Dap an chuyen de TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian §1 Tọa Độ Trong Không Gian → − − −c (−6; 1; −1) Bài tập 6.1 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ → a (5; 7; 2) , b (3; 0; 4) → → − − → → − − 1→ 1− 1− − − − −c ; → − a) Hãy tìm vectơ sau: → m = 3→ a −2b +→ c ;− n = 5→ a + b + 4→ p = → a − b + → c → − → − → − → − − − − − b) Tính: |→ a |; b ; → a − b ;→ a.b; → a, b → − → − − − − c) Tìm → x cho → a + b − 2→ x = → − → − − d) Tìm u, v để vectơ y (1; u; v) phương với vectơ → a +2b Lời giải − a) → m = (15 − − 6; 21 − + 1; − − 1) = (3; 22 − 3) → − n = (25 + 18 − 24; 35 + + 4; 10 + 24 − 4) = (19; 39; 30) 11 → − − − 1; − + ; − − = ; ;− p = 2 6 √ √ √ → − → − b) | a | = 25 + 49 + = 78; b = + + 16 = √ √ → − → − → − − a − b = (2; 7; −2) ⇒ → a − b = + 49 + = 57 → − → − → − − a b = 15 + + = 23; → a, b = 2 5 = (28; −14; −21) ; ; 4 3 − 1− 3→ − c) a + 3b − 2x = ⇔ → x = → a + b = 7; ; 2 → − d) Ta có: a + 2b = (11; 7; 10) ⇒ u , a + 2b = (10u − 7v; 11v − 10; − 11u)    10u − 7v =   u= → − → − → − → − → − 11 11v − 10 = ⇔ Do u a + b phương ⇔ u , a + 2b = ⇔    v= − 11u = 11 Vậy u = , v = 11 11 → − − −c (0; 3; −2) Bài tập 6.2 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ → a (1; 0; −2) , b (1; 2; −1) → − → → − → − → − → − − − −c − 2→ − a) Tìm vectơ → u biết 2→ a + b − 3→ u = b) Tính a + b + c → − → − √ → − − −c ; → − − − − − − c) Tìm → a b − 2→ a, b d) Tìm vectơ → u biết → u ⊥→ a ;→ u ⊥ b |→ u | = 21 Lời giải − 1→ 3− b − → c = ;− ; 2 2 √ √ b) a + b + c = (2; 5; −5) ⇒ a + b + c = + 25 + 25 = → − − − c) b − 2c = (1; −4; 3) ⇒ → a b − 2c = + − = −5; → a , b = (4; −1; 2) → − → − − − − − − d) Ta có → u ⊥→ a → u ⊥ b nên → u =k → a , b = (4k; −k; 2k) √ − − − u = (4; −1; 2) → u = (−4; 1; −2) Mặt khác |→ u | = 21 ⇔ 21k = 21 ⇔ k = ±1 Vậy → − − a) 2a + b − 3c − 2u = ⇔ → u =→ a + Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 6.3 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; −2) , B (2; 1; −1) , C (1; −2; 2) a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b) Tính chu vi tam giác ABC c) Tìm tọa độ D để ABCD hình bình hành d) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Lời giải −−→ −→ −−→ −→ → − a) Ta có: AB = (1; 1; 1) , AC = (0; −2; 4) ⇒ AB, AC = (6; −4; −2) = −−→ −→ Suy AB, AC không phương Vậy A, B, C không thẳng hàng √ √ −−→ √ b) Ta có: AB = 3, AC = 20, √ BC√= (−1; √−3; 3) ⇒ BC = 19 Vậy chu vi tam giác ABC + 20 + 19 −−→ c) Gọi D(x; y; z) ta có: AD = (x − 1; y; z + 2)   x − = −1   x=0 −−→ −−→ y = −3 y = −3 Vậy D(0; −3; 1) Khi ABCD hình bình hành ⇔ AD = BC ⇔ ⇔   z+2=3 z=1 1 d) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC G ;− ;− 3 Bài tập 6.4 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (−1; −2; 3) , B (0; 3; 1) , C (4; 2; 2) −−→ −→ −−→ −→ c) Tính AB, AC b) Tính cos BAC a) Tính AB.AC Lời giải −−→ −→ −−→ −→ a) Ta có: AB = (1; 5; −2) , AC = (5; 4; −1) ⇒ AB.AC = + 20 + = 27 −−→ −→ −−→ −→ AB.AC 27 b) Ta có: cos BAC = cos AB, AC = −−→ −→ = √ √ = √ 30 42 140 AB AC −−→ −→ c) Ta có: AB, AC = (3; −9; −21) Bài tập 6.5 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; 3) , B (2; 2; 4) , C (0; 3; −2) a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tính diện tích tam giác ABC Lời giải −−→ −→ −−→ −→ a) Ta có AB = (1; 2; 1) , AC = (−1; 3; −5) ⇒ AB.AC = −1 + − = √ ⇒ ∆ABC vuông A −→ 21 b) Gọi I trung điểm BC ⇒ I 1; ; ⇒ IB = 1; − ; ⇒ IB = 2 √ 21 Đường trịn ngoại tiếp ∆ABC có tâm I 1; ; bán kính R = IB = 2 √ √ 210 c) Ta có AB = 6, AC = 35 ⇒ S∆ABC = AB.AC = 2 Bài tập 6.6 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 3) , B (−1; 3; 2) , C (−1; 2; 3) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện OABC −−→ −→ −−→ −→ Lời giải Ta có AB = (−2; 2; −1), AC = (−2; 1; 0) ⇒ AB, AC = (−1; −2; 2) −−→ −→ Do S∆ABC = AB, AC = 2 −→ −−→ −→ −→ 1 Lại có AO = (−1; −1; −3) ⇒ VOABC = AB, AC AO = |1 + − 6| = 6 Bài tập 6.7 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−3; −2; 6) , B (−2; 4; 4) Hãy tính độ dài đường cao OH tam giác OAB −→ −−→ −→ −−→ Lời giải Ta có OA = (−3; −2; 6), OB = (−2; 4; 4) ⇒ OA, OB = (−32; 0; −16) √ −→ −−→ Do S∆OAB = OA, OB = √ √ −−→ 2S∆OAB 16 205 Lại có AB = (1; 6; −2) ⇒ AB = 41 ⇒ OH = = AB 41 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Bài tập 6.8 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (0; 4; 1) , B (1; 0; 1) , C (3; 1; −2) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC Lời giải Gọi trực tâm ∆ABC H(x; y; z) −−→ −→ −−→ −→ Ta có AB = (1; −4; 0), AC = (3; −3; −3) ⇒ AB, AC = (12; 3; 9) −−→ −−→ −−→ −→ Và AH = (x; y − 4; z − 1), BC = (2; 1; −3), BH = (x − 1; y; z − 1), AC = (3; −3;  3) 15   −−→ −→ −−→   x=    AB, AC AH = 11   12x + 3(y − 4) + 9(z − 1) =  −−→ −−→ 2x + y − − 3(z − 1) = ⇔ Khi ta có ⇔ y = − AH.BC =    11  −−→ −→  3(x − 1) − 3y + 3(z − 1) =   BH.AC =  z= 11 15 Vậy H ;− ; 11 11 11 Bài tập 6.9 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 1; 1) , B (−1; 1; 0) , C (3; 1; −1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) cho M cách A, B, C Lời giải Ta có M ∈ (Oxz) ⇒ M (x; 0; z) −−→ −−→ −−→ Khi AM = (x − 1; −1; z − 1), BM = (x + 1; −1; z), CM = (x − 3; −1; z + 1) Lại có M cách A, B, C nên Vậy M    x= x2 + z − 2x − 2z + = x2 + z + 2x + ⇔ x2 + z − 2x − 2z + = x2 + z − 6x + 2z + 11   z=− ; 0; − 6 Bài tập 6.10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 6; 6) , B (3; −6; −2) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho AM + BM ngắn −−→ −−→ Lời giải Ta có M ∈ (Oxy) ⇒ M (x; y; 0) ⇒ AB = (4; −12; −8) , AM = (x + 1; y − 6; −6) −−→ −−→ Suy AB, AM = (8y + 24; 16 − 8x; 12x + 4y − 12)   8y + 24 = −−→ −−→ → − x=2 16 − 8x = Khi AM +BM ngắn ⇔ M ∈ AB ⇔ AB, AM = ⇔ ⇔ y = −3  12x + 4y − 12 = Vậy M (2; −3; 0) Bài tập 6.11 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 5; 3) , B (3; 7; 4) , C (x, y, 6) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng −−→ −→ −−→ −→ Lời giải Ta có AB = (1; 2; 1), AC = (x − 2; y − 5; 3) ⇒ AB, AC = (11 − y; x − 5; y − 2x − 1)   11 − y = −−→ −→ → − x=5 x−5=0 Khi A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC = ⇔ ⇔ Vậy x = 5; y = 11 y = 11  y − 2x − = Bài tập 6.12 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 1; 1) , B (2; 3; 4) , C (6; 5; 2) , D (7, 7, 5) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh hình bình hành Tính diện tích hình bình hành −−→ −−→ −−→ −−→ Lời giải Ta có AB = (1; 2; 3), CD = (1; 2; 3) Vì AB = CD nên ABDC hình bình hành √ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ Khi AB = (1; 2; 3), AC = (5; 4; 1) ⇒ AB, AC = (−10; 14; −6) ⇒ SACBD = AB, AC = 332 Bài tập 6.13 Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (2; 1; −1) , B (3; 0; 1) , C (2; −1; 3) D thuộc trục Oy Tìm tọa độ đỉnh D, biết thể tích tứ diện ABCD −−→ −→ −−→ −→ Lời giải Ta có AB = (1; −1; 2) , AC = (0; −2; 4) ⇒ AB, AC = (0; −4; −2) −−→ −−→ −→ −−→ |2y − 1| Lại có D ∈ Oy ⇒ D(0; y; 0) ⇒ AD = (−2; y − 1; 1) ⇒ SABCD = AB, AC AD = |2y − 1| y=8 Theo giả thiết VABCD = ⇔ =5⇔ Vậy D(0; 8; 0) D(0; −7; 0) y = −7 http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 6.14 Tìm tâm bán kính mặt cầu sau b) x2 + y + z + 2x + 4y − 6z + = a) (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 2 c) x + y + z + y − 5z + = d) 3x2 + 3y + 3z − 6x + 8y + 15z − = Lời giải a) Tâm I(3; −2; −1) bán kính R = √ b) Tâm I(−1; −2; 3) bán kính R = √ 22 bán kính R = c) Tâm I 0; − ; 2 2√ 361 bán kính R = d) Tâm I 1; − ; − Bài tập 6.15 Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Có tâm I (1; 2; −3) qua M (2; 0; −1) b) Có đường kính AB biết A (3; 2; −1) B (1; 1; 2) c) Ngoại tiếp tứ diện OABC biết A (2; 0; 0) , B (0; −1; 0) C (0; 0; 3) d) Ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A (1; 2; 1) , B (3; −1; 2) , C (−2; 1; 2) D (1; 1; 3) e) Có tâm nằm mặt phẳng (Oyz) qua ba điểm A (0; 8; 0) , B (4; 6; 2) , C (0; 12; 4) Lời giải −−→ a) Ta có IM = (1; −2; 2) ⇒ IM = Gọi (S) mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có tâm I(1; 2; −3) bán kính R = IM = Vậy (S) có phương trình: (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = − → 1 b) Gọi I trung điểm AB ⇒ I 2; ; ⇒ IA = 1; ; − ⇒ IA = 2 2 Gọi (S) mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có tâm I 2; ; bán kính R = IA = 2 2 + z− = Vậy (S) có phương trình: (x − 2)2 + y − 2 c) Gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (S) : x2 +y +z −2ax−2by−2cz+d = a2 + b2 + c2 > d   d=0    d=0       4 − 4a + d = a = 1 Khi O, A, B, C ∈ (S) nên ta có hệ (thỏa mãn) ⇔   1 + 2b + d = b = −     9 − 6c + d =  c = Vậy (S) : x2 + y + z − 2x + y − 3z = 2 d) Gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC = a2 + b2 + c2 > d  (S) : x +y +z −2ax−2by−2cz+d    − 2a − 4b − 2c + d = a = 34       14 − 6a + 2b − 4c + d = b = − 35 34 (thỏa mãn) Khi O, A, B, C ∈ (S) nên ta có hệ ⇔ 25   + 4a − 2b − 4c + d = c =   34       11 − 2a − 2b − 6c + d = d = − 144 17 35 25 144 2 Vậy (S) : x + y + z − x + y + z − = 17 17 17 17 e) Gọi (S) mặt cầu cần tìm I tâm (S), ta có I ∈ (Oyz) ⇒ I(0; b; c) Khi đó: √ − → AI = (0; b − 8; c) ⇒ AI = b2 + c2 − 16b + 64; √ −→ BI = (−4; b − 6; c − 2) ⇒ BI = b2 + c2 − 12b − 4c + 68; √ −→ CI = (0; b − 12; c − 4) ⇒ CI = b2 + c2 − 24b − 8c + 160 AI = BI −16b + 64 = −12b − 4c + 56 b=7 Vì A, B, C ∈ (S) nên ⇔ ⇔ AI = CI −16b + 64 = −24b − 8c + 160 c=5 √ Suy (S) có tâm I (0; 7; 5) bán kính R = AI = 26 Vậy (S) có phương trình x2 + (y − 7)2 + (z − 5)2 = 26 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian §2 Phương Trình Mặt Phẳng Bài tập 6.16 Lập phương trình mặt phẳng (P ) trường hợp sau a) Đi qua ba điểm A (1; 0; 0) , B (0; −2; 0) , C (0; 0; 3) b) Đi qua ba điểm A (2; −1; 3) , B (4; 2; 1) , C (−1; 2; 3) c) Đi qua điểm M (2; −1; 2) song song với mặt phẳng (β) : 2x − y + 3z + = d) Đi qua M (1; 2; 3) vng góc AB, biết A (−1; 0; 2) , B (3; 2; 1) e) Đi qua hai điểm A (3; 1; −1) , B (2; −1; 4) vng góc với mặt phẳng (α) : 2x − y + 3z + = f) Đi qua M (−2; 3; −1) vng góc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + = 0; (β) : 2x + 3y + z = g) Đi qua hai điểm M (1; 2; 3) , N (2; −2; 4) song song với trục Oy h) Trung trực AB, biết A (4; −1; 5) , B (2; 3; 1) i) Song song với (β) : 4x + 3y − 12z + = tiếp xúc với (S) : x2 + y + z − 2x − 4y − 6z − = Lời giải a) Mặt phẳng (P ) qua A(1; 0; 0), B(0; −2; 0), C(0; 0; 3) nên có phương trình đoạn chắn: x y z + + = ⇔ 6x − 3y + 2z − = −2 −−→ −→ −−→ −→ b) Ta có: AB = (2; 3; −2), AC = (−3; 3; 0) ⇒ AB, AC = (6; 6; 15) −−→ −→ Mặt phẳng (P ) qua A(2; −1; 3) nhận AB, AC = (6; 6; 15) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình (x − 2) + (y + 1) + 15 (z − 3) = ⇔ 2x + 2y + 5z − 17 = − c) Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến → n = (2; −1; 3) − Mặt khác (P ) qua M (2; −1; 2) (P )||(β) nên nhận → n = (2; −1; 3) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình: 2(x − 2) − 1(y + 1) + 3(z − 2) = ⇔ 2x − y + 3z − 11 = −−→ d) Mặt phẳng (P ) qua M (1; 2; 3) (P )⊥AB nên nhận AB = (4; 2; −1) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình: 4(x − 1) + 2(y − 2) − (z − 3) = ⇔ 4x + 2y − z − = −−→ − e) Ta có: AB = (−1; −2; 5) mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến → n = (2; −1; 3) −−→ → − Vì (P ) qua A, B (P )⊥(α) nên nhận AB, n = (−1; 13; 5) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình: −(x − 3) + 13(y − 1) + 5(z + 1) = ⇔ x − 13y − 5z + = → −−→ f) Mặt phẳng (α) (β) có vectơ pháp tuyến − n− (α) = (1; 2; 2) n(β) = (2; 3; 1) → −−→ Ta có (P )⊥(α) (P )⊥(β) nên nhận − n− (α) , n(β) = (−4; 3; −1) làm vectơ pháp tuyến Lại có (P ) qua M (−2; 3; −1) nên có phương trình −4(x+2)+3(y−3)−(z+1) = ⇔ 4x−3y+z+18 = −−→ −−→ → − g) Ta có: M N = (1; −4; 1) ⇒ M N , j = (−1; 0; 1) −−→ → − Vì (P ) qua M, N (P ) Oy nên nhận M N , j = (−1; 0; 1) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình: −(x − 1) + 0(y − 2) + 1(z − 3) = ⇔ x − z + = h) Ta có (P ) trung trực AB nên qua trung điểm I(3; 1; 3) AB −−→ Lại có (P )⊥AB nên nhận AB = (−2; 4; −4) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình: −2(x − 3) + 4(y − 1) − 4(z − 3) = ⇔ x − 2y + 2z − = i) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) bán kính r = Vì (P ) (β) nên có phương trình dạng 4x + 3y − 12z + d = (d = 1) |4 + − 36 + d| d = 78 Mặt khác (P ) tiếp xúc với (S) nên d (I; (P )) = r ⇔ √ =4⇔ d = −26 16 + + 144 Vậy có hai mặt phẳng cần tìm (P ) : 4x + 3y − 12z + 78 = (P ) : 4x + 3y − 12z − 26 = Bài tập 6.17 Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau a) (α) : x − 2y + 3z − = 0; (β) : 2x − y + z − = b) (α) : 2x − y + 2z + = 0; (β) : −4x + 2y − 4z − = c) (α) : 3x − y + 2z + = 0; (β) : 6x − 2y + 4z + = Lời giải a) Vì : −2 : = : −1 : nên (α) cắt (β) −1 = = = nên (α) (β) b) Vì −4 −4 −1 c) Vì : −1 : : = : −2 : : nên (α) ≡ (β) http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 6.18 Tính khoảng cách sau a) Giữa M (2; −3; 1) (α) : 2x + 2y + z + = b) Giữa A (−4; 1; 5) (α) : x + 7y − 2z + = c) Giữa (α) : 2x − y + 2z + = (β) : 4x − 2y + 4z − = Lời giải |4 − + + 3| √ = √ 4+4+1 |−4 + − 10 + 1| = b) Ta có: d (A, (α)) = √ + 49 + a) Ta có: d (M, (α)) = c) Nhận thấy (α) (β) nên lấy M (0; 1; 0) ∈ (α), ta có: d ((α), (β)) = d (M, (β)) = √ |−2 − 3| = 16 + + 16 Bài tập 6.19 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 0) , B (0; 3; 0) , C (0; 0; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG Lời giải a) Mặt phẳng qua A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) nên có phương trình đoạn chắn: x y z + + = ⇔ 3x + 2y + z − = b) Ta có G trọng tâm ∆ABC ⇒ G ; 1; Gọi I trung điểm OG ⇒ I Gọi (S) mặt cầu đường kính OG ⇒ (S) có tâm I bán kính r = OI = Vậy (S) có phương trình: x − + y− 2 + (z − 1)2 = 49 36 1 ; ;1 1 + +1= Bài tập 6.20 (TN-07) Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1; −4; 5) , F (3; 2; 7) a) Viết phương trình mặt cầu qua F có tâm E b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực EF Lời giải √ √ −−→ a) Ta có EF = (2; 6; 2) ⇒ EF = + 36 + = 11 √ Gọi (S) mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có tâm E(1; −4; 5) bán kính r = EF = 11 Vậy (S) có phương trình (x − 1)2 + (y + 4)2 + (z − 5)2 = 44 b) Gọi (P ) mặt phẳng trung trực EF I trung điểm EF ⇒ I(2; −1; 6) −−→ Mặt phẳng (P ) qua I(2; −1; 6) nhận EF = (2; 6; 2) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình: 2(x − 2) + 6(y + 1) + 2(z − 6) = ⇔ x + 3y + z − = Bài tập 6.21 (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho (P1 ) : x + 2y + 3z + = (P2 ) : 3x + 2y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A (1; 1; 1) vng góc với hai mặt phẳng (P1 ) , (P2 ) −→ = (1; 2; 3), − −→ = (3; 2; −1) Lời giải Mặt phẳng (P1 ) (P2 ) có vectơ pháp tuyến − n−(P n−(P 1) 2) −→, − −−→ = (−8; 10; −4) làm vectơ pháp tuyến Ta có (P )⊥(P1 ) (P )⊥(P2 ) nên nhận − n−(P n (P2 ) 1) Lại có (P ) qua A(1; 1; 1) nên có phương trình: −8(x−1)+10(y −1)−4(z −1) = ⇔ 4x−5y +2z −1 = Bài tập 6.22 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (5; 1; 3) , B (1; 6; 2) , C (5; 0; 4) , D (4; 0; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng (ACD) (BCD) b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cạnh AB song song với cạnh CD Lời giải −→ −−→ −→ −−→ a) Ta có: AC = (0; −1; 1), AD = (−1; −1; 3) ⇒ AC, AD = (−2; −1; −1) −→ −−→ Mặt phẳng (ACD) qua A(5; 1; 3) nhận AC, AD = (−2; −1; −1) làm vectơ pháp tuyến Do (ACD) có phương trình: −2(x − 5) − (y − 1) − (z − 3) = ⇔ 2x + y + z − 14 = −−→ −−→ −−→ −−→ Tương tự: BC = (4; −6; 2), BD = (3; −6; 4) ⇒ BC, BD = (−12; −10; −6) http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian −−→ −−→ Mặt phẳng (BCD) qua B(1; 6; 2) nhận BC, BD = (−12; −10; −6) làm vectơ pháp tuyến Do (BCD) có phương trình: −12(x − 1) − 10(y − 6) − 6(z − 2) = ⇔ 6x + 5y + 3z − 42 = −−→ −−→ −−→ −−→ b) Ta có: AB = (−4; 5; −1), CD = (−1; 0; 2) ⇒ AB, CD = (10; 9; 5) −−→ −−→ Mặt phẳng (α) qua A(5; 1; 3) nhận AB, CD = (10; 9; 5) làm vectơ pháp tuyến Vậy (α) có phương trình: 10(x − 5) + 9(y − 1) + 5(z − 3) = ⇔ 10x + 9y + 5z − 74 = Bài tập 6.23 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (−2; 6; 3) , B (1; 0; 6) , C (0; 2; −1) , D (1; 4; 0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB song song với CD Lời giải −−→ −−→ −−→ −−→ a) Ta có: BC = (−1; 2; −7), BD = (0; 4; −6) ⇒ BC, BD = (16; −6; −4) −−→ −−→ Mặt phẳng (BCD) qua B(1; 0; 6) nhận BC, BD = (16; −6; −4) làm vectơ pháp tuyến Do (BCD) có phương trình: 16(x − 1) − 6y − 4(z − 6) = ⇔ 8x − 3y − 2z + = Nhận thấy A ∈ / (BCD) nên ABCD tứ diện |−16 − 18 − + 4| 36 √ b) Ta có: AH = d (A, (BCD)) = =√ 64 + + 77 −−→ −−→ −−→ −−→ c) Ta có: AB = (3; −6; 3), CD = (1; 2; 1) ⇒ AB, CD = (−12; 0; 12) −−→ −−→ Mặt phẳng (α) qua A(−2; 6; 3) nhận AB, CD = (−12; 0; 12) làm vectơ pháp tuyến Vậy (α) có phương trình: −12(x + 2) + 12(z − 3) = ⇔ x − z + = Bài tập 6.24 (CĐ-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 3) , B (1; 0; −5) mặt phẳng (P ) : 2x + y − 3z − = Tìm điểm M thuộc (P ) cho ba điểm A, B, M thẳng hàng −−→ −−→ Lời giải Gọi M (x; y; z), ta có: AB = (2; −2;−8), AM = (x + 1; y − 2; z − 3)    x=0 2x + y − 3z − = M ∈ (P ) x+1 y−2 z−3 ⇔ y = Vậy M (0; 1; −1) Theo giả thiết ta có: −−→ −−→ ⇔ = =   AM = k AB z = −1 −2 −8 Bài tập 6.25 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) : 4x + 3y − 12z + = tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x − 4y − 6z − = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) bán kính r = Vì (α) (β) nên có phương trình dạng 4x + 3y − 12z + d = (d = 1) |4 + − 36 + d| d = 78 =4⇔ Mặt khác (α) tiếp xúc với (S) nên d (I; (α)) = r ⇔ √ d = −26 16 + + 144 Vậy có hai mặt phẳng cần tìm (α) : 4x + 3y − 12z + 78 = (α) : 4x + 3y − 12z − 26 = Bài tập 6.26 (D-04) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 1) , B (1; 0; 0) , C (1; 1; 1) (P ) : x + y + z − = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc (P ) Lời giải Gọi (S) mặt cầu cần tìm tâm (S) I(x; y; z), ta có: − → AI = (x − 2; y; z − 1) ⇒ AI = x2 + y + z − 4x − 2z + −→ BI = (x − 1; y; z) ⇒ BI = x2 + y + z − 2x + −→ CI = (x − 1; y − 1; z − 1) ⇒ CI = x2 + y + z − 2x − 2y − 2z + Vì (S) qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc (P ) : x + y + z − = nên ta có hệ:     I ∈ (P )  x+y+z−2=0  x=1 AI = BI ⇔ −4x − 2z + = −2x + y=0 ⇔    AI = CI −4x − 2z + = −2x − 2y − 2z + z=1 Khi r = AI = ⇒ mặt cầu (S) có phương trình: (x − 1)2 + y + (z − 1)2 = http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 6.27 (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 3), M (1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A cắt trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM Lời giải Giả sử (P ) cắt Ox, Oy B(a; 0; 0) C(0; c; 0) −−→ −→ a b Gọi G trọng tâm ∆ABC ⇒ G ; ; ⇒ AM = (1; 2; −3), AG = 3 b c −2 b=2 Vì G ∈ AM nên ta có: = = ⇔ c=4 −3 x y z Do (P ) có phương trình: + + = ⇔ 6x + 3y + 4z − 12 = a b ; ; −2 3 Bài tập 6.28 (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 4x − 4y − 4z = điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB √ −→ Lời giải Ta có OA = (4; 4; 0) ⇒ OA = √ OA Tam giác OAB nên có bán kính đường trịn ngoại tiếp r = √ = 3 √ Mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; 2) bán kính R = √ Nhận thấy O, A ∈ (S) nên d(I, (OAB)) = R2 − r2 = √ Mặt phẳng (OAB) qua O(0; 0; 0) nên có phương trình dạng ax + by + cz = (a2 + b2 + c2 = 0) Vì A ∈ (OAB) nên 4a + 4b = ⇔ b = −a ⇒ (OAB) : ax − ay + cz = 2 |2a − 2a + 2c| = √ ⇔ 3c2 = 2a2 + c2 ⇔ c = ±a Khi d (I, (OAB)) = √ ⇔ √ 3 2a2 + c2 Vậy có hai mặt phẳng cần tìm (OAB) : x − y + z = (OAB) : x − y − z = Bài tập 6.29 (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1) , B (0; −2; 3) mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho M A = M B = −−→ Lời giải Gọi M (x; y; z) ta có AM = (x − 2; y; z − 1) ⇒ AM = x2 + y + z − 4x − 2z + −−→ BM = (x; y + 2; z − 3) ⇒ BM = x2 + y + z + 4y − 6z + 13 Theo giả thiết có M ∈ (P ) AM = BM = nên ta có:    x=0      y=1  2x − y − z + =  x = 2y −   z=3 −4x − 2z + = 4y − 6z + 13 z = 3y ⇔ ⇔   x = −6    x + y + z − 4x − 2z + = 7y − 11y + =  y = 47  z = 12 Vậy M (0; 1; 3) M 12 − ; ; 7 Bài tập 6.30 (B-08) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2) , B (2; −2; 1) , C (−2; 0; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P ) : 2x + 2y + z − = cho M A = M B = M C Lời giải −−→ −→ −−→ −→ a) Ta có AB = (2; −3; −1), AC = (−2; −1; −1) ⇒ AB, AC = (2; 4; −8) −−→ −→ Gọi (α) mặt phẳng cần tìm (α) qua A(0; 1; 2) nhận AB, AC = (2; 4; −8) làm vectơ pháp tuyến Vậy (α) có phương trình 2x + 4(y − 1) − 8(z − 2) = ⇔ x + 2y − 4z + = −−→ b) Gọi M (x; y; z) ta có AM = (x; y − 1; z − 2) ⇒ AM = x2 + y + z − 2y − 4z + −−→ BM = (x − 2; y + 2; z − 1) ⇒ BM = x2 + y + z − 2x + 4y − 2z + −−→ + 4x − 2z + CM= (x + 2; y; z − 1) ⇒ CM = x2 + y + z   M ∈ (P )  2x + 2y + z − =  x=2 AM = BM ⇔ −2y − 4z + = −2x + 4y − 2z + ⇔ y = Vậy M (2; 3; −7) Khi    AM = CM −2y − 4z + = 4x − 2z + = z = −7 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Bài tập 6.31 (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x + y + z − = (Q) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P ) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) → −−→ Lời giải Mặt phẳng (P ) (Q) có vectơ pháp tuyến − n− (P ) = (1; 1; 1), n(Q) = (1; −1; 1) → −−→ Mặt phẳng (R) nhận − n− (P ) , n(Q) = (2; 0; −2) làm vectơ pháp tuyến √ |D| Suy (R) có phương trình dạng x − z + D = Do d (O, (R)) = ⇔ √ = ⇔ D = ±2 2 √ √ Vậy (R) : x − z + 2 = (R) : x − z − 2 = Bài tập 6.32 (B-09) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2; 1) , B (−2; 1; 3), C (2; −1; 1), D (0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P ) khoảng cách từ D đến (P ) → − − Lời giải Giả sử (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (a; b; c) = Mặt phẳng (P ) qua A nên có phương trình dạng ax + by + cz − a − 2b − c = Ta có B ∈ (P ) nên b = 2c − 3a ⇒ (P ) : ax + (2c − 3a)y + cz + 5a − 5c = |10a − 6c| |−4a + 2c| Lại có d (C, (P )) = d (D, (P )) ⇔ = ⇔ a2 + (2c − 3a)2 + c2 a2 + (2c − 3a)2 + c2 7a = 4c 3a = 2c Với 7a = 4c, chọn a = 4, c = ta có (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = Với 3a = 2c, chọn a = 2, c = ta có (P ) : 2x + 3z − = Vậy (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = (P ) : 2x + 3z − = Bài tập 6.33 (B-07) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x + 4y + 2z − = mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = a) Viết phương trình (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính b) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến (P ) lớn Lời giải → a) Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; −1) bán kính R = 3, trục Ox có vectơ phương − u− Ox = (1; 0; 0) −→ Vì (Q) cắt (S) theo đường trịn có bán kính = R nên (Q) qua I ⇒ OI = (1; −2; −1) −→ −→ Mặt phẳng (Q) nhận OI, − uOx = (0; −1; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x − 2y = → b) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến − n− (P ) = (2; −1; 2)   x = + 2t Gọi ∆ đường thẳng qua I(1; −2; −1) vng (P ) ⇒ ∆ có phương trình y = −2 − t   z = −1 + 2t Điểm M cần tìm hai giao điểm (S) đường thẳng ∆     x = −1  x = + 2t       y = −1 y = −2 − t   z = −3 Tọa độ giao điểm ∆ (S) thỏa mãn hệ ⇒   z = −1 + 2t    x=3    x2 + y + z − 2x + 4y + 2z − = y = −3  z=1 Do ∆ cắt (S) M1 (−1; −1; −3) M2 (3; −3; 1) Vì d(M1 , (P )) > d(M2 , (P )) nên điểm cần tìm M (−1; −1; −3) Bài tập 6.34 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 1) , B (2; −1; 1) , C (4; 1; 1) mặt phẳng −−→ −−→ −−→ (P ) : x + y + z − = Tìm điểm M (P ) cho M A + 2M B + M C đạt giá trị nhỏ → Lời giải Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến − n− (P ) = (1; 1; 1) Gọi I trung điểm AC ⇒ I(2; 1; 1) gọi K trung điểm BI ⇒ K(2; 0; 1) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có M A + 2M B + M C = 2M I + 2M C = M K −−→ −−→ −−→ Do M A + 2M B + M C đạt giá trị nhỏ M hình chiếu K (P ) http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu   x = + t Đường thẳng KM có phương trình y = t   z =1+t     x = + t x=3       y = t y = Tọa độ M hỏa mãn hệ ⇔   z = + t z=2         x+y+z−6=0 t=1 Vậy M (3; 1; 2) Bài tập 6.35 (A-03) Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có A trùng gốc toạ độ O, B (a; 0; 0), D (0; a; 0) , A (0; 0; b) , (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC a) Tính thể tích khối tứ diện BDA M a b) Xác định tỉ số để (A BD) vng góc với (M BD) b Lời giải a) Ta có C(a; a; 0), C (a; a; b) ⇒ M −−→ −−→ Khi BD = (−a; a; 0), BM = a; a; 0; a; b b −−→ −−→ ⇒ BD, BM = −−→ ab ab ; ; −a2 , BA = (−a; 0; b) 2 −−→ −−→ −−→ a2 b BD, BM BA = −→ −−→ ab ab →= − b) Mặt phẳng (BDM ) có vectơ pháp tuyến − n BD, BM = ; ; −a2 2 −→ −−→ →= − Mặt phẳng (BDA ) có vectơ pháp tuyến − n BD, BA = ab; ab; a2 Do VBDA M = a2 b2 a2 b2 a →.− → Khi (BDM )⊥(BDA ) ⇔ − n + − a4 = ⇔ = 1 n2 = ⇔ 2 b §3 Phương Trình Đường Thẳng Bài tập 6.36 Lập phương trình đường thẳng d trường hợp sau − a) Đi qua A (2; 1; −1) có vectơ phương → u = (−2; 3; 2) b) Đi qua hai điểm A (1; 2; 3) , B (5; 4; 4) c) Đi qua A (−3; 1; 2) vng góc với (α) : x − 2y + 3z + = x−1 y+3 z d) Đi qua M (2; 1; −3) song song với đường thẳng ∆ : = = e) Đi qua M (−3; 1; 4) song song với giao tuyến (α) : 3x+2y −5z +1 = 0; (β) : x−4y +3z +2 = f) Giao tuyến (α) : x + z − = 0; (β) : 2x − 2y + 3z + = Lời giải   x = − 2t a) Đường thẳng cần tìm có phương trình y = + 3t   z = −1 + 2t −−→ b) Đường thẳng AB qua A(1;  2; 3) nhận AB = (4; 2; 1) làm vectơ phương  x = + 4t Vậy AB có phương trình y = + 2t   z =3+t → c) Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến − n− (α) = (1; −2; 3) → Gọi ∆ đường thẳng cần tìm ⇒ ∆ qua A(−3; 1; 2) nhận − n− (α) = (1; −2; 3) làm vectơ phương   x = −3 + t Vậy ∆ có phương trình y = − 2t   z = + 3t d) Đường thẳng ∆ có vectơ phương − u→ ∆ = (2; 3; 4) 10 http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 6.47 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − = đường thẳng x − 12 y−9 z−1 d: = = a) Tìm giao điểm M d (α) b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa M vng góc với d Lời giải   x − 12 = y − = z − a) Tọa độ giao điểm M d (α) nghiệm hệ 3x + 5y − z − =   x = ⇔ y=0   z = −2 Vậy d cắt (P ) M (0; 0; −2) → = (4; 3; 1) b) Đường thẳng d có vectơ phương − u d → = (4; 3; 1) làm vectơ pháp tuyến Mặt phẳng (β) qua M (0; 0; −2) nhận − u d Vậy (β) có phương trình: 4x + 3y + x + = Bài tập 6.48 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x−1 y z x y+1 z = = d : = = −1 −1 1 a) Chứng minh d d chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d song song với d Lời giải − a) Đường thẳng d qua M (1; 0; 0) có vectơ phương → u = (−1; 1; −1) → − Đường thẳng d qua M (0; −1; 0) có vectơ phương u = (2; 1; 1) → − → − −−−→ → − −−−→ − − Ta có → u , u = (2; −1; −3) = , M M = (−1; −1; 0) ⇒ → u , u M M = −2 + + = −1 = Do d d chéo (đpcm) → − − b) Mặt phẳng (α) qua M (1; 0; 0) nhận → u , u = (2; −1; −3) làm vectơ pháp tuyến Vậy (α) có phương trình 2x − y − 3z − =   x=t y = 2t Bài tập 6.49 (CĐ-2012) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : , d2  z =1−t Chứng minh d1 d2 cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1 , d2   x = + 2s y = + 2s :  z = −s → = (1; 2; −1) Lời giải Đường thẳng d1 qua M1 (0; 0; 1) có vectơ phương − u → = (2; 2; −1) Đường thẳng d2 qua M2 (1; 2; 0) có vectơ phương − u → − −−−−→ →, − → − → − → −−−−→ Ta có [− u u2 ] = (0; −1; −2) = , M1 M2 = (1; 2; −1) ⇒ [u1 , u2 ] M1 M2 = − + = Do d d cắt M (1; 2; 0) (đpcm) →, − → Gọi (P ) mặt phẳng cần tìm ⇒ (P ) qua M1 (0; 0; 1) nhận [− u u2 ] (0; −1; −2) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình: y + 2z − = x y−1 Bài tập 6.50 (B-06) Trong không gian Oxyz cho điểm A (0; 1; 2) hai đường thẳng d1 : = = z+1 x−1 y+1 z−2 , d2 : = = −1 −2 a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A song song với d1 , d2 b) Tìm M thuộc d1 , N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng Lời giải → = (2; 1; −1) a) Đường thẳng d1 qua M1 (0; 1; −1) có vectơ phương − u → = (1; −2; 1) Đường thẳng d2 qua M2 (1; −1; 2) có vectơ phương − u →, − → Mặt phẳng (P ) qua A(0; 1; 2) nhận [− u u2 ] = (−1; −3; −5) làm vectơ pháp tuyến Do (P ) có phương trình x + 3y + 5z − 13 = Vì M 1, M2 ∈ / (P ) : x + 3y + 5z − 13 = nên (P ) : x + 3y + 5z − 13 = mặt phẳng cần tìm b) Ta có N ∈ d1 ⇒ N (2t1 ; + t1 ; −1 − t1 ), N ∈ d2 ⇒ N (1 + t2 ; −1 − 2t2 ; + t2 ) −−→ −−→ Suy AM = 2t1 ; t1 ; −3 − t1 , AN = (1 + t2 ; −2 − 2t2 ; t2 ) −−→ −−→ AM , AN = (−t1 t2 − 2t1 − 6t2 − 6; −3t1 t2 − t1 − 3t2 − 3; −5t1 t2 − 5t1 ) 14 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian   −t1 t2 − 2t1 − 6t2 − = −−→ −−→ → − −3t1 t2 − t1 − 3t2 − = ⇔ Khi A, M, N thẳng hàng ⇔ AM , AN = ⇔  −5t1 t2 − 5t1 = Vậy M (0; 1; −1) N (0; 1; 1) t1 = t2 = −1 Bài tập 6.51 (D-03) Trong không gian Oxyz, cho d giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x+3ky−z+2 = (Q) : kx − y + z + = Tìm k để d vng góc với (α) : x − y − 2z + = Lời giải Mặt phẳng (P ), (Q) (α) có vectơ pháp tuyến − → −−→ −−→ n− (P ) = (1; 3k; −1), n(Q) = (k; −1; 1), n(α) = (1; −1; −2) Khi d⊥ (α) ⇔ − → −−→ n− (P ) n(α) = ⇔ − − n →.− n−→ = (Q) (α) − 3k + = ⇔ k = k+1−2=0 Bài tập 6.52 (D-02) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x − y + = d giao tuyến hai mặt phẳng (α) : (2m + 1) x + (1 − m) y + m − = (β) : mx + (2m + 1) z + 4m + = Xác định m để d song song với (P ) Lời giải Mặt phẳng (P ), (α) (β) có vectơ pháp tuyến − → −−→ −−→ n− (P ) = (2; −1; 0), n(α) = (2m + 1; − m; 0), n(β) = (m; 0; 2m + 1) →= − → −−→ Khi d nhận − u n− d (α) , n(β) = (1 − m)(2m + 1); −(2m + 1) ; −m(1 − m) làm vectơ phương Lấy M (0; 1; −2) ∈ d, ta có M ∈ (P ) nên →.− −→ d||(P ) ⇔ − u d n(P ) = ⇔ 2(1 − m)(2m + 1) + (2m + 1) = ⇔ m = − Bài tập 6.53 (D-09) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 1; 0) , B (1; 2; 2) , C (1; 1; 0) mặt phẳng (P ) : x + y + z − 20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P ) −−→ Lời giải Đường thẳng AB quaA(2; 1; 0) nhận AB = (−1; 1; 2) làm vectơ phương  x = − t Do AB có phương trình y = + t   z = 2t −−→ Ta có D ∈ AB ⇒ D(2 − t; + t; 2t) ⇒ CD = (1 − t; t; 2t) −−→ −→ Nhận thấy C ∈ / (P ) nên CD||(P ) ⇔ CD.− n(P ) = ⇔ − t + t + 2t = ⇔ t = − Vậy D Bài tập 6.54 Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1 : d2 : x−3 y−1 z−1 = = −7 ; ; −1 2 x−7 y−3 z−9 = = −1 Lời giải Gọi ∆ đường vng góc chung d1 d2 giả sử ∆ ∩ d1 = M, ∆ ∩ d2 = N Ta có M (7 + t1 ; + 2t1 ; − t1 ), N (3 − 7t2 ; + 2t2 ; + 3t2 ) −−→ Suy M N = (−4 − t1 − 7t2 ; −2 − 2t1 + 2t2 ; −8 + t1 − 3t2 ) −−→ −→ M N ud1 = −4 − t1 − 7t2 − − 4t1 + 4t2 + − t1 + 3t2 = t1 = Khi ⇔ ⇔ −−→ −→ 28 + 7t + 49t − − 4t + 4t − 24 + 3t − 9t = t2 = 2 M N ud2 = −−→ Suy M (7; 3; 9), M N = (−4; −2; −8) −−→ Đường thẳng ∆ qua M (7;  3; 9) nhận M N = (−4 − − 8) làm vectơ phương  x = − 4t Vậy ∆ có phương trình y = − 2t   z = − 8t http://mathqb.eazy.vn 15 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 6.55 Viết phương trình đường thẳng qua A (1; −1; 1) cắt hai đường thẳng d : x y+1 z−2 z−3 ,d : = = −1 −2 x−1 y = = Lời giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm giả sử ∆ ∩ d = M, ∆ ∩ d = N −−→ −−→ Ta có M (1 + 2t; t; − t), N (t ; −1 − 2t ; + t ) ⇒ AM = (2t; + t; − t), AN = (−1 + t ; −2t ; + t ) −−→ −−→ Suy AM , AN = (2tt − t − t + 5; −3tt − t + 2t − 2; tt − 3t − t + 1)   2tt − t − t + = −−→ −−→ −−→ → − t= −3tt − t + 2t − = ⇔ Vì A ∈ ∆ nên AM , AN = ⇔ ⇒ AN = (−8; 14; −6)  t = −7 tt − 3t − t + = −−→ Đường thẳng ∆ qua A(1; −1; 1) nhận AN = (−8; 14; −6) làm vectơ phương   x = − 8t Vậy ∆ có phương trình y = −1 + 14t   z = − 6t Bàitập 6.56 Viết phương  trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (Oxz) cắt hai đường thẳng  x = − 2t  x=t y = −3 + t y = −4 + t , d : d:   z = − 5t z =3−t → Lời giải Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến − n− Oxz = (0; 1; 0) Gọi ∆ đường thẳng cần tìm giả sử ∆ ∩ d = M, ∆ ∩ d = N −−→ Ta có M (t; −4 + t; − t), N (1 − 2t ; −3 + t ; − 5t ) ⇒ M N = (1 − t − 2t ; − t + t ; + t − 5t ) −−→ −−−→ Suy M N , − n(Oxz) = (−1 − t + 5t ; 0; − t − 2t )    t= −−→ −−−−→ → − −1 − t + 5t = ⇒ M ; − 25 ; 18 ⇔ Vì ∆⊥(Oxz) nên M N , n(Oxz) = ⇔ − t − 2t =  7  t = 25 18 → Đường thẳng ∆ qua M ;− ; nhận − n− Oxz = (0; 1; 0) làm vectơ phương 7    x=    25 Vậy ∆ có phương trình y = − + t     z = 18 Bài tập 6.57 (B-04) Trong không gian Oxyz, cho A (−4; −2; 4) d : x+3 y−1 z+1 = = Viết −1 phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt vng góc với d   x = −3 + 2t − Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương → u = (2; −1; 4) phương trình tham số y = − t   z = −1 + 4t −−→ Giả sử ∆ ∩ d = M , ta có M (−3 + 2t; − t; −1 + 4t) ⇒ AM = (1 + 2t; − t; −5 + 4t) −−→ − −−→ Lại có ∆⊥d nên AM → u = ⇔ + 4t − + t − 20 + 16t = ⇔ t = ⇒ AM = (3; 2; −1) −−→ Đường thẳng ∆ qua A (−4; −2; 4) nhận AM = (3; 2; −1) làm vectơ phương   x = −4 + 3t Vậy ∆ có phương trình y = −2 + 2t   z =4−t x+2 y−2 z = = (P ) : x + 2y − 3z + = 1 −1 Viết phương trình đường thẳng d nằm (P ) cho d cắt vng góc với ∆ Bài tập 6.58 (D-09) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : 16 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian − Lời giải Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; 2; −3) → − Đường thẳng ∆ có vectơ phương u = (1; 1; −1)    x = −3 x + = y − = z 1 −1 ⇔ y = Tọa độ giao điểm M ∆ (P ) nghiệm hệ ⇒ M (−3; 1; 1)  x + 2y − 3z + =  z=1 → − → − Đường thẳng d qua M (−3;  1; 1) nhận [ n , u ] = (1; −2; −1) làm vectơ phương  x = −3 + t Vậy d có phương trình y = − 2t   z =1−t   x = −1 + 2t x y−1 z+2 y =1+t Bài tập 6.59 (A-07) Trong không gian Oxyz, cho d1 : = = d2 :  −1 z=3 a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình d vng góc với (P ) : 7x + y − 4z = cắt hai đường thẳng d1 , d2 Lời giải → = (2; −1; 1) a) Đường thẳng d1 qua M1 (0; 1; −2) có vectơ phương − u − → Đường thẳng d2 qua M2 (−1; 1; 3) có vectơ phương u2 = (2; 1; 0) → − −−−−→ →, − → − → − → −−−−→ Ta có [− u u2 ] = (−1; 2; 4) = , M1 M2 = (−1; 0; 5) ⇒ [u1 , u2 ] M1 M2 = + + 20 = 21 = Do d1 d2 chéo − b) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (7; 1; −4) Giả sử d ∩ d1 = M, d ∩ d2 = N , ta có M (2t1 ; − t1 ; −2 + t1 ), N (−1 + 2t; + t; 3) −−→ −−→ − Suy M N = (−1−2t1 +2t; t1 +t; 5−t1 ) ⇒ M N , → n = (−3t1 − 4t − 5; −15t1 + 8t + 31; −9t1 − 5t − 1)   −3t1 − 4t − = −−→ − → − t1 = −15t1 + 8t + 31 = ⇔ Lại có d⊥(P ) nên M N , → n = ⇔ ⇒ M (2; 0; −1) t = −2  −9t1 − 5t − = → − Đường thẳng d qua M (2;  0; −1) nhận n = (7; 1; −4) làm vectơ phương  x = + 7t Vậy d có phương trình y = t   z = −1 − 4t x−2 y+1 z+1 = = mặt −1 −1 phẳng (P ) : 2x + y − 2z = Đường thẳng ∆ nằm (P ) vng góc với d giao điểm d (P ) Viết phương trình đường thẳng ∆ Bài tập 6.60 (CĐ-2012) Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d : Lời giải Tọa độ giao điểm M d (P ) nghiệm hệ    x − = y + = z + x = −1 −1 ⇔ y = −2 2x + y − 2z =   z=0 ⇒ M (1; −2; 0) − − Đường thẳng d có vectơ phương → u = (−1; −1; 1), (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (2; 1; −2) → − → − Đường thẳng ∆ qua M (1; −2; 0) nhận [ u , n ] = (1; 0; 1) làm vectơ phương  x = + t  Vậy ∆ có phương trình y = −2   z=t §4 Hình Chiếu Bài tập 6.61 Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 4; 2) mặt phẳng (α) : x + y + z − = Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc A lên (α) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua (α) http://mathqb.eazy.vn 17 Nguyễn Minh Hiếu − Lời giải Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến → n = (1; 1; 1) → − Đường thẳng AH qua A(1; 4;2) nhận n = (1; 1; 1) làm vectơ phương  x = + t Do AH có phương trình y = + t   z =2+t     x = + t x = −1       y = + t y = Tọa độ H thỏa mãn hệ ⇔ ⇒ H(−1; 2; 0)   z = + t z =       x + y + z − = t = −2 Điểm A đối xứng với A qua (α) ⇔ H trung điểm AA ⇒ A (−3; 0; −2) y−1 z x−2 = = Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc A lên ∆ Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua ∆   x = + t → − Lời giải Đường thẳng ∆ có vectơ phương u = (1; 2; 1) phương trình tham số y = + 2t   z=t −−→ Ta có H ∈ ∆ ⇒ H(2 + t; + 2t; t) ⇒ AH = (1 + t; + 2t; t) −−→ − 1 ; 0; − Khi AH.→ u = ⇔ + t + + 4t + t = ⇔ t = − ⇒ H 2 Điểm A đối xứng với A qua ∆ ⇔ H trung điểm AA ⇒ A (2; 0; −1) Bài tập 6.62 Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) ∆ : y+2 z−3 x−2 = = −1 x−1 y−1 z+1 d2 : = = Tìm A đối xứng với A qua d1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, −1 vng góc d1 cắt d2   x = + 2t1 − → Lời giải Đường thẳng d1 có vectơ phương u1 = (2; −1; 1) phương trình tham số y = −2 − t1   z = + t1   x = − t2 − → Đường thẳng d2 có vectơ phương u2 = (−1; 2; 1) phương trình tham số y = + 2t2   z = −1 + t2 −−→ Gọi H hình chiếu A d1 , ta có H ∈ d1 ⇒ H(2+2t1 ; −2−t1 ; 3+t1 ) ⇒ AH = (1+2t1 ; −4−t1 ; t1 ) −−→ → Khi AH.− u1 = ⇔ + 4t1 + + t1 + t1 = ⇔ t1 = −1 ⇒ H(0; −1; 2) Điểm A đối xứng với A qua d1 ⇔ H trung điểm AA ⇒ A (−1; −4; 1) −−→ Giả sử ∆ ∩ d2 = N ⇒ N (1 − t2 ; + 2t2 ; −1 + t2 ) ⇒ AN = (−t2 ; −1 + 2t2 ; −4 + t2 ) −−→ → −−→ Vì ∆⊥d1 nên AN − u1 = ⇔ −2t2 + − 2t2 − + t2 = ⇔ t2 = −1 ⇒ AN = (1; −3; −5) −−→ Đường thẳng ∆ qua A(1; 2; 3) nhận AN = (1; −3; −5) làm vectơ phương  x = + t Vậy ∆ có phương trình y = − 3t   z = − 5t Bài tập 6.63 (D-06) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3); d1 : Bài tập 6.64 Trong không gian Oxyz, cho d : x y−1 z−3 = = (P ) : x + y + z − 10 = Viết −1 phương trình hình chiếu d d lên (P ) Lời giải Tọa độ giao điểm A d (P ) nghiệm hệ    x y − z −  = x = = −1 ⇔ y = −2 x + y + z − 10 =   z=6 18 ⇒ A(6; −2; 6) http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian − Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; 1; 1), đường thẳng d qua điểm M (0; 1; 3) Gọi H hình chiếu M (P ) − Đường thẳng M H qua M (0;  1; 3) nhận → n (1; 1; 1) làm vectơ phương x = t  Do M H có phương trình y = + t   z =3+t     x = t  x =     y = + t y = Tọa độ H thỏa mãn hệ ⇔ ⇒ H(2; 3; 5)   z = + t z =       x + y + z − 10 = t = −−→ Đường thẳng d qua H(2; 3; 5) nhận AH = (−4; 5; −1) làm vectơ phương  x = − 4t Vậy d có phương trình y = + 5t   z =5−t Bài tập 6.65 Trong không gian Oxyz, cho d : y+1 z−2 x−1 = = (P ) : x + 2y − 2z − = 0.Viết 2 phương trình hình chiếu d d lên (P ) − Lời giải Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; 2; −2) − Đường thẳng d qua điểm M (1; −1; 2) có vectơ phương → u = (2; 1; 2) Nhận thấy d||(P ) nên gọi H hình chiếu M (P ) d qua H d ||d − Đường thẳng M H qua M (1;  −1; 2) nhận → n (1; 2; −2) làm vectơ phương  x = + t Do M H có phương trình y = −1 + 2t   z = − 2t     x = + t x=2       y = −1 + 2t y = Tọa độ H thỏa mãn hệ ⇔ ⇒ H(2; 1; 0)   z = − 2t z =         x + 2y − 2z − = t=1 → − Đường thẳng d qua H(2; 1; 0) nhận u (2; 1; 2) làm vectơ phương  x = + 2t Vậy d có phương trình y = + t   z = 2t Bài tập 6.66 Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình d đối xứng d : (P ) : x − y + 2z − 13 = y−1 z−2 x−4 = = qua −4 Lời giải Tọa độ giao điểm A d (P ) nghiệm hệ   x = ⇔ y=0   z=6  x − = y − = z − −4 x − y + 2z − 13 = ⇒ A(1; 0; 6) − Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; −1; 2), đường thẳng d qua điểm M (4; 1; 2) Gọi H hình chiếu M (P ) − Đường thẳng M H qua M (4;  1; 2) nhận → n (1; −1; 2) làm vectơ phương  x = + t Do M H có phương trình y = − t   z = + 2t http://mathqb.eazy.vn 19 Nguyễn Minh Hiếu     x = + t x=5       y = − t y = Tọa độ H thỏa mãn hệ ⇔ ⇒ H(5; 0; 4)   z = + 2t z=4       x − y + 2z − 13 = t = Gọi M đối xứng M qua (P ) ⇒ H trung điểm M M ⇒ M = (6; −1; 6) −−→ Đường thẳng d qua M (6; −1; 6) nhận AM = (5; −1; 0) làm vectơ phương   x = + 5t Vậy d có phương trình y = −1 − t   z=6 y z−2 x−1 = = 2 Tìm toạ độ hình chiếu vng góc A d Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α) lớn   x = + 2t → − Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương u = (2; 1; 2) phương trình tham số y = t   z = + 2t −−→ Gọi H hình chiếu A d, ta có H ∈ d ⇒ H(1 + 2t; t; + 2t) ⇒ AH = (−1 + 2t; −5 + t; −1 + 2t) −−→ − Khi AH.→ u = ⇔ −2 + 4t − + t − + 4t = ⇔ t = ⇒ H(3; 1; 4) Gọi K hình chiếu A (α) ta có d(A, (α)) = AK ≤ AH Do d(A, (α)) lớn AK = AH ⇔ K ≡ H −−→ Khi (α) qua H(3; 1; 4) nhận AH = (1; −4; 1) làm vectơ pháp tuyến Vậy (α) có phương trình (x − 3) − 4(y − 1) + (z − 4) = ⇔ x − 4y + z − = Bài tập 6.67 (A-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) đường thẳng d : Bài tập 6.68 (CĐ-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (1; −2; 3) , B (−1; 0; 1) (P ) : x + y + z + = AB Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P ) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính , có tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P ) − Lời giải Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; 1; 1) Gọi H hình chiếu A (P ) → − Đường thẳng AH qua A(1; −2; 3) nhận n (1; 1; 1) làm vectơ phương   x = + t Do AH có phương trình y = −2 + t   z =3+t     x = + t x = −1       y = −2 + t y = −4 Tọa độ H thỏa mãn hệ ⇔ ⇒ H(−1; −4; 1)   z = + t z =         x+y+z+4=0 t = −2 √ √ −−→ AB = Ta có AB = (−2; 2; −2) ⇒ AB = ⇒ (S) có bán kính R = −−→ Đường thẳng AB qua A(1; −2;  3) nhận AB = (−2; 2; −2) làm vectơ phương  x = − 2t Do AB có phương trình y = −2 + 2t   z = − 2t Gọi I tâm mặt cầu (S), ta có I ∈ AB ⇒ I(1 − 2t; −2√ + 2t; − 2t) |t + 6| t = −5 = Lại có (S) tiếp xúc (P ) nên d (I, (P )) = R ⇔ √ ⇔ t = −7 3 Với t = −5 ⇒ I(−4; 3; −2) ⇒ (S) có phương trình (x + 4)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 = 2 Với t = −7 ⇒ I(−6; 5; −4) ⇒ (S) có phương trình (x + 6) + (y − 5) + (z + 4) = 20 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Bài tập 6.69 Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x+2y−2z−7 = (S) : x2 +y +z −4x+2y−2z−10 = Chứng minh (P ) cắt (S) theo đường tròn Tìm tâm bán kính đường trịn Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 1) bán kính R = − Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; 2; −2) |2 − − − 7| Ta có d (I, (P )) = √ = < R ⇒ (P ) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đpcm) 1+4+4 Gọi K tâm đường tròn giao tuyến ta có K hình chiếu I (P ) → − Đường thẳng IK qua I(2; −1;  1) nhận n = (1; 2; −2) làm vectơ phương  x = + t Do IK có phương trình y = −1 + 2t   z = − 2t     x = + t    x =   y = −1 + 2t y = Tọa độ K thảo mãn hệ ⇔ ⇒ K(3; 1; −1)   z = − 2t z = −1       x + 2y − 2z − = t = √ Vậy đường trịn giao tuyến có tâm K(3; 1; −1) bán kính r = R2 − d2 (I, (P )) = Bài tập 6.70 (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x − 2y − z − = (S) : x2 + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh (P ) cắt (S) theo đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) bán kính R = − Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (2; −2; −1) |2 − − − 4| = < R ⇒ (P ) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đpcm) Ta có d (I, (P )) = √ 4+4+1 Gọi K tâm đường trịn giao tuyến ta có K hình chiếu I (P ) − Đường thẳng IK qua I(1; 2;3) nhận → n = (2; −2; −1) làm vectơ phương  x = + 2t Do IK có phương trình y = − 2t   z =3−t   x = + 2t x =       y = − 2t y = Tọa độ K thảo mãn hệ ⇔ ⇒ K(3; 0; 2)   z =3−t z=2       2x − 2y − z − = t = Vậy đường trịn giao tuyến có tâm K(3; 0; 2) bán kính r = R2 − d2 (I, (P )) = Bài tập 6.71 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 3; 0) , B (3; 0; 3) , C (0; 3; 3) , D (3; 3; 3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi mặt cầu cần tìm (S) : x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = a2 + b2 + c2 > d    a=   18 − 6a − 6b + d =       18 − 6a − 6c + d = b= Vì (S) qua A, B, C, D nên ta có hệ ⇔ (thỏa mãn) 18 − 6b − 6c + d =       c=   27 − 6a − 6b − 6c + d =   d=0 Do mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D có phương trình (S) : x2 + y + z − 3x − 3y − 3z = 3 Mặt cầu S có tâm I ; ; 2 −−→ −→ −−→ −→ Ta có AB = (0; −3; 3), AC = (−3; 0; 3) ⇒ AB, AC = (−9; −9; −9) −−→ −→ Mặt phẳng (ABC) qua A(3; 3; 0) nhận AB, AC = (−9; −9; −9) làm vectơ pháp tuyến Do (ABC) có phương trình −9(x − 3) − 9(y − 3) − 9z = ⇔ x + y + z − = http://mathqb.eazy.vn 21 Nguyễn Minh Hiếu Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC ta có K hình chiếu I (ABC)   x= +t    Đường thẳng IK có phương trình y = + t     z = + t    x= +t   x=2         y = + t y = Tọa độ K thỏa mãn hệ ⇒ K(2; 2; 2) ⇔ z=2       z = + t     t =  x+y+z−6=0 Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có tâm K(2; 2; 2) Bài tập 6.72 (D-2012) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P ) theo đường trịn có bán kính √ |4 + − + 10| √ = ⇒ mặt cầu cần tìm có bán kính R = 16 + = 4+1+4 Mặt cầu cần tìm có tâm I(2; 1; 3) bán kính R = nên có phương trình (x−2)2 +(y−1)2 +(z−3)2 = 25 Lời giải Ta có d(I, (P )) = §5 Góc Và Khoảng Cách Bài tập 6.73 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD Tính góc khoảng cách hai cạnh AB CD biết A (3; −1; 0) , B (0; −7; 3) , C (−2; 1; −1) , D (3; 2; 6) −−→ −−→ −→ −−→ −−→ Lời giải Ta có AB = (−3; −6; 3), CD = (5; 1; 7), AC = (−5; 2; −1) ⇒ AB, CD = (−45; 36; 27) −−→ −−→ Dễ thấy AB.CD = −15 − + 21 = ⇒ AB⊥CD ⇒ góc AB CD 900 −−→ −−→ −→ AB, CD AC √ |225 + 72 − 27| =√ = Và d (AB, CD) = −−→ −−→ 2025 + 1296 + 729 AB, CD x+1 y−2 z+3 = = −1 a) Viết phương trình tổng qt mặt phẳng qua A vng góc với d b) Tính khoảng cách từ A đến d Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với d Bài tập 6.74 (TN-09) Trong không gian Oxyz, cho A (1; −2; 3) d : Lời giải − a) Đường thẳng d qua M (−1; 2; −3) có vectơ phương → u = (2; 1; −1) − Gọi (P ) mặt phẳng cần tìm ⇒ (P ) qua A(1; −2; 3) nhận → u = (2; 1; −1) làm vectơ pháp tuyến Vậy (P ) có phương trình 2(x − 1) + (y + 2) − (z − 3) = ⇔ 2x + y − z + = −−→ → AM , − u √ −−→ −−→ → − b) Ta có AM = (−2; 4; −6) ⇒ AM , u = (2; −14; −10) ⇒ d(A, d) = = → − |u| √ Gọi (S) mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có tâm A(1; −2; 3) bán kính R = d(A, d) = Vậy (S) có phương trình (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 50 x−1 y+3 z−3 = = (P ) : 2x + y − 2z + = −1 a) Tìm điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến (P ) b) Tìm giao điểm A d (P ) Lập phương trình ∆ nằm (P ), qua A vuông với d Bài tập 6.75 (A-05) Trong không gian Oxyz, cho d : Lời giải a) Ta có I ∈ d ⇒ I(1 − t; −3 + 2t; + t) |2 − 2t − + 2t − − 2t + 9| √ Khi d (I, (P )) = ⇔ =2⇔ 4+1+4 Do I(−3; 5; 7) I(3; −7; 1) 22 t=4 t = −2 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian    y + z − x − x =  = = −1 ⇔ y = −1 ⇒ A(0; −1; 4) b) Tọa độ A nghiệm hệ  2x + y − 2z + =  z=4 → − − Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n = (2; 1; −2), đường thẳng d có vectơ phương → u = (−1; 2; 1) → − → − Đường thẳng ∆ qua A(0; −1; 4) nhận [ n , u ] = (5; 0; 5) làm vectơ phương   x = 5t Do ∆ có phương trình y = −1   z = + 5t Bài tập 6.76 (TN-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3; −2; −2) (P ) : 2x − 2y + z − = a) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với (P ) b) Tính d (A, (P )).Viết phương trình (Q) cho (Q) song song (P ) d ((P ) , (Q)) = d (A, (P )) Lời giải − a) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (2; −2; 1) − Gọi ∆ đường thẳng cần tìm ⇒ ∆ qua A(3; −2; −2) nhận → n = (2; −2; 1) làm vectơ phương  x = + 2t  Do ∆ có phương trình y = −2 − 2t   z = −2 + t |6 + − − 1| = b) Ta có d (A, (P )) = √ 4+4+1 Mặt phẳng (Q)||(P ) nên có phương trình dạng 2x − 2y + z + d = (d = −1) Mặt phẳng (P ) qua M (0; 0; 1) 7 |d + 1| d=6 Khi d ((P ) , (Q)) = d (A, (P )) ⇔ d (M, (Q)) = ⇔ √ = ⇔ d = −8 3 4+4+1 Vậy (Q) : 2x − 2y + z + = (P ) : 2x − 2y + z − = x y−1 z = = (P ) : 2x − y + 2z − = −2 1 a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với (P ) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách góc tọa độ O (P ) Bài tập 6.77 (CĐ-2010) Trong không gian Oxyz, cho d : Lời giải − a) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (2; −1; 2) − Đường thẳng d qua A(0; 1; 0) có vectơ phương → u = (−2; 1; 1) − − Gọi (α) mặt phẳng cần tìm ⇒ (α) qua A(0; 1; 0) nhận [→ n,→ u ] = (−3; −6; 0) làm vectơ pháp tuyến Do (α) có phương trình −3x − 6(y − 1) = ⇔ x + 2y − = √ −−→ b) Ta có M ∈ d ⇒ M (−2t; + t; t) ⇒ OM = (−2t; + t; t) ⇒ OM = 6t2 + 2t + |−4t − − t + 2t − 2| √ Lại có d (M, (P )) = OM ⇔ = 6t2 + 2t + ⇔ t = Vậy M (0; 1; 0) 4+1+4 x−1 y+1 z−1 = = Viết −3 1√ phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; −3) cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = 26 Bài tập 6.78 (CĐ-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : − Lời giải Đường thẳng d qua M (1; −1; 1) có vectơ phương → u = (4; −3; 1) −−→ → √ √ IM , − u −−→ −−→ → 81 + 256 + 144 74 − Ta có IM = (0; −3; 4) ⇒ IM , u = (9; 16; 12) ⇒ d(I, d) = = √ = → − |u| 16 + + Gọi (S) mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có bán kính R = d2 (I, d) + AB 2 = tâm I(1; 2; −3) Vậy (S) có phương trình (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 25 x+2 y−2 z+3 = = Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B, C cho BC = Bài tập 6.79 (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (0; 0; −2) ∆ : http://mathqb.eazy.vn 23 Nguyễn Minh Hiếu − Lời giải Đường thẳng ∆ qua M (−2; 2; −3) có vectơ phương → u = (2; 3; 2) −−→ → √ AM , − u −−→ −−→ → 49 + + 100 − = √ Ta có AM = (−2; 2; −1) ⇒ AM , u = (7; 2; −10) ⇒ d(A, d) = = → − |u| 4+9+4 Gọi (S) mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có bán kính R = d2 (A, d) + AB 2 = tâm A(0; 0; −2) Vậy (S) có phương trình x2 + y + (z + 2)2 = 25 −→ Bài tập 6.80 (B-03) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 0; 0) , B (0; 0; 8) điểm C cho AC = (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA −→ Lời giải Ta có A(2; 0; 0), AC = (0; 6; 0) ⇒ C(2; 6; 0), I trung điểm BC ⇒ I(1; 3; 4) −→ −→ −→ −→ Khi OA = (2; 0; 0), OI = (1; 3; 4) ⇒ OA, OI = (0; −8; 6) −→ −→ √ OA, OI 64 + 36 √ = Do d(I, OA) = = −→ OA   x=3+t x−2 y−1 z y=t Bài tập 6.81 (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆1 : ∆2 : = = Xác  2 z=t định tọa độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆2 → = (2; 1; 2) Lời giải Đường thẳng ∆2 qua A(2; 1; 0) có vectơ phương − u −−→ −−→ − → = (t − 2; −2; − t) Ta có M ∈ ∆1 ⇒ M (3 + t; t; t) ⇒ AM = (1 + t; −1 + t; t) ⇒ AM , u −−→ − √ → AM , u 2t2 − 10t + 17 t=1 √ = ⇔ =1⇔ Lại có d(M, ∆2 ) = ⇔ − → t=4 |u2 | 4+1+4 Vậy M (4; 1; 1) M (7; 4; 4) x−1 y z+2 = = (P ) : x − 2y + z = Gọi −1 √ C giao điểm ∆ (P ), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P ), biết M C =    x − = y = z + x = −1 −1 Lời giải Tọa độ C nghiệm hệ ⇔ y = −1 ⇒ C(−1; −1; −1) x − 2y + z =   z = −1 √ −−→ Ta có M ∈ ∆ ⇒ M (1 + 2t; t; −2 − t) ⇒ CM = (2 + 2t; + t; −1 − t) ⇒ CM = 6|t + 1| √ √ √ t=0 Lại có M C = ⇒ 6|t + 1| = ⇔ t = −2 |1 − 2| Với t = ⇒ M (1; 0; −2) ⇒ d(M, (P )) = √ =√ 1+4+1 | − + 4| Với t = −2 ⇒ M (−3; −2; 0) ⇒ d(M, (P )) = √ =√ 1+4+1 Vậy d(M, (P )) = √ Bài tập 6.82 (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : Bài tập 6.83 (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : x y−1 z = = Xác định tọa độ điểm M 2 trục hoành cho khoảng cách từ M đến ∆ OM − Lời giải Đường thẳng ∆ qua A(0; 1; 0) có vectơ phương → u = (2; 1; 2) −−→ Ta có M ∈ Ox ⇒ M (a; 0; 0) ⇒ OM = (a; 0; 0) ⇒ OM = |a| −−→ −−→ − Lại có AM = (a; −1; 0) ⇒ AM , → u = (−2; −2a; a + 2) −−→ → √ √ AM , − u 5a2 + 4a + 5a2 + 4a + Suy d(M, ∆) = = = √ → − |u| 4+1+4 24 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian √ Theo giả thiết d(M, ∆) = OM ⇔ 5a2 + 4a + = |a| ⇔ a = −1 a=2 Vậy M (−1; 0; 0) M (2; 0; 0) Bài tập 6.84 (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) , B (0; b; 0) , C (0; 0; c), (b, c > 0) (P ) : y − z + = Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P ) khoảng cách từ O đến (ABC) → Lời giải Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến − n− (P ) = (0; 1; −1) x y z Mặt phẳng (ABC) có phương trình đoạn chắn + + = ⇔ bcx + cy + bz − bc = b c −−→ = (bc; c; b) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến − n− (ABC)    − − → − − − − →  b−c=0  b= n(P ) n(ABC) = b=c bc ⇔ Ta có ⇔ = b4 + 2b2 ⇔ = 9b  √ 2  d(O, (ABC)) =  c= 3 b c + c2 + b2 Vậy b = c = x−1 y z Bài tập 6.85 (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = hai điểm −2 A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d Lời giải Gọi (S) mặt cầu cần tìm I tâm (S), ta có I ∈ d ⇒ I(1 + 2t; t; −2t) √ − → Khi AI = (−1 + 2t; −1 + t; −2t) ⇒ AI = 9t2 − 6t + √ −→ BI = (3 + 2t; −3 + t; −2 − 2t) ⇒ BI = 9t2 + 14t + 22 √ Lại có A, B ∈ (S) nên AI = BI ⇔ −6t + = 14t + 22 ⇔ t = −1 ⇒ I(−1; −1; 2) ⇒ R = AI = 17 Vậy mặt cầu (S) có phương trình (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 17 Bài tập 6.86 (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x − 2y + 2z − = hai đường thẳng x+1 y z+9 x−1 y−3 z+1 ∆1 : = = , ∆2 : = = Xác định điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách 1 −2 từ M đến ∆2 khoảng cách từ M đến (P ) → = (2; 1; −2) Lời giải Đường thẳng ∆2 qua A(1; 3; −1) có vectơ phương − u −−→ Ta có M ∈ ∆1 ⇒ M (−1 + t; t; −9 + 6t) ⇒ AM = (−2 + t; −3 + t; −8 + 6t) −−→ − → AM , u −−→ − → Suy AM , u2 = (14 − 8t; −20 + 14t; − t) ⇒ d (M, ∆2 ) = = 29t2 − 88t + 68 − → |u2 | t=1 |−1 + t − 2t − 18 + 12t − 1| √ Do d(M, (P )) = d (M, ∆2 ) ⇔ = 29t2 − 88t + 68 ⇔ 53 t= 1+4+4 35 53 18 53 18 53 Với t = ⇒ M (0; 1; −3); với t = ⇒M ; ; Vậy M (0; 1; −3) M ; ; 35 35 35 35 35 35 35 x−2 y+1 z Bài tập 6.87 (B-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = mặt phẳng −2 −1 (P ) : x + y + z − = Gọi √ I giao điểm ∆ (P ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho M I vng góc với ∆ M I = 14 − Lời giải Đường thẳng ∆ có vectơ phương → u = (1;  −2; −1)   x = x − = y + = z −2 −1 ⇔ y = ⇒ I(1; 1; 1) Tọa độ I nghiệm hệ x + y + z − =   z=1 √ −−→ Gọi M (a; b; c) ta có IM = (a − 1; b − 1; c − 1) ⇒ IM = a2 + b2 + c2 − 2a − 2b − 2c +    a=5        b=9 M ∈ (P ) a + b + c − =  −−→ →  c = −11 Theo giả thiết ta có IM − ⇔ a − − 2(b − 1) − (c − 1) = ⇔ u =0    √     a = −3 a + b2 + c2 − 2a − 2b − 2c + = 224 IM = 14  b = −7  c = 13 http://mathqb.eazy.vn 25 Nguyễn Minh Hiếu Vậy M (5; 9; −11) M (−3; −7; 13) x+2 y−1 z+5 = = hai −2 điểm A (−2;√1; 1), B (−3; −1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác M AB có diện tích −−→ −−→ Lời giải Ta có M ∈ ∆ ⇒ M (−2 + t; + 3t; −5 − 2t), AB = (−1; −2; 1), AM = (t; 3t; −6 − 2t) −−→ −−→ −−→ −−→ 1√ 3t + 36t + 180 Khi AB, AM = (12 + t; −6 − t; −t) ⇒ S∆M AB = 21 AB, AM = √ √ √ t=0 Lại có S∆M AB = ⇒ 3t2 + 36t + 180 = ⇔ t2 + 12t = ⇔ t = −12 Vậy M (−2; 1; −5) M (−14; −35; 19) Bài tập 6.88 (B-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Bài tập 6.89 (A-04) Trong không gian Oxyz, cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A (2; 0; 0) , B (0; 1; 0) , S 0; 0; 2 Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM b) Gọi N giao điểm SD (ABM ), tính thể tích khối chóp S.ABM N Lời giải √ a) Ta có C(−2; 0; 0), D(0; −1; 0), M trung điểm SC ⇒ M (−1; 0; 2) √ −−→ √ −→ Khi SA = (2; 0; −2 2), BM = (−1; −1; 2) −→ −−→ √ SA.BM |−2 − 4| ⇒ α = 300 Gọi α góc SA BM ta có cos α = −→ −−→ = √ √ = 12 SA BM √ −→ −−→ −−→ Lại có SA, BM = −2 2; 0; −2 , AB = (−2; 1; 0) −→ −−→ −−→ SA, BM AB Do d (SA, BM ) = =√ =√ −→ −−→ 12 SA, BM √ 0; − ; √ √ −→ −−→ −→ −−→ Lại có SA = 2; 0; −2 , SM = (−1; 0; −2) , SB = 0; 1; −2 , SN = √ −→ −−→ Suy SA, SM = 0; 2; b) Ta có M N ||AB||CD ⇒ N trung điểm SD ⇒ N Vậy VS.ABM N = VS.AM B + VS.AM N = −→ −−→ −→ SA, SM SB + √ 0; − ; − √ √ −→ −−→ −−→ 2 √ SA, SM SN = + = 6 Bài tập 6.90 (D-04) Trong không gian Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC.A B C Biết A (a; 0; 0) , B (−a; 0; 0), C (0; 1; 0) , B (−a; 0; b) , (a > 0, b > 0) a) Tính khoảng cách hai đường thẳng B C AC b) Cho a, b thay đổi cho a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B C AC lớn Lời giải −−→ −−→ −−→ a) Ta có C (0; 1; b) ⇒ B C = (a; 1; −b), AC = (−a; 1; b), AB = (−2a; 0; b) −−→ −−→ −−→ B C, AC AB −−→ −−→ ab Suy B C, AC = (2b; 0; 2a) ⇒ d B C, AC = =√ −−→ −−→ a2 + b2 B C, AC ab ab √ a+b √ b) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có d B C, AC = √ ≤√ = √ ab ≤ √ = 2 a2 + b2 2ab √ Dấu xảy a = b = Vậy d (B C, AC ) đạt giá trị lớn a = b = Bài tập 6.91 (A-06) Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A B C D với A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), D (0; 1; 0) , A (0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB CD a) Tính khoảng cách hai đường thẳng A C M N b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A C tạo với (Oxy) góc α cho cos α = √ 26 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Lời giải 1 ; 0; , N trung điểm CD ⇒ N ; 1; 2 −−→ −−→ −−→ ; 0; −1 Ta có A C = (1; 1; −1), M N = (0; 1; 0), A M = −−→ −−→ −−→ A C, M N A M −−→ −−→ Suy A C, M N = (1; 0; 1) ⇒ d A C, M N = = √ −−→ −−→ 2 A C, M N −−→ = (0; 0; 1) b) Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến − n−(Oxy) → − → Gọi mặt phẳng cần tìm (P ) vectơ pháp tuyến (P ) − n− (P ) = (a; b; c) = → −−→ Khi (P ) chứa A C nên − n− (P ) A C = ⇔ a + b − c = ⇔ a + b = c (1) − → −−−−→ n− 1 |c| (P ) n(Oxy) Lại có cos α = √ ⇔ −−→ −−−−→ = √ ⇔ √ = √ ⇔ a2 + b2 = 5c2 (2) 2 n(P ) n(Oxy) 6 a +b +c a = −2b Thay (1) (2) ta có a2 + b2 = 5(a + b)2 ⇔ 2a2 + 5ab + 2b2 = ⇔ b = −2a → Với a = −2b ⇒ chọn a = 2, b = −1 ⇒ c = ⇒ − n− (P ) = (2; −1; 1) ⇒ (P ) : 2x − y + z − = − → Với b = −2a ⇒ chọn a = 1, b = −2 ⇒ c = −1 ⇒ n− (P ) = (1; −2; −1) ⇒ (P ) : x − 2y − z + = a) Ta có C(1; 1; 0), M trung điểm AB ⇒ M Bài tập 6.92 Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) , B (0; 1; 2) Tìm C ∈ Oz để (ABC) hợp với (α) : 2x − 2y − z + = góc 600 → Lời giải Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến − n− (α) = (2; −2; −1) −−→ −→ −−→ −→ −−→ Ta có C ∈ Oz ⇒ C(0; 0; c) ⇒ AB = (−1; 1; 2), AC = (−1; 0; c) ⇒ − n− (ABC) = AB, AC = (c; c − 2; 1) √ − → −−−−→ n− 1 2± (α) n(ABC) Theo giả thiết ta có −−→ −−−−→ = cos 60 ⇔ √ = ⇔c= 2 n(α) n(ABC) 2c2 − 4c + √ √ 2+ 2− Vậy C 0; 0; , C 0; 0; 2 Bài tập 6.93 (D-07) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; 2) , B (−1; 2; 4) ∆ : x−1 = −1 y+2 z = a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm tam giác OAB vuông góc với (OAB) b) Tìm điểm M thuộc ∆ cho M A2 + M B nhỏ Lời giải −→ −−→ −→ −−→ a) Ta có G(0; 2; 2), OA = (1; 4; 2), OB = (−1; 2; 4) ⇒ OA, OB = (12; −6; 6) −→ −−→ Đường thẳng d qua G(0; 2; 2) nhận OA, OB = (12; −6; 6) làm vectơ phương   x = 12t Do d có phương trình y = − 6t   z = + 6t −−→ −−→ b) Ta có M ∈ ∆ ⇒ M (1 − t; −2 + t; 2t) ⇒ AM = (−t; −6 + t; −2 + 2t), BM = (2 − t; −4 + t; −4 + 2t) Suy M A2 + M B = 12t2 − 48t + 76 = 12(t − 2)2 + 28 ≥ 28 Vậy M A2 + M B đạt giá trị nhỏ 28 t = ⇒ M (−1; 0; 4) Bài tập 6.94 (B-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x − 2y + 2z − = hai điểm A (−3; 0; 1), B (1; −1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P ), viết đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ − Lời giải Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; −2; 2) Gọi (Q) mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) song song với (P ) ⇒ (Q) có phương trình: x − 2y + 2z + = http://mathqb.eazy.vn 27 Nguyễn Minh Hiếu   x = + t Gọi H hình chiếu B (Q) ⇒ BH có phương trình y = −1 − 2t   z = + 2t    x=−    x = + t       y = −1 − 2t y = 11 11 ⇒ H − ; ; 79 Tọa độ H thỏa mãn hệ ⇔   9 z = + 2t   z=9     x − 2y + 2z + =   t = − Gọi ∆ đường thẳng cần tìm K hình chiếu B ∆ Ta có ∆ chứa (P ) nên d(B, ∆) = BK ≥ BH, d(B, ∆) đạt giá trị nhỏ K ≡ H −−→ 26 11 Khi ∆ qua A(−3; 0; 1) nhận AH = ; ;− làm vectơ phương 9  x = −3 + 26t  Vậy ∆ có phương trình: y = 11t   z = − 2t x−3 y+2 z+1 = = mặt phẳng −1 (P ) : x + y + z + = Gọi M giao điểm d (P ) Viết phương trình đường√thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P ), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ 42    x = x − = y + = z + −1 Lời giải Tọa độ M nghiệm hệ ⇔ y = −3 ⇒ M (1; −3; 0)  x + y + z + =  z=0 − → → Đường thẳng d có vectơ phương ud = (2; 1; −1), mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến − n− (P ) = (1; 1; 1) →, − −→ Ta có ∆ ⊂ (P ) ∆⊥d nên ∆ nhận − u d n(P ) = (2; −3; 1) vectơ phương Gọi H(x; y; z) hình chiếu M ∆ ta có Bài tập 6.95 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : −−→ M H = (x − 1; y + 3; z) ⇒ d(M, ∆) = M H = Theo giả thiết ta có      x2 + y + z − 2x + 6y + 10      −−→ −−→   M H.n(P ) =  x−1+y+3+z =0  −−→ − → − − →   2(x − 1) − 3(y + 3) + z = ⇔ ⇔ M H u√ , n = d (P )    2  x + y + z − 2x + 6y + 10 = 42 M H = 42   Suy H(5; −2; −5) H(−3; −4; 5)  x = + 2t  Vậy có hai phương trình ∆ ∆ : y = −2 − 3t   z = −5 + t 28   x = −3 + 2t ∆ : y = −4 − 3t   z =5+t x=5 y = −2 z = −5 x = −3 y = −4 z=5 http://mathqb.eazy.vn ... http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Bài tập 6.8 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (0; 4; 1) , B (1; 0; 1) , C (3; 1; −2) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC Lời... http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Bài tập 6.31 (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x + y + z − = (Q) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng... góc với ∆ Bài tập 6.58 (D-09) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : 16 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian − Lời giải Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến → n = (1; 2; −3)