(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Phương trình đường thẳng

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 Đường thẳng  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí Định hướng thực hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: Đọc  Hiểu  Ghi nhớ định nghĩa, định lí Chép lại ý, nhận xét Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao/ Phwớng pháp giải dạng toán Đọc lần chậm kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhận giải đáp Ch¬ng Chơng III Phơng pháp toạ độ mặt phẳng Với mặt phẳng toạ độ, vectơ, điểm đợc xác định toạ độ Điều giúp chuyển nhiều toán hình học sang đại số ngợc lại, ỳ kết đại số suy đợc số tính chất mối quan hệ hình hình học Trong chơng quan tâm tới đờng thẳng, đờng tròn ba đờng côníc Chơng gồm sáu học: Đờng thẳng Đờng tròn Đờng Elíp Đờng Hypebol Đờng Parabol Ba đờng Côníc Yêu cầu đặt em học sinh học chơng là: Biết phơng pháp để lập đợc phơng trình đờng thẳng, đờng tròn ba đờng côníc biết yếu tố xác định đờng Từ phơng trình đờng, thấy đợc tính chất quan hệ đờng Lập đợc phơng trình tiếp tuyến cho đờng tròn ba đờng côníc với việc chứng minh đợc tính chất Nhớ vận dụng đợc biểu thức toạ độ vào việc tính khoảng cách, tính góc Đ1 đờng thẳng giảng theo chơng chơng trình chuẩn Phơng trình tổng quát đờng thẳng khác Định nghĩa: Một vectơ n gọi vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt) vuông góc với (d) đờng thẳng (d) giá n Từ định nghĩa, ta có nhận xét: vtpt đờng thẳng (d) vectơ k với k vtpt Nếu n n (d) Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định biết vtpt điểm mà qua Phơng trình tổng quát đờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy, đờng thẳng (d) có phơng trình tổng quát (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 >  (A, B) Khi đờng thẳng (d) có vtpt n Các trờng hợp riêng: Nếu A = 0, ta ®ỵc: y (d): By + C =  (d): y =  C B  (0, B) vuông đờng thẳng có vtpt n góc với Oy, C cắt Oy điểm có tung độ C B n /B Lu ý: Bản thân trục Ox có phơng trình y = Nếu B = 0, ta đợc: (d): Ax + C =  (d): x =  C A  (A, 0) vuông đờng thẳng có vtpt n góc với Ox, cắt Ox điểm có hoành độ C A Lu ý: Bản thân trục Oy có phơng trình x = Nếu C = 0, ta đợc: (d): Ax + By = (A, B) qua gốc toạ độ O đờng thẳng có vtpt n Phơng trình tham số đờng thẳng O y ( d ) x ( d ) n O x  C/ A ( y d ) O x Định nghĩa: Một vectơ a khác gọi vectơ phơng (viết tắt vtcp) đờng thẳng (d) giá a song song trùng với (d) Từ định nghĩa, ta có nhận xét: Nếu a vtcp đờng thẳng (d) vectơ k a với k ®Ịu lµ vtpt cđa (d) a  NÕu a (a1, a2) vtcp đờng thẳng (d) với a1  ta gäi k = lµ hƯ sè a1 góc đờng thẳng (d) Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định biết vtcp điểm mà qua  =  NÕu a lµ vtcp cđa đờng thẳng (d) a n a n Nếu n (A, B) vtpt (d) a (B, A) vtcp (d) ngợc lại Phơng trình tham số đờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy, đờng thẳng (d) qua điểm M0(x0, y0) có vtcp a (a1, a2) có phơng trình (d): x  x  a t  y  y  a t , t  R Phơng trình với điều kiện a 12 + a 22 > đợc gọi phơng trình tham số đờng thẳng Các trờng hợp riêng: Nếu a1 = 0, ta đợc: x (d): xy ,tR y a t đờng thẳng có vtcp a (0, a2) vuông góc với Ox, cắt Ox điểm có hoành độ x0 Nếu a2 = 0, ta đợc: x x a t (d): ,tR y y đờng thẳng có vtcp a (a1, 0) vuông góc với Oy, cắt Oy điểm có tung độ y0 Phơng trình tắc đờng thẳng Cho đờng thẳng (d) có phơng trình tham số: x x a t (d):  ,tR  a t y  y b»ng cách khử t từ phơng trình tham số (d), ta đợc: x x0 y y0 = a1 a2 Phơng trình với điều kiện a 12 + a 22 > đợc gọi phơng trình tắc đờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy, đờng thẳng (d) qua hai điểm M 1(x1, Nhận xét: 0 0 y1) M2(x2, y2) có phơng trình đợc xác định nh sau: Qua M1 ( x1 , y1 )  (d):   (d): Qua M ( x , y ) Qua M1 ( x1, y1 )     vtcp M1M ( x  x1 , y  y1 )  (d): x  x1 y  y1 = x x1 y y1 Vị trí tơng ®èi cđa hai ®êng th¼ng Cho hai ®êng th¼ng (d1) (d2) có phơng trình (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = việc xét hệ phơng trình tạo (d1) (d2), ta có kết quả: C B A a NÕu =   (d1) // (d2) C2 A2 B2 B A1 C = =  (d1)  (d2) A2 B2 C2 B A c Nếu (d1) cắt (d2) điểm I A2 B2 trờng hợp đờng thẳng ®i qua I ®Ịu cã d¹ng: (A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0, víi + > Phơng trình đợc gọi phơng trình chùm đờng thẳng, điểm I gọi tâm chùm b Nếu Ta thờng dùng phơng trình chùm đờng thẳng để giải toán dạng: " Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm hai đờng thẳng đà cho thoả mÃn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm góc hai đờng th¼ng Gäi  = g((d1 ),(d2)),    900   Gäi a , b theo thø tù vtcp (d1), (d2), đó: | a cos =  b | |a |.| b| NhËn xÐt r»ng (d1)  (d2)  a1b1 + a2b2 =  Gäi k1, k2 theo thø tù lµ hƯ sè gãc cđa (d1), (d2) , ®ã: tg = k1  k  k1k NhËn xÐt r»ng (d1)  (d2)  k1.k2 = 1 khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) đờng thẳng (d) cã (d): Ax + By + C = Khi khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) đợc cho bởi: | Ax M By M  C | d(M, (d)) = A2  B Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(xM, yM) tới đờng thẳng (d) đợc định nghĩa: Ax M By M  C tM = HM = A2 B Phơng trình đờng phân giác là: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đờng thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = 0, Khi phơng trình hai đờng phân giác (1) (2) góc tạo (d 1) vµ (d2) A1x  B1y  C1 = A2x  B2y  C2 A 22  B 22 A B Chú ý: Nếu (d1) (d2) không vuông góc với (d 1) tạo với (d2) hai góc nhọn hai góc tù, ta xác đinh phơng trình đờng phân giác góc nhọn góc tù nhờ kết bảng sau: Dấu Phơng trình đờng phân Phơng trình đờng phân giác góc nhọn tạo giác góc tù tạo bëi (d 1), n n (d1), (d2) øng víi (d2) øng víi t1 = t  t1 = t2 + t1 = t t1 = t2 ®ã:  n 1(A1, B1), n 2(A2, B2) theo thø tù lµ vtpt cđa (d1), (d2)  t1, t2 theo thứ tự khoảng cách đại số từ M(x, y) tới (d 1), (d2) phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Phơng trình đờng thẳng Phơng pháp thực Phơng trình: Ax + By + C = phơng trình đờng thẳng A2 + B2 > Chó ý: §i kÌm víi hä đờng thẳng (dm) thờng có thêm câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Chứng minh họ đờng thẳng (dm) qua điểm cố định Câu hỏi 2: Tìm điểm mà họ (dm) không qua Khi ®ã: a Víi c©u hái 1, ta thùc hiƯn theo bớc: Bớc 1: Giả sử M(x0, y0) điểm cố định họ (dm), đó: Ax0 + By0 + C = m Bíc 2: Nhãm theo bËc cđa m råi cho c¸c hƯ sè b»ng  (x0, y0) Bíc 3: KÕt ln b Víi c©u hái 2, ta thực theo bớc: Bớc 1: Giả sử M(x, y) điểm mà họ (dm) không qua, ®ã: Ax + By + C = vô nghiệm m Bớc 2: Thiết lập điều kiện vô nghiệm (x, y) cần nhớ lại: a Phơng trình am + b = v« nghiƯm m    b 0 Phơng trình am + bm + c = (a  0) v« nghiƯm m  m < Phơng trình acosm + bsinm = c vô nghiệm m  a2 + b2 < c2 Bíc 3: KÕt luận Ví dụ 1: Tìm điều kiện m để phơng trình sau phơng trình đờng thẳng: mx + (m22m)y3 = Giải Phơng trình phơng trình đờng thẳng khi: A2 + B2 >  m2 + (m22m)2 >  m2(m24m + 5)2 >  m2 >  m Vậy, với m phơng trình đà cho phơng trình đờng thẳng Bài toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng Phơng pháp thực Ta sử dụng kết quả: Đờng thẳng qua hai ®iĨm: (d): Qua  Qua M (x , y ) M (x , y )  (d): x  x1 y  y1 = x  x1 y  y1 Lu ý:  NÕu M1(a, 0) vµ M2(0, b) víi a, b phơng trình (M1M2) đợc xác định phơng trình đoạn chắn (M1M2): x y = a b Đờng thẳng (d) qua điểm M0(x0, y0) có dạng: (d): A(xx0) + B(yy0) = 0, víi A2 + B2 > §êng thẳng qua điểm biết vtcp: x x0 y  y0 (x , y ) Qua M  (d):   (d): =  vtcp a ( a , a )  a1 a2 0 hc (d): x  x  a t  y  y  a t , t R Lu ý: Đờng thẳng (d) có vtcp a (a1, a2) có dạng: (d): a2xa1y + C = Đờng thẳng qua điểm biết vtpt: (x ,y ) Qua M  (d):   (d): A(xx0) + B(yy0) =   vtpt n ( A, B )  Lu ý: Đờng thẳng (d) có vtpt n (n1, n2) cã d¹ng: A (d2) (d1) (d): n1x + n2y + C = Đờng thẳng qua điểm vµ biÕt hƯ sè gãc k: Qua M (x , y ) G 0) + y0  (d):   (d): y = k(xx  hsg k B Lu ý: Đờng thẳng (d) có hệ số góc k có d¹ng:C A' (d): y = kx + m = Đờng thẳng (d)//(): Ax + By + C = có phơng trình: (d): Ax + By + D = Đờng thẳng (d)(): Ax + By + C = có phơng trình: (d): BxAy + D = Chú ý: Trong nhiều trờng hợp đặc thù sử dụng a Phơng trình chùm đờng thẳng b Phơng pháp quỹ tích để xác phơng trình ®êng th¼ng VÝ dơ 2: Cho ABC, biÕt trung ®iĨm cạnh M(1,1), N(1, 9), P(9, 1) a Lập phơng trình cạnh ABC b Lập phơng trình đờng trung trực ABC Giải a Ta có: B Phơng trình cạnh AB đợc xác định bởi: qua P qua P ( 9, 1) M   P (AB):   (AB):   AB // MN  vtcp MN ( 2, 10) 0 0 0  (AB): x  = y   (AB): 5xy44 = A 10 N C T¬ng tù (BC): x + y2 = 0, (AC): x5y + 44 = b Gọi đờng trung trực kẻ từ M, N, P theo thứ tự (d M), (dN), (dP) Phơng trình (dM) đợc xác ®Þnh bëi:  qua M (  1,  1)  (dM):  (dM):   (dM): xy =   vtpt PN (8,  8)   qua M   ( d M )  PN T¬ng tù (dN): 5x + y14 = 0, (dP): x + 5y14 = VÝ dô 3: Cho ABC, biÕt A(1, 3) hai trung tuyến có phơng trình là: x2y + = 0, y1 = Lập phơng trình cạnh ABC Giải Cách 1: Để có đợc phơng trình cạnh ABC ta xác định toạ độ điểm B, C Gọi A' điểm đối xøng víi A qua träng t©m G cđa ABC, ®ã: A ' B //( d )  ) A ' C //( d Suy ra: Điểm B giao điểm (A'B) (d2) Điểm C giao điểm (A'C) (d1) Vậy ta lần lợt thực theo bớc sau: Gọi G trọng tâm ABC, toạ độ G nghiệm cđa hƯ: x  y  0   G(1, 1) y  0  §iĨm A' điểm đối xứng với A qua G, toạ độ A' đợc chobởi: x A '  y A '  2 x G  xA y G yA A'(1, 1) Toạ độ điểm B: Phơng trình đờng thẳng (A'B) đợc xác định bëi: qua A '  qua A ' (1,  1)   (A'B):   (A'B):   ( A ' B ) //( d )  vtcp CG ( 2,1)  (A'B): x   y   (A'B): x2y3 =   Điểm {B} = (A'B) (d2), toạ độ điểm B lµ nghiƯm hƯ: x  y     B(5, 1) y   Tơng tự, ta có toạ độ điểm C(3, 1) Phơng trình cạnh AC, đợc xác định bởi: qua (AC):  qua A (1,3) C (  3,  1)  (AC): x  = y   (AC): xy + =  3  1  T¬ng tù, ta cã : (AB): x + 2y7 = vµ (BC): x4y1 = Vậy, phơng trình ba cạnh ABC là: (AB): x + 2y7 = 0, (BC): x4y1 = 0, (AC): xy + = Cách 2: Sử dụng phơng trình tham số đờng thẳng Gọi (d1): x2y + = trung tuyến đỉnh C, ta có : x 2 t   (d1):  , t  R  C(2t1, t) y  t Gäi (d2): y1 = trung tuyến đỉnh B, ta có : x u  (d2):  , u  R  B(u, 1)  y 1 Gäi G lµ träng tâm ABC, toạ độ G nghiệm cđa hƯ: A x  y   (d2)   G(1, 1) (d1) y   G Ta cã:  x  x 3x x  u  t  3 t       B C   y  y 3y 3   t 3  u 5 y (d) B (5,1)  C ( 3, 1) Khi đó: Phơng trình cạnh (AB), đợc cho bởi: qua A (1,3) (AB):   (AB): x + 2y7 =  qua B (5,1) Phơng trình cạnh (AB), đợc cho bëi: qua A (1,3)  (AC):   (AC): xy + = qua C (  3,  1) Phơng trình cạnh (BC), đợc cho bởi: qua B (5,1)  (BC):   (BC): x4y1 = qua C ( 3, 1) Vậy, phơng trình cạnh ABC là: (AB): x + 2y7 = 0, (AC): xy + = 0, (BC): x4y1 = A B C G A B C G Bµi toán 3: Xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng Phơng pháp thực Nếu hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình tổng quát: (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = để xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng (d1), (d2), ta sử dụng kết quả: B A C a NÕu =   (d1) // (d2) A2 B2 C2 B A1 C = =  (d1)  (d2) A2 B2 C2 B A c NÕu   (d1) cắt (d2) A2 B2 Các trờng hợp khác việc xét hệ phơng trình tạo hai đờng thẳng (d1) (d2), số nghiệm hệ phơng trình cho phép kết luận vị trí tơng ®èi cđa hai ®êng th¼ng VÝ dơ 4: Cho hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình: x 2t x 1  3t   (d1):  , (d2):  ,t1, t2  R  y   3t y t a Xác định giao ®iĨm cđa (d1) vµ (d2) b TÝnh cosin gãc nhän tạo (d1) (d2) Giải a Xét hệ phơng trình tạo (d1) (d2): 3t t 1  t     3  t    3t t VËy (d1) cắt (d2) A(2, 3) b Gäi a , a theo thø tù lµ vtcp cđa (d1) vµ (d2), ta cã a (2, 3), a (1, 2) Khi ®ã, cosin gãc nhọn tạo (d1) (d2) đợc cho bởi:   |  2.1  3.2 | | a a | cos =  =  = 2 2 (  2)  ( 3)  65 | a | | a | Chó ý: ViƯc xÐt vị trí tơng đối hai đờng thẳng có phơng trình tổng quát gợi ý cho giải toán " HÃy biện luận giá trị nhỏ cđa biĨu thøc F = (A1x + B1y + C1)2 + (A2x + B2y + C2)2 " Ta thùc hiÖn theo bớc sau: Bớc 1: Xét hai đờng thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = vµ (d2): A2x + B2y + C2 = Bíc 2: VËy giá trị nhỏ F tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối (d1) (d2) Xét hệ phơng trình tạo (d1) (d2) có dạng: A x  B y   C  A x B y C Xác định giá trÞ cđa D, Dx, Dy Bíc 3: BiƯn ln: Dy Dx a NÕu D  0, hÖ cã nghiÖm nhÊt x = vµ y = D D Khi (d1) cắt (d2) minF = 0, đạt đợc Dy D x = x y = D D A B C b NÕu D = Dx = Dy =    A2 B2 C2 Khi ®ã (d1)  (d2) minF = 0, đạt đợc M(x, y)  (d1) c NÕu A B C   A2 B2 C2 Khi (d1) // (d2) đặt t = A1x + B1y + C1, ta đợc: b Nếu 1 2 2 D   0  D x  D 0 y  10 2 F = t2 + (kt + m)2 = (k2 + 1)t2 + 2mkt + m2   4a mk VËy minF = , đạt đợc t = 4a k HÃy biện luận theo a giá trị nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc: F = (x + y2)2 + (x + ay3)2 VÝ dơ 5: Gi¶i XÐt hai đờng thẳng (d1): x + y = vµ (d2): x + ay  = Vậy giá trị nhỏ F tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối (d1) (d2) Xét hệ phơng trình tạo (d1) (d2) có dạng: x  y   x  ay 3 Ta cã: D= 1 a = a1, Dx = a = 2a3, Dy = 1 = a NÕu D   a1   a  HÖ cã nghiƯm nhÊt x = 2a  vµ y = a 1 (d1) cắt (d2) minF = a b NÕu D =  a1 =  a = Víi a = 1, suy Dx = 1  0, hÖ vô nghiệm Khi (d1) // (d2) đó: F = (x + y2)2 + (x + y3)2 Đặt t = x + y2, ta đợc F = t2 + (t1)2 = 2t22t +  VËy minF = , đạt đợc khi: t=  x + y2 =  2x + 2y5 = 2 KÕt luËn:  Víi a  1, minF = 0, đạt đợc x = 2a  vµ y =  Víi a = 4, minF = , đạt đợc x, y thoả m·n 2x + 2y5 = a 1 a Bài toán 4: Điểm đờng thẳng Phơng pháp thực Để tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) thoả mÃn điều kiện K, ta lựa chọn mét hai híng sau: Híng 1: TËn dơng ph¬ng trình đờng thẳng (d) cho trớc Cách 1: Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tham số : x x  a t  (d):  , t R  a t  y y Bíc 1: LÊy ®iĨm M  (d), suy M(x0 + a1t, y0 + a2t) Bớc 2: Dựa vào điều kiện K xác định t Cách 2: Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tổng qu¸t: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > 0 11 LÊy ®iĨm M(xM, yM)  (d), suy AxM + ByM + C = Bíc 2: Sư dơng ®iỊu kiện K thiết lập thêm phơng trình cho xM yM Từ tìm đợc toạ độ M Lu ý: Khi chuyển phơng trình (d) dạng tham số để sử dụng cách Hớng 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuéc ®êng (L), ®ã (d)  (L) = {M} Ví dụ 6: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: (d): x2y + 15 = Tìm đờng thẳng ®iÓm M(xM, yM) cho x 2M  y 2M nhỏ Giải Cách 1: Vì M(xM, yM) (d), suy xM2yM + 15 =  xM = 2yM15, ®ã: x 2M  y 2M = (2yM15)2 + y 2M = y 2M 60yM + 225 = 5(yM6)2 + 45  45 VËy ( x 2M y 2M )Min = 45 đạt đợc khi: yM = M(3, 6) Cách 2: Chuyển phơng trình (d) vỊ d¹ng tham sè: x 2 t  15  (d):  , t  R y  t §iĨm M  (d), suy M(2t15, t) Khi ®ã: x 2M  y 2M = (2t15)2 + t2 = 5t260t + 225 = 5(t6)2 + 45  45 Bíc 1: VËy ( x 2M  y 2M )Min = 45 đạt đợc khi: t = M(3, 6) Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxli, ta có: xM2yM + 15 =  15 = 2yMxM Bunhiac« pxki  (  1)(y 2M  x 2M )  x 2M  y 2M  45 VËy ( x 2M y 2M )Min = 45 đạt ®ỵc khi: d) yM = 2xM ( M(3, 6) VÝ dụ 7: Cho hai điểmA(0, 2), B(2, 2) đờng thẳng (d) có phơng trình: (d): xy1 = Tìm đờng thẳng điểm M (d) cho MA + MB nhá nhÊt Gi¶i Ta cã nhËn xÐt: tA.tB = (21)(2 + 21) = 9 <  A, B khác phía với (d) Ta có: MA + MB  AB ®ã (MA + MB)Min = AB đạt đợc khi: A, B, M thẳng hàng {M} = (d) (AB) Phơng trình đờng thẳng (AB) ®ỵc cho bëi: (AB):  12 qua A ( 0, )  qua B ( 2,  )  (AB): x  y   (AB): 2x + y2 = Toạ độ điểmM nghiệm hÖ:  2 x 1    M(1, 0) y Vậy, điểm M(1, 0) ta đợc MA + MB nhỏ B tËp rÌn lun Bµi tËp Chøng minh r»ng víi m phơng trình: mx2m2x + (m1)xy + myy2 = phơng trình hai đờng thẳng Bài tập Cho họ đờng thẳng (dm) có phơng trình: (dm): (2m + 1)xym2 = Tìm tập hợp điểm mặt phẳng không thuộc đờng thẳng họ Bài tập Cho ABC, biết đỉnh C(4, 1) đờng cao đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phơng trình tơng ứng là: (d1): 2x3y + 12 = vµ (d2): 2x + 3y = Lập phơng trình cạnh ABC Bài tập Cho hai điểm P(2, 5) Q(5, 1) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm P cho khoảng cách từ Q tới đờng thẳng Bài tập Cho hai đờng thẳng: (d1): 2xy + = 0, (d2): 3x + 6y1 = LËp phơng trình đờng thẳng qua điểm P(2, 1) cho đờng thẳng với hai đờng thẳng (d1) (d2) tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đờng thẳng (d1) (d2) Bài tập Cho hai đờng thẳng: (d1): 2xy + = (d2): x2y3 = Lập phơng trình ®êng th¼ng () ®i qua giao ®iĨm cđa (d 1) (d2) đồng thời chắn hai trục toạ độ đoạn Bài tập Cho hình bình hành ABCD, biết tâm I(2, 2) phơng trình cạnh: (AB): 2xy = 0, (AD): 4x3y = LËp ph¬ng trình cạnh BC CD Bài tập Cho ba ®iĨm A(2, 3); B(4, 1); C(4, 5)  a Lập phơng trình đờng phân giác góc A ABC b Lập phơng trình đờng phân giác ngoµi cđa gãc A cđa ABC Bµi tËp Cho hai đờng thẳng: (d1): kxy + k = 0, (d2): (1k2)x + 2ky(1 + k2) = a Chøng minh k thay đổi (d 1) qua điểm cố định Tìm toạ độ điểm cố định b Với giá trị k, hÃy xác định giao điểm (d 1) (d2) c Tìm q tÝch cđa giao ®iĨm ®ã k thay ®ỉi Bài tập 10 Cho ABC cân A, biết phơng trình cạnh AB có dạng: (AB): x y  = 0, ®iĨm B, C thc trơc hoành A thuộc góc phần t thứ a Xác định toạ độ đỉnh ABC, biết p = b Tìm toạ độ điểm M AB N BC cho đờng thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi chia đôi diện tÝch cđa ABC Bµi tËp 11 Cho ABC biÕt A(2, 1) hai đờng phân giác góc B, C có phơng trình (dB): x2y + = vµ (dC): x + y + = LËp phơng trình cạnh BC Bài tập 12 Cho OAB vuông O Điểm A di động đờng thẳng (d1): x = 2, B di động đờng thẳng (d2): y = Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc cđa O lªn AB 2 x  y  0   x  y  0 13 Bài tập 13 Cho họ đờng thẳng (dm) có phơng tr×nh: (dm): (m + 1)xy + m2m = Chøng minh họ đờng thẳng (dm) tiếp xúc với Parabol cố định Bài tập 14 Cho điểm A(0, 1), B(2, 3), C( , 0), E(1, 6), F(3, 4) đờng thẳng (d) có phơng trình: (d): 2xy1 = a Kiểm nghiệm điểm A, B, C thuộc đờng thẳng (d) Tìm (d) ®iÓm D cho ®iÓm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hoà b Tìm điểm M (d) cho vectơ EM + FM có độ dài nhỏ Bài tập 15 Cho điểm M(3, 1) đờng thẳng (d) có phơng trình : (d): 3x4y + 12 = Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H M lên (d), từ suy toạ độ điểm M điểm đối xứng với M qua (d) Bµi tËp 16 Cho ABC biÕt (BC): 4xy + = hai đờng phân giác góc B, C có phơng trình (dB): x2y + = vµ (dC): x + y + = Lập phơng trình cạnh AB, AC Bài tập 17 Cho ABC vuông C, với AC = BC = Điểm A di động Ox, B di động Oy Tìm tập hợp ®Ønh C Bµi tËp 18 Chøng minh r»ng hä ®êng thẳng (dm) tiếp xúc với Parabol cố định, biÕt: a (dm): m2x2my + = 0, víi m  b (dm): (2m + 1)xym2 = Bµi tập 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đờng thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phơng trình x + y = Tìm toạ độ đỉnh B C, biết ®iĨm E(1; 3) n»m trªn ®êng cao ®i qua ®iĨm C tam giác đà cho Bài tập 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C (4; 1), phân giác góc A có phơng trình x y = Viết phơng trình đờng thẳng BC, biết diện tích ABC 24 đỉnh A có hoành độ dơng Bài tập 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (0; 2) ( ) đờng thẳng qua O Gọi H hình chiếu vuông góc A ( ) Viết phơng trình đờng thẳng ( ), biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Bài tập 22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đờng chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đờng thẳng (): x + y = Viết phơng trình đờng thẳng AB Bài tập 23 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC có M(2; 0) trung điểm cạnh AB Đờng trung tuyến đờng cao qua đỉnh A lần lợt có phơng trình: 7x 2y = 0, 6x y = Viết phơng trình đờng thẳng AC C hớng hớng dẫn đáp sốp số Bài tập Viết lại biểu thức dới dạng: (mxy)(x + ym) =   mx  y 0  x  y  m 0  Vậy với m phơng trình đà cho phơng trình hai đờng thẳng (d1): mxy = (d2): x + ym = Bµi tËp Gäi M(x, y) điểm mà họ (dm) không qua 14  (2m + 1)xym2 = v« nghiƯm m  m22mx + yx = v« nghiƯm m  ’m <  x2 + xy < VËy, tập hợp điểm M(x, y) thoả mÃn x2 + xy < (các điểm thuộc miển (P): y = x2 + x) không thuộc đờng thẳng họ (dm) Bài tập Ta lần lợt xác định: Phơng trình cạnh (BC): Ta có: (d Vì (BC) (d1) nên (BC): 3x2y + C = (1) C(1, ) 1) V× C  (BC) nªn 3).42.(1) + C =  C = 10 (d Thay C = 10 vào (1), ta đợc ) C/ M (BC): 3x + 2y10 = B n B A độ điểm A nghiệm hệ: Phơng trình cạnh (AC): Điểm {A} = (d1) (d2)  to¹ 2 x  3y  12  x   A(3, 2) 2 x  3y  Phơng trình cạnh (AC) đợc xác định bởi: (AC):  qua  qua A (  3,2 ) C ( 4,  1)  (AC): x   y   (AC): 3x + 7y5 = 43 Phơng trình cạnh (AB): Gọi M trung điểm BC, M = (d2) (BC) Vậy, toạ độ điểm M nghiệm hệ phơng tr×nh: 3x  y  10    M(6, 4) 2 x  3y  To¹ độ điểm B đợc xác định bởi: x x x 2 x  x x 8 x         y 2 y 2 y  y  y y y Phơng trình cạnh (AB) đợc xác định bởi: B C M B M C B B C M B M C B qua  (AB):  qua B (8, 7) A (  3,2 )  (AB): x   y   (AB): 9x + 11y + = 27 Vậy, phơng trình ba cạnh ABC là: (AB): 9x + 11y + = 0; (BC): 3x + 2y10 = 0; (AC): 3x + 7y5 = Bài tập Đờng thẳng (d) qua điểm P có phơng trình: (d): A(x2) + B(y5) =  (d): Ax + By2A5B = Khoảng cách từ Q tới (d) 3, ta cã: | 5A  B  A  5B | A2  B2 =  |3A4B| = A  B  B 0  B  24A   (3A4B)2 = 9(A2 + B2)  7B224AB =    Víi B = 0, ta đợc (d1): x2 = Với B = 24 A , ta đợc (d2): 7x + 24y134 = y Vậy, tồn hai đờng thẳng (d1) (d2) thoả mÃn điều kiện Bài tập Gäi k1, k2 theo thø tù lµ hsg cđa (d1) vµ (d2), ta cã: k1 = 2, k2 =   k1.k2 = 1  (d1)  (d2) Vậy, gọi (d) đờng thẳng qua P(2, 1), ta đợc: (d): A(x2) + B(y + 1) =  (d): Ax + By2A + B = (1) ( d ( )d ) O (O d ' ) x ( d 2) x n MP ( d ) 15 Đờng thẳng (d) với hai đờng thẳng (d1) (d2) tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đờng thẳng (d1) vµ (d2) | 2A  B |  g((d),(d1)) =    3A28AB3B2 = A  B A t B  = cos   t 3 3t28t3 =    A 3B    t    3A  B   Víi A = 3B, thay vào (1) ta đợc đờng thẳng (d): 3x + y5 =  Víi 3A = B, thay vào (1) ta đợc đờng thẳng (d'): x3y5 = Vậy, qua P kẻ đợc hai đờng thẳng (d) (d') thoả mÃn đầu Chú ý Cũng giải toán hai cách sau: Cách 1: Tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đờng thẳng (d1) (d2) đờng thẳng (d) qua P vuông góc với đờng phân giác góc tạo hai đờng thẳng (d1) (d2) Phơng trình đờng phân giác góc tạo hai đờng thẳng (d1) (d2), đợc cho bëi: | 2x  y  | | 3x  y  |  (  ) : 3x  y  16 0   2  ( 1) 6  (  ) : x  3y 14 Gọi (d) đờng thẳng qua P(2, 1) vuông góc với (1), ta có: qua P ( 2,  1)   (d):   (d): 9(x2) + 3(y + 1) = ( 9,3)  vtpt n  (d): 3x + y5 = Gọi (d') đờng thẳng qua P(2, 1) vuông góc với (2), ta có: qua P ( 2,  1)   (d'):   (d'): 3(x2) + 9(y + 1) = (  3,9 )  vtpt n  (d'): x3y5 = C¸ch 2: Thiết lập điều kiện ABC cân A = (d1)(d2) Bài tập () qua giao điểm (d1), (d2) nên () thuộc chùm tạo (d1), (d2), cã d¹ng: (): (2xy + 1) + (x2y3) =  (): (2 + )x( + 2)y + 3 = (1) Gọi A = ()(Ox), toạ độ điểm A nghiệm hệ phơng trình: 2 = )  (d1 ) B ( x B , y B  ) ( d ) C ( x C , y C   AC  AB  B, C , P th an g h ang  (2  )x   y  (  2)y    3   A( 3   , 0) 2   Gäi {B} = () (Oy), toạ độ điểm B nghiệm hệ phơng trình: (2 )x  (   2)y     x  3   B(0,   3 ) Đờng thẳng () chắn tên hai trục toạ độ đoạn nhau, suy ra:   2   =   3   2  t  t  0   t  t  0   t 1  t    t  OA = OB   t      16    2  3 0   2    4  3 0 Víi t = = , ta đợc (1): (2xy + 1) + (x2y3) =  (1): 3x3y2 = Víi t =1 = , ta đợc (2): (2xy + 1) + (x2y3) =  (2): x + y + = Víi t =  = 3, ta đợc (3): 3(2xy + 1) + (x2y3) =  (3): 7x5y = VËy, cã ba đờng thẳng thoả mÃn điều kiện đầu Bài tập a Cạnh BC đối xứng với AD qua I, ta lần lợt thực hiện: Với đểm M(x, y) (AD) tồn điểm M1(x1, y1) (BC) nhận I làm trung điểm, ta đợc: x 4  x x  x     4 y  y y   y (I) Thay (I) vào phơng trình (AD), ta đợc: 4(4x1)3(4y1) =  4x13y14 = (1) 4x3y4 = (2) Vậy phơng trình (BC): 4x3y4 = b Cạnh CD đối xứng với AB qua I, ta lần lợt thùc hiƯn: LÊy ®iĨm O(0, 0)  (AB), gäi O1 điểm đối xứng với O qua I O1(4, 4)  V× (CD) // (AB): 2xy =  (CD): 2xy + C =  V× O1  (CD) C = Vậy, phơng trình đờng thẳng (CD): 2xy4 = Bài tập Trớc tiên, ta có: Phơng trình cạnh AB đợc xác định bởi: (AB): 1 1 qua  qua  (AB): x   y   (AB): 2x + y7 = A ( 2,3) B ( 4,  1) Phơng trình cạnh AC đợc xác định bởi: (AC): qua qua A ( 2,3) C (  3,5)  1  (AC): x   y   (AC): xy + = 4 5  A a Viết phơng trình đờng phân giác góc ABC Gọi (d1) đờng phân giác gãc A cđa ABC Khi ®ã, ®iĨm M(x, y)(d1)  vµ B cïng p hÝa víi ( AC ) M  vµ C cï ng p hÝa ví i ( AB ) M  d( M, ( AB ))  d( M, ( AC ))  ( x  y  1)(4   1)   (2 x  y  7)(2.4   7)  | x  y  | | 2x  y  |  12  2 2  12 y   x    2 x  y   y    (2 x x  3x6 = Đó phơng trình tổng quát đờng thẳng (d1) b Viết phơng trình đờng phân giác góc A ABC Gọi (d2) đờng phân giác góc A cđa ABC Khi ®ã, ®iĨm M(x, y)  (d2) t t t t    d( M, ( AB ))  d( M, ( AC ))  ( x  y  1)(2 x  y  7)      x + 2y6 = x  y  2 x  y Đó phơng trình tổng quát đờng thẳng (d2) Bài tập M /( AC ) B /( AC )  y M /( AB )  7) C /( AB ) y  1)(   1).(2 x  y  ( x   y  | | 2x  y  | | x    12  2 2  12  7)( 2.4   7)  17 a Gäi M(x, y) điểm cố định mà đờng thẳng (d1) ®i qua víi k  kxy + k = k  (x + 1)ky = k x  y (d1)     M(1, 0)  y (d2) I Vậy (d1) qua điểm cố định M(1, 0) b Xét hệ phơng trình tạo bëi (d1) vµ (d2) lµ: A Ta cã: O x 1 D = + k2 , Dx = 1k2, Dy = 2k V× D  k  (d1) (d2) cắt I có toạ ®é lµ nghiƯm cđa hƯ, tøc lµ:  k2 2k I( ) ,  k  k2 c Từ hệ phơng trình: y k  kx  2 (1  k )x  ky 1  k   k2 x     k2  2k y    k2    2  x2 + y2 =   k    k   x2 + y2 =  1 k  1 k  Vậy, quĩ tích giao điểm I (d1) (d2) thuộc đờng tròn x2 + y2 = Bài tập 10 a Ta có toạ độ điểm : A(a, 3a  ), B(1, 0), C(2a1, 0), y Tõ gi¶ thiÕt: AM  AP(I)   a  a   3a   0 p =  AB  BC  AC =  2.8|a1| + 2|a1| = 18   a 2  a 0 ( lO )  I B C N x Tõ ®ã A(2, ), B(1, 0), C(3, 0) b Ta cần tìm điểm M AB (tức phải tìm x = BM, x 8) cho cạnh BC tồn điểm N thoả m·n: BN = px = 9x,  9x    x  9, S BMN = S ABC (1) Từ (1) ta đợc:  x 8 x (9  x ) BM.BN =  =  x29x + =    x 1 ( l ) AB.BC 2 8.2  Víi x =  M  A(2, ) vµ N(2, 0) lµ trung ®iĨm BC Bµi tËp 11 NhËn xÐt r»ng nÕu lÊy A 1, A2 theo thứ tự điểm đối xứng A qua (d B) (dC) A1, A2 BC Vậy, phơng trình đờng thẳng (A1A2) phơng trình đờng thẳng (BC) Ta lần lợt xác định A1, A2: a Xác định A1: Gọi (d1) đờng thẳng thoả mÃn : qua A qua A ( 2,  1)    (d1):   (d1): 2x + y3 = )  (d1):  vtpt a ( 2,1) ( d )  ( d 18 B B Gọi E hình chiếu vuông gãc cđa A lªn (d C) suy E = (d1) (dB) toạ độ điểm E nghiệm hÖ: 2 x  y     E(1, 1) x  y   Vì E tung điểm AA1, đó: A(2,1 2 x  x 0 (dB)  (dC) x )   A1(0, 3) 2 y  y 3 y EF b Xác định A2: Gọi (d2) đờng thẳng thoả mÃn : x qua A qua A ( 2,  1)    (d2):   (d ):  (d2): xy3 = B C ( d )  ( d ) vtpt a ( ,  )   A1 A2 Gäi F hình chiếu vuông góc A lên (d B) suy F = (d 2) (dC) toạ ®é  ®iĨm F lµ nghiƯm hƯ: C x  y     F(0, 3) /A x y Vì F tung ®iĨm AA2, ®ã: A1 E A A1 E A C C x A 2 x F  x A 0  y A 2 y F  y A 3  A2(2, 5) VËy, ph¬ng trình (BC) đợc xác định bởi: qua A ( 0,3)  (BC):   (BC): 4xy + = qua A (  2,  5) Bµi tập 12 Giả sử A(2, yA), B(xB, 1) hình chiếu vuông góc H O lên AB H(x, y), ®ã:   (I) Khư yA, xB từ hệ (I), ta đợc: x + 2y2 = Vậy tập hợp hình chiếu vuông góc H O lên AB thuộc đờng thẳng (d): x + 2y2 = Chú ý: Để tìm đờng cong cố định tiÕp xóc víi hä (d m) : f(x, y, m) = 0, ta lùa chän mét hai c¸ch sau:C¸ch 1: Thực theo hai bớc: Bớc 1: Định dạng cho đồ thị cố định, thí dụ: Parabol (P): y = ax2 + bx + c Bíc 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc đồ thị với giá trị tham số, ta xác định đợc phơng trình đờng cong Cách 2: Thực theo hai bớc: Bớc 1: Tìm tập hợp điểm mà họ (dm) không qua Tập hợp đợc xác định bất phơng trình có dạng: h(x, y) < g(x, y) Bíc 2: Ta ®i chøng minh hä (d m) tiếp xúc với đờng cong (C) có phơng trình: h(x, y)g(x, y) = Bài tập 13 Ta cã thĨ thùc hiƯn theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sư parabol (P): y = ax2 + bx + c lu«n tiÕp xóc víi (dm)  hƯ sau cã nghiÖm ( m  1)x  m  m ax  bx  c  , m m  2 ax  b  , m  , m 1  OA    HA  HB      O A.OB   OB HO  HA HO  HB HO   HO  y A 0 2 x B  2)  y( y  x ( x  x ( x  x B )  y( y  y  A ) 1) 0 0 0 0 0 a 0  2 (1  4a )m  2(2a  b  1)m  b  2b   4ac 0  a   4a 0   2( a  b  1) 0    2b   ac 0 b a  b c   / 3 /  / VËy, (dm) lu«n tiÕp xóc víi parabol (P): y =  x2 + x 4 19 C¸ch 2: Ta thùc hiƯn theo hai bớc: Tìm điểm mặt phẳng mà không thuộc họ (d m) Gọi M(x, y) điểm không thuộc đờng thẳng họ (dm) phơng trình (m + 1)xy + m2m = vô nghiệm m phơng trình m2 + m(x1) + xy = v« nghiƯm m  ' <  (x1)24(xy) <  x26x + + 4y < Vậy, tập hợp điểm M(x, y) thoả mÃn x26x + + 4y < kh«ng thuéc bÊt đờng thẳng họ (dm) Ta chøng minh (dm) lu«n tiÕp xóc víi Parabol (P): x26x + + 4y = ThËt vËy, xÐt hÖ phơng trình tạo bới (dm) (P) dạng:  m  ( m  1).x  m   m    x    2 ( x  x  1)  x = 12m, tøc lµ hệ có nghiệm, nên (dm) tiếp xúc với (P) Vậy, đờng thẳng họ (dm) tiếp xóc víi Parabol (P) Bµi tËp 19 Gäi H, I theo thứ tự trung điểm BC AH, ta lần lợt có: Phơng trình đờng thẳng (AH) ®ỵc cho bëi: A Qua A  6;  Qua A (AH) :   (AH) :   M I N (AH)  (MN) (  vtpt n  1;  1 d  (AH): x  y = ) Toạ độ điểm I nghiệm hệ phơng trình: E x y B H C  I(2; 2)  H(2; 2)  x  y     Ph¬ng trình đờng thẳng (BC) đợc cho bởi: Qua H  2;   Qua H (BC) :   (BC) :   (AH)  (BC)  vtcp u  1;  1 x   t (BC) :  , t   y  t Vì B thuộc (BC) nên B(2 + t; t) B, C đối xứng qua H nªn ta cã C(2  t; 2 + t) Vì điểm E(1; 3) nằm đờng cao qua điểm C ABC nên:   AB  CE  AB  CE  AB.EC 0  (8 + t; 8  t).(3  t; + t) =  (8 + t)(3  t) + (8  t).(1 + t) =  t2  2t  =  t = t = C Vậy, ta đợc B(0 ; 4), C(4 ; 0) hc B(6; 2), C(2; 6) (d) Bài tập 20 Ta trình bày theo cách sau: Cách 2: Ta lần lợt: B Gọi C(x; y) điểm đối xứng với C qua (d), ta cã:   CC '  (d) CC '  u d     I  (d) A  trung ®iĨm I cđa CC' thc (d) C 20 ... phơng trình: mx2m2x + (m1)xy + myy2 = phơng trình hai đờng thẳng Bài tập Cho họ đờng thẳng (dm) có phơng trình: (dm): (2m + 1)xym2 = Tìm tập hợp điểm mặt phẳng không thuộc đờng thẳng họ Bài tập... phơng trình sau phơng trình đờng thẳng: mx + (m22m)y3 = Giải Phơng trình phơng trình đờng thẳng chØ khi: A2 + B2 >  m2 + (m22m)2 >  m2(m24m + 5)2 >  m2 >  m  VËy, víi m phơng trình. .. Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Phơng trình đờng thẳng Phơng pháp thực Phơng trình: Ax + By + C = phơng trình đờng thẳng vµ chØ A2 + B2 > Chó ý: Đi kèm với họ đờng thẳng (dm) thờng có thêm