Viết phương trình mặt cầu S1 có tâm là M và tiếp xúc với mặt phẳng P.. Viết phương trình mặt phẳng song song với P và tiếp xúc với mặt cầu S A.. d Viết phương trình mặt phẳng Q chứa CD v
Trang 1Chuyên Đề
7
Chuyên Đề
7
NGUYỄN BÁ LÂM Thpt Nguyễn Bỉnh Khiêm
1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I Tọa độ điểm :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1 M x( M;y z M; M) OM x i y j z k M M M
2 Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB)
ta có:AB(x B x y A; B y z A; B z A)
( B A) ( B A) ( B A)
AB x x y y z z
2
; 2
; 2
B A B A B
A x y y z z x
II Tọa độ của véctơ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
1 a ( ; ; )a a a1 2 3 a a i a j a k 1 2 3
2 Cho a( ; ; )a a a1 2 3 và b( ; ; )b b b1 2 3 ta có
a b (a1b a1; 2b a2; 3b3)
k a.(ka ka ka1; 2; 3)
a a12a22a32
2 1 12 22 2 2 3 23 2
s( , )
co a b
(với a0 , b0)
a và b vuông góc a b1 1 a b2 2a b3 3 0
avà b cùng phương
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
1 1
2 2
3 3
III.Các ứng dụng tích có hướng :
Trang 2 Diện tích tam giác : 1 [ , ]
2
ABC
Thểtích tứ diện : VABCD =1
[ , ]
Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ =[ AB AD AA, ] '
IV Phương trình mặt cầu :
1 Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính r :
(S): (x – a )2 +( y – b)2 + ( z – c )2 = r2
2 Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0
Có tâm I (-A; -B; - C ) , bán kính r = A2B2C2 D với A2B2C2 D0
B BÀI TẬP ( PHẦN 1 )
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính F AB AC, .(O A3C B)
b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3)
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật
b) Tính độ dài đường chéo B’D của hình hộp chữ nhật
c) Gọi G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BC’ và tam giác ACD’.Tính khoảng cách giữa G1 và G2
Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) , C(3; 1; –1).
a/ Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
Bài 4
a/.Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4),C(x ; y ; 6).Tìm x, y để A, B, C thẳng
hàng
b/ Tìm trên Oy điểm M cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1)
Bài 5 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8
b) Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)
Trang 3c) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
d) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy)
Bài 6 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm A(1; 2; -4), B(1; -3 ;1), C(2 ;2 ;3) và có tâm nằm trên
mp(Oxy)
b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz
c) Đi qua bốn điểm O( 0; 0 ; 0 ) , A(2 ; 2 ; 3), B(1 ; 2 ; – 4), C(1; – 3; – 1 )
Bài 7 : Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 và M ( 2; 2 ; – 1)
a/ Xác định tâm và bán kính của nặt cầu (S)
b/ Xét vị trí tương đối của điểm M và mặt cầu (S)
Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) :x y 2z 1 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2 x + 4y – 6z + 8 = 0
a/ Viết phương trình mặt cầu (S1) có tâm là M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I Phương trình mặt phẳng:
Định nghĩa :
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A,B,C không đồng
thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Nếu () : Ax + By + Cz + D = 0 thì có véctơ pháp tuyến là n( ; ; )A B C
Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận n( ; ; )A B C , n 0
làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0.
Nếu () có cặp vectơ a( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 2 3 b b b1 2 3 không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên ( ) thì vectơ pháp tuyến của ( ) được xác định ,
na b
Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trang 4Trong không gian Oxyz cho mp( ): Ax + By + Cz + D = 0 Khi đó:
D = 0 khi và chỉ khi ( )đi qua gốc tọa độ
A=0 , B 0 , C 0, D 0 khi và chỉ khi ( ) song song với trục Ox
A=0 , B = 0 , C 0, D 0 khi và chỉ khi ( ) song song mp (Oxy )
A,B,C,D 0 Đặt a D , b D ,c D
Khi đó ( ): x y z 1
(Các trường hợp khác nhận xét tương tự)
II Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (1): A x B y C z D1 1 1 10 và (2):
A x B y C z D
( ) // (’) 1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; )A B C k A B C( ; ; )
( ) ≡ ( ’) 1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; )A B C k A B C( ; ; )
( ) cắt (’) ( ; ; )A B C1 1 1 k A B C( ; ;2 2 2)
Đặc biệt :
() ( ’) n n 1 2 0 A A1 2B B1 2C C1 2 0
III: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
( ,( )) o 2 o 2 o 2
o
d M
B BÀI TẬP:( PHẦN 2)
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;2;2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(
-1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a) Mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;-3) và có vtpt n (1; 3;5)
Trang 5b) Mặt phẳng (P) đi qua B(3,-1,4) và song song với mặt phẳng x-2y+5z-1=0 c) Mặt phẳng (P) đi qua C(1,-1,0) và song song với mặt phẳng yOz
d/ Mặt phẳng (P) đi qua D(5,-1,-3)và vuông góc với đthẳng d:
Bài 3 Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau :
a) (P) đi qua M(2 ;3 ;2) và song song với giá hai véctơ u(1;1; 2); v ( 3;1; 2) b) (P) đi qua hai điểm M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song với trục Oy
c) (P) đi qua điểm M(1 ;-1 ;2) và chứa đường thẳng ( ) : 2 1 3
d) (P) đi qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) và vuông góc với mp (Q): 4x - y 2z 1 =
0
e) (P) đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M(4;-1;2) trên các mp tọa độ
f) (P) đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M(4;-1 ;2) trên các trục tọa độ
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x – y+2z - 4=0 và(Q):x - 2y- 2z+
4=0
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau
b) Tìm tọa độ giao điểm A,B,C của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz
c) Tính khoảng cách tử gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P)
d) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mp(Q)
Bài 5:Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;-1) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y - z + 2
= 0
a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P)
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và đi qua A(-1;2;3)
c) Lập phương trình mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q)
Trang 6Bài 7: Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x 2y2z 80 và A(3; -2; -4) a) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với (P)
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x+ky +3z –5 =0và(Q):mx6y
-6z+2=0
Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, khi đó hãy tính khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và (Q)
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I Phương trình đường thẳng:
Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ chỉ phương a( ; ; )a a a1 2 3 :
0 1
0 2
0 3
(t )
Nếu a 1 , a 2 , a 3 đều khác không Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:
II Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
' ' 1 1
' '
' '
'
'
o o
o
d có vtcpu đi qua Mo ; d’có vtcpu '
đi qua Mo’
u ,u ' cùng phương
d // d’
0
' '
u ku
d ≡ d’
0
' '
u ku
Trang 7 u ,u '
khơng cùng phương
' '
' '
' '
' ' '
o
(I)
d cắt d’ Hệ phương trình (I) cĩ một nghiệm
d chéo d’ Hệ phương trình (I) vơ nghiệm
2)Vị trí tương đốicủa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong khơng gian Oxyz cho (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và): Ax+By+Cz+D = 0 và
1
2
0 3
o
o
Phương trình : A(x o +a 1 t)+B(y o +a 2 t)+C(z 0 +a 3 t)+D = 0 (1)
Phương trình (1) vơ nghiệm thì d // (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và)
Phương trình (1) cĩ một nghiệm thì d cắt (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và)
Phương trình (1) cĩ vơ số nghiệm thì d(α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và)
Đặc biệt : (d) () a n , cùng phương
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Phương pháp :
Lập phương trình mp( ) đi qua M và vuơng gĩc với d
Tìm tọa độ giao điểm H của mp( ) và d
d(M, d) =MH
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
d điqua M(x0;y0;z0);cĩvtcp a( ; ; )a a a1 2 3 ; d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp
' ( ' ; ' ; ' )
a a a a
Phương pháp :
Lập phương trình mp( ) chứa d và song song với d’
d(d,d’)= d(M’,( ))
B.BÀI TẬP: (PHẦN 3 )
Bài 1:Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau :
a/.Phương trình đường thẳng d đi qua M(2;0;–3) và nhận a(2; 3;5) làm vecto chỉ phương
b/.Phương trình đường thẳng d đi qua M(–2; 6; –3) và song song với trục Oy
Trang 8c/.Phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 0; –3) và B(3, –1; 0).
d/.Phương trình đường thẳng d đi qua M(–2; 3;1) và song song với d:
e/ Đi qua điểm M (–2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – 2z = 0
Bài 2: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d: 1 2 3
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau :
a/ Đi qua điểm M(3; –1; 2) và song song với hai mặt phẳng
(P): x+3y – 2z +2= 0 và (Q):2x – y +z +1=0
b/ Đi qua điểm N(2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng
(d1): 1 3 2
; (d2): 2 1 1
c/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua K(1; 1; –2), song song với mặt phẳng
(P): x – y- z – 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng d: 1 1 2
Bài 4:
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng
(P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
b) Viết phương trình tham số của đuờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2P xy z40 , ( ) :Q x y2z20
Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một
đường
thẳng () : 9 2 ,
5 3
x t
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và) đi qua ba điểm A,B,C
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng ()
Bài 6 : a/.Viết phtrình đường thẳng nằm trong mp(P): x + 3y – z + 3 = 0 và vuông góc với đường thẳng d: 1 2 4
x y z
tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P)
Trang 9b/.Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;2;–1)vuông góc và cắt d’:
1
,
1
z
Bài 7:Cho hai dường thẳng 1
2 :
:
a/ Chứng minh rằng 1và 2 chéo nhau
b/.Viết phtrình mặt phẳng ( ) chứa 1và song song với 2.Tính d(1,2)
Bài 8:Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () và (’) lần lượt có phương
trình:
7 3
1 2
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng () và (’) cắt nhau Tìm tọa độ giao điểm H
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và) chứa () và (’)
c) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường thẳng ()
và (’)
Bài 9: Cho đường thẳng
2 ( ) : 4 , t
1 2
và mặt phẳng (P) : x + y + z –
4 = 0
a/ Tìm tọa độ giao điểm H của () và (P)
b/ Viết phương trình mặt phẳng(Q) chứa đường thẳng ()và vuông gócvới mặt phẳng (P)
Bài 10 :Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :
(d) :
3
2 2 ,( ) 3
, (S) : x2 + ( y – 1 )2 + (z – 1)2 = 5
Chứng tỏ đường thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau Tìm tọa độ điểm tiếp xúc
CÁC CÂU TRONG CÁC ĐỀ THI TN.THPT :
Bài 1: ( TN.THPT 2008 - cơ bản ):
Trang 10Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3 ; – 2 ; – 2 ) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0
1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) 2/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho song song với mặt phẳng (P)và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách
từ A đến (P)
Bài 2: ( TN.THPT 2008 - nâng cao ):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(1;4;–1) ,B(2; 4; 3) và C(2;2; –1)
1/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC 2/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài 3: ( TN.THPT 2009 - cơ bản ):
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + ( z – 2)2 = 36 và mặt phẳng (P) có phương trình (P):x + 2y +2z +18 = 0
1/ Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P)
2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
Bài 4: ( TN.THPT 2009 - nâng cao ):
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1 ; – 2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình
1 2 3
x y z
1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng
d
2/ Tình khoảng cách từ A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A , tiếp xúc với d
Bài 5: ( TN.THPT 2010 - cơ bản ):
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(1; 0; 0) ,B(0;2;0) và
C(0;0;3)
1/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
2/ Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Bài 6: ( TN.THPT 2010 - nâng cao ):
Trang 11Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng có phương trình
1 1
x y z
1/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng
2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa O và đường thẳng
Bài 7: ( TN.THPT 2011 - cơ bản ):
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 1; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0
1/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua
A và song song với mặt phẳng (P)
2/ Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P)
Bài 8: ( TN.THPT 2011 - nâng cao ):
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0; 0; 3) , B(– 1;– 2 ;1) và C( – 1;0;2)
1/ Viết phương trình mặt phẳng ( ABC)
2/ Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A
I HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ :( BÀI TẬP PHẦN 1)
Bài 1: a/ F = – 80 b/
OA AB
Bài 2: a/ C( 1;2;0) ; B’( 1;0;3) ; D’( 0;2;3) b/ B D ' 14 c/ 1 2 14
3
G G
Bài 3: a/ AB k AC
b/ D( 5 ; 1 ;0 )
Bài 4: a/ ( x = 5 ; y = 11 ) b/ (0;11;0)
6
Bài 5: a/ (S):(x 1)2y2(z1)2 16 b/.(S):
( ) ( 2) ( 2)
x y z
c/ (S):(x 2)2(y1)2(z 3)2 38 d/ (S):
(x2) (y 1) (z3) 9
Bài 6: a/.x2y2z24x y 21 0 b/ x2y2z2 z 10 0
Bài 7: a/ I( 4; – 1 ; 0) , R = 4 b/ M nằm bên trong mặt cầu (S) Bài 8: a/ (x 2)2(y 3)2z2 6 b/ (Q): x +y +2z -11 = 0
