(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường tròn

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §2 Đường tròn  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao / Phướng pháp giải các dạng toán 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận 2 được giải đáp. 3 Đ2 đờng tròn bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. phơng trình chính tắc của đờng tròn Trong mặt phẳng Oxy, đờng tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R có phơng trình: (C): (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 . (1) Chú ý: Ta có: Đờng tròn tâm O bán kính R có phơng trình x 2 + y 2 = R 2 . Đờng tròn đơn vị có phơng trình x 2 + y 2 = 1. 2. phơng trình tổng quát của đờng tròn Trong mặt phẳng Oxy, đờng cong (C) có phơng trình (C): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0, với a 2 + b 2 c 0 (2) là phơng trình của đờng tròn tâm I(a; b) và bán kính R = cba 22 + . 3. Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn Trong mặt phẳng Oxy, phơng trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) của đờng tròn (C): (C): (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 có phơng trình (d): (x a)(x 0 a) + (y b)(y 0 b) = R 2 . (4) Chú ý: 1. Phơng trình (4) đợc gọi là phơng trình phân đôi toạ độ theo quy tắc: (x a) 2 = (x a).(x a) thay bằng (x a).(x 0 a). (y b) 2 = (y b)(y b) thay bằng (y b)(y 0 b). 2. Nếu (C) có phơng trình tổng quát: (C): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0, với a 2 + b 2 c 0 thì tiếp tuyến (d) có phơng trình: (d): x.x 0 + y.y 0 a(x + x 0 ) b(y + y 0 ) + c = 0. dựa theo quy tắc: x 2 = x.x thay bằng x.x 0 . y 2 = y.y thay bằng y.y 0 . 2ax = a(x + x) thay bằng a(x + x 0 ). 2by = b(y + y) thay bằng a(y + y 0 ). 3. Trong trờng hợp tổng quát, đờng thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi: d(I, (d)) = R. 4 y O I M a b x R 4. phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn Cho đờng tròn (C) có phơng trình: (C): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0, với a 2 + b 2 c 0. Phơng tích của điểm M(x 0 ; y 0 ) đối với đờng tròn (C) đợc xác định bởi: p M/(C) = 2 0 x + 2 0 y 2ax 0 2by 0 + c Từ giá trị về dấu của p M/(O) ta xác định đợc vị trí của điểm M đối với (C) Nếu p M/(C) >0 M ở ngoài đờng tròn (C). Nếu p M/(C) = 0 M ở trên đờng tròn (C). Nếu p M/(C) <0 M ở trong đờng tròn (C). 5. Trục đẳng phơng của hai đờng tròn Cho hai đờng tròn không đồng tâm (C 1 ) và (C 2 ) có phơng trình : (C 1 ): x 2 + y 2 2a 1 x 2b 1 y + c 1 = 0, với 1 2 1 2 1 cba + 0 (C 2 ): x 2 + y 2 2a 2 x 2b 2 y + c 2 = 0, với 2 2 2 2 2 cba + 0 Khi đó tập hợp những điểm có cùng phơng tích với hai đờng tròn (C 1 ) và (C 2 ) là đ- ờng thẳng (d), gọi là trục đẳng phơng của hai đờng tròn (C 1 ), (C 2 ) có phơng trình: (d): 2(a 1 a 2 )x + 2(b 1 b 2 )y c 1 + c 2 = 0. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Lập phơng trình đờng tròn thoả mãn điều kiện cho trớc. Phơng pháp thực hiện Gọi (C) là đờng tròn thoả mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn phơng trình dạng tổng quát hoặc dạng chính tắc. Muốn có phơng trình dạng tổng quát, ta lập hệ 3 phơng trình với ba ẩn a, b, c, điều kiện a 2 + b 2 c 0. Muốn có phơng trình dạng chính tắc, ta lập hệ 3 phơng trình với ba ẩn a, b, R, điều kiện R 0. Chú ý: 1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình thích hợp. 2. Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác phơng trình đờng tròn. Ví dụ 1: Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau: a. Đi qua điểm C(1; 2) và tâm là giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ): 3x 4y + 1 = 0 và (d 2 ): 2x + y 3 = 0 b. Đi qua điểm A(1; 2), B(3; 1) và tâm I nằm trên (d): 7x + 3y + 1 = 0. 5 Giải a. Gọi K là giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ), khi đó toạ độ của K là nghiệm của hệ: =+ =+ 03yx2 01y4x3 x = y = 1 K(1; 1) Đờng tròn (C) có tâm K có phơng trình: (C): (x 1) 2 + (y 1) 2 = R 2 . Điểm C(1; 2)(C) 1 = R 2 . Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x 1) 2 + (y 1) 2 = 1. b. Giả sử phơng trình đờng tròn (C) có dạng: (C): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0, với điều kiện a 2 + b 2 c 0. Điểm A(1; 2)(C) 5 2a 4b + c = 0. (1) Điểm B(3; 1)(C) 10 6a 2b + c = 0. (2) Tâm I(a; b)(d) 7a + 3b + 1 = 0 (3) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2), (3), ta đợc a = 2 1 , b = 2 3 , c = 10. Vậy, phơng trình đờng tròn (C): x 2 + y 2 x + 3y 10 = 0. Chú ý: Để lập lập phơng trình đờng tròn đi qua ba điểm A, B, C (đờng tròn ngoại tiếp ABC) ta cân nhắc lựa chọn một trong hai hớng sau: Hớng 1: Tổng quát, ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Giả sử đờng tròn (C) có phơng trình: (C): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0, với a 2 + b 2 c 0. (1) Bớc 2: Từ điều kiện A, B, C thuộc (C), ta đợc hệ 3 phơng trình với ba ẩn a, b, c. Thay a, b, c vào (1) ta đợc phơng trình của (C). Hớng 2: Dựa trên dạng đặc biệt của ABC, tức là: 1. Nếu ABC vuông tại A, thì: (C): = 2 BC R BCdiểmtrunglaItam . 2. Nếu ABC đều, cạnh bằng a, thì: 6 (C): = 3 3a R ABCtamtronglaItam . Ví dụ 2: Lập phơng trình đờng tròn ngoại tiếp ABC, biết: a. A(1; 4), B( 4; 0), C( 2; 2). b. A(1; 1), B(3; 2), C(4; 3). c. A(1; 3 1 ), B(1; 3 1 ), C(0; 0). Giải a. Giả sử phơng trình đờng tròn ngoại tiếp ABC có dạng: (C): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0, với a 2 + b 2 c 0 Điểm A(1; 4)(C) 1 + 16 2a 8b + c = 0. (1) Điểm B( 4; 0)(C) 16 + 8a + c = 0. (2) Điểm C( 2; 2)(C) 4 + 4 + 4a + 4b + c = 0. (3) Giải hệ tạo bởi (1), (2), (3), ta đợc a = 2 1 , b = 2 1 , c = 20. Vậy, phơng trình đờng tròn (C): x 2 + y 2 x y 20 = 0. b. Nhận xét rằng AB . AC = (2; 3).(3; 2) = 0 ABAC ABC vuông tại A. Vậy đờng tròn ngoại tiếp ABC đợc cho bởi: (C): == 2 26 2 BC R BCdiemtrungla) 2 1 , 2 7 (Itam (C): (x 2 7 ) 2 + (y 2 1 ) 2 = 2 13 . c. Nhận xét rằng AB = BC = CA = 3 2 ABC đều. Vậy đờng tròn ngoại tiếp ABC là: 7 (C): == 3 2 2 3AB R ABCtamtrongla)0, 3 2 (Itam (C): (x 3 2 ) 2 + y 2 = 9 4 . Ví dụ 3: Lập phơng trình đờng tròn (C) có tâm I(5; 6) và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có phơng trình (d): 4 2x = 3 y . Giải Ta có thể giải bằng hai cách sau: Cách 1: Chuyển phơng trình của (d) về dạng tham số, ta đợc: (d): = += t3y t42x , t R. Đờng tròn (C) có: (C): Rbkinh )6,5(Itam (C): (x 5) 2 + (y 6) 2 = R 2 . (1) Thay x, y từ phơng trình tham số của (d) vào (C), ta đợc: 25t 2 60t + 45 R 2 = 0. (2) (C) tiếp xúc với (d) phơng trình (2) có nghiệm kép ' = 0 R 2 = 9 (khi đó ta đợc t = 5 6 ) Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x 5) 2 + (y 6) 2 = 9. Cách 2: Chuyển phơng trình của (d) về dạng tổng quát, ta đợc: (d): 3x 4y 6 = 0. Gọi R là bán kính đờng tròn (C). (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi: R = d(I, (d)) = 169 |66.45.3| + = 3. Vậy, phơng trình đờng tròn (C): (x 5) 2 + (y 6) 2 = 9. Chú ý: Nếu giả thiết cho (C) tiếp xúc với (d): Ax + By + C = 0 tại điểm M(x 0 ; y 0 ), ta có đợc các điều kiện sau: a. Tâm I thuộc đờng thẳng () có phơng trình cho bởi: 8 (): )B,A(nvtcp )y,x(Mqua 00 (): += += Btyy Atxx 0 0 , tR I(x 0 + At; y 0 + Bt) b. (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi IM = R. Bài toán 2: Vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và đờng tròn. Phơng pháp thực hiện 1. Để xét vị trí tơng đối của điểm với đờng tròn, ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định phơng tích của M đối với đờng tròn (C) là p M/(C) . Bớc 2: Kết luận: Nếu p M/(C) < 0 M nằm trong đờng tròn. Nếu p M/(C) = 0 M nằm trên đờng tròn. Nếu p M/(C) > 0 M nằm ngoài đờng tròn. Chú ý: Ta có các kết quả sau: Nếu M nằm trong (C) không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua M nhng khi đó mọi đờng thẳng qua M đều cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Nếu M nằm trên (C) tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) đi qua M (phơng trình tiếp tuyến có đợc bằng phơng pháp phân đôi toạ độ). Nếu M nằm ngoài (C) tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M. 2. Để xét vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn, ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của đờng tròn, ta đợc: Nếu h > R (d)(C) = {}. Nếu h = R (d) tiếp xúc với (C). Nếu h < R (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Cách 2: Xét hệ phơng trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (d) và (C). Chú ý: Trong trờng hợp đờng thẳng cắt đờng tròn tại hai điểm phân biệt ta có khái niệm chùm đờng tròn dạng 1: " Phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của đờng thẳng (d): Ax + By + C = 0, (C): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0 có dạng: x 2 + y 2 2ax 2by + c + m(Ax + By + C) = 0. " 3. Để xét vị trí tơng đối của hai đờng tròn, ta lựa chọn một trong hai cách sau: 9 Cách 1: Tính khoảng cách I 1 I 2 (I 1 , I 2 là hai tâm của hai đờng tròn), rồi so sánh với tổng và hiệu hai bán kính R 1 , R 2 của hai đờng tròn, ta đợc: Nếu I 1 I 2 > R 1 + R 2 (C 1 ) và (C 2 ) không cắt nhau và ở ngoài nhau. Nếu I 1 I 2 < |R 1 R 2 | (C 1 ) và (C 2 ) không cắt nhau và nồng nhau. Nếu I 1 I 2 = R 1 + R 2 (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc ngoài với nhau. Nếu I 1 I 2 = |R 1 R 2 | (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc trong với nhau. Nếu |R 1 R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để xác định số nghiệm của bài toán tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (C 1 ) và (C 2 ). Cách 2: Xét hệ phơng trình tạo bởi (C 1 ) và (C 2 ), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ). Nhận xét quan trọng: 1. Bằng việc xét vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng: Dạng 1: Giải và biện luận hệ: =++ =++ 0CByAx 0)m(cx)m(b2x)m(a2yx 22 . Dạng 2: Giải và biện luận hệ: ++ ++ 0CByAx 0)m(cx)m(b2x)m(a2yx 22 . 2. Bằng việc xét vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng: Dạng 1: Giải và biện luận hệ: =++ =++ 0)m(cx)m(b2x)m(a2yx 0)m(cx)m(b2x)m(a2yx 222 22 111 22 Dạng 2: Giải và biện luận hệ: ++ ++ 0)m(cx)m(b2x)m(a2yx 0)m(cx)m(b2x)m(a2yx 222 22 111 22 10 . thắc mắc − Đăng kí Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §2 Đường tròn  Các em học sinh đừng bỏ. pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô