho hai hớnh vuừng ABCD vỏ AB'C'D' cụ cạnh đều bằng a vỏ cụ đỉnh A chung
Chứng minh : Cụ thể thực hiện một phờp đối xứng trục biến hớnh vuừng ABCD thỏnh ABC” HD: Gỉa sử: BCaBC =E
fo
Ta cụ : AB = AB, B=B'=90°,AE chung c
= AABE = AAB'E — J PB biờt AB = AB’ = EB => BL PAE 5p a B cf
Mặt khõc : EC=EC AC = AC'= aV2 => CH PAE 5c’ Es E
` ỏ ĐAE=B > BAB’
Ngoỏi ra : AD'= AD va D’AE = DAE=90 — D Cc
=D 5p’ ABCD PAE, AB’c'D’
Goi H lỏ trực tóm AABC CMR : Bốn tam giõc ABC , HBC , HAC , HAC cụ
Trang 17
NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Cho AABC vỏ đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng khừng đi qua B,C
a) Tớm ảnh AABC qua phờp đối xứng D,
b) Gọi G lỏ trọng tóm AABC, Xõc định G' lỏ ảnh của G qua phờp đối xứng Đạ Giải a) Vớ a lỏ trục của phờp đối xứng Đ, nởn: UAea >A=D,(A)
UB,Cđờanờn Da :BE——>B,CL——>C” sao cho a lỏ trung trực của BB',CC' a ~x@!
b) Vớ Gêa nởn Ð, :GL——>G” sao cho a lỏ trung trực của GGứ
2 sạn x a : c
Cho đường thẳng a vỏ hai điểm A,B nim cing phia d6i vdi a Tớm trởn đường
thẳng a điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất
Giải: Xờt phờp đối xứng D,:Ar— A’
VM ea thi MA = MA’ Tacờ : MA + MB = MA'’+ MB2A’B
Để MA + MB ngắn nhất thớ chọn M,A,B thẳng hỏng Vậy :M lỏ giao điểm của a vỏ AB
(SGK-P13)) Cho gục nhọn xOy vỏ M lỏ một điểm bởn trong gục đụ Họy
tớm điểm A trởn Ox vỏ điểm B trởn Oy sao cho AMBA cụ chu vi nhỏ nhất
Giải
Goi N = Do, (M) va P= Bo, (M) Khi dờ : AM=AN , BM=BP
Tw dờ : CVi= MA+AB+MB = NA+AB+BP = NP
( đường gấp khỷc > đường thẳng )
MinCVi = NP Khi A,B lần lượt lỏ giao điểm của NP với Ox,Oy
Cho AABC cón tại A với đường cao AH Biết A vỏ H cố định Tớm tập hợp
điểm C trong mỗi trường hợp sau :
a) B di động trởn đường thẳng A
b) B di động trởn đường trún tóm I, bõn kợnh R
Giải
a) Vớ: C= ĐAH(@Œ), mỏ BeA nởn CeA' với A'= ĐAH(A)
Vậy : Tập hợp cõc điểm C lỏ đường thẳng A“
b) Tương tự : Tập hợp cõc điểm C lỏ đường trún tóm J, bõn kợnh R lỏ ảnh của đường trún (D qua ĐAH -
- „ - Vin dờ 4 : PHẫP ĐểI XỨNG TạM A.KIEN THỨC CƠ BẢN
ĐN : Phờp đối xứng tóm I lỏ một phờp dời hớnh biến mỗi điểm M thỏnh điểm M' đối xứng với M qua I Phờp đối xứng qua một điểm cún gọi lỏ phờp đối tóm
Điểm I gọi lỏ tóm của của phờp đối xứng hay đơn giản lỏ tóm đối xứng
Kợ hiệu : ĐỊ(M)=M' Ẫ IMè=-IM
ONờu M =I thi M’=1
ONờu M I thi M’= ĐỊ(M) Ẫ[ lỏ trung trực ctia MM’
ODN :Diờm 11a tam doi xứng của hớnh H<> ĐỊ(H) =H
Chỷ ý : Một hớnh cụ thể khừng cụ tóm đối xứng
Trang 18
2 Ò Đ Biểu thức tọa độ : Cho I(x ) vỏ phờp đối xứng tóm I: M(x;y)—>M' = ĐỊ(M)=(xy') thớ fr 2xạ-X y'=2yg-y Tinh chat :
Phờp đối xứng tóm bảo toỏn khoảng cõch giữa hai điểm bất kớ
Biến một tia thỏnh tia
Bảo toỏn tợnh thẳng hỏng vỏ thứ tự của cõc điểm tương ứng
oo
Biến một đoạn thẳng thỏnh đoạn thẳng bằng nụ
Biến một đường thẳng thỏnh một đường thẳng song song hoặc trỳng với đường thẳng đọ cho Biến một gục thỏnh gục cụ số đo bằng nụ Biến tam giõc thỏnh tam giõc bằng nụ ( Trực tóm > truc tim, trong tim > trong tam ) mK@Œœ tu: > WN ư Đường trún thỏnh đường trún bằng nụ ( Tóm biến thỏnh tóm :I——>I',R'=R) B BáI TẬP Tớm ảnh của cõc điểm sau qua phờp đối xứng tóm I: 1) A(—2:3), 11:2) = AA) 2) B(3;1) , (-1;2) => BY(-5;3) 3) C(2:4) , 1331) =C(4:-2) Giải : 3 a) Gia sử : A'= ĐỊ(A) Ẫ IA =-IA Ẫ (x'~ l;y'~2)=~(-3;]) Ẫ Me ° tợ A4) Cõch #: Dỳng biểu thức toạ độ Tớm ảnh của cõc đường thẳng sau qua phờp đối xứng tóm I: 1) (A):x+2y+5=0,1(2:-1) => (A'):x+2y-5=0 2) (A): x-2y -3 = 0,1(1;0) => (A): x-2y+1=0 3) (A): 3x + 2y —1=0,1(2;-3) =(A):3x+2y+I=0 Giải PP : Cụ 3 cõch Cõch 1: Dỳng biểu thức toạ độ
Cõch 2: Xõc định dạng A“//A, rồi dỳng cừng thức tợnh khoảng cõch d(A;A') > A’ Cõch 3: Lấy bất kỳ A,BeA, rồi tớm ảnh A',B'eA'—= A'=A'B x'=4-x => la y'=-2-y |y=-2-y Vớ M(x;y) eA Ẫ x+2y+5=0 Ẫ(4-x')+2(-2-y')+5=0<Ẫx'+2y'—5=0 ẪM(x;y)eA':x+2y-5=0 D 1) Cõch 1: Ta cụ : Msp PL oa | D
Vậy :(A)—> (A'):x+2y—-5=0
Cõch 2: Goi A’ = Dy(A) > A’ song song A> A’) x + 2y+m=0(m#5)
Trang 19NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Tớm ảnh của cõc đường trún sau qua phờp đối xứng tóm I:
1 (C):x” +(y~2) =1,E(2;1) =(Œ):(~4)“+y“ =1 2) (C):x2+yˆ+4x+2y =0,F(;0) =(C):x?+y2 đ/ nghiọ hay biểu thức toa độ —8x-2y+12=0 3) (P):y = 2x2 —x +3, tam (0:0) (P'):y = —2x?-x-3 HD: 1) Cụ 2 cõch giải : Cõch 1: Dỳng biểu thức toạ độ Đ Cõch 2: Tớm tóm I—E~_›T',R'=R =(đọ cho) 2) Tương tự Cho hai điểm A vỏ B Cho biết phờp biến đổi M thỏnh M' sao cho AMBM' lỏ một hớnh bớnh hỏnh HD: Nếu AMBM' lỏ hớnh bớnh hỏnh Ẫ>J Mằ =BMẺ MB=AM' Vớ:MM'=MA+AM'=MA+MB (1)
Gọi I lỏ trung điểm của AB Ta cụ : IA =-IB
Từ (1)—= MM' =MI+IA +MI+IB—= MM =2MI
ẬẪ MI =IM' Ẫ M“= ĐỊ(M) :
Cho ba đường trún bằng nhau (đâ;R),đ›;R),(1a;R) từng đừi tiếp
xtic nhau tai A,B,C Gỉa sử M lỏ một điểm trởn (â:R), ngoỏi ra : Da Dp Dc Đị, MEr——>N;NL——>P;PFL—>Q.CMR:Mt———>Q HD: ẬDo đị:R) tiếp Xỷc với đạ:R) tại A, nởn : Da Da Da ML =_NIL ME—>N 5], +—*> 1, = MI, +—*>NIy Ẫ MI, =-NIp () ẬDo đ;;R) tiếp xỷc với (13;R) tạiB, nởn: Dp Dp Dp NL=_PL
NB 5p sp BG, = NInp +B PI, Ẫ NI =-PI3 2)
* Do (I3;R) tiếp xỷc với (Iâ;R) tại C, nởn : ` \F bộ Do De Dc — ` Pr—Ẫ 5Q 1, E91, > PI; +S > QI Ẫ Pl; =-Ql, (3) á
Từ (1),(2).(3) suy ra : MII =—QIị > M=By,(Q) `
Cho AABC lỏ tam giõc vuừng tại A Kẻ đường cao AH Vẽ phợa he
ngoỏi tam giõc hai hớnh vuừng ABDE vỏ ACFG *% ẵ i
a) Chứng minh tập hợp 6 điểm {B,C,F,G,E,D] cụ một trục đối xứng 6 4 Leelee
b) Gọi K lỏ trung điểm của EG Chứng minh K ở trởn đường thẳng AH Ậ <x
c) Goi P= DEA FG Chứng minh P ở trởn đường thẳng AH bỏ
d) Chứng minh : CD | BP, BF LCP Ẹ E DY
e) Chifng minh : AH,CD,BE đồng qui
Trang 20-19-HD:
a) Do: BAD = 45°va CAF = 45° nởn ba điểm D,A,F thẳng hỏng
Ẫ Ta 06 : AL_PDE A;DI Por D;FI PDE F;CI Por G;
D “
BIL——PE_ ›E (Tợnh chất hớnh vuừng )
Vậy : Tập hợp 6 điểm {B.C.F.G.E,D} cụ trục đối xứng chợnh lỏ đường thẳng DAF b) Qua phờp đối xứng trục DAF ta cụ : AABC = AAEG nởn BAC = AEG
Nhưng : BCA = AGE (2 A đối xứng =)
AGE =, (do AKAG can tai K) Suy ra: A, =A) => K,A,H thing hang => K ở trởn AH
c) Tứ giõc AFPG lỏ một hớnh chữ nhật nởn : A,K,P thẳng hỏng (Hơn nữa K lỏ trung điểm của AP ) Vậy :Pở trởn PH d) e Do AEDC = ADBP nờn DC = BP DC =BP Ậ Ta cụ : JDB =AB — ABDC =AABP > CD = BP => BCD = APB nhung hai gờc nay cụ cặp BC=AP cạnh : BC L AP > cặp cạnh cún lại : DC 1 BP Lý luận tương tự, ta cờ : BF LCP
e) Ta cụ : ABCP Cõc đường thẳng AH, CD vỏ BE chợnh lỏ ba đường cao của ABCP nởn đồng qui [6] Cho hai diờm A va B va goi Da vaDp lần lượt lỏ hai phờp đối xứng tóm A vỏ B a) CMR: DpoD,y =T _ BA “TAB wi b) Xdc dinh Dy oDp B HD: a) * Gọi M lỏ một điểm bất kỳ, ta cụ : “4 wt Đ — —— Mt—4_5M’:MA = AM’ M Dp — M’+—8_, M": MB = BM” Nghia lỏ : M" = Dp eD a (M), VM (1) 4 : DpoDa „ * Ta chứng minh: MI——”S—Ẽ—>M”: Biết : MM”=MM'+MM” Mỏ : MM'=2MA vỏ MM”“=2M'B
Vậy: MM”=2MA +2M'B=2MA+2M'A+2AB M
Vớ: MA = AM' nởn MA+M“A =Ũ Suy ra: MM”=2AB Ẫ>M”=T (M),VM (2) Xị 2AB rF Ti (1) va (2), suyra: DpoDy =T A h Bee A “ORB | b) Chứng minh tương tự : ĐA sÐp =T 1 2BA Mạ h Chứng minh rằng nếu hớnh (H) cụ hai trục đối xứng vuừng gục với nhau thớ (H) cụ tóm đối xứng HD : Dỳng hớnh thoi
Gỉa sử hớnh (H) cụ hai trục đối xứng vuừng gục với nhau
Lấy điểm M bất kỳ thuộc (H) va My = D,(M) , M> = By (M)j) - Khi đụ , theo
dinh nghia Mâ.M; e(H)
Trang 21
NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Goi O=anb, tacờ : OM = OM, va MOM, =2'4OM, OM, =0M, va MoM, =2M,0B Suy ra: OM= OM, va MOM, +M{\OM, =2(40M, +M,0B)
hay MOM, =290° = 180°
Vay : O lỏ trung điểm của M vỏ Mạ
Do đụ : Mạ =Đo(M),VM e(H),Ms e(H) Ẫ O lỏ tóm đối xứng của (H)
Cho AABC cụ AM vỏ CN lỏ cõc trung tuyến CMR : Nếu BAM = BCN = 30° thớ AABC đều HD: Tứ giõc ACMN cụ NAM =NCM =30° nởn nội tiếp đtrún tóm O, bkợnh R=AC vỏ MON =2NAM = 60° Đ Đ Xờt: AHN >B> (0) NX> (Q)) thiBe()) ViAE(O) Đụ Đụ - - CE——>B=(0)———>(O2) thớ B (O2) vớ C e(O) 00; = 00, =2R MON =60°
Vớ OjB+O+2B=R+R =2R =O1O2 nởn B lỏ trung điểm O1O2
Suy ra :AABC '] AOOâO+ (Vớ cỳng đừng dạng với ABMN)
Vớ AOOâOs lỏ tam giõc đều nởn AABC lỏ tam giõc đều
Khi đụ, ta cụ : | = AOOâO; lỏ tam giõc đều
- - - Vấn đề 5 : PHẫP QUAY
A KIEN THUC CO BAN
ĐN: Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định vỏ gục lượng giõc ọ Phờp biến hớnh biến mỗi điểm
Trang 22-21-Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) Tớm Mẻ= Qo : oy™ : HD:
Gọi M@;y) Đặt: OM =r, gục lượng giõc (Ox;OM) = œ thớ M b = ng y =rsinơ vie 20:9) : MỸ, Gọi Mẻ(xy) thớ độ đỏi Go sy’) thi d6 dai OM’ =r va (Ox;OM’' )=a+@ OMẻ= r vỏ (Ox;OMẻ) =
Ta cụ :
x’ = rcos(@ + @) = acos @.cos@—asina.sing = xcos@—ysing y’ =rsin(a + @) = asinœ.cos@+ acosơ.sin @ = xsin@+ycos@ Vậy : Mẻ fe Xcos@~ysing ` y'=xsin@+ycos@ Đặc biệt : Qo:- "= i mm y" = —xsin@+ycos@
om Qi: @) Mẻ X—Xo =(X=Xo)€0S0~ (y-Yo)sing
I(X93Yq) Y—Yo = (X—Xạg)Sin0+(y— yo)€0s@
eM “:=9) eae = (X-X,)cos@—(y—Yo)sing
IŒ%Xo:Ye) y”—Yyo =~(X—Xạ)Sin0+(y—yo)cos@
Trong mpOxy cho phờp quay 20.45") Tớm ảnh của :
a) Điểm M(2;2) b) Đường trún (C) : (x— p+ y2= 4 S\o;4s°)
Giải Gọi: Mằœ;y) — 2) ym! (x/sy/) Ta c6 : OM = 2V2, (Ox: OM) = a
Thớ Mẻ ( =rcos(a+45_)=rcosa.cos45 —rsina.sin45 =x.cos45 —y.sin45
Trang 23-22-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Giải
, mT 0 x'= xcos=—ysin—
Ta cụ f: M(x;y) —>M((x';y) với ; 3 =f lỏ phờp quayQ_ „
v= xsin 2 +yCc0s2 (O2)
Trong mpOxy cho đường thẳng (A) : 2x— y+I= 0 Tớm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phờp đối xứng tóm I(1;— 2) ) Phờp g (15-2) b) Phờp ) Phờp q Y 9 G;20°) qua sẻ Giải a) Ta cụ : M'(';y') = ĐỊ(M) thớ biểu thức tọa độ Mi ST , y=-4-y |y=-4-y Vớ M(x:y) e(A) : 2x—y+l= 0< 2(2—x')—(-4—y)+I=0<-2x'+y +9=0 ẪM(x;y)e(A'):2x—y—9=0 Đ Vay : (A) 1, (A):2x-y-9=0 9 O;90°
b) Cõch 1: Goi M(x;y) —(920) M'(';y') Dat (Ox ;OM)=a,OM=r,
Ta c6 (Ox ; OM’) =a + 90°,OM'=r
Khi đụ : vọ = rcosœ 26:90") vị =rcos(œ +90) =—r sin œ =—y => Ƒ = v
y = rsina y' =rsin(œ +90) = reosơ = x y=-x Vi M(x;y) € (A) : 2(y’)-(— x‘) + 1 = 0 x'+2y'+I=0<ẪM(x;y)e(A):x+2y+I=0 Q one Vậy :(A)L— (20; (A'9:x+2y+1=0 9 MỸ S\osog" * Cõch 2 : Lấy : s M(0;1)c(A)L—Ẽ99} yM'(-1;0) e(A') ẹ Q -90° — Ee SS M 9 1 NC-5:0) c(A) 02) NOD) c(A) < - Qo:90°) Ẽ (A)——————>(A)=MN':x+2y+1=0 Qe Cờch3: Ẫ Vi (A) HO) _4(4") = (a) L(A’) ma hờ 6 g6e ky =2> ky =—5 Qo.90° Ẫ M(0:1) €(A) 029), M1; 0) € (A) Qua M'(1;0) e (A’): Dhhsg sk = 2 00382170
Trong mat phang toa d6 Oxy cho A(3;4) Hay tim toa d6 diờm A’ 1a anh của A qua phờp quay tóm O gục 909
HD:
Goi B(3;0),C(0;4) lần lượt lỏ hớnh chiếu của A lởn cõc trục Ox,Oy Phờp
quay tóm O gục 902 biến hớnh chữ nhật OABC thỏnh hớnh chữ nhật OC“A'B'
Khi đụ : C{0:3),B'(—4:0) Suy ra : A'(—4:3)
Trang 24
-23-[6| Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tớm phờp quay Q biến điểm A(- I;5) thỏnh điểm B(;I) HD: Ta cụ : OA =(-1;5) vỏ OB =(5;1)= OA =OB=26 OA.OB=0=>0A LOB =SB= So : 90°) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) Tớm N = Q (M) (O; 90”) HD:
ViN=Q (O ; 90°) (M) > (OM:ON) = 90° > OM.ON =0 Ẫ 4xty = 0 y=—4x (1) Do: OM=ON= x2 4+y” =16+1=17 (2)
Giải (1) vỏ (2), ta cụ : ẹ(1:—4) hay N(—1;4)
* Thử lại : Điều kiện (OM;ON) =907 ta thấy N(—1;4) thoả mọn
a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) Tớm B = Qo 45°)
biến điểm A e Oy thỏnh điểm B cđt: y =x, ta c6: HD: Phờ ờp quay Qo _45°) *B=YB>° Ma OB =x +yơ =3 5 xg =~ > BO e870 BYYB Bo BCR 4-33 3+4x3 (0:60°) B( 2° 2
b) Cho A(4;3) Tim B=Q )
|9] Cho đường trún (C) : (x—3)ˆ +(y~2) =4 Tớm (C) =Q (O; 907) ()
Tha 2 22 xa —T'_2- 2 _ 2
HD: Tim anh ca tamT:Q/, gqe =I 2;:3)—> (C):(x+2)“ +(y—3)“ =4
Cho đường trún (C) : (x~2)ˆ +(y~2A/3)2 =5 Tớm (C’) = Qo; 603° HD : Tớm ảnh của tóm I: Q (O; 60) ()=-2:23)—(C):(x+2)ˆ+(y—2xẻ3)ˆ =5
Cho đường trún (C) : (x~x2)ˆ +(y~2)” =3 Tớm (C) =Q (C) (0; 45°)
HD : Tớm ảnh cửa tóm I: Q (1) =" —V2;14V2) > (C): (x—-14.V2)? +(y-1-V2)* =3
(O ; 45°)
[CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) vỏ đường thẳng (d) : x + y—2 = 0 Tớm ảnh của A vỏ (d) qua phờp quay Q
(O;90)ˆ y
HD: d
* Ta 66 : AQ30) € Ox Goi B= Qe gg2)(A) thi Be Oy va OA = OB aX?
Ẽ Vớ toạ độ A,B thoả mọn pt (đ) : x + y—2 =0 nởn A,B e(d)
DoB= 10 0:90 W ) vỏ > (A) va tương tự tương 1 Qo: 90°) > (A) = C(-2:0 )=Œ( )
nởn Q (@)=BC > (BC): +-Ÿ =I1Ẫ-Š+Ÿé=Ie&x-y+2=0
(0; 90°) XC Yo 2 2
Trang 25-24-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
13) Cho (d): x —3y-1=0.TimA= o(4):x =3y ớm A= Q2 0g: d) => (A): 3x+y-1=0 (A):3x+y : —2=0.TimA= : [14] Cho (d) :2x+y-2=0.Tim Q0: 607) HD : dÈOx = A(1:0) , d Oy = —_ =(A):(3-2)x-(263+ly+4=0 A 15] Cho tam giõc đều ABC cụ tóm O vỏ phờp g phờp q Ÿ €0; 120°) qua : a) Xõc định ảnh của cõc đỉnh A,B,C ) Tớm ảnh của qua phờp quay S(@;120°) B Cc Giải
a) ViOA = OB = OC va WOC = BOC = COA = 120°nờn Qio.120°) “AN BB GCA b) Qo 120°) | AABC ——> AABC E D c
[CB-P19] Cho hinh vuừng ABCD tóm O 9
a) Tớm ảnh của điểm C qua phờp quay Qa 90°)” + ,
b) Tớm ảnh của đường thẳng BC qua phờp quay Qo 90°)
HD: a) GoiE= Qa : 90°) thớ AE=AC vỏ CAE =90° nởn AAEC A M B
vuừng cón đỉnh A, cụ đường cao AD Do đụ : D lỏ trung điểm của EC iv
b) Ta cụ : So : 90°) =Cva So : 90°) Ẽ =C> Qa : 99°) BO =CD ẹ K
Cho hớnh vuừng ABCD tim O M lỏ trung điểm của AB , N 1a trung diờm Ky
ctia OA Tim anh cia AAMN qua phờp quay 20:90") : } ị HD: * Qo.907)™ =D, Qo.90°) = M' lỏ trung điểm của AD
MT niỏu =N' lỏ trung điểm của OD Do đụ : 20.907) AAMN) = ADM'N’
{[CB-1.15 ] Cho hớnh lục giõc đều ABCDEF , O lỏ tóm đường trún ngoại tiếp của nụ Tớm ảnh của
AOAB qua phờp dời hớnh cụ được bằng cõch thực hiện liởn tiếp phờp quay tóm O, gục 60” vỏ phờp
tịnh tiến Tor -
HD:
GoiF= TOE °Q 6.60") Xờt: /N⁄
*Q(sg)(9)0=0/0, 2 )(á)=B,Q 2 (BC: ? \/\/ E
* Tog(O) = E,TSE(B) = O.,ToE(C) =D
* Vậy : F(O) =E, F(A) =O, F(B) =D = F(AOAB) = AEOD c D
Trang 26
-25-Cho hinh luc gidc dờu ABCDEF theo chiều dương , O lỏ tóm đường trún ngoại tiếp của nụ I lỏ
trung điểm của AB
a) Tớm ảnh của AAIF qua phờp ) qua phep q ơ Qo + 120°) qua os b) Tim ) Tớm ảnh của anh cia AAOF qua phờp quay QE : 60°) hờ - HD: - ) * Qo - 120°) thỏnh trung điểm J của CD nởn Q > (AAIF) = ACJB (O ; 120°)
b)*Q biến A,O,F lần lượt thỏnh C,D,O
biến F,A,B lần lượt thỏnh B,C,D, trung điểm I
(E ; 60°)
Cho ba diờm A,B,C theo thứ tự trởn thẳng hỏng Vẽ cỳng một phợa dựng hai tam giõc đều ABE vỏ BCF Gọi M vỏ N tương ứng lỏ hai trung điểm của AF vỏ CE Chứng minh rằng : BMN lỏ tam giõc đều
HD: E
Xờt phờp quay QB.-60°) Cể : QB-607)) =F › St, so)? =C
(AF)=EC
>%,_ự0°) N: HF
Do M lỏ trung điểm của AF, N 1a trung điểm của EC, nởn :
Qp.-60°) =N >BM=BN va MBN =60° > ABMN lỏ tam giõc đều
a
[ CB-1.17 ] Cho nửa đường trún tóm O đường kợnh BC Điểm A chạy trởn nửa đường trún đụ Dựng về phợa ngoỏi của AABC hớnh vuừng ABEE Chứng minh rằng : E chạy
trởn nửa đường cố định F
HD : Gọi E= Q (A) Khi A chạy trởn nửa đường trún (O), A
[(O)] E
B;90°)
E sẽ chạy trởn nửa đường tron (O') = ay E (O) Sqoo ) °
Cho đường (O;R) vỏ đường thẳng A khừng cắt đường trún Họy B 6 ẻ
dựng ảnh của (A) qua phờp ung (A) qua phờp q ơ Qo: 30°) qua
Giải
Từ O hạ đường vuừng gục OH với A Dựng điểm H” sao cho
(OH;OH’) = 30° va OH’ = OH Dựng đường trún qua 3 điểm O,H,H' ;
đường trún nỏy cắt A tại điểm L Khi đụ LH' lỏ đường thẳng phải dựng
Cho đường thẳng d vỏ điểm O cố định khừng thuộc d , M lỏ điểm
di động trởn d Họy tớm tập hợp cõc điểm N sao cho AOMN đều
Giải : AOMN dờu > OM =ON va Nom = 60° Vi vậy khi M chạy trởn d thớ : ON chay trởn d” lỏ ảnh của d qua phờp ay qua phờp q ơ 6.60") qua os
ON chay trờn d” 1a Anh ctia d qua phờp ay qua phờp q ơ Q 0-60 ) qua °
Trang 27
-26-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai Cho hai đường trún (O) vỏ (O') bang nhau va cờt nhau 6 AvaB
Từ điểm I cố định kẻ cõt tuyến di động IMN với (O) , MB va NB cat (O') tại M' vỏ N' Chứng minh đường thẳng Mạ' luừn luừn đi qua một điểm cố định
Giải
Xờt phờp quay tóm A , gdc quay (AO; AO’) = ọ biến (O) thỏnh (O') Vi MM’ va NN’ qua B nờn (AO;AO’) = (AM;AM’) = (AN;AN’) Qua phờp quay Q : ML——> Mˆ,N——>N' vỏ do đụ
Qa:
MNi—“A2)_ i'n’
Đường thẳng MN qua điểm cố định I nờn duờng thang M’N’ qua
điểm cố định L' lỏ ảnh của I qua (A:o)
Cho hai hớnh vuừng ABCD vỏ BEFG
a) Tớm ảnh của AABG trong phờp quay Q (B;-90°)' D c
b) Gọi M,N lần lượt lỏ trung điểm của AG vỏ CE
Chứng minh ABMN vuừng cón 6 F Giải Mm d AN BA=BC BG=BE vớ 3 / ) Vi ° vỏ ° A aay E (BA;BC) =-90 (BG; BE) = -90 B >Q s:AE——>C,GE>E>Q 3s.:AABG ——> ACBE (B;-90") (B;-90") b)Q „.:AG —>CE >Q > :M+#—>N => BM = BN va (BM;BN) =- 90° (B;-90') (B;-90”)
= ABMN vuừng cón tại B
Cho AABC Qua điểm A dựng hai tam giõc vuừng cón ABE vỏ ACF Gọi M lỏ trung điểm của BC
vỏ giả sử AMÈFE = H Chứng minh : AH lỏ đường cao của AAEF
HD: D
Xờt phờp quay S\A:o0°) : Kờo dỏi FA một đoạn AD = AF
Vi AF= AC = AC = AD nởn suy ra: Q „ biến B,C lần lượt thỏnh E,D
(A90) K
A : 2 2 3 D/nghia
nởn gọi trung điểm K của DE thớ K= 24-907) MA 1 AK (1) Trong ADEE, vớ AK lỏ đường trung bớnh nởn AK//EE (2)
Ti (1),(2) suy ra: AM L FE = AH 1a du@ng cao của AAEFE
Cho hớnh vuừng ABCD cụ cạnh bằng x2 vỏ cụ cõc đỉnh vẽ theo chiểu
dương Cõc đường chờo cắt nhau tại I Trởn cạnh BC lấy BỊ = 1 Xõc định phờp biến đổi AI thỏnh BỊ J KS
HD : Ta c6 : Ale “B=? <1 = at= By Laicờ : (ALBIN) =45° BS ald See
=>BJ=Q „.(AI) Tóm O = ttrực của ABÈcung chứa gục 45”đi
(O;45) D A
qua AB =BI=Q (O:45) 2(AD
Trang 28
-27-[CB-1.18] Cho AABC Dựng về phợa ngoỏi của tam giõc cõc hớnh vuừng BCIJ,ACMN,ABEF vỏ gọi O,P,Q lần lượt lỏ tóm đối xứng của chỷng
a) Gọi D lỏ trung điểm của AB Chứng minh rằng : ADOP vuừng cón tại D N b) Chứng minh rằng : AO L PQ vỏ AO =PQ HD: h a) *ẼVớ: AI= ) Sc;og y 3 (MB) => MB = AI vỏ MB L AI ) ` ` ‘A /1 / ⁄ a Mat khic : DP = —BM , DO = AI 2 220 S ` =DP=vỏ LDO = ADOP vuừng cón tại D \ ` ' b) Từ cóu a) suy ra : ` : Q Q BỊÍ, ` Dy? Cc
o + 290) pa O99) 9 OA=va L PQ Su fot Cho AABC cụ cõc đỉnh kợ hiệu theo hướng óm Dựng Mors
về phợa ngoỏi tam giõc đụ cõc hớnh vuừng ABDE vỏ BCKF ⁄ `
Gọi P lỏ trung điểm của AC, H lỏ điểm đối xứng của D qua B,
M lỏ trung điểm của đoạn FH a) Xõc định ảnh ửa hai vectơ BA vỏ BP trong phờp quay Q (B:90”)' b) Chứng minh rằng : DF L BP vỏ DF = 2BP HD : BA = BH (cỳng bằng BD) a) Ta cụ : (BA;BH) = 90° =H=QŸŸ (A)=BH=Q—/ (BA) E Vi: QR? (A)=H,QR" (C)=F => QR? (AC)=HF
Ma : Fla trung điểm của AC , OP (F)=M lỏ trung điểm của HF Do dờ : QR? (BP)=BM b) Vi: QQ? (BP) =BM = BP =BM,BP LBM
Ma:BM= 2DF vỏ BM// DF (Đường trung bớnh của AHDF ) Do đụ : BP = 2DF ,DFLBP
Cho tứ giõc 16i ABCD Vờ phia ngoai ttt gidc dung cdc tam giờc dờu ABM , CDP Vờ phia trong
Trang 29-28-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai Cho AABC Về phợa ngoỏi tam giõc , dựng ba tam giõc đều Bị
BCAI.ACBâ,ABCâ Chứng minh rằng : AAi.BBI,CCt đồng quy 3 A HD: 1 Q ae Q cap Gia sit AAy CC =1 Xờt: Ai — 69) CA — 69) ve Như G
=AIA CC, = la] a:CC}) = 60° = AIC, =60° (1)
Lấy trờn CC, diờm E sao cho : TE=IA Vi EIA = 60° = AEIA dờu Q Q Xờt: Bt Cụ A ÍE, BỊ â Vớ : CỊ,B,C thẳng hỏng nởn B,I,BỊ thẳng hỏng = AAI,BBI,CCI đồng quy A360") (A;60°) C
Chứng minh rằng cõc đoạn thẳng nối tóm cõc hớnh vuừng dựng
trởn cõc cạnh cửa một hớnh bớnh hỏnh về phợa ngoỏi , hợp thỏnh A một hớnh vuừng B HD: Gọi 1Ị.12.1a.la lỏ tóm của hớnh vuừng cạnh AB,BC,CD,DA D A lạ
Dỳng phờp quay Q(I;90°): B ——>C Vớ AI, BA = AI,CD Ya
= Cl; =Bl, va DCI, = ABI, = 45° Ma DC/ AB > Cl 1 BI,
Q
Vay 1g _ 51, SBT, = val, Lh
Lý luận tương tự, ta cụ : II2IalÒ lỏ một hớnh vuừng
- „ - Vấn đề 6 : HAI HèNH BANG NHAU A KIấN THỨC CƠ BẢN DL : Nếu ABC vỏ A'B'C' lỏ hai tam giõc bằng nhau thớ cụ phờp dời hớnh biến AABC thỏnh AA'B'C’ Tợnh chất :
1 Nếu thực hiện liởn tiếp hai phờp dời hớnh thớ được một phờp dời hớnh
2 Hai hớnh gọi lỏ bằng nhau nếu cụ phờp dời hớnh biến hớnh nỏy thỏnh hớnh kia
B BáI TẬP
Cho hớnh chữ nhật ABCD Goi E,F,H,I theo thứ tự lỏ trung điểm của cõc cạnh
AB,CD,BC,EF Họy tớm một phờp dời hớnh biến AAEI thỏnh AFCH A D HD: Thực hiện liởn tiếp phờp tịnh tiến theo AE vỏ phờp đối xứng qua đường thắng IH * TAE :Ar—>E, Et —>B,IF—>H = Tyg (AAED) = AEBH * Dyy : E> F,BHX CC, H+ 5H = yyy (AEBH) = AFCH -T— = B H c
* Dyyy : Tag (AAED = AFCH
Do d6 : Dyyy ° Tg (AED) = AFCH => AAEI = AFCH
Trang 30
Cho hớnh chữ nhật ABCD Gọi O lỏ tóm đối xứng của nụ ; E,F,G,H,L,J theo thứ tự lỏ trung điểm của cõc cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh rằng : Hai hinh thang AJOE va GJFC bằng nhau HD:
Phờp tịnh tiến theo AO biến A,LO,E lần lượt thỏnh O,J,C,E Phờp đối xứng qua trục của OG biến O,J,C,F lần lượt thỏnh G,J,F,C
Từ đụ suy ra phờp dời hớnh cụ được bằng cõch thực hiện liởn tiếp hai E 0 phờp biờn hinh trờn sờ biờn hinh thang AJOE thanh hinh thang GJFC
Do đụ hai hớnh thang ấy bằng nhau B F Cc
[CB-1.20] Trong mpOxy , cho ủ = (3;1) vỏ đường thẳng (đ) : 2x— y =0 Tớm ảnh của (d) qua phờp
đời hớnh cụ được bằng cõch thực hiện liởn tiếp phờp quay Q vỏ phờp tịnh tiến Tụ
I H D
(0;90°) Q -90° T
HD: PP:d + O80), gry, tl, gi”
*Goid’= Q6.99°) Vớ tóm Oed nởn 9(o;ogzy(Ẫ) =Oed'
Mặt khõc : dˆ.Ld—=d”:x+2y+C =0(C #0) mỏ d qua O nởn C=0 =>d:x+2y=0
Q °
Cõch khõc : Chọn M(1:2)cd L—(920) M' cứ,
y' =OMsin ơ cos90° +OM cosơsin90” |y' = ycos90Ÿ + xsin90”
Ta cụ :M" x'=OMcos(ơ +90) _ x’ =OMcosacos90° —OM sin asin 90° _ x'=xcos90° —ysin90° y' =OMsin(ơ +90) — 1eoc00Ẽ—2cia9n9 ro _ x’=I1cos90° —2sin90 -ỵ ?= M'C—2; 1) y'=2cos90°+Isin9g°S Y=! + Gọi d”= Tg(d)= d”//d'= d”:x+2y+C=0 x=x+3 -Ẫ x=3 y'=y+l y=l Vid" 3 0'>3+2+C=05C=-5>d":x+2y-5=0 Vậy :Tg sQ (đ)=(d):x+2y—-5=0 Gọi O'= Tạ(O) OO' =ũ =| 20:1) (O:90°)
Tớm ảnh của đường trún (C) : x? +y2 —~2x+4y—4=0 cụ được bằng cõch thực hiện liởn tiếp phờp tịnh tiến theo t = (3;— I) vỏ phờp Boy ĐS: (C):(x+4)2+(y+3)2 =9 Tớm ảnh của đường trún (C) : x” +yˆ ~6x~2y +6 =0 cụ được bằng cõch thực hiện liởn tiếp phờp ua’ ự vỏ phờp Ð : quay 20:90 › Y2 phờp Box HD: (C) cụ tóm 1:1), bk: R=2 Khi đụ : S(o;og°) ———— r 1 Dox ” „ (C):I@G:I),R=2 (C):E(-I;3),R=2 ———(C”):I(-I;-3),R=2 => (C") (x + 1)? + (y 43)? =4
[6] [CB-P23] Trong mpOxy cho cõc điểm A(—3:2),B(—4:5) vỏ C(—1:3)
a) Chứng minh rằng : Cõc điểm A(2;3),B'(5:4) vỏ C'(;1) theo thứ tự lỏ ảnh của A,B vỏ C qua Qo 90°)’ b) Gọi AABâCâ lỏ ảnh của AABC qua phờp dời hớnh cụ được bằng cõch thực hiện liởn tiếp phờp
Trang 31
-30-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
S(Q;—o0°) vỏ phờp đối xứng Dox: Tim toa d6 cdc đỉnh của AAIBICt HD: a) Goi M,N lần lượt lỏ hớnh chiếu của A trởn Ox,Oy thớ M(~3;0),N(0:2) Q Ẫ Khi đụ : Hớnh chữ nhat OMAN O° )_, nenhat OM'A'N’ với M'(0;3),N'(2:0) Do đụ : A(2;3) = Qo;-907) : Ttự : B(5;4) = FBSA =Q 4 992)(BCCD= Qo gg, „.(B),C;1)= „.(C) Q (0;-90°
Cach khac : Gia stt AK O79), 4" 6 AAOA’ vudng can tai O
Điều đụ đỷng vớ : OA =OA'=13, OA.OA' =0 Lỏm tương tự cho B,C ta cụ điều cón chứng minh
b) * Phờp quay : Q (AABC)= AA'EC' ,Đọ„(AA'BC) = AAâBICâ (O;-90”) XA, =XA'=2 Khi đụ : 1 SAi@:-3).Ttự : Bâ(5;-4),Câ(3;—1) YA, =YA'=~
Trong mpOxy , cho hai parabol : (PỊ): y =2x2,
(Py): y= 2x? -4x-1, Khang dinh nao sau day sai ? A) y =2x2 4x -lo y=2(x-1)*-3 B) Tinh tiờn sang trai 1 don vi rdi xuống dưới 3 đơn vị ta được (P2) C) (P,) va (P2) bằng nhau D) Phờp tịnh tiến theo ti = (1;—3) biờn (P,) thanh (P3) DS: B)
Trong mpOxy , cho 4 diờm A(2;0),B(4;4),C(0;2) va D(—4;4)
Khang định nỏo sau đóy sai ?
A) Cõc AOAC,AOBD lỏ cõc tam giõc vuừng cón
Q one
B) Phờp quay : AOAB p29) _, aoc
C) AOAB va AOCD 1a hai hinh bang nhau
D) Tờn tai mờt phờp tịnh tiến biến A thỏnh B vỏ C thỏnh D
DS : D)
(9| Trong mpOxy cho AABC vời A(—3;0), B(0;3),C(2;4) Phờp biến hớnh f biến A thỏnh A(-;3) , B
thỏnh B(2;6),C thỏnh C4;7) Khẳng định nỏo sau đóy đỷng ?
A) fla phờ ) fla pl ờp quay Q 699°)
C) f 1a phờp tinh tiến theo vectơ ủ=(2;3) D) flỏ phờp đối xứng truc
ĐS:C)
B) f lỏ phờp đối xứng tóm =
Trang 32
-31-Vấn đẻ 7: PHẫP VỊ TỰ
ĐN : Cho điểm I cố đỉnh vỏ một số k #0 Phờp vị tự tóm I đ số k
Kợ hiệu : VỆ, lỏ phờp biến hớnh biến mỗi điểm M thỏnh điểm Mĩ sao cho IM' = k IM
Biểu thức tọa độ : Cho I(xo;yạ) vỏ phờp vị tự VỆ
VỆ k Ly x'= kx+ (1—k)x
MG;y) E———> M'= VỆ(M)=(x;y) thớ 4, °
y= ky+ (I—k)yo Tợnh chất :
1.M' = VỀ(M), N’= VK (Ny) thi M'N’= KMN , M’N'= Ik.MN
2 Biến ba điểm thẳng hỏng thỏnh ba điểm thẳng hỏng vỏ bảo toỏn thứ tự của cõc điểm tương ứng 3 Biến một đường thẳng thỏnh một đường thẳng song song hoặc trỳng với đường thẳng đọ cho
4 Biến một tia thỏnh tia
5 Biến đoạn thẳng thỏnh đoạn thẳng mỏ độ dỏi được nhón lởn lkl
6 Biến tam giõc thỏnh tam giõc đồng dạng với nụ
7 Đường trún cụ bõn kợnh R thỏnh đường trún cụ bõn kợnh R= lkI.R ư Biến gục thỏnh gục bằng nụ B BAI TAP fi] Tim ảnh của cõc điểm sau qua phờp vị tự tóm I, tỉ số k#0: a) A(1;2) , 1(3;-1),k=2 —> A"(=1;5) b) B(2;—3),1(-1;-2),k =-3 —>B(-10;1) c) C(8;3), I(2;1) „ k= ; 5.01522) , 1 24 d) P(—3;2), QU; 1),R(2;-4) , 1=O,k = -1/3 _— R333)
Ẫ array MU) icon ce TAP Ti ca nh tech ty aya -3=-4
HD: a) Gọi : A(1;2)——“—>Af(x;y')Ẫ IA'=2lA Ẫ(x'-3:y +D=2C2:3)Ẫ | +I=6
= P ==ẻ acs) y =5
Cho ba điểm A(0;3),B(2;—1),C(-1;5) Tờn tại hay khừng tổn tại một phờp vị tự tóm A, tỉ số k biến
B thỏnh C?
HD : Gia sử tổn tại một phờp vị tự tóm A, tỉ số k biến B thỏnh C
Trang 33-32-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Cho AOMN Dung ảnh của M,N qua phờp vị tự tóm O, tỉ số k trong mỗi trường hợp sau :
a)k=3 b)k=l ek=-Š :
a) Phờp vị tự VỘ :ME——>M! ,NE——>N thớ ta cờ OM’ = 30M, ON’ = 30N TT N N
b) Phờp vị tự VỮ”:MI——>H,,NE——>K thớ HK lỏ đường trung bớnh của AOMN
c) Phờp vị tự Vử Ẽ:ME——>P.,NE—>Q thớ tạ cụ OP=- 2OM.OQ==ON
Cho hớnh bớnh hỏnh ABCD (theo chiều kim đồng hổ) cụ tóm O Dựng :
a) Ảnh của hớnh bớnh hỏnh ABCD qua phờp vị tự tóm O, tỉ số k= 2 2 Ò 1
b) Ảnh của hớnh bớnh hỏnh ABCD qua phờp vị tự tóm O, tỉ số k=— 2" Giải _ — N a) Gọi Vố : A——>A' thớ OA' =20A — „_ P BL— >B' thớ OB'=2OB 7 —> —> Bỉ CL——>C' thớ OC =20C Nae 7 DI——>D thớ OD =2OC LS = Vễ: IABCDML——x!A'BCD' pO NN
Ta vờ : AB// A'B',BC//B'C,CD// C'D’,DA// D‘A' of eo
b) Gọi Vo!/? : At —>P thi OP ==3OA A — — B BL—>Q thớ OQ==2OB Si 8227 — le ey C+ thi OR = OC [= ONS D c DIL—>S thớ OS==OD = Vol2: -ABCDM ——>'1PQRS Ta vờ : AB// PQ,BC// QR,CD//RS,DA// SP
[6| Cho AABC cụ AB =4, AC =6, AD lỏ phón giõc trong của A của AABC (DeBC) Với giõ trị nỏo
Trang 34-33-Cho AABC vuờng 6 A va AB=6, AC=8.Phờpvity V3 biờn B thanh B’,C thanh C’
A;
( 2) Khẳng định nỏo sau đóy sai ?
A) BBCC lỏ hớnh thang B) BC'= 12 C) SAB'C'= 2 SABC D) Chu vi (AABC) = 2 Chủ vi(AABC) HD: Vỏ + A) ding i BIC — (3/2 BC, * B)sai vi: BC'=>BC=>VAB? + AC? =15 g 2 B
San TAB-AC ễ AB AC 9
* Ẫ) ding vi : ABE = 2 — = 2a 6
ABC 7 ABAC " ‘
+ D) đỷng vớ: Chu vi AB C_3 ChuviABC 2
Cho AABC cụ hai đỉnh lỏ B vỏ C cố định , cún đỉnh A di động trởn đường trún (O) cho trước
Tớm tập hợp cõc trọng tóm của AABC
2 ° < — 1
HD: Gọi [lỏ trung điểm của BC Ta cụ I cố định Nếu G lỏ trọng tóm cửa AABC thớ IG = gIạ
Vay G la anh cila A qua phờp vi Vp,
Tập hợp điểm A lỏ đường trún (O) nởn tập hợp G lỏ đường trún (O'), đụ chợnh lỏ ảnh của đường trún
(O) qua phờp vị tự vị -
(9| Trong mpOxy , cho điểm A(—1;2) va dung thang d di qua A cụ hệ số gục bằng 1 Gọi B lỏ đường
thẳng di động trởn d Gọi C lỏ điểm sao cho tứ giõc OABC lỏ hớnh bớnh hỏnh Tớm phương trớnh tập hợp :
a) Cõc tóm đối xứng I của hớnh bớnh hỏnh b) Cõc trọng tóm G cõc tam giõc ABC HD:
a)
.J Qua A(-1;2) a =
+ capy{ Ou ACE 48y2=16+Dey=xeả
Trang 35-34-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai Tớm ảnh của cõc đường thẳng d qua phờp vị tự tóm I, tỉ số k :
a)đ:3x~y =5 =0,V(O;~ 5) > d':9x—-3y+10=0
b) d: 2x+y—4 =0,V(O;3)
ce)d:2x+y—4=0,V(I;—2) với I(—1;2) đ)d:x+2y—4=0,V(1;2) với I(2;—I) ->d:2x+y-12=0 ->đ:2x+y+8=0 —>d:x+2y-8ư=0 Tớm ảnh của cõc đường trún (C) qua phờp vị tự tóm I, tỉ số k : (Cụ 2 cõch giải ) a) (C) : (x~1)“+(y+2)ˆ =5 ,V(O;—2) b) (C): (x— Dˆ +(y—Dˆ =4,V(O; 2) Ẫ) (C): (x~3)” +(y+ Đˆ =5 ,V(;~2) với I(1:2) Tớm phờp vị tự biến d thỏnh d': —(C):(x+2)”+(y~4)” =20 > (C): (x-2)7 +(y-2) = 16 > (C) : (x +3)? +(y—-8)* = 20 a)d: *-%=1,4":2x-y-6=0, (Ok) sk=2 a)d: —=ld”: y , : = 3"
HD: d: 2x-y-4=0//d': 2x-y-6=0 Lay A(2;0) € d,BG;0)ed’
Vi: phờp vi ty V(O:k) : A —> Bee OB=KOA Vi: OA= (2:0), 0B = (3:0) => OB => OA vio) vio) Vay : AR———+—> B>d #+#—+> d’ Lưu ý : Vớ O,A,B thẳng hỏng nởn ta chọn chỷng cỳng nằm trởn một đường thẳng Để đơn giản ta chọn chỷng cỳng nằm trởn Ox hoặc Oy b) (CỊ):(xX+4)°+yˆ =2 ; (Ca):(x—2)”+(y—3)” =8 HD: * (Cy) cụ tóm IJ(—4;0),RỊ =v2 , (C2) cụ tm I, (2;3),Ry =2V2 + Ga sử :(CỊ) VG) , V(I;—2), (251) (Cp) thi: R2 OR, =IkIR; S@lkl=—*=2ak=+2 2 1 R 1 Hạ =KHI thớ
*k= ~2 Gọi I(xo;yo) thớ 2— xe:3—Ye)=~2(4~ Xo;—yo) = I2; ) *k=2 Gọi I(Xo;yQ) thớ (2— Xo;3— vọ)= 24— xo;—yo) > IC—10;—3)
Vậy cụ 2 phờp vị tự biến (Cy) ——>(C2) lỏ V(I;—2) với I(—2;1) hoặc V(;2) với I(— 10;— 3)
Trong mpOxy , cho 2 đường trún (CỊ):(x~ ĐŸ +(y =3) = 1 vỏ (C2): x4)” +(y~3)ˆ =4
a) Xõc định toạ độ tóm vị tự ngoỏi của hai đường trún đụ
b) Viết phương trớnh cõc tiếp tuyến chung ngoỏi của hai đường trún đụ
HD: (Câ) cụ tóm I1(:3) „ bk : Rị =1; (C2) cụ tóm 12(4:3) „ bk : Ra =2
— — R 2
a) Gọi I lỏ tóm vị tự ngoỏi của (Cy) va (C2) „ ta Cể : I; =k, v6ik= R Ti =2= I(-2;3) 1
b) Tiếp tuyến chung ngoỏi của hai đường trún lỏ tiếp tuyến từ I đến (C| )
Gọi đt A đi qua I vỏ cụ hệ số gục k = A:y—3 = k(x+2)Ẫ ky—y+3+2k =0
A, :V2.x—4y +1243V2 =0
A tiếp xỷc (Câ) Ẫ đ(;A)=Rị ek=+—'==— | 1 V2x-4y+12+3/2 262 |As:x2x+4y—12+32 =0
Trang 36-35-Cho đường trún (O,R) đường kợnh AB Một đường trún (O') tiếp xỷc với (O,R) va doan AB tại C, D, đường thắng CD cắt (O,R) tại [ Chứng minh rằng : ẵI= BI
HD:
* C lỏ tóm vị tự của 2 đường trún (O) vỏ (O')
* De(O),Ie(O) vỏ ba điểm C,D,I thẳng hỏng
Gọi R' lỏ bõn kợnh của đường trún (O'), khi đụ :
K
Mỏ :OtL——>O',I—>D
= O1//O'D > OI | AB (ViO'D | AB) > TIA trung diờm cia ABS AT=BI
Cho hai đường trún (O,R) vỏ (O', R’) ti€p xtic trong tai A(R >R’)
Đường kợnh qua A cắt (O,R) tại B vỏ cắt (O', R) tại C Một đường
thẳng di động qua A cắt (O, R) tại M vỏ cắt (O', R? tại N Tớm quỹ tợch của I= BẹCM
HD:
Ta cờ : BM// CN Hai ABMI) ANCI Do a6 JC = &N IM BM M
Hai AACNO AABM Do do ; C CN AB BM AX 6 IC AC 2R’ R' IC R ‘~~ >—=— = =—> = IM AB 2R R IM+IC R+R’ R’ po A ro 1 V(C;k=———) _ GI=_-Ÿ_ CM=M:L————R+R” „ị > = > CM R+R' R+R Vậy : Tập hợp cõc điểm I lỏ đường trún (@) vị tự của đường R ?)- R+R
Cho AABC Gọi I, J M theo thứ tự lỏ trung điểm của AB, AC vỏ IJ Đường trún ngoại tiếp tóm O của AAIJ, cắt AO tại A“ Gọi M' lỏ chón đường vuừng gục hạ từ A' xuống BC Chứng minh rằng : A, M,M thẳng hỏng
trún (O,R) trong phờp vị tự V(C;k=
HD:
Gọi MỊ lỏ trung điểm BC Ta cụ : AB=2AI vỏ AC=2AJ
Từ đụ :AAI VA?) ,AABC Khi đụ :
WAz2j:OE—>A2MIE—>MI =OM LIJ=> AMI L BC
Như thế : MỊ =M'= A,M,M thẳng hỏng ( vớ A,M,MI thẳng hỏng )
Cho AABC Gọi AI:BI.,Ct tương ứng lỏ trung điểm của BC,CA,
AB Kẻ Aix,BỊy,Câz lần lượt song song với cõc đường phón giõc trong 8 My = M Cc của cõc gục A,B,C của AABC Chứng minh : Ayx, Byy,Cz đồng quy
HD:
Xờt phờp vị tự tóm G, tỉ số -; G lỏ trọng tóm AABC,
1 lỏ tóm đường trún nồi tiếp AABC
Ta cụ: AJ E——>ằâIX , BI t—> By ,CI E——>CIZ ;
Ir—>J = -Í = AIx.BIy,Câz đồng quy tại J
Trang 37
-36-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Cho hai đường trún (O1,RỊ) vỏ (O2,R+) ngoỏi nhau
Rị #Ra Một đường trún (O) thay đổi tiếp xỷc ngoỏi
với (O1) tai A va tiếp xỷc ngoỏi với (O2) tại B Chứng
minh rằng : Đường thẳng AB luừn luừn đi qua một điểm cố định
HD:
A lỏ tóm vị tự biến (O|) thỏnh (O) : AOâ vỏ AO ngược hướng
B lỏ tóm vị tự biến (O) thỏnh (O2) : AOâ vỏ AO ngược hướng
Kờo dỏi AB cắt t (O2) tạiC: AO vỏ CO+ ngược hướng Vậy : AO} va CO2 ngược hướng Như vậy AC hay cũng lỏ AB phải đi qua tóm Iỏ tóm vị tự ngoỏi của (O1) vỏ (O2)
Cho AABC Người ta muốn định ba điểm A',B',C' lần lượt trởn cõc cạnh BC,CA,AB sao cho AA'B'C? đều va A’B’ | CA, B’C’ | AB va C’A’ L BC
1 Gọi E,F,K lần lugt 1a chan cdc dung cao phat xuat tir A,B,C A
Bat: C= Vg?(A),A'= Vp7(E),B'= VF) cf
` — K
a) Nghiệm lại rằng : A'= Vẹệ(Œ) vỏ B'C BC ==CK E ‘
B
b) Suy ra rằng : AA'EC đều
2 Chứng minh rằng trực tóm H của AABC cũng lỏ trọng tóm của AA'BC'
HD:
"3
Trong AABC đều cõc đướng cao : AE = BF = CK = — (a lỏ cạnh của AABC) vỏ E,F,K lần lượt lỏ trung điểm cõc cạnh
1.a) Vớ A'= Vẹ (E) e BA = 5 BE e BC+ CAI = 5580 CA’ == CB Vay: A'= Vg(B) VỆ (A) c> BC =Š BA c> BA + AC = BA @ AC =—1BA => AK cs B= va Ẫ y23 v23 Vay :C—ằ—>B, Ki “Ac BC =" CK Vớ C= 2_—— |[HBC//CKcỳng LAB b) Ta cụ : BC '=—CK=> 3 UBC’ ==CK = vỏ Tương tự : CA'= SAE va A'B’ = BF av3
Vậy : B'C’ L AB,CA' L BC,A'B' L AC vỏ BC=CA=AB=—— = AA'BC đều
Trang 38-37 „ Van dờ 8 : PHEP DONG DANG
A KIEN THUC CO BAN
DN : Phờp biờn hinh F gọi lỏ phờp đồng dạng tỉ số k (k > 0) nờu vời hai diờm bat ki M, N va anh M’,
N’ a anh ctia chiing , tac6 M’N’= k.MN
DL : Moi phờp dong dang F tỉ số k (k> 0) đều lỏ hợp thỏnh của một phờp vị tự tỉ số k vỏ một phờp
đời hớnh D
Hệ quả : (Tợnh chất ) Phờp đồng dạng :
1 Biến 3 điểm thẳng hỏng thỏnh 3 điểm thẳng hỏng (vỏ bảo toỏn thứ tự )
2 Biến đường thẳng thỏnh đường thẳng
3 Biến tỉa thỏnh tia
4 Biến đoạn thẳng thỏnh đoạn thẳng mỏ độ dỏi được nhón lởn k ( k lỏ tỉ số đồng dạng ) 5 Biến tam giõc thỏnh tam giõc đồng dạng với nụ ( tỉ số k)
6 Biến đường trún cụ bõn kợnh R thỏnh đường trún cụ bõn kợnh R'= k.R 7 Biến gục thỏnh gục bằng nụ Hai hớnh đừng dạng : DN : Hai hinh goi lỏ đồng dạng với nhau nếu cụ phờp đồng biến hớnh nỏy thỏnh hớnh kia H đồng dạng GẪ 3F đồng dạng :H tye B.BAI TAP
[I| Cho điểm M
a) Dựng ảnh của phờp đồng dạng F lỏ hợp thỏnh của phờp đối xứng trục Ð, vỏ phờp vị tự V tóm O, với Oêa, sốk=2
b) Dựng ảnh của phờp đồng dạng F lỏ hợp thỏnh của phờp vị tự V tóm O, tỉ số k= -3 vỏ phờp quay
tóm I với gục quay @ = 907
Giải a
D Vử
h a O
a) Gọi: ME——S—>MIE————>MÒ ee ° *Me(a) thiM,; =M vỏ M lỏ trung điểm OM, os M,
*Mờđ(a) va O#M, thi: Ua Ia trung trực đoạn MMI
OM, 1a trung điểm đoạn OM+
+ Mê(a) vỏ O=M thi: hộ
Ca lỏ trung trực đoạn MMỊI
Trang 39-38-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai
Cho AABC cụ đường cao AH H ở trởn đoạn BC Biết AH =4, HB =2, HC = ư Phờp đồng dạng F
biến AHBA thỏnh AHAC F được hợp thỏnh bởi hai phờp biến hớnh nỏo dưới đóy ? A) Phờp đối xứng tóm H vỏ phờp vị tự tóm H tỉ số k= ; a B) Phờp tịnh tiến theo BA vỏ phờp vị tự tóm H tỉ số k= 2
€) Phờp vị tự tóm H tỉ số k= 2 vỏ phờp quay tóm H, gục (HB;HA)
D) Phờp vị tự tóm H ti s6 k = 2 vỏ phờp đối xứng trục 2
HD: B2H 8 €
Phờp Va vỏ Q(H;o) với = (HB;HA) : B ——>A, A —>C
Vậy : F lỏ phờp đồng dạng hợp thỏnh bởi V vỏ Q biến AHBA thỏnh AHAC
Cho hớnh bớnh hỏnh ABCD cụ tóm O Trởn cạnh AB lấy điểm I sao cho IA +2IB =Ũ vỏ gọi G lỏ
trọng tóm của AABD F lỏ phờp đồng dạng biến AAGI thỏnh ACOD F được hợp thỏnh bởi hai phờp
biến hớnh nỏo sau đóy ? A) Phờp tỉnh tiến theo GO vỏ phờp vị tự V(B;~ 1) A ; B) Phờp đối xứng tóm G vỏ phờp vị tự VB;>) KZ Ẫ) Phờp vị tự vias) vỏ phờp đối xứng tóm O t 2 5 D) Phờp vị tự VAs.) vỏ phờp đối xứng tóm G HD:
Vớ G lỏ trọng tóm AABD nởn AO =5AG OTheo gid thiờt, ta cờ : AB= SAI
[Phờp đối xứng tóm O, biến A thỏnh C vỏ B thỏnh D (O lỏ bất biến )
2/3 2/3 2/3
VA Bo 1G ÝA Do ole ÝA ‘0