(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường hypebol

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §4 Đường Hypebol  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao / Phương pháp giải các dạng toán 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận 2 được giải đáp. 3 Đ4 đờng hypebol bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm cố định F 1 , F 2 , với F 1 F 2 = 2c > 0. Tập hợp những điểm M sao cho |MF 1 MF 2 = 2a (a là một số không đổỉ và a < c) gọi là một Hypebol. Vậy, ta đợc: (H) = {M| MF 1 + MF 2 = 2a} Hai điểm F 1 , F 2 gọi là hai tiêu điểm của Hypebol. Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của Hypebol. Trung điểm I của F 1 F 2 gọi là tâm của Hypebol. Với điểm M thuộc Hypebol thì các khoảng cách MF 1 và MF 2 gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M. 2. phơng trình chính tắc của Hypebol Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x, y)(H) là 2a (a > c) có phơng trình: (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = , với b 2 = c 2 a 2 . Chú ý: Điểm M(x, y)(H) luôn có: a. F 1 M = a cx + a và F 2 M = a cx a với x > 0. b. F 1 M = a cx a và F 2 M = a cx + a với x < 0. 3. hình dạng của Hypebol Với Hypebol (H) có phơng trình: (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = . ta xét các tính chất hình học của (H) bằng cách xét các tính chất đại số tơng ứng của phơng trình trên. a. Phơng trình của (H) có bậc chẵn đối với x và y nên: Nếu điểm M(x, y)(H) thì các điểm M 1 (x, y), M 2 (x, y) và M 3 (x, y) cũng thuộc (H). (H) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng. b. (H) cắt các trục toạ độ tại hai điểm: 4 Q y x O A 1 F 1 F 2 A 2 B 2 B 1 P S R (H)Ox = {A 1 , A 2 } có toạ độ là A 1 ( a, 0), A 2 (a, 0) và đoạn thẳng A 1 A 2 gọi là trụ cthực của (H) có độ dài bằng 2a. (H) không cắt Oy, đặt B 1 (0, b); B 2 (0, b) và đoạn thẳng B 1 B 2 gọi là trục ảo của (H) có độ dài bằng 2b. Vậy trục thực của Hyperbol là trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo là trục đối xứng không cắt Hyperbol. Bốn điểm A 1 , A 2 , B 1 , B 2 gọi là bốn đỉnh của Hypebol (H) Lu ý: Hai tiêu điểm của Hypebol (H) luôn ở trên trục thực. c. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đờng thẳng x = a và các đờng thẳng y = b đợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H). d. Từ M(x, y)(H) 2 2 a x 1 |x| a ax ax . Nh vậy Hyperbol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau. Tập con của (H) chứa những điểm M(x, y) thoả mãn xa gọi là nhánh bên phải của Hyperbol. Tập con của (H) chứa những điểm M(x, y) thoả mãn x a gọi là nhánh bên trái của Hyperbol. Hai nhánh này đối xứng nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm trục đối xứng. e. Hyperbol (H) có 2 đờng tiệm cận là: y = a b x. f. Cách dựng Hyperbol (H) Xác định vị trí các điểm A 1 ( a, 0) ;A 2 (a, 0), B 1 (0, b), B 2 (0, b) trên hệ toạ độ. Dựng các đờng thẳng x = a và y = b cắt nhau tại P, Q, R, S. Hình chữa nhật PQRS có kích thớc 2a, 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của Hyperbol. Kẻ hai đờng tiệm cận là hai đơng chéo của hình chữ nhật cơ sở. Dựa trên hai đỉnh A 1 , A 2 và hai đờng tiệm cận để vẽ Hyperbol. 3.1. Hyperbol liên hợp Định nghĩa 3. Hai Hyperbol có phơng trình: (H 1 ): 1 b y a x 2 2 2 2 = và (H 2 ): 2 2 2 2 b y a x = 1 gọi là hai Hyperbol liên hợp. Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp: - Có chung các đợng tiệm cận và hình chữ nhật cơ sở. - Có các tiêu điểm và đỉnh khác nhau. Trục thực của Hyperbol này là trục ảo của Hyperbol kia và ngợc lại. 5 y x O A 1 F 1 F 2 A 2 B 2 B 1 4. Tâm sai của Hypebol Tâm sai của Hypebol là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của Hypebol. Đối với Hypebol (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = thì e = a c . Đối với Hypebol (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = thì e = b c . Chú ý: Mọi Hypebol đều có tâm sai lớn hơn 1. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Xác định các thuộc tính của Hypebol (H). Phơng pháp thực hiện Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu của Hypebol (H) về dạng chính tắc (H): 2 2 2 2 b y a x = 1. Bớc 2: Xét các khả năng: Khả năng 1: Nếu (H): 2 2 2 2 b y a x = 1 ta đợc: (H) có trục thực thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) với c 2 = a 2 + b 2 . (H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài bằng 2b. Tâm sai e = a c . Khả năng 2: Nếu (H): 2 2 2 2 b y a x = 1 ta đợc: (H) có trục thực thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm F 1 (0, c), F 2 (0, c) với c 2 = a 2 + b 2 . (H) có trục ảo thuộc Ox với độ dài bằng 2a. Tâm sai e = b c . Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (H) có dạng: (H): 2 2 2 2 b )y( a )x( = 1. 6 y x O A 1 F 1 F 2 A 2 y x O F 1 F 2 B 2 B 1 ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục: = = yY xX += += Yy Xx ta đợc: (H): 1 b Y a X 2 2 2 2 = từ đó chỉ ra các thuộc tính của (H) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (H) trong hệ trục Oxy. Ví dụ 1: Cho Hyperbol (H) có phơng trình: (H): 9x 2 16y 2 = 144. a. Chuyển phơng trình của (H) về dạng chính tắc. Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai, các đờng tiệm cận của (H) và xác định phơng trình tham số của (H). b. Viết phơng trình Hyperbol (H 1 ) liên hợp của (H). Tìm các thuộc tính của (H 1 ) và xác định phơng trình tham số của (H 1 ). c. Viết phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). Giải a. Đa phơng trình Hyperbol về dạng (H): 9 y 16 x 22 = 1 a = 4, b = 3 và c = 5. Từ đó: Tâm O(0, 0). Toạ độ các đỉnh A 1 ( 4, 0), A 2 (4, 0). Toạ độ các tiêu điểm F 1 ( 5, 0), F 2 (5, 0). Tâm sai e = 4 5 . Phơng trình hai đờng tiệm cận là y = 4 3 x. Phơng trình tham số của (H) có dạng: (H): = = tgt3y tcos 4 x , t[0, 2)\{ 2 , 2 3 }. b. Phơng trình Hyperbol (H 1 ) liên hợp của (H) có dạng: 7 (H 1 ): 9 y 16 x 22 = 1. Các thuộc tính của (H 1 ) và phơng trình tham số của (H 1 ) bạn dọc tự làm c. Giả sử phơng trình chính tắc của Elíp có dạng: (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ , với a > b. (1) Tiêu cự c = 5 a 2 b 2 = 5 2 (2) P(4, 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H). Để Elíp (E) ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) P(4, 3)(E) 9a 2 + 16b 2 a 2 .b 2 = 0 (3) Từ (2), (3) suy ra a 2 = 40, b 2 = 15. Vậy phơng trình chính tắc (E): 1 15 y 40 x 22 =+ , và phơng trình tham số có dạng: (E): = = tcos15y tsin102x , t[0, 2). Bài toán 2: Lập phơng trình của Hypebol (H). Phơng pháp thực hiện Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Hypebol (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = Từ đó cần tìm a, b (hoặc a 2 , b 2 ) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn a, b (hoặc a 2 , b 2 ). Cách 2: Sử dụng định nghĩa Chú ý: 1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình thích hợp. Trong trờng hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Hypebol (H) có ph- ơng trình: (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = 2. Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác phơng trình Hypebol hoặc chứng minh tập hợp điểm là Hypebol, trong trờng hợp này này chúng ta thờng thực hiện theo hai bớc sau: Bớc 1: Chứng minh tập hợp điểm là Hypebol (H) bằng việc chỉ ra hai điểm cố định A, B và M thoả mãn |MA MB| = 2a không đổi. 8 Bớc 2: Lập phơng trình chính tắc của Hypebol (H) nhận A, B làm tiêu điểm và có độ dài trục thực bằng 2a. Ví dụ 2: Cho ba điểm F 1 (4, 0), F 2 (4, 0) và điểm A(2, 0). a. Lập phơng trình Hyperbol (H) đi qua A và có tiêu điểm F 1 , F 2 . b. Tìm toạ độ điểm M trên (H) sao cho MF 2 = 2MF 1 . Giải a. Vì hai tiêu điểm F 1 và F 2 thuộc Ox và đối xứng qua Oy nên Hypebol (H) có dạng: (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = (1) - Tiêu cự c = 4 a 2 + b 2 = 4 2 (2) - Điểm A(2, 0)(H) a 2 = 4 (3) - Từ (2), (3) suy ra a 2 = 4, b 2 = 12. Vậy phơng trình (H): 1 12 y 4 x 22 = . b. Giả sử M(x 0 , y 0 )(H) sao cho MF 2 = 2MF 1 , ta có: |MF 1 MF 2 | = 2a MF 1 = 2a 2 1 MF = 4a 2 [( 4 x 0 ) 2 + 2 0 y ] = 4.16 [(4 + x 0 ) 2 + 2 0 y ] = 64 (4) Mặt khác M(x 0 , y 0 )(H) 1 12 y 4 x 2 0 2 0 = (5) Giải hệ tạo bởi (4), (5), ta đợc M 1 ( 3, 15 ), M 2 ( 3, 15 ). Ví dụ 3: Lập phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Hypebol (H) đi qua điểm M(5, 4) và mỗi đờng tiệm cận tạo với trục hoành một góc 45 0 . Giải Xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Với Hyperbol (H) có phơng trình: (H): 2 2 2 2 b y a x = 1 (1) Điểm M(2, 3)(H) 25b 2 16a 2 = a 2 .b 2 (2) Tiệm cận của (H) tạo với trục hoành một góc 45 0 a b = tg45 0 a = b (3) Giải hệ phơng trình tạo bởi (2), (3) ta đợc a = b = 3. Vậy phơng trình chính tắc của Hypebol (H) (H): 9 y 9 x 22 = 1, và khi đó phơng trình tham số của (H) có dạng: 9 (H): = = tcos 3 y tgt3x , t[0, 2)\{ 2 , 2 3 }. Trờng hợp 2: Với Hyperbol (H) có phơng trình: (H): 2 2 2 2 b y a x = 1 giải tơng tự. Chú ý: Bằng cách lập luận có thể khẳng định Hypebol (H) chỉ có thể là dạng: 2 2 2 2 b y a x = 1. Bài toán 3: Xét vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và Hypebol. Phơng pháp thực hiện Bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi (H) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (d) và (H). Ví dụ 4: Cho Hypebol (H) có phơng trình: (H): 1 9 y 4 x 22 = . Gọi (d) là đờng thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đờng thẳng qua O và vuông góc với (d). a. Tìm điều kiện đối với k để (d) và (d') đều cắt (H). b. Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d') và (H). c. Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất. Giải a. Ta lần lợt có: Đờng thẳng (d) qua O có hệ số góc k có dạng: y = kx. Đờng thẳng (d') qua O và vuông góc với (d) có dạng: y = k 1 x. Toạ độ giao điểm A, C của (d) và (H) là nghiệm của hệ : = = kxy 1 9 y 4 x 22 (9 4k 2 )x 2 = 36 (1) Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi: 9 4k 2 > 0 |k| < 3/2 (2) Khi đó: 10 . mắc − Đăng kí Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §4 Đường Hypebol  Các em học sinh đừng bỏ. pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô