Đang tải... (xem toàn văn)
Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §3 Đường Elíp Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao / Phướng pháp giải các dạng toán 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận 2 được giải đáp. 3 Đ3 đờng elíp bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm cố định F 1 , F 2 , với F 1 F 2 = 2c>0. Tập hợp những điểm M sao cho MF 1 + MF 2 = 2a (a là một số không đổỉ và a>c) gọi là một Elíp. Vậy, ta đợc: (E) = {M| MF 1 + MF 2 = 2a} Hai điểm F 1 , F 2 gọi là hai tiêu điểm của Elíp. Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của Elíp. Trung điểm I của F 1 F 2 gọi là tâm của Elíp. Với điểm M thuộc Elíp thì các khoảng cách MF 1 và MF 2 gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M. 2. phơng trình chính tắc của elíp Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x, y)(E) là 2a (a>c) có phơng trình: (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ , với b 2 = a 2 c 2 . Chú ý: Điểm M(x, y) (E) luôn có: F 1 M = a + a cx và F 2 M = a a cx . 3. hình dạng của elíp Với Elíp (E) có phơng trình: (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ , với a>b. ta xét các tính chất hình học của (E) bằng cách xét các tính chất đại số tơng ứng của phơng trình trên. a. Phơng trình của (E) có bậc chẵn đối với x và y nên: Nếu điểm M(x, y)(E) thì các điểm M 1 ( x, y), M 2 ( x, y) và M 3 (x, y) cũng thuộc (E). (E) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng. b. (E) cắt các trục toạ độ tại bốn điểm: 4 M F 1 F 2 2c I O M y x x y F 1 F 2 A 1 A 2 a a B 1 B 2 b b (E)Ox = {A 1 , A 2 } có toạ độ là A 1 ( a, 0), A 2 (a, 0) và đoạn thẳng A 1 A 2 gọi là trục lớn của (E) có độ dài bằng 2a. (E)Oy = {B 1 , B 2 } có toạ độ là B 1 (0, b); B 2 (0, b) và đoạn thẳng B 1 B 2 gọi là trục nhỏ của (E) có độ dài bằng 2b. Bốn điểm A 1 , A 2 , B 1 , B 2 gọi là bốn đỉnh của Elíp (E) Lu ý: Hai tiêu điểm của Elíp (E) luôn ở trên trục lớn. c. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đờng thẳng x = a và các đờng thẳng y = b đợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E). Vậy Elíp (E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có các kích thớc là 2a, 2b. d. Từ M(x, y)(E) 1 b y 1 a x 2 2 2 2 b|y| a|x| byb axa . 4. Tâm sai của elíp Tâm sai của Elíp là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của Elíp. Đối với Elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ , với a>b thì e = a c . Đối với Elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ , với a<b thì e = b c . Chú ý: 1. Mọi Elíp đều có tâm sai nhỏ hơn 1. 2. Tâm sai e = 0 suy ra c = 0 a = b Khi đó: 1 b y a x 2 2 2 2 =+ 1 a y a x 2 2 2 2 =+ x 2 + y 2 = a 2 Elíp trở thành đờng tròn tâm O, bán kính bằng a. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Xác định các thuộc tính của Elíp (E). Phơng pháp thực hiện Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu của Elíp (E) về dạng chính tắc (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ . Bớc 2: Xét các khả năng: Khả năng 1: Nếu a > b, ta đợc: 5 O y x x y F 1 F 2 A 1 A 2 a a B 1 B 2 b b (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm F 1 (c, 0), F 2 (c, 0) với c 2 = a 2 b 2 . (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài bằng 2b. Tâm sai e = a c . Khả năng 2: Nếu a < b, ta đợc: (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm F 1 (0, c), F 2 (0, c) với c 2 = b 2 a 2 . (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng 2a. Tâm sai e = b c . Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (E) có dạng: (E): 2 2 2 2 b )y( a )x( + = 1. ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục: = = yY xX += += Yy Xx ta đợc: (E): 1 b Y a X 2 2 2 2 =+ từ đó chỉ ra các thuộc tính của (E) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (E) trong hệ trục Oxy. Ví dụ 1: Chuyển phơng trình các Elip sau về dạng chính tắc, từ đó xác định các thuộc tính của nó và vẽ hình, biết: a. (E): 4x 2 + 9y 2 = 36. b. (E): 25x 2 + 16y 2 = 400. Giải a. Chuyển phơng trình của (E) về dạng: (E): 1 4 y 9 x 22 =+ a = 3, b = 2 và c = 5 . Suy ra (E) có các thuộc tính: Tâm O(0, 0). Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6 chứa 2 tiêu điểm F 1 ( 5 , 0), F 2 ( 5 , 0). Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4. 6 O y x F 1 F 2 A 1 A 2 a a B 1 B 2 b b c c O y x F 1 F 2 A 1 A 2 3 3 B 1 B 2 2 2 O y x F 1 F 2 A 1 A 2 4 4 B 1 B 2 5 5 3 3 Tâm sai e = 3 5 . b. Chuyển phơng trình của (E) về dạng: (E): 1 25 y 16 x 22 =+ a = 4, b = 5 và c = 3. Suy ra (E) có các thuộc tính: Tâm O(0, 0). Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 10 chứa 2 tiêu điểm F 1 (0, 3), F 2 (0, 3). Trục nhỏ thuộc Ox có độ dài bằng 8. Tâm sai e = 5 3 . Bài toán 2: Lập phơng trình của Elíp (E). Phơng pháp thực hiện Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ Từ đó cần tìm a, b (hoặc a 2 , b 2 ) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn a, b (hoặc a 2 , b 2 ). Cách 2: Sử dụng định nghĩa Nếu biết hai tiêu điểm F 1 (x 1 , y 1 ), F 2 (x 2 , y 2 ) và độ dài trục lớn bằng 2a thì ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Lấy điểm M(x, y)(E). Bớc 2: Chuyển MF 1 + MF 2 = 2a (1) thành biểu thức giải tích nhờ: 2 1 2 1 2 1 )yy()xx(MF += (2) 2 2 2 2 2 2 )yy()xx(MF += (3) Bớc 3: Suy ra MF 1 MF 2 = 21 2 2 2 1 MFMF MFMF + = a2 )yy(y2)xx(x2)yy()xx( 2121 2 2 2 1 2 2 2 1 + (4) Bớc 4: Lấy (1) + (4) ta đợc MF 1 , rồi thay vào (2) ta sẽ đợc phơng trình của Elíp (E). Chú ý: 7 1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình thích hợp. Trong trờng hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Elíp (E) có phơng trình: (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ . 2. Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác ph- ơng trình Elíp hoặc chứng minh tập hợp điểm là Elíp. Ví dụ 2: Lập phơng trình chính tắc của Elíp (E), biết: a. Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai e = 13 12 . b. Elip đi qua các điểm M(4, 0) và N(2, 2 33 ). Giải a. Từ giải thiết ta giả sử Elíp (E) có phơng trình (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ , với a<b. Độ dài trục lớn bằng 26 2b = 26 b = 13. Tâm sai e = 13 12 = b c = 13 a13 22 a 2 = = 25. Vậy Elíp (E) có phơng trình: (E): 1 169 y 25 x 22 =+ . b. Giả sử Elíp (E) có phơng trình: (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ . Vì M(E) 1 a 16 2 = a 2 = 16, Vì N(2, 2 33 )(E) 1 b4 27 16 4 2 =+ b 2 = 9. Vậy Elíp (E) có phơng trình: 1 9 y 16 x 22 =+ . Ví dụ 3: Lập phơng trình chính tắc của Elíp (E) có tiệu cự bằng 6 và đi qua điểm A( 41 20 , 41 20 ), từ đó xác định phơng trình tham số của nó. Giải Giả sử Elíp (E) có phơng trình: (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ . 8 Vì A(E) 1 b41 400 a41 400 22 =+ 400(a 2 + b 2 ) = 41a 2 .b 2 . (1) Elíp (E) có tiệu cự bằng 6 2c = 6 c = 3. (2) Tới đây ta xét hai khả năng có thể xảy ra: Khả năng 1: Nếu a>b thì: (2) a 2 b 2 = 9. (3) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (3), ta đợc a 2 = 25 và b 2 = 16, suy ra: (E 1 ): 1 16 y 25 x 22 =+ và phơng trình tham số của (E 1 ) có dạng: (E 1 ): = = tcos4y tsin5x , t[0, 2). Khả năng 2: Nếu a<b Bạn đọc tự làm Bài toán 3: Vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và elíp. Phơng pháp thực hiện 1. Để xác định vị trí tơng đối của điểm M(x M , y M ) với Elíp (E): (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ . Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định phơng tích của M đối với Elíp (E) là: p M/(E) = 2 2 M 2 2 M b y a x + . Bớc 2: Kết luận: Nếu p M/(E) <1 M nằm trong Elíp. Nếu p M/(E) = 1 M nằm trên Elíp. Nếu p M/(E) >1 M nằm ngoài Elíp. Chú ý: Ta có các kết quả sau: Nếu M nằm trong (E) không tồn tại tiếp tuyến của (E) đi qua M nhng khi đó mọi đờng thẳng qua M đều cắt (E) tại 2 điểm phân biệt. Nếu M nằm trên (E) tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (E) đi qua M (phơng trình tiếp tuyến có đợc bằng phơng pháp phân đôi toạ độ). Nếu M nằm ngoài (E) tồn tại hai tiếp tuyến của (E) đi qua M. 2. Bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi (E) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (d) và (E). 3. Với hai Elíp (E 1 ) và (E 2 ) có phơng trình: 9 (E 1 ): 1 b y a x 2 1 2 2 1 2 =+ và (E 2 ): 1 b y a x 2 2 2 2 2 2 =+ . Nếu (E 1 ) (E 2 ) = {A, B, C, D} thì a. ABCD là hình chữ nhật. b. Phơng trình đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đờng tròn (C) tâm O bán kính R = OA có phơng trình: (C): x 2 + y 2 = 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 baba )aa(bb)bb(aa + . Ví dụ 4: Cho điểm M(1, 1) và Elíp (E) có phơng trình: (E): 4 y 9 x 22 + = 1. a. Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt. b. Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua M và cắt Elíp trên tại hai điểm A, B sao cho MA = MB. Giải a. Nhận xét rằng: p M/(E) = 4 1 9 1 + = 36 13 <1 M nằm trong Elíp do đó mọi đờng thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt. b. Nhận xét rằng đờng thẳng (d) không thể song song với Oy, do đó giả sử (d) có hệ số góc k, ta đợc: y = k(x 1) + 1 (d): y = kx k + 1. (1) Toạ độ giao điểm A, B của (d) và (E) là nghiệm của hệ phơng trình : += =+ 1kkxy 36y9x4 22 4x 2 + 9(kx k + 1) 2 = 36 (4 + 9k 2 )x 2 18k(k 1)x + 9k 2 18k 27 = 0 (2) Phơng trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt x A , x B thoả mãn: + = + =+ 2 2 BA 2 BA k94 27k18k9 x.x k94 )1k(k18 xx . 10 . thắc mắc − Đăng kí Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §3 Đường Elíp Các em học sinh đừng bỏ. ) 5 104 , 5 10 (M 5 4 . Vậy, ta đợc: (x 0 + y 0 ) Max = 10 , đạt đợc tại M 4 . (x 0 + y 0 ) Min = 10 , đạt đợc tại M 5 . B. bài tập rèn luyện B. bài
