Chủ đề: Hai đường thảng vuông góc (Hình học 11 - Chương III)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN − QUAN HỆ VNG GĨC §2 Hai đường thảng vng góc Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 chủ đề h đờng thẳng vuông góc A Tóm tắt lí thuyết Góc hai đờng thẳng không gian Định nghĩa 1: Góc hai đờng thẳng a, b góc hai đờng thẳng a, b qua điểm lần lợt song song với a b a a O b b Chú ý: Để xác ®Þnh gãc (a, b) ta cã thĨ lÊy ®iĨm O nằm hai đờng thẳng r r NÕu u , v theo thø tù lµ vectơ phơng đờng thẳng a, b vµ ( r r u , v ) = α góc hai đờng thẳng a b α hc 1800 − α t theo α ≤ 900 hợc > 900 hai đờng thẳng vuông góc Định nghĩa 2: Hai đờng thẳng gọi vuông góc víi nÕu gãc gi÷a chóng b»ng 900  NhËn xét: Cho hai đờng thẳng song song Đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ vuông góc với đờng thẳng thứ hai Tức là: a // b ⇒ c ⊥ b  c ⊥ a B ph¬ng pháp giải toán Vấn đề 1: Tính góc hai đờng thẳng chéo Phơng pháp áp dụng Để tính góc hai đờng thẳng chéo a b, ta lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta thực theo bớc: Bớc 1: Tìm góc việc lấy điểm O (thông thờng O ∈ a hc O ∈ b) Qua O dùng a’ vµ b’ theo thø tù song song víi a b Khi đó, góc avà b góc a vµ b TÝnh gãc: Sư dơng tû sè lợng giác góc tam giác vuông dùng định lí hàm số côsin tam giác thờng để xác định số đo góc a b Cách 2: Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: r r Bíc 1: Tìm hai vectơ u , v theo thứ tự vectơ phơng đờng thẳng a, b r r Bíc 2: TÝnh sè ®o cđa ( u , v ) = α sư dơng tÝch v« hớng Bớc 3: Khi đó, góc hai đờng thẳng a b 180 t theo α ≤ 900 hc α > 900 Bíc 2: VÝ dơ 1: (Bµi 16/tr 117 − Sbt): Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, cạnh bên SA = AB SA vuông góc với BC a Tính góc hai đờng thẳng SD BC b Gọi I J lần lợt điểm thuộc SB vµ SD cho IJ // BD Chøng minh góc AC IJ không phụ thuộc vào vị trí I J S Giải I a Tõ nhËn xÐt BC // AD, ta cã: J 900 = (SA, BC) = (SA, AD) ⇒ SA ⊥ AD A B · ⇒ (SD, BC) = (SD, AD) = SDA O D Trong ∆SAD, ta cã: C à SA = AB = AD SAD vuông cân A SDA = 450 Vậy, ta đợc (SD, BC) = 450 b Vì ABCD hình thoi nên AC BD, vì: IJ // BD (AC, IJ) = (AC, BD) = 900 − kh«ng phơ thc vÞ trÝ cđa I, J  NhËn xÐt: Nh vậy, lời giải ví dụ trên: Để tìm góc SD BC có AD // BC nên à nhận đợc góc SDA , số đo đợc xác định dựa hệ thức lợng tam giác vuông Tơng tự với AC IJ (có giả thiết IJ // BD) nhận đợc (AC, IJ) = 900 dựa tÝnh chÊt cđa h×nh thoi VÝ dơ 2: (Bµi 23/tr 118 − Sbt): Cho tø diƯn ABCD cã CD = AB Gäi I, J, K lần lợt trung điểm BC, AC, BD Cho biết JK = AB , tính góc đờng thẳng CD với đờng thẳng IJ AB Giải a Ta lần lợt: Với hai đờng thẳng CD vµ IJ ta cã: CD // IK ⇒ (CD, IJ) = (IK, IJ) C Đặt AB = a, ∆IJK ta cã ngay: JK = 5a a , IJ = AB = , 2 1 2a IK = CD = AB = 2 3 I J B A K suy ra:  D 2 25a  5a   2a   a  IK2 + IJ2 =  ÷ +  ÷ = =  ÷ = JK IJK vuông I 36   2   VËy, gãc gi÷a hai đờng thẳng CD IJ 900 Với hai đờng thẳng CD AB ta có: AB // IJ (CD, AB) = (CD, IJ) = 900 VÝ dô 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh BC, AD a HÃy tính cosin góc AB DM, biết ABCD tứ diện có cạnh a b HÃy tính góc AB CD, biết AB = CD = 2a MN = a Giải a Gọi E trung điểm AC, ta có: a EM // AB EM = (AB, DM) = (MD, ME) XÐt ∆DEM, ta cã: a DM = DE = , trung tuyÕn tam giác DM + EM DE · = = cos DME = 2DM.EM Vậy, ta đợc cos(AB, DM) = b Gọi O trung điểm BD, ta cã: ON // AB vµ ON = a OM // CD OM = a (AB, CD) = (OM, ON) Gọi I trung điểm MN, IME vuông I, ta có: D N O I A B M E C IM = MÔI = 600 OM MÔN = 2MÔI = 1200 ⇒ (OM, ON) = 1800 − 1200 = 600 Vậy, ta đợc (AB, CD) = 600 sinMÔI =  NhËn xÐt: Nh vËy, lêi gi¶i cđa vÝ dụ trên: câu a), để tìm góc AB DM lựa chọn điểm M DM để dựng đờng thẳng song song với AB, M, A, B thuộc mặt phẳng (ABC) dựa tính chất đờng trung bình để đặt vấn đề theo cách "Gọi E à trung điểm AC" Cuối cùng, côsin góc DME đợc tính dựa định lí hàm số côsin tam giác câu b), với hai đờng thẳng AB CD (hai cạnh đối tứ diện) chọn điểm đầu mút để dựng đờng thẳng song song với đờng thẳng lại không tạo đợc tam giác, tức tính đợc số đo góc tạo thành Và trờng hợp nh vậy, thờng chọn trung điểm đoạn thẳng nối (tức trung điểm AC, AD, BC, BD) để làm điểm xuất phát Khi thực yêu cầu này, em học sinh cần ghi nhớ "Góc hai đờng thẳng góc tù" Ví dụ 4: Cho h×nh chãp S.ABC cã SA = SB = SC = AB = AC = a vµ BC = a Tính góc hai đờng thẳng SC AB Giải Ta trình bày theo hai cách sau: C¸ch 1: Gäi M, N, P theo thø tù trung điểm SA, SB, AC Khi đó, ta nhËn thÊy: S  MP // SC ⇒ (SC, AB) = (MP, MN)  M  MN // AB Trong ∆MNP, ta cã: A MN + MP − NP ˆ cos NMP = (1) 2MN.MP P Ta lần lợt có: C a MN = AB = MN đờng trung bình, 2 a MP = SC = MP đờng trung bình 2 Trong SBP, theo định lí ®êng trung tuyÕn ta cã: N B (2) (3) PB2 + PS2 = 2NP2 + SB2 (4) Nhận xét rằng: Vì ABC vuông A (có AB2 + AC2 = BC2) nªn: a2 5a PB2 = AB2 + AP2 = a2 + = 4 a Vì SAC (có SA = SC = AC = a) nªn PS = a Thay (5), (6) vào (4), ta đợc NP = Thay (2), (3) vµ (7) vµo (1), ta đợc: cos NMP = NMP = 1200 Vậy, góc hai đờng thẳng SC vµ AB b»ng 1802 − 1202 = 600 uur uuu r Cách 2: Ta tính góc hai vectơ SC AB , ta có: uur uuu r uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu uuu r r r r uur uuu r SC.AB (SA + AC).AB SA.AB + AC.AB r cos( SC , AB ) = uur uuu = = | SC | | AB | SC.AB SC.AB Trong đó: Vì SAB (cã SA = SB = AB = a) nªn: uuu uuu r r a2 SA.AB = SA.AB.cos(1800 − S¢B) = a.a.cos1200 = − uuu uuu r r 2 Vì ABC vuông A (có AB + AC = BC ) nªn AC.AB = Tõ ®ã, ta ®ỵc: a2 uur uuu uur uuu r r − +0 cos( SC , AB ) = = − ⇒ ( SC , AB ) = 1200 a2 Vậy, góc hai đờng thẳng SC AB b»ng 1802 − 1202 = 600 uur uuu r Cách 3: Ta tính góc hai vectơ SC vµ AB , ta cã: uur uuu r uur uur uuu r uur uur uur uuu r uur uuu r SC.AB SC SB − SA SC.SB − SC.SA uur uuu = r cos( SC , AB ) = = | SC | | AB | SC.AB SC.AB Trong ®ã: uur uur Vì SBC vuông S (có SB2 + SC2 = BC2) nên SC.SB = Vì ∆SAC ®Ịu (cã SA = SC = AC = a) nªn: uur uuu r a2 SC.SA = SC.SA.cosASC = a.a.cos600 = Từ đó, ta đợc: ( ) (5) (6) (7) a uur uuu uur uuu r r 0− cos( SC , AB ) = = − ⇒ ( SC , AB ) = 120 2 a Vậy, góc hai đờng thẳng SC AB 1802 1202 = 600  NhËn xÐt: Nh vËy, lêi gi¶i cđa vÝ dụ trên: cách 1, góc SC AB đợc xác định dựa theo kinh nghiệm đà biết nhËn xÐt cđa vÝ dơ tríc  ë c¸ch 2, tính góc SC AB thông qua vectơ phơng Với cách thông thờng nhận đợc lời giải ngắn gọn Tuy nhiên, em học sinh cần có kiến thức tốt vectơ cách 3, với ý tởng nh trên, nhng biến đổi uuu uuu uur r r vectơ AB = SA SB để nhận đợc tích vô hớng vectơ gốc, nh chủ đề trớc đà đợc biết "Đối với tứ diện (hoặc gọi hình chóp) SACB thuuu uur uur r ờng chọn vectơ sơ sở SA, SB, SC để biểu diễn cho vectơ lại" ý tởng đợc thấy lại ví dơ tiÕp theo VÝ dơ 5: (Bµi 17/tr 117 − Sbt): Cho hình hộp ABCD.ABCD có cạnh à à · b»ng a, BAD = 600 , BAA ' = DAA ' = 1200 a Tính góc cặp đờng thẳng AB với AD AC với BD b Tính diện tích hình ABCD ACCA c Tính góc đờng thẳng AC đờng thẳng AB, AD, AA’  Gi¶i r r uuu r uuu r uuuu r r Đặt x = AB , y = AD , z = AA ' Sư dơng c«ng thức tích vô hớng lần lợt có: r r a2 r r r2 r2 r2 a2 r r a2 x.y = , y.z = − , z.x = − x = y = z = a2 2 b Ta lần lợt: B Với hai đờng thẳng AB AD ta có hai cách: A Cách 1: Ta cã: AB // CD ⇒ (AB, A’D) = (CD, A’D) Trong ∆A’CD, ta cã: A 'D + CD − A 'C2 · cos A 'DC = 2A 'D.CD Ta lần lợt có: C D B (1) A C D · A’D2 = A’A2 + AD2 − 2A’A.AD.cos DAA ' = a2 + a2 − 2a.a.cos1200 = 3a2 ⇔ A 'D = a uuuu uuu uuuu uuu uuu uuuu r r r r r r r r r A 'C = AC − AA ' = AB + AD − AA ' = x + y − z uuuu r r r r r2 r2 r2 rr rr rr ⇔ A 'C = x + y − z = x + y + z + 2x.y − 2y.z − 2z.x = 2a2 (2) ⇔ A 'C = a (3) ( ) Giáo án điện tử giảng giá: 1.000.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY Thay (2), (3) vµo (1) với lu ý CD = a, ta đợc: 3a + a − 2a · cos A 'DC = = 2.a 3.a VËy, gãc hai đờng thẳng AB AD có côsin C¸ch 2: Ta cã: uuu uuu uuuu r r r uuu uuuu r r uuu uuu uuu uuuu r r r r uuu uuuu r r AB AD − AA ' AB.A 'D AB.AD − AB.AA ' (4) r r uuu uuuu r r cos AB, A 'D = uuu uuuu = uuu uuuu r r = | AB | | A 'D | | AB | | A 'D | | AB | | A 'D | Trong ®ã: · A’D2 = A’A2 + AD2 − 2A’A.AD.cos DAA ' = a2 + a2 − 2a.a.cos1200 = 3a2 ( ( ) ) ⇔ A 'D = a uuu uuu r r a2 AB.AD = AB.AD.cosBAD = a.a.cos600 = uuu uuuu r r a2 AB.AA’.cosBAA = a.a.cos1200 = − AB.AA ' = Thay (5), (6), (7) vào (4), ta đợc: (5) (6) (7) a2 a2 + uuu uuuu r r = cos AB, A 'D = a.a 3 ( ) Vậy, góc hai đờng thẳng AB AD có côsin Với hai đờng thẳng AC BD ta có hai c¸ch: C¸ch 1: Ta cã: uuuu r r r r AC' = x + y + z, uuuu uuu uuuu uuu uuu uuuu r r r r r r r r r B'D = AD − AB' = AD − AB − AA ' = y − x − z, rr uuuu uuuu r r r r r r r r r2 r r r2 r2 r2 AC'.B'D = x + y + z y − x − z = y − x + z = y − x + z + 2x.z = uuuu uuuu r r AC' B'D Vậy, góc hai đờng thẳng AC BD 900 Cách 2: Trong hình bình hành ABCD, ta có: AD = a, uuuu r r r r2 r2 rr uuuu uuu uuuu r r r r r AB' = AB + AA ' = x + z ⇔ AB' = x + z = x + z + 2xz = a ⇔ AB’ = ( )( ) ( ( a, 10 ) ) uuu uuuu r r r r r r r r r · AD.AB' = y x + z = y.x + y.z = ⇔ DAB' = 900 ( ) ( ) Từ đó, suy ABCD hình vuông, nên góc hai đờng thẳng AC BD 900 c Ta lần lợt: Với hình bình hành ABCD, ta có: · SA 'B'CD = A 'D.A 'B'.sin DA 'B' = a 3.a −  ÷ = a Với hình bình hành ACCA, ta có: à S = AC.CC'.sin ACC' (8) ACC 'A ' Trong ®ã: uuu uuu uuu r r r r r uuu r r r r2 r2 rr AC = AB + AD = x + y ⇔ AC = x + y = x + y + 2xy = 3a ( ) ⇔ AC = a uuuu r r r r2 AC' = x + y + z = 2a ⇔ AC' = a ( (9) ) 2 AC2 + CC'2 − AC'2 3a + a − 2a = = 2.a 3.a 2AC.CC' · · ⇒ sin ACC' = − cos ACC' = Thay (9), (10) vào (8), ta đợc SACC'A ' = a 3.a = a 2 d Ta lần lợt: Với hai đờng thẳng AC AB, ta có: uuuu uuu r r r r r r r2 r r r r AC'.AB = x + y + z x = x + x.y + x.z = a uuuu uuu r r uuuu uuu r r uuuu uuu r r AC'.AB a2 cos AC', AB = uuuu uuu = = r r ⇒ ⇔ AC ', AB = 45 AC' AB a 2.a · cos ACC' = ( ) (  ) ( ) VËy, góc hai đờng thẳng AC AB 450 Với hai đờng thẳng AC AD, ta có: uuuu uuu r r r r r r r2 r r r r AC'.AD = x + y + z y = y + x.y + y.z = a uuuu uuu r r uuuu uuu r r uuuu uuu r r AC'.AD a2 cos AC', AD = uuuu uuu = = r r ⇒ ⇔ AC ', AD = 45 a 2.a AC' AD ( ) (  (10) ) ( ) VËy, gãc gi÷a hai đờng thẳng AC AD 450 Với hai đờng thẳng AC AA, ta có: uuuu uuuu r r r r r r r2 r r r r uuuu uuuu r r AC'.AA ' = x + y + z z = z + x.z + y.z = ⇔ AC' ⊥ AA ' ( ) VËy, gãc hai đờng thẳng AC AA 900 11  NhËn xÐt: Nh vËy, lêi gi¶i cđa vÝ dụ để tính góc hai đờng thẳng đà linh hoạt sử dụng kiến thức vectơ để tính độ dài đoạn thẳng với số đo góc chúng Ví dụ 6: (Bài 20/tr 118 Sbt): Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N lần lợt uuur uuur u uuur uuur thuộc đờng thẳng BC AD cho MB = kMC NA = kND uuuu r víi k lµ sè thùc khác cho trớc Đặt góc hai vectơ MN uuuu r uuu r uuu r BA , góc hai vectơ MN CD Tìm mối liên hệ AB CD để = = 450 Giải Kẻ MP // AB, ta cã: uuur uuu r PA MB MB NA NA u r = = − uuur = − k = − uuu = ⇔ PN // CD PC MC MC ND ND suy ra: uuuu uuu r r uuuu uuu r r P · MN, BA = MN, MP = NMP = α uuuu uuu r r uuuu uuu r r · C MN, CD = MN, PN = MNP = β ( ( ) ( ) ( A ) ) N D M Trong ∆MNP, ta cã: PM = PN  B α = β = 450 ⇔  ·  MPN = 90 Ta lÇn lỵt:  Ta cã: PM CP CP PN AP AP = ⇒ PM = AB; = ⇒ PN = CD; AB CA CA CD CA CA Víi ®iỊu kiƯn PM = PN, suy ra: uuur CP AP AB PA MB MB AB = CD ⇔ = u = = − uuur = − k ⇔ AB = CA CA CD PC MC MC kCD ·  Víi ®iỊu kiƯn MPN = 900 , ta cã AB ⊥ CD VËy, với AB CD AB = kCD thoả mÃn điều kiện đầu Ví dụ 7: 12 (Bài 24/tr 118 − Sbt): Cho tø diÖn ABCD cã BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Đặt góc BC AD, góc AC BD, góc AB CD Chứng minh ba sè h¹ng a2cosα, b2cosβ, c2cosγ cã mét sè h¹ng tổng hai số A hạng lại Giải r uuu r uuu r uuu r r r Đặt a = AD , b = AC , c = AB Ta lần lợt: C D B Với hai đờng thẳng BC r AD ta có: r r uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r AD.BC = AD.(AC − AB) = AD.AC − AD.AB 1 = ( AD + AC − DC ) − ( AD + AB2 − DB2 ) 2 1 = ( AC2 + DB2 − AB2 − DC2 ) = ( 2b − 2c ) = b − c 2 uuu uuu r r b2 − c2 ⇒ cos AD, BC = ⇔ a2.cosα = b2 − c2 a T¬ng tù, víi hai đờng thẳng AC BD, AB CD ta có: b2.cosβ = c2 − a2, c2.cosγ = a2 − b2 ( ) Khi đó, không tính tổng quát, giả sử a b c, ta đợc: a2.cos = b2 c2, trờng hợp này, ta cã: b2.cosβ = a2 − c2, c2.cosγ = a2 − b2 b2.cosβ = a2.cosα + c2.cosγ  Chó ý: VÝ dơ tiÕp theo minh ho¹ viƯc sư dơng tÝnh chÊt số đo góc không gian để xác định đặc tÝnh cđa thiÕt diƯn VÝ dơ 8: Cho h×nh chãp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạnh AD (M khác A D) Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lợt N, P, Q a Chứng minh MNPQ hình thang vuông b Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a x Giải a Ta cã: α //(SAB)  ⇒ MQ // SA α ∩ (SAD) = MQ (SAB) ∩ (SAD) = SA  α //(SAB)  ⇒ MN // AB α ∩ (ABCD) = MN (SAB) ∩ (ABCD) = AB  S (1) Q A (2) B P M N D C · Tõ (1) vµ (2) suy NMQ = 900 Mặt khác, ba mặt phẳng (ABCD), (SCD) c¾t theo ba giao tuyÕn MN, CD, PQ cã: MN // CD ⇒ MN // PQ ⇒ MNPQ lµ hình thang vuông 13 b Ta có: (MN + PQ).MQ Ta cã MN = AB = a Trong ∆SAD, ta cã: MQ DM AD − AM 2a − x 2a − x = = = ⇒ MQ = SA DA DA 2a Trong ∆SCD, ta cã: PQ SQ AM x x = = = ⇒ PQ = CD SD AD 2a Thay (4), (5), (6) vào (3), ta đợc: x 2a x SMNPQ = (a + ) = (4a2 − x2) 2 SMNPQ = VÝ dô 9: (3) (4) (5) (6) (Bµi 18/tr 117 − Sbt): Cho tứ diện ABCD góc giứa đờng thẳng AB CD Gọi M điểm thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC) Xét mặt phẳng (P) qua điểm M song song với AB, CD b Xác định vị trí M để diện tích thiết diện hình tứ diện ABCD với mặt phẳng (P) đạt giá trị lín nhÊt c Chøng minh r»ng chu vi cđa thiÕt điện nêu không phụ thuộc vào x AB = CD  Gi¶i D a Ta thùc hiƯn:  Dùng MN // CD vµ MQ // AB N  Dựng NP // AB Khi MNPQ thiết diện cần dựng hình A bình hành có: M · (MQ, MN) = (AB, CD) = α ⇒ sin QMN = sin α Ta cã ngay: C à SMNPQ = MQ.MN sin QMN Ta lần lợt:  Trong ∆ABC, ta cã: MQ CM AC − AM AB = = (AC − x) ⇒ MQ = AB AC AC AC  Trong ∆ACD, ta cã: MN AM CD = x ⇒ MN = CD AC AC Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: 14 P B Q (1) (2) (3) AB.CD (AC − x)x.sin α AC NhËn xÐt r»ng: AC  AC  AC2 −x − ≤ (AC − x)x = ÷   AC AB.CD AC tõ ®ã, suy MaxSMNPQ = , sin α = AB.CD.sin đạt đợc x = 2 AC 4 tức M trung điểm AC b Gäi p lµ nưa chu vi cđa thiÕt diƯn, ta cã: AB CD CD − AB (AC − x) + x = x + AB p = MQ + MN = AC AC AC Tõ ®ã, suy chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi: CD − AB = ⇔ AB = CD AC SMNPQ =  NhËn xÐt: Nh vËy, lêi gi¶i cđa ví dụ trên: câu a), gặp lại dạng toán "Xác định thiết diện qua điểm song song với hai đờng thẳng chéo cho trớc" Và diện tích thiết diện (là hình bình hành) đợc tính theo công thức sin, giá trị lớn đợc tìm thấy viƯc sư dơng kiÕn thøc vỊ tam thøc bËc hai câu b), cần thiết lập c«ng thøc tÝnh chu vi (nư chu vi p = f(x)), råi b»ng viƯc nhãm theo bËc cđa x vµ cho hệ số liên quan nhận đợc điều kiện để p không phụ thuộc vào x Đây dạng toán quen thuộc đại số Vấn đề 2: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với Phơng pháp áp dụng r Để chứng minh đờng thẳng a (với vtcp a ) vuông góc với đờng r thẳng b (với vtcp b ), ta lùa chän theo híng: Híng 1: Chøng minh (a, b) = 90 0, nhiỊu trêng hỵp chóng ta sư dơng tÝch v« híng Híng 2: Sư dơng kÕt liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc hai đờng thẳng 15 Ví dơ 1: (Bµi 22/tr 118 − Sbt): Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a Chứng minh r»ng AD vu«ng gãc víi BC b Gäi M N điểm lần lợt thuộc đờng thẳng AB BD uuur uuu r uuuu r uuur cho MA = kMB vµ ND = kNB Tính góc hai đờng thẳng MN BC Giải a Gọi I trung điểm BC, ta cã: BC ⊥ IA, BC ⊥ ID , uu uu uuu uu uuu uu uuu r r r r r r r uuu uuu r r AD.BC = = ID − IA BC = ID.BC − IA.BC = ( ) ⇔ AD ⊥ BC, ®pcm uuur uuu r uuuu r uuur b Từ giả thiết MA = kMB ND = kNB , suy ra: MN // AD ⇒ (MN, BC) = (AD, BC) = 900  A M B N D I C Chó ý: Khi cã thªm kiến thức đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng có cách giải khác để thực câu a), cụ thể: Vì ABC, DBC cân A D nên: BC AI BC ⊥ (IAD) ⇒ BC ⊥ AD, ®pcm   BC ⊥ DI VÝ dơ 2:  Cho h×nh tø diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đờng tròn tiếp BCD Chứng minh AO vuông góc với CD Giải Qua O dựng đờng thẳng song song với CD, cắt BC, BD theo thứ tự E F, suy ra: (AO, CD) = AÔF A Ta cã: N  EF // CD BE = BF    BC = BD ⇒  B D OE = OF  MC = MD E  O Xét hai tam giác ABE ABF, ta có: F M  BE = BF C  ABchung ⇒ ∆ABE=∆ABF ⇒ AE = AF   ˆ ˆ ABE = ABF = 60 AEF cân A AO EF AÔF = 900 AO ⊥ CD VÝ dơ 3: 16 Cho h×nh tø diÖn ABCD Chøng minh r»ng: uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r a AB.CD + AC.DB + AD.BC = Tõ ®ã, suy r»ng nÕu tø diƯn ABCD cã AB ⊥ CD vµ AC ⊥ DB th× AD ⊥ BC uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r b (Bµi 10/tr 96 − Sgk): NÕu AB.AC = AC.AD = AD.AB th× AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD BC Điều ngợc lại có không ? à · · c (Bµi 9/tr 96 − Sgk): NÕu AD = BD = CD vµ ADB = BDC = CDA th× AD ⊥ BC, BD ⊥ AC, CD ⊥ AB Giải a Ta lần lợt có: uuu uuu r r AB.CD = uuu uuu r r AC.DB = uuu uuu r r AD.BC = uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu uuu r r r r AB.(AD − AC) = AB.AD − AB.AC , uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu uuu r r r r AC.(AD − AB) = AC.AD − AC.AB , uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu uuu r r r r AD.(AB − AC) = AD.AB − AD.AC Cộng theo vế (1), (2) (3), ta đợc: uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0, ®pcm (1) (2) (3) D Khi ®ã, víi ®iỊu kiƯn AB CD AC DB thì: uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r AB.CD = vµ AC.DB = ⇒ AD.BC ⇔ AD ⊥ BC b Ta cã: r r r uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r AB.CD = AB.(AD − AC) = AB.AD − AB.AC = uuu uuu r r ⇔ AB ⊥ CD ⇔ AB ⊥ CD A C B Chứng minh tơng tự, ta nhận đợc AC BD, AD BC Vì phép biến đổi tơng đơng nên điều ngợc lại c Ta cã: r r r uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r AD.BC = AD.(CD − BD) = AD.CD − AD.BD · · = AD2.cos CDA − AD2.cos ADB = ⇔ AD BC, đpcm Chứng minh tơng tự, ta nhận đợc BD AC, CD AB Ví dụ 4:  Cho h×nh tø diƯn ABCD cã AB = AC = AD BÂC = 600, BÂD = 600, C¢D = 900 Chøng minh r»ng: a AB ⊥ CD b Nếu I J lần lợt trung điểm AB CD IJ AB IJ ⊥ CD A Gi¶i a Ta cã: r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r uuu uuu uuu r r r r AB.CD = AB.(AD − AC) = AB.AD − AB.AC I B C D J 17 = AB2.cos600 − AB2.cos600 = ⇔ AB ⊥ CD, ®pcm b Tõ gi¶ thiÕt, suy ∆ABC, ∆ABD ®Ịu Ta lần lợt có: ACD = BCD (c.c.c) JA = JB JAB cân J IJ ⊥ AB  ∆ABD = ∆ABC (c.c.c) ⇒ ID = IC ICD cân I IJ CD Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AC, CB, BC', C'A Chøng minh r»ng: a AB ⊥ CC' b Tø gi¸c MNPQ hình chữ nhật C ' Giải Q P a Gọi a cạnh r uuu uuuu ta có: tam giác đều, r r uuu uuur uuu r u uuu uuu uuu uuuu r r r r AB.CC' = AB.(AC − AC') = AB.AC − AB.AC' A B = a2.cos600 − a2.cos600 = M N ⇔ AB ⊥ CC', ®pcm b NhËn xÐt r»ng: C // // // MN = AB vµ PQ = AB ⇒ MN = PQ, (1) VÝ dô 5: 2 uuuu uuuu r r uuu uuur r u ˆ QMN = ( MN, MQ ) = ( AB, CC' ) = 900, tõ (1) vµ (2) suy MNPQ hình chữ nhật Ví dụ 6: (2) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành SAB SAD tam giác vuông A a Chứng minh SA vuông góc với BC CD b Chứng minh SA vuông góc với AC BD Gi¶i a Ta cã:  BC // AD ⇒ BC ⊥ SA   AD ⊥ SA S E A D CD // AB O ⇒ CD ⊥ SA   AB ⊥ SA B C b Trªn tia SA lÊy ®iĨm S’ cho AS = AS’, ta có: F AB, AD trung trực SS' S’ ⇒ BS = BS’ vµ DS = DS’ ⇒ ∆SBD = ∆S’BD (c.c.c) ⇒ OS = OS’ ⇒ ∆OSS’ cân O OA SS' AC SA Trong (CSS) kẻ Ox song song với SS' cắt SC, SC theo thứ tự E, F trung điểm đờng, ta có ngay: EF // SA 18 Mặt khác, vì: SBC = SBC (c.c.c) BE = BF BEF cân B OB ⊥ EF ⇔ BD ⊥ SA  Chó ý: Đề nghị em học sinh đề xuất cách giải khác để chứng minh SA vuông góc với BD Ví dụ 7: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD ABC'D' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, lần lợt có tâm O vµ O' Chøng minh r»ng AB ⊥ OO' vµ tø giác CDD'C hình chữ nhật Giải b Giả sử hình vuông có cạnh a, ta có: r r r uuu uuuu r r uuu uuuu uuu uuu uuuu uuu uuu r r r r AB.OO ' = AB.(AO ' − AO) = AB.AO ' − AB.AO = a D' a a cos450 − a .cos450 = 2 ⇔ AB ⊥ OO', ®pcm c NhËn xÐt r»ng: // C' E // O' A // CD = AB vµ C'D' = AB ⇒ CD = C'D', uuu uuur r u uuu uuuu r r ˆ DCC' = ( DC, CC' ) = ( AB, OO ' ) = 900, B C O D (1) (2) từ (1) (2) suy CDD'C hình chữ nhËt VÝ dơ 8: (Bµi 8/tr 95 − Sgk): r r r r a Cho vectơ n khác hai vectơ a , b không phơng r r Chứng minh vectơ n vuông góc với hai vectơ a r r r r b ba véctơ n , a b không đồng phẳng r r b Chứng minh ba vectơ vuông góc với vectơ n khác đồng phẳng Từ suy ra, đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng song song với mặt phẳng Giải r r r a Giả sử trái lại, ba véctơ n , a b đồng phẳng Tức tồn hai số x y cho: r r r r r r r r r r r n = xa + yb ⇒ n n = xa n + yb.n ⇒ n = n = điều mâu thuẫn vớirgiả thiết r r Vậy, ba véctơ n , a b không đồng phẳng r r r r b Với ba vectơ a , b , c vuông góc víi vect¬ n r r r r r Khi đó, a b không phơng n , a b không đồng phẳng, tức tồn t¹i ba sè x, y, z cho: 19 r r r r r r r r r r r r c = xn + ya + zb ⇒ c n = xn n + ya n + zb.n r ⇒ = x n ⇒ x = Tøc lµ, ta cã biĨu diƠn: r r r r r r c = y a + z b ⇒ ba vectơ a , b , c đồng phẳng Từ suy ra, đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng song song với mặt phẳng Cho S diện tích ABC Chứng minh rằng: VÝ dô 9: S=  uuu uuu uuu uuu r r r r AB AC − (AB.AC) Gi¶i Víi ∆ABC, ta cã: S= r r 1 uuu uuu AB.AC.sin¢ = | AB | | AC | sin 2 Mặt khác, ta có: uuu uuu r r  AB.AC  ˆ sin¢ = − cos A = −  uuu uuu ÷ = r r  | AB | | AC | ÷   uuu uuu uuu uuu r r r r AB AC − (AB.AC) uuu uuu r r | AB | | AC | Tõ ®ã: uuu uuu uuu uuu r r r r r r uuu uuu AB AC − (AB.AC) S = | AB | | AC | = uuu uuu r r 2 | AB | | AC | uuu uuu uuu uuu r r r r AB AC (AB.AC) Bài tập tự giải Bài tập 1: Mỗi khẳng định sau có không ? a Hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ ba song song với b Hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ ba vuông góc với Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh BC, AD HÃy tính góc AB vµ CD, biÕt AB = CD = 2a vµ MN = a Bµi tËp 3: Cho tø diƯn ABCD Gọi I, J, H, K lần lợt trung ®iĨm cđa BC, AC, AD, BD H·y tÝnh gãc giøa hai đờng thẳng AB CD mõi trờng hợp sau: a Tứ giác IJHK hình thoi có đờng chÐo IH = IJ b Tø gi¸c IJHK hình chữ nhật Bài tập 4: Cho hình hộp ch÷ nhËt ABCD.A1B1C1D1 cã AB = a, BC = b AA1 = c a HÃy tính góc AD1 B1C b HÃy tính góc AB A1C 20 Bµi tËp 5: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a, CD = b Đoạn IJ nối trung điểm I AB trung điểm J CD Giả sử AB vuông góc với CD mặt phẳng qua M đoạn IJ song song với AB CD a Tìm giao tuyến với mặt phẳng (ICD) b Xác định thiết diện ABCD với mặt phẳng Chứng minh thiết diện hình chữ nhËt c TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn, biÕt IJ = 3IM Bµi tËp 6: Cho tø diƯn ABCD cã tÊt cạnh Gọi M, N lần lợt trung điểmuu AB, CD Lấyuu điểm I, J, K lần lợt thuộc đờng thẳng BC, AC, AD cđa uu uur c¸c r r r uuu r uuu r cho IB = kIC , JA = kJC , KA = kKD k số khác không cho tríc Chøng minh r»ng: a MN ⊥ IJ vµ MN ⊥ JK b AB ⊥ CD ˆ Bµi tËp 7: Trong mặt phẳng cho ABC vuông A, B = 600 , AB = a Gäi O lµ trung điểm BC Lấy điểm S , cho SB = a SB vuông góc với OA Gọi M điểm cạnh AB, mặt phẳng qua M song song với SB OA, cắt BC, SC, SA lần lợt N, P, Q Đặt x = BM, với < x < a a Chứng minh MNPQ hình thang vuông b Tính theo a x diện tích hình thang c Tính x để diện tích lớn Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành SAB SAD tam giác vuông A a Chứng minh SA vuông góc với BC CD b Chứng minh SA vuông góc với AC BD Bài tập 9: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cạnh a Chøng minh r»ng AC vu«ng gãc víi B1D1 b Chøng minh r»ng AB1 vu«ng gãc víi CD1 c Chøng minh AD1 vuông góc với CB1 Bài tập 10: Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện vuông góc với Bài tập 11: Chứng minh đờng thẳng d vuông góc với hai đờng thẳng cắt a b nằm mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng nằm Bài tập 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, mặt bên SAB tam giác vuông A Với điểm M thuộc cạnh AD (M khác A D), xét mặt phẳng (P) qua điểm M vµ song song víi SA, CD a ThiÕt diƯn cđa hình chóp S.ABCD cắt bới mặt phẳng (P) h×nh g× ? b TÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn theo a vµ b, biÕt AB = a, SA = b, M trung điểm AD 21 22 ... đờng thẳng vuông góc Định nghĩa 2: Hai đờng thẳng gọi vuông góc với nÕu gãc gi÷a chóng b»ng 900  NhËn xÐt: Cho hai đờng thẳng song song Đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ vuông góc với đờng.. .chủ đề h đờng thẳng vuông góc A Tóm tắt lí thuyết Góc hai đờng thẳng không gian Định nghĩa 1: Góc hai đờng thẳng a, b góc hai đờng thẳng a, b qua điểm lần lợt... song song quan hệ vuông góc hai đờng thẳng 15 Ví dụ 1: (Bài 22/tr 118 Sbt): Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a Chứng minh AD vuông góc với BC b Gọi M