Chủ đề: Phương trình đường thẳng (Hình học 12 - Chương III)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

§ 3 Phương trình đường thẳng

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chủ đề 3 P hơng trình đờng thẳng

A Tóm tắt lí thuyết

1 phơng trình tổng quát của đờng thẳng

Đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng(P1) và (P2) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng:

Khi đó, một vtcp a của đờng thẳng đó đợc xác định bởi:

2 phơng trình tham số của đờng thẳng

Định lý 1: Trong không gian Oxyz, đờng thẳng (d) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và cóvtcp a(a1; a2; a3) có phơng trình

a + 2 3



2

y ya



= 03

z za

a + 2 3



2

y ya



= 0 3

z za

= y y0b



= z z0c



,(P): Ax + By + Cz + D = 0,suy ra:

 (d) đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và có vtcp u(a; b; c),

Đặc biệt (d)  (P) khi và chỉ khi a: b: c = A: B: C

5 Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình:

(d1): 1

1

x xa



1

y yb



= 1 1

z zc



2

y yb



= 2 2

z zc



,suy ra:

 (d1) đi qua điểm M1(x1, y1, z1) và có vtcp u1(a1; b1; c1),

 (d2) đi qua điểm M2(x2, y2, z2) và có vtcp u2(a2; b2; c2)

2 (d1) và (d2) cắt nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và các vtcp của chúngkhông cùng phơng Nh vậy:

(d1) và (d2) cắt nhau  [u1, u2].M M 1 2 = 0 và a1: b1: c1  a2: b2: c2

3 (d1) và (d2) song song với nhau khi và chỉ khi u1và u2 cùng phơng và (d1),(d2) không có điểm chung Nh vậy:

(d1) // (d2)  a1: b1: c1 = a2: b2: c2  (x2  x1): (y2  y1): (y2  y1)

4 (d1) và (d2) trùng nhau khi và chỉ khi u1và u2 cùng phơng và (d1), (d2) có

điểm chung Nh vậy:

  

6 khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng

Cho điểm M và đờng thẳng (d) có vtcp a và đi qua điểm M0 Khi đó khoảngcách từ điểm M đến đờng thẳng (d) đợc cho bởi:

d(M, (d)) = | [MM , a] |0

| a |

 

7 Góc giữa hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2), theo thứ tự có vtcp là

 Sử dụng tỉ số lợng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng

định lí cosin trong tam giác thờng

 = 0 2

y ya

 = 0 3

z za



là phơng trình của một đờng thẳng khi 2

1

a + 2 2

a + 2 3

Chú ý: Đi kèm với họ đờng thẳng (dm) thờng có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ (dm) luôn đi qua một điểm cố định

Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số đờng

thẳng của họ (dm) đi qua M

Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng

cố định, để thực hiện yêu cầu này chúng ta lựa chọn một trong

hai cách sau:

Cách 1: Khử m từ hệ của phơng trình (d), ta đợc:

Ax + By + Cz + D = 0 (1)Khi đó (1) chính là phơng trình của mặt phẳng cố định (P) chứacác đờng thẳng của họ (dm)

Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Chùm mặt phẳng tạo bởi trục (dm) có phơng trình:

[A1(m)x + B1(m)y + C1(m)z + D1(m)] + + [A2(m)x + B2(m)y + C2(m)z + D2(m)] = 0 (2)

Bớc 2: Lựa chọn các giá trị thích hợp của , , đa (2) về

và dễ nhận thấy họ (dm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 2; 0)

Ví dụ 3: Cho phơng trình:

x y mz 2m 02x 2my mz 2 0

Nhẫn xét: Nh vậy, thông qua các ví dụ trên chúng ta đã biết cách tìm điểm cố

định của họ đờng thẳng phụ thuộc tham số m

Ví dụ 4: Cho họ đờng thẳng (dm) có phơng trình:

a Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (dm)

b Chứng minh rằng các đờng thẳng trong họ (dm) luôn thuộc một

Vậy, họ (dm) luôn đi qua điểm cố định M 0; 0;3

Bớc 1: Tìm hai điểm A, B  (d).

Bớc 2: Vậy, ta đợc:

(d): qua Avtcp AB

2 Với (d) cho dới dạng tham số:

y y

ta

z z

ta

x xa

 = 0 2

y ya

 = 0 3

z za



 = 0 2

y ya

 = 0 3

z za



a Đơn giản phơng trình trên ta nhận đợc phơng trình tổngquát của đờng thẳng (d), cụ thể:

Đó chính là phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d).

b Bằng việc sử dụng tham số trung gian t ta nhận đợc phơngtrình tham số của đờng thẳng (d), cụ thể:

(1)  0

1

x xa

 = 0 2

y ya

 = 0 3

z za

 = t

y y

ta

z z

ta

Đó chính là phơng trình tham số của đờng thẳng (d)

Ví dụ 1: Viết phơng trình tham số của (d), biết:

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 5.750.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

 Gi¶i

Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch:

C¸ch 1: LÊy ®iÓm M(2; 2; 3)(d) vµ gäi u lµ vtcp cña (d) th×:

Để lập phơng trình đờng thẳng (d), ta sử dụng các kết quả:

1 Đờng thẳng đi qua một điểm và biết vtcp:

(d): 0 0 0 0

1 2 3

Qua M (x ;y ;z )vtcp a(a ;a ;a )



= 0 2

y ya



= 0 3

z za







 (d): 1 1 1 1

Qua M (x ;y ;z )vtcp M M (x x ;y y ;z z )

3 Đờng thẳng đợc coi là giao tuyến của hai mặt phẳng chứa nó.

Ví dụ 1: (Bài 24/tr 102  Sgk): Đối với hệ toạ độ Oxyz, viết phơng trình tổng

quát, tham số và chính tắc (nếu có) của các đờng thẳng sau đây:

a Các trục toạ độ Ox, Oy và Oz.

b Các đờng thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) (với x0.y0.z0  0) và

song song với mỗi trục toạ độ.

c Đờng thẳng đi qua M(2; 0; 1) và có vectơ chỉ phơng u(1; 3;5)

d Đờng thẳng đi qua N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P):

Ví dụ 2: Viết phơng trình tổng quát, tham số và chính tắc (nếu có) của các

đờng thẳng sau đây:

a (Bài 24.a/tr 102  Sgk): Đờng thẳng đi qua điểm A(4; 3; 1) và

song song với đờng thẳng () có phơng trình:

b (Bài 24.b/tr 102  Sgk): Đờng thẳng đi qua điểm B(2; 3; 1) và

song song với đờng thẳng () có phơng trình:

Ví dụ 3: Viết phơng trình tổng quát, tham số và chính tắc (nếu có) của đờng

thẳng qua điểm M(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x +

Chú ý: 1 Chúng ta biết rằng giao điểm H của đờng thẳng (d) với mặt phẳng

(P) ở ví dụ trên chính là hình chiếu vuông góc của điểm Mtrên (P) Nh vậy, chúng ta có hai phơng pháp (sẽ đợc tổng kết

ở vấn đề 8) để "Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên

mặt phẳng (P) cho trớc", tơng ứng với nó là hai phơng pháp

"Tìm điểm M1 đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P) cho

tr-ớc".

2 Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ phơng pháp "Viết phơng trình

đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đđ-ờng thẳng

(d1) và (d2) cho trớc ".

Ví dụ 4: Viết phơng trình tổng quát, tham số và chính tắc (nếu có) của các

đờng thẳng sau đây:

a Đờng thẳng đi qua gốc tọa độ, vuông góc với trục Ox và vuông

góc với đờng thẳng () có phơng trình:

Nhận xét: Nh vậy, để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A và

vuông góc với hai đờng thẳng (d1) và (d2) cho trớc " chúng ta

có hai cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm các vtcp u 1

và u2 của các đờng thẳng(d1) và (d2)

Bớc 2: Gọi u là vtcp của đờng thẳng (d), ta có:

 Với cách 2 chúng nhanh chóng nhận đợc phơng trình tổngquát của đờng thẳng (d)

A

P1

(d1

)

(d2)

P2

(d)

Các em học sinh cần lu ý tới việc bài toán có thể thay đổi điềukiện vuông góc với đờng thẳng (d1) (hoặc (d2)) bằng yêu cầusong song với mặt phẳng (P1) (hoặc (P2)).

Ví dụ 5: (Bài 26/tr 102  Sgk): Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của

Nhận xét: Nh vậy, để "Viết phơng trình tổng quát hình chiếu vuông góc của

đờng thẳng (d) trên mỗi mặt phẳng tọa độ " chúng ta thực

Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa phơng pháp "Viết phơng trình

đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm A và cắt cả hai đđ-ờng thẳng (d1) và

(d2) cho trớc ".

Ví dụ 6: (Bài 29/tr 103  Sgk): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm

A(1; 1; 1) và cắt cả hai đờng thẳng sau:

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng, khi đó (d) là giao tuyến của hai mặt

Ta có:

(P):

1

Qua A(1; 1;1)Cặp vtcp AM và u

 Xác định phơng trình mặt phẳng (Q): Lấy điểm N(2; 3; 0)(d2), gọi u2 làvtcp của (d2), ta có u2(1; 2; 1).

Ta có:

(Q):

2

Qua A(1; 1;1)Cặp vtcp AN và u

Cách 2: Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng và (d) cắt (d2) tại E

 Gọi (P) là trình mặt phẳng qua A và chứa (d1) Để xác định (P) ta lấy điểmM(1; 0; 3)(d1), gọi u1

Cách 3: Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng và (d) cắt (d1) tại F

 Gọi (Q) là trình mặt phẳng qua A và chứa (d2) Để xác định (Q) ta lấy điểmN(2; 3; 0)(d2), gọi u2

(d):

Qua A(1; 1;1)

1 7vtcp AF 3; ;

Nhận xét: Nh vậy, để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A cắt hai

đờng thẳng (d1) và (d2) chéo nhau cho trớc", ta có thể lựa

Bớc 1: Giả sử đờng thẳng (d) cắt (d1) và (d2) theo

thứ tự tại B, C Khi đó toạ độ B, C theothứ tự thoả mãn các phơng trình của (d1)

Ví dụ 7: (Bài 30/tr 103  Sgk): Viết phơng trình đờng thẳng song song với

đ-ờng thẳng () và cắt cả hai đđ-ờng thẳng (d1) và (d2), biết phơng

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Gọi a là vtcp của đờng thẳng (), ta đợc a(0; 4; 1)

Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng, khi đó (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng(P) và (Q), trong đó:

Ta có:

(P):

1

Qua M(1; 2;2)Cặp vtcp a và u

Ta có:

(Q):

2

Qua N( 4; 7;0)Cặp vtcp a và u

Cách 2: Gọi a là vtcp của đờng thẳng (), ta đợc a(0; 4; 1)

Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng và (d) cắt (d2) tại E

 Gọi (P) là trình mặt phẳng qua A và chứa (d1) Để xác định (P) ta lấy điểmM(1; 2; 2)(d1), gọi u1

Cách 3: Gọi a là vtcp của đờng thẳng (), ta đợc a(0; 4; 1)

Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng và (d) cắt (d1) tại F

 Gọi (Q) là trình mặt phẳng qua A và chứa (d2) Để xác định (Q) ta lấy điểmN(4; 7; 0)(d2), gọi u2

Cách 4: Gọi a là vtcp của đờng thẳng (), ta đợc a(0; 4; 1).

Chuyển phơng trình đờng thẳng (d1) và (d2) về dạng tham số

 Điểm E  (d2) suy ra E(5u  4; 9u  7; u)

 Để EF song song với đờng thẳng () ta đợc:

Nhận xét: Nh vậy, để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng

thẳng () cắt hai đờng thẳng (d1) và (d2) chéo nhau cho trớc",

(P2):

Có một vtcp a(d ) (P )

Bớc 2: Giả sử đờng thẳng (d) cắt (d1) và (d2) theo

thứ tự tại A, B Khi đó toạ độ A, B theothứ tự thoả mãn các phơng trình của (d1)

Kết hợp những kiến thức đã biết, chúng ta đi giải bài toán

"Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với đờng thẳng

Ta có thể lựa chọn một trong ba cách sau:

Cách 1: Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng, khi đó (d) chính là giao tuyến của hai

mặt phẳng (P1) và (P2), trong đó:

(P1):

qua A(d ) (P )

(P1):

qua A(d ) (P )

(P2): A(yz1) + B(x2z) = 0

 (P2): Bx + Ay(2B + A)zA = 0

(1) §iÓm A(0; 1; 1)(P2) nªn:

A + 2B = 0  B = A

2 Thay B = A

Nhận xét: Nh vậy, để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A vuông

góc với đờng thẳng (d1) và cắt đờng thẳng (d2) chéo nhau cho

Bớc 2: Xác định giao điểm B của (d2) và (P)

 Nếu không tồn tại giao điểm Kết luậnvô nghiệm

 Nếu có vô số giao điểm ((d2)  (P)).Kết luận có vô số đờng thẳng trong (P)

Bớc 1: Giả sử (d) cắt (d2) tại B, khi đó toạ độ B

thoả mãn phơng trình tham số của (d2), từ

đó suy ra AB

Xác định toạ độ vectơ a1 là một vtcp của(d1)

Hoàn toàn có thể phát biểu bài toán dới dạng "Lập phơng trình

đờng thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc với một vectơ (hoặc song song với một mặt phẳng ) và cắt đờng thẳng () ".

Vấn đề 4: Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng

Để xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P), ta thựchiện theo các bớc:

 Nếu hệ có vô số nghiệm, khi đó (d)  (P)

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:

Chú ý: 1 Để " Chứng minh rằng đờng thẳng (d) song song với mặt phẳng (P)

", ta còn có thể trình bày theo cách sau:

Đờng thẳng (d) có vtcp a(1; 2; 3) và mặt phẳng (P) có vtpt n(1, 1, 1), ta có:

a

.n = 1 + 2  3 = 0  a  n (1)

Lấy A(0 ; 1 ; 2)  (d), ta có nhận xét A  (P) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (d) // (P)

2 Từ đó, để "Chứng minh rằng đờng thẳng (d) thuộc mặt phẳng

(P)", ta có thể có ba cách trình bày, để minh hoạ chúng ta xét

Chú ý: Trong trờng hợp đờng thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A chúng

ta thờng gặp thêm một câu hỏi "Lập phơng trình đờng thẳng (d')

đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng

(d)", khi đó, ta thấy ngay (d') chính là giao tuyến của hai mặtphẳng (P) và mặt phẳng (Q) với (Q) là mặt phẳng qua A vàvuông góc với (d) Ví dụ sau sẽ minh họa cho dạng toán này

Ví dụ 3: (Bài 33/tr 104  Sgk): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có

a Xác định tọa độ giao điểm A của (d) và (P).

b Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua A, nằm trong (P) và

vuông góc với (d).

a Xét hệ phơng trình tạo bởi (d) và (P) là:

Vậy, ta thấy (d)  (P) = {A(1; 2; 3)}.

b Gọi u là vtcp của đờng thẳng (d), ta đợc u(1; 2; 2)

Chú ý: Các bài toán chứa tham số, với đòi hỏi "Biện luận theo tham số ví trí

tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P)" thông thờng ta

chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số để từ đó bằngviệc thay (d) và (P) chúng ta chuyển bài toán về việc biện luậnphơng trình theo t Để minh hoạ chúng ta xét ví dụ sau

Ví dụ 4: Biện luận theo tham số m vị trí tơng đối của mặt phẳng (P) và

b Nếu m 4  0  m   2, khi đó:

(1)  t = 3

m2 , là nghiệm duy nhất

Vậy, (d)  (P) = {A} có toạ độ A 3 ; m 1; 3m

Chú ý: Trong trờng hợp bài toán đòi hỏi vị trí tơng đối cụ thể của đờng thẳng

và mặt phẳng chúng ta có thể sử dụng tới vtcp của đờng thẳng vàvtpt của mặt phẳng, cụ thể:

Với đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:

(d): x x0

a

 = y y0

b

 = z z0

c

, (P): Ax + By + Cz + D = 0

Ví dụ sau sẽ minh hoạ dạng toán này

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

Chú ý: Một dạng toán thờng gặp đối với đờng thẳng và mặt phẳng là "Viết

phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mặt phẳng (P)", chúng ta lựa chọn phơng pháp thực hiện tuỳ thuộc

vào vị trí tơng đối của (d) và (P), cụ thể:

a Nếu (d)  (P) thì hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính (d)

b Nếu (d)  (P) thì hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính

là giao điểm của (d) và (P)

c Nếu (d) // (P) thì có các cách giải sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Lấy điểm A  (d), từ đó xác định toạ độ điểm HA là

hình chiếu vuông góc của A lên (P)

Bớc 2: Phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng

(d) lên mặt phẳng (P) là đờng thẳng (d1) đợc chobởi:

(d1): A

1

qua H(d ) //(d)

Bớc 2: Khi đó, hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d)

lên mặt phẳng (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q)

d Nếu (d) cắt (P) thì có các cách giải sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ giao điểm I của (d) và (P)

Bớc 2: Lấy điểm A(d), từ đó xác định toạ độ điểm HA là

hình chiếu vuông góc của A lên (P)

Bớc 3: Phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng

(d) lên mặt phẳng (P) là đờng thẳng (d1) đợc chobởi:

(d1): 1

A

qua Avtcp IH

định toạ độ giao điểm I của (d) và (P).

b Lập phơng trình đờng thẳng (d1) là hình chiếu vuông góc của

3 3 3

2 1vtcp IH ; ; 1





=

1x31



=

5x33

 V× (Q) chøa (d) nªn thuéc chïm t¹o bëi (d), cã d¹ng:

(Q): A(3x2y8) + B(5x2z8) = 0

 (Q): (3A + 5B)x2Ay2Bz8A8B = 0 (1) (Q) cã vtpt n Q

Vấn đề 5: Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Với hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình:

y yb



= 1 1

z zc

y yb



= 2 2

z zc